Contoh soal : Teori Bilangan 1. Buktikan bahwa untuk setiap berlaku a. Petama, kita uji untuk Ruas kiri sama dengan dan ruas kanan Jadi pernyataan benar untuk n=1 b. Langkah kedua, asumsikan bahwa pernyataan benar untuk, yaitu Sekarang kita buktikan persamaan benar untuk, yaitu Mulai dengan persamaan (1), kita tambahkan
2. Carilah bilangan bulat positif terkecil sehingga merupakan bilangan kuadrat, merupakan bilangan pangkat tiga (suatu bilangan), dan merupakan bilangan pangkat lima (suatu bilangan lain). Karena habis dibagi 2, 3 dan 5, dan suatu bilangan selalu dapat ditulis sebagai perkalian faktornya, maka Karena merupakan bilangan kuadrat, maka dan harus genap. Berdasarkan informasi merupakan bilangan pangkat tiga, maka dan harus habis dibagi 3/ terakhir merupakan bilangan berpangkat lima, maka dan harus kelipatan 5.
Kita mulai dari kelipatan 3 dan 5 serta genap atau ganjil. Bilangan terkecil yang memenuhi adalah 15. genap dan kelipatan 5 serta kelipatan 3. Bilangan terkecil yang memenuhi adalah 10. genap dan kelipatan 3 serta kelipatan 5. Bilangan terkecil yang memenuhi adalah 6. Jadi 3. Himpunan bilangan Fibonacci didefinisikan sebagai berikut tunjukkan bahwa untuk setiap. Diketahui bahwa Kita dapat menuliskan dan maka. Di sisi lain so sehingga kita mendapatkan dengan melanjutkan proses ini kita dapatkan Aljabar 1. Jika a dan b adalah akar-akar dari x 2 + x + 1 = 0, tentukan nilai a 2008 + b 2008 Jawaban:
Karena a akar dari persamaan diatas, maka a memenuhi : a 2 = -a -1 a 3 = -a 2 - a = 1 a 2007 = 1 a 2008 = a dengan cara yang sama, didapat b 2008 = b maka, a 2008 + b 2008 = a + b = -1. 2. f(1)=2010 f(1) + f(2) + f(3) + + f(n)= n 2 f(n) f(2010)=? Jawaban: f(1)+f(2)+f(3)+ +f(n-1) =( n-1) 2 f(n-1) (n-1) 2 f(n-1) + f(n) = n 2 f(n) (n-1) 2 f(n-1) = (n 2 1)f(n) f(n) =(n-1)/(n+1) f(n-1) f(2010) = (2009/2011) f(2009) = (2009/2011)(2008/2010) f(2008) = (2009/2011) (2008/2010) (2007/2009) (2006/2008) (1/3) f(1) = (1/2010.2011)f(1)=1/2011 3. Diketahui x 3 + 4x =8. Tentukan nilai dari x 7 + 64 x 2 Jawaban: x 3 + 4x=8 X n+3 + 4x n+1 =8 x n X n+3 = -4x n+1 + 8x n X 7 =-4x 5 + 8 x 4 = 8 x 4 +16 x 3 32 x 2 = 16 x 3 64 x 2 +64x = -64 x 2 +128 Akibatnya x 7 + 64 x 2 = 128 Kombinatorika
1. Sebanyak n orang pengurus sebuah organisasi akan dibagi ke dalam empat komisi mengikuti ketentuan berikut : (i) setiap anggota tergabung ke dalam tepat dua komisi, dan (ii) setiap dua komisi memiliki tepat satu anggota bersama. Berapakah n? (a). Setiap anggota tergabung ke dalam dua komisi (b). Setiap dua komisi memiliki tepat satu anggota bersama Karena ada 4 komisi maka banyaknya pasangan komisi yang dibuat adalah Karena banyaknya pasangan komisi ada 6 maka banyaknya anggota minimal adalah 6, sebab jika kurang dari 6 maka aka nada seorang yang tergabung dalam lebih dari 2 komisi. Jika terdapat lebih dari 6 anggota maka aka nada seorang anggota yang masuk dalam sebuah komisi tetapi tidak termasuk ke dalam tiga komisi lain. Hal ini bertentangan dengan (a) bahwa seorang anggota tergabung ke dalam tepat dua komisi. Akibatnya banyaknya anggota ada 6 orang. Contoh pembagian keenam anggota ke dalam empat komisi yang memenuhi (a) dan (b) adalah: Misalkan komisi tersebut adalah A, B, C, D dengan menyatakan anggota ke-i dengan 6. Komisi A Komisi B Komisi C Komisi D Jadi, banyaknya pengurus agar memenuhi syarat tersebut adalah 6. 2. Lima buah dadu (enam-muka) akan dilempar satu demi satu, lalu hasil kelima angka yang muncul akan dihitung. Manakah yang lebih besar peluang terjadinya hasil kali 180 atau hasil kali 144? Maka kemungkinan lima mata dadu yang memenuhi perkaliannya = 180 adalah (1, 3, 3, 4, 5), (1, 2, 3, 5, 6), (1, 1, 5, 6, 6), (2, 2, 3, 3, 5) dan permutasinya yang secara berurutan banyaknya kemungkinan tersebut adalah Peluan hasil kali mata dadu sama dengan 180 adalah
