MODUL MATEMATIKA KELAS 8 MARET 2018 TAHUN PELAJARAN 2017/2018 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN SIFAT-SIFAT GARIS SINGGUNG LINGKARAN Garis singgung lingkaran memiliki beberapa sifat yang merupakan akibat dari definisi di atas. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut: Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan diameter lingkaran yang melalui titik singgungnya. Titik singgung adalah titik perpotongan garis singgung dengan lingkaran. Melalui suatu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu dan hanya satu garis singgung pada lingkaran. Garis p di atas bukan merupakan garis singgung lingkaran O. SAT-2018-03-JH8-MOD-MAT Page 1
Melalui suatu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung lingkaran. Apabila dua garis singgung berpotongan pada suatu titik di luar lingkaran, maka jarak antara titik potong tersebut dengan titik-titik singgung kedua garis singgung tersebut sama. Sifat yang keempat ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema Pythagoras. Karena segitiga-segitiga POR dan POQ adalah segitiga siku-siku, maka PQ 2 = PO 2 r 2 dan PR 2 = PO 2 r 2. Sehingga PQ = PR. KEDUDUKAN DUA LINGKARAN Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka terdapat beberapa kedudukan lingkaran sebagai berikut. 1. L2 terletak di dalam L1 dengan P dan Q berimpit, sehingga panjang PQ = 0. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan konsentris (setitik pusat). 2. L2 terletak di dalam L1 dan PQ < r < R. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan tidak konsentris. SAT-2018-03-JH8-MOD-MAT Page 2
3. L2 terletak di dalam L1 dan PQ = r = ½ R, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di dalam. 4. L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R. 5. L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R + r. 6. L1 terletak di luar L2 dan PQ = R + r, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di luar. SAT-2018-03-JH8-MOD-MAT Page 3
7. L1 terletak di luar L2 dan PQ > R + r, sehingga L1 dan L2 saling terpisah. Pada beberapa kedudukan lingkaran seperti tersebut di atas, dapat dibuat garis singgung persekutuan dua lingkaran. Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. Apakah untuk setiap dua lingkaran selalu dapat dibuat garis singgung persekutuan? Perhatikan kemungkinan berikut. 1. Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran tidak mempunyai garis singgung 2. Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai satu garis singgung 3. Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai dua garis singgung 4. Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai tiga garis singgung SAT-2018-03-JH8-MOD-MAT Page 4
5. Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai empat garis singgung MENENTUKAN PANJANG GARIS SINGGUNG A. Garis Singgung Persekutuan Dalam Rumus menentukan garis singgung: Menentukan jari-jari lingkaran untuk R > r dimana: p = jarak titik pusat dua lingkaran d = panjang garis singgung lingkaran dalam R = jari-jari lingkaran pertama r = jari-jari lingkaran kedua SAT-2018-03-JH8-MOD-MAT Page 5
B. Garis Singgung Persekutuan Luar Rumus menentukan garis singgung persekutuan luar: Menentukan jari-jari lingkaran untuk R > r dimana: p = jarak titik pusat dua lingkaran d = panjang garis singgung lingkaran luar R = jari-jari lingkaran pertama r = jari-jari lingkaran kedua LINGKARAN DALAM SEGITIGA Sebuah lingkaran dapat sobat buat dalam sebuah segitiga. Caranya, buatlah garis bagi simetris dari masing-masing segitiga. Garis bagi adalah garis yang membagi sudut segitia tersebut sama besar (Bagaiaman cara membuat garis bagi akan kita bahas nanti). Dari titik perpotongan ketiga garis bagi tersebut dapat dibuat sebuah lingkaran. Titik potong ketiga garis bagiakan menjadi pusat lingkaran dan kelilingnya akan tepat menyinggung masing-masing sisi segitiga. Jari-Jari Lingkaran Dalam Perhatikan gambar di atas, jari-jari lingkarang yang akan kita cari adalah OE = OF = OD. Ketiganya sama dengan tinggi dari segitiga 1, 2 da 3. Luas Segitiga Besar = Luas ΔI + Luas ΔII + Luas ΔIII - = 1/2 (AB x OD) + 1/2 ( CB x OE) + 1/2 (AC x OF) SAT-2018-03-JH8-MOD-MAT Page 6
- = 1/2 (AB x r) + 1/2 (CB x r) + 1/2 (AC x r) - = 1/2 r (AB + CB + C) - = 1/2. r. Keliling Segitiga (setengah keliling bisa dilambangkan dengan s?) - = r. S jadi, jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga dengan 1/2 kelilingnya. Sekarang yang menjadi masalah adalah bagaimana mencari luas segitiganya? Karena segitiga di atas adalah segitiga sembarang sobat bisa menggunakan rumus Jadi rumus jari-jari lingkaran dalam menjadi: dengan L = Luas Segitiga S = 1/2 keliling Δ = 1/2 (a+b+c) Rumus di atas tergantung jenis segitiga. Kalau segitiga siku-siku akan lebih enak mencari luasnya dengan rumus 1/2 alas kali tinggi daripada menggunakan s. LINGKARAN LUAR SEGITIGA Lingkaran luar segitiga adalah lingkran yang dibentuk dari perpanjangan garis bagi tiga sisi segitiga dan kelilinya akan tepat menyinggung tiga titi sudut segitiga yang ada di dalamnya. Perhatikan gambar di bawah ini Pada gambar diatas, terdapat sebuah segitiga ABC dengan dengan sisi a,b, dan c. Ada lingkaran luar yang berpusat di titik O yang mengitari segitiga tersebut. OA, OB, OC. dan OD masing-masing adalah jari-jari lingkaran luar yang akan kita cari rumusnya. Untuk membantu SAT-2018-03-JH8-MOD-MAT Page 7
menemukan rumus jari-jari, kita memakai garis bantu yaitu garis tinggi segitiga CT dan garis diameter yang ditarik dari titik C (garis CD). Coba sobat perhatikan ΔCAD dengan ΔCTB CAD = CTB = 90 o (ingat sifat sudut keliling yang menghadap diameter sama dengan 90º) ADC = TBC (ingat bahwa dua sudut keliling yang menghadap busur lingkaran yang sama adalah sama besar) Karena ada dua pasang sudut yang sama maka bisa disimpulkan bahwa ΔCAD dan ΔCTB sebagung (kongruen). Karena sebangun maka perbandingan sisi-sisinya akan sama. BC/CD = CT/AC CD (diameter) = BC x AC / CT CD (diameter) = a x b / CT. (persamaan 1) Nilai CT bisa kita cari dengan persamaan Luas Luas ΔABC = 1/2 AB x CT 2 Luas ΔABC = AB x CT CT = 2 Luas ΔABC / AB CT = 2L/ c..(persamaan 2) Kita masukkan persamaan 2 ke persamaan 1 CD = a x b / CT CD = a x b / (2L/c) CD = a x b x c / 2L Jari-jari = 1/2 CD r = 1/2 CD = a x b x c / 4L a,b,dan c = sisi-sisi segitiga L = luas segitiga SAT-2018-03-JH8-MOD-MAT Page 8