STATISTIK FERMI - DIRAC

STATISTIK ERMI - DIRAC Diuun untuk memenuhi tuga mata kuliah iika Statitik DISUSUN OLEH : KELOMPOK VII DISUSUN OLEH : KELOMPOK VII 1. 06101011006 MUHAMMAD URQON. 0610101100 EVELINA ASTRA PATRIOT 3. 06101011037 RENY DOSEN PENGAMPUH: Dr. IMRON HUSAINI, M.Pd. LENI MARLINA, S.Pd., M.Si. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN ISIKA AKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SRIWIJAYA 013

STATISTIK ERMI-DIRAC KATA PENGANTAR Dengan menghaturkan puji dan yukur ke hadirat Allah Swt, penyuun telah dapat menyeleaikan makalah iika Modern yang berjudul Statitik ermi - Dirac tepat waktu. Tujuan utama penyuunan makalah ini adalah elain untuk memenuhi alah atu tuga mata kuliah iika Statitik, juga untuk membantu para pembaca khuunya mahaiwa yang nantinya akan menjadi calon pendidik agar lebih mengetahui tentang tatitik untuk fungi ditribui fermi-dirac. Dengan demikian, diharapkan para calon pendidik dapat melakanakan tuganya dengan ebaik mungkin untuk menyongong maa depan peerta didiknya ebagai generai muda yang akan menjadi motor pengerak pembangunan banga di maa yang akan datang. Dalam penyuunan makalah ini penyuun mengucapkan terima kaih kepada Doen Pengauh Mata Kuliah iika Modern, Bapak Dr. Imron Huaini, M.Pd., Ibu Leni Marlina, S.Pd., M.Si. dan kedua orangtua kami yang enantiaa memberikan dukungan dan naihatnya, erta teman-teman Pendidikan iika Angkatan 010 yang elalu memberikan dukungan erta emangatnya dalam penyuunan makalah ini. Mekipun telah beruaha dengan egenap kemampuan, namun penyuun menyadari bahwa makalah ini maih belum empurna. Oleh karena itu, egala tegur apa, kritik, erta aran yang diberikan pembaca akan penyuun terima dengan kelapangan hati guna perbaikan pada maa yang akan datang. Akhir kata, penyuun berharap emoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi para pembaca. Palembang, Mei 013 Penyuun iika Statitik Page

STATISTIK ERMI-DIRAC DATAR ISI HALAMAN JUDUL...1 KATA PENGANTAR... DATAR IS....3 SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)...4 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang...5 1. Rumuan Maalah...7 1.3 Tujuan Penulian...8 1.4 Manfaat Penulian...8 BAB II ISI.1 Ditribui ermi - Dirac...9. Konfigurai ermion...13.3 Energi ermi...0.4 Temperatur ermi dan Ga ermi...3.5 Contoh Soal beerta Penyeleaiannya...9 BAB III PENUTUP 3.1 Keimpulan...34 3. Saran...34 DATAR PUSTAKA...35 iika Statitik Page 3

STATISTIK ERMI-DIRAC SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) 1. Identita Mata Kuliah Mata Kuliah : iika Statitik Kode Mata Kuliah/Sk : GI 10349/3 SKS akulta/juruan,prodi : KIP/PMIPA, Prodi Pendidikan iika Semeter : Genap 01/013 Tempat : Indralaya Doen Pengauh : Dr. Imron Huaini, M.Pd./Leni Marlina, M.Si.. Tujuan Mata Kuliah : Memberikan wawaan kepada mahaiwa untuk memahami tentang tatitik fungi fermi-dirac. 3. Standar Kompeteni : Memiliki wawaan dan pengetahuan tentang tatitik fungi fermi-dirac 4. Kompeteni Daar : Memiliki wawaan dan pengetahuan tentang tatitik fungi fermi-dirac 5. Indikator : 1. Menjelakan ditribui energi fermi.. Menjelakan konep temperatur ermi dan ga elektron 6. Materi Pembelajaran : Statitik ermi Dirac 7. Kegiatan Pembelajaran : Pertemuan Ke-7 ( x 50 menit) Kegiatan awal (10 menit) 1. Salam pembuka, mengecek kehadiran mahaiwa.. Doen melakukan tanya jawab mengenai tuga yang diberikan, kelompok yang preentai haru duduk di depan. 3. Doen menyampaikan indikator yang haru dicapai mahaiwa. iika Statitik Page 4