Maka kemungkinan lima mata dadu yang memnuhi perj\kaliannya = 144 adalah (1, 3, 3, 4, 5), (1, 2, 3, 5, 6), (1, 1, 5, 6, 6), (1, 3, 3, 4, 4), (2, 2, 3, 3, 4), (2, 2, 2, 3, 6) dan permutasinya yang secara berurutan banyaknya kemungkinan tersebut adalah Peluang hasil kali mata dadu sama dengan 144 adalah Maka peluang yang lebih besar adalah terjadinya hasil kali 144. 3. Kita gambarkan segibanyak beraturan (reguler) R dengan 2002 titik sudut beserta semua diagonalnya. Berapakah banyaknya segitiga yang terbentuk yang semua titik sudutnya adalah titik sudut R, tetapi tidak ada sisinya yang merupakan sisi R? Misal : A = banyaknya segitiga seluruhnya yang dapat dibentuk termasuk yang sisinya merupakan sisi R. B = banyaknya segitiga yang dapat dibentuk dengan hanya 1 sisinya yang merupakan sisi R. C = banyaknya segitiga yang dapat dibentuk dengan 2 sisinya merupakan sisi R. Banyaknya segitiga seluruhnya yang dapat dibentuk termasuk yang sisinya merupakan sisi R Segitiga dibentuk dari 3 titik yang tidak segaris, maka banyaknya segitiga yang dapat dibentuk adalah Banyaknya segitiga yang dapat dibentuk dengan hanya 1 sisinya yang merupakan sisi R. Untuk n\membentuk segitiga ini maka 2 dari 3 titiknya harus berurutan, namun ketiga titiknya tidak berurutan. Misal kedua titik tersebut adalah n dan n+1, maka titik ketiga tidak boleh n-1 atau n+2, Banyaknya 2 titik yang berurutan ada 2002 kemungkinan, yaitu 1-2, 2-3,, 2001-2002,2002-1. Misalkan titk yang kita pilih adalah 2-3, maka titik ketiga tidak bolehtitik 1 atau 4, maka banyaknya kemungkinan 1 titik ketiga adalah 1998 cara. Banyaknya segitiga yang dapat dibentuk adalah 1998 x 2002 Banyaknya segitiga yang dapat dibentuk dengan 2 sisinya merupakan sisi R. Untuk membentuk segitiga ini maka ke-3 titiknya harus berurutan. Banyaknya segitiga yang dapat dibentuk adalah 2002, yaitu 1-2-3, 2-3-4,, 2001-2002-1, 2002-1-2. Banyaknya segitiga yang dimaksud adalah = = =
= Geometri 1. Suatu garis melalui titik (m, 9) dan (7,m) dengan kemiringan m. Berapakah nilai m? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 Persamaan sebuah garis jika diketahui melalui dua buah titik adalah dengan dan sehingga didapat persamaan garis dimana, didapat. 2. Perhatikan gambar. Jika panjang AB = CD = 1, tentukan panjang AC. Perhatikan segitiga BCD.
Jadi panjang AC adalah 2. 3. Sebuah saluran air seharusnya dibuat dengan menggunakan pipa berdiameter 10 cm. Akan tetapi yang tersedia hanyalah pipa-pipa kecil yang berdiameter 3 cm. Supaya kapasitas saluran tidak lebih kecil daripada yang diinginkan, berapakah banyaknya pipa 3 cm yang perlu dipakai sebagai pengganti satu pipa 10 cm? Misalkan A adalah pipa berdiameter 10 cm dan B adalah pipa berdiameter 3 cm. Luas penampang pipa A adalah dan luas penampang pipa B adalah. Jadi banyaknya pipa B yang dibutuhkan agar kapasitas saluran tidak lebih daripada yang diinginkan minimla sebanyak 12 buah pipa B.