Solusi Numerik Persamaan Transport dengan RBF Unpublished M. Jamhuri UIN Malang March 30, 013
Hampiran RBF RBF singkatan dari radial basis function φ(r), adalah sebuah fungsi kontinu dengan satu peubah yang radial terhadap norm euclid di R d. Salah satu bentuk RBF yang banyak digunakan adalah fungsi basis multiquadric (MQ). Fungsi basis MQ pertama kali diperkenalkan oleh seorang ahli Geodesi Roland Hardy [] yang menjelaskan sekaligus memberikan nama metode tersebut pada tahun 1971. Fungsi basis yang digunakan Hardy adalah φ(r; a) = a + r (1) dimana r = x dan a adalah sebuah parameter yang harus ditentukan. Kombinasi linier dari fungsi basis (1) diatas dapat digunakan untuk menginterpolasi suatu fungsi maupun turunan-turunannya [1]. Misalkan diberikan suatu himpunan titik-titik center x c 1,xc,, xc N di Rd, interpolasi RBF terhadap suatu fungsi didefinisikan sebagai s (x) = α j φ(r) () dengan r = x xj = x 1 + +x d Koefisien α ditentukan dengan menggunakan kondisi interpolasi yang diberikan s (x i ) = f (x i ) (3)
Hampiran Turunan Fungsi Dengan kelinierannya, perluasan RBF () menurut Nam-May-Duy [3]dapat digunakan untuk mencari nilai hampiran dari turunan fungsi sebagai x i s (x) = α j x i φ(r) (4) Untuk fungsi dengan dua peubah (D), f (x, y), hampiran turunan parsial terhadap x didefinisikan sebagai f N x α j φ(r) (5) x sedangkan hampiran turunan parsial terhadap y didefinisikan sebagai f y untuk turunan kedua terhadap x, dapat digunakan f x α j φ(r) (6) y α j xφ(r) (7) untuk turunan yang lebih tinggi atau turunan terhadap variabel yang lain dapat digunakan cara yang sama.
Contoh dan Simulasi Misalkan diberikan sebuah fungsi dengan dua peubah f (x,y) = 1 sin(6x y + 4) (8) Untuk mencari hampiran dari f (x, y), kita gunakan persamaan(), yaitu ( ) ( ) dimana r = x xj c + y yj c. α j φ(r) = 1 sin(6x y + 4) (9) untuk x = (x 1,...,x N ) dan y = (y 1,...,y N ), maka φ adalah matriks yang berukuran N N dan koefisien α dapat dianggap sebagai matriks yang berukuran N 1, sehingga persamaan (9) merupakan sistem persamaan linier yang dapat dituliskan sebagai persamaan matriks Aw = B (10) dengan B adalah matriks yang berukuran N 1 yang entri-entrinya adalah f (x i,y i ), dan A matriks yang entri-entrinya adalah φ ( r ij ) = ( x i x c j ) ( ) + y i yj c + a dan B adalah matrik yang entri-entrinya adalah koefisien α j.
Jika kita tinjau sistem persamaan (10), maka koefisien interpolan (w) dapat dengan mudah diperoleh yaitu w = A 1 B (11) asalkan A punya invers. Selanjutnya hampiran dari f dapat diperoleh dengan cara x [ ] f x x φ( ) r ij w (1) Sedangkan untuk f y yaitu, [ ] f y y φ( ) r ij w (13) Jika kita menginginkan turunan parsial kedua terhadap x, maka [ f ] x ) y φ( r ij w (14)
Hasil Simulasi: (a) hasil analitik (atas), (b) hasil numerik RBF (bawah)
Gambar dari Error Mutlak Gambar paling kiri adalah error mutlak dari fungsi asal dengan fungsi pendekatannya f (x,y) s(x,y). Gambar di tengah adalah error mutlak dari turunan parsial x dengan hampirannya f x (x,y). x s (x,y) Gambar paling kanan adalah error mutlak dari turunan parsial terhadap y dengan hampirannya f y (x,y). y s (x,y)
Persamaan Transport Misalkan diberikan persamaan transport dengan kondisi batas pada domain 1 x 1, dan y. Solusi analitik dari persamaan transport (15) adalah u x + 6u y = 0 (15) u(x,1) = 1 sin(6x + 3) (16) u(x,y) = f (6x y) (17) Jika kondisi batas pada (16) diterapkan pada (17), maka diperoleh f (6x 1) = 1 sin(6x + 3) (18) misalkan β = 6x 1 makax = β+1. kemudian substitusikan x pada ruas kanan 6 dari (18), diperoleh f (β) = 1 sin(β + 4) (19) Jika (6x y) disubstitusikan kembali pada β pada persamaan (19) diperoleh f (6x y) = 1 sin(6x y + 4) jadi solusi khusus dari (15) dengan kondisi batas (16) adalah u(x,y) = 1 sin(6x y + 4) (0)
Solusi Numerik Pers. Transport dengan RBF Untuk menyelesaikan (15) secara numerik dengan rbf, gunakan persamaan (1) dan (13) untuk menggantikan turunan-turunan parsial dari (15), yaitu u x + 6u y = 0 α j x φ( ) N r ij + 6 α j y φ( ) r ij [ ] α j x φ( ) r ij + 6 y φ( ) r ij = 0 ( ) ( ), dimana r ij = x i xj c + y i dj c dan φ(r) = r + a. Berikutnya kondisi batas (16) kita aproksimasi sebagai u(x i, 1) = 1 sin(6x i + 3) = 0 (1) α j φ(r) = 1 sin(6x i + 3) () ( ) dengan r ij = x i xj c +(yi 1).
Hasil Simulasi Persamaan Transport Solusi numerik dari persamaan (15), (16) dapat diperoleh dengan cara menentukan koefisien {α} N dari sistem persamaan (1) dan () secara bersama-sama. Berikutnya gunakan {α} N yang tak lain adalah koefisien interpolan atau biasa disebut bobot pada masalah jaringan syaraf tiruan untuk memperoleh solusi dari persamaan transport (15) sebagai u(x,y) = α j φ ( ) r ij (3)
Referensi Laurene Fausett. Fundamentals of Neural Networks: architectures, algorithms, and applications. PT Erlangga, 1970. R. Hardy. Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces. Journal of Geophysical Research, 8:76, 1971. Thanh Tran-Cong Nam Mai-Duy. Approximation of function and its derivatives using radial basis function networks. Applied Mathematical Modelling, 7:197 0, 003.