STATISTIK ERMI-DIRAC 4. Doen memberikan arahan tentang tata tertib dalam bertanya dan diikui Kegiatan inti (75 menit) 5. Preentai Kelompok 6 6. Penjelaan Enambel Mikrokanonik 7. Penjelaan Enambel Kanonik 8. Penjelaan Aplikai Pada Sueptibilita Bahan Magnet 9. Energi Rata Rata Ga Ideal Penutup (15 menit) 10. Doen menyampaikan intiari dari ii materi ajar yang dipreentaikan oleh kelompok penyaji. 11. Doen memberikan catatan perbaikan pada materi ajar dan untuk dijillid oleh kelompok penyaji. Penilaian 1. Penilaian Preentai Kelompok 14. 13. Penulian Tuga (Lembar Kriteria Tuga). 14. Penilaian Kognitif (Tanya Jawab Antar Kelompok dan Antar Individu) 15. Penilaian Afektif (Lembar Pengamatan) 16. Penilaian Pikomotorik ( Lembar Pengamatan) 17. Alat Yang Digunakan : Laptop, Projektor, Papan Tuli, Alat Tuli 18. Sumber belajar : Buku-Buku iika Univerita dan iika Statitik, Mahaiwa, Internet 19. Media : Pemrograman Materi Ajar dengan Program Microoft Power Point dan Microoft Word 0. Penilaian : Teknik Penyajian (Lembar Pengamatan) Penguaaan Materi (Lembar Pengamatan) Penilaian Kognitif (Te Tertuli, Te Lian) Penilaian Afektif (Lembar Pengamatan) Penilaian Pikomotorik (Lembar Pengamatan) iika Statitik Page 5

STATISTIK ERMI-DIRAC 1. Sumber Pembelajaran : Internet/E-Book Inderalaya, Mei 013 Mengetahui, Kaprodi Pendidikan iika Doen Pengauh I Doen Pengauh II Taufiq, S.Pd., M.Pd. Dr. Imron Huaini, M.Pd. Leni Marlina, M.Si. iika Statitik Page 6

STATISTIK ERMI-DIRAC BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang iika tatitik adalah ilmu yang mempelajari tentang ifat atau perilaku item yang terdiri dari banyak partikel. Generaliai perilaku partikel merupakan ciri pokok dari pendekatan tatitik. Sampai aat ini pendekatan tatitik cukup memadai untuk merepreentaikan keadaan item dan perilaku partikel penyuunnya. Oleh karena itu perlu diuun cara memahami keadaan uatu item dan perilaku partikel pada item partikel yang memenuhi hukum-hukum fiika klaik maupun fiika modern. Pada bagian awal dalam kuliah ini menerangkan tentang daar-daar tatitik dan fungi ditribui partikel ebagai pengetahuan daar dalam memahami penerapan tatitik pada item partikel. Sitem yang teruun oleh partikelpartikel tidak identik (terbedakan) dan mematuhi hukum-hukum fiika klaik dapat didekati dengan tatitik klaik Maxwell-Boltzmann. Sedangkan pada item yang teruun oleh partikel-partikel identik (tidak terbedakan), hukumhukum fiika klaik tidak cukup memadai untuk merepreentaikan keadaan item dan hanya dapat diterangkan dengan hukum-hukum fiika kuantum. Sitem emacam ini dapat didekati dengan tatitik modern, yaitu tatitik ermi-dirac dan Boe-Eintein. Statitik ermi-dirac angat tepat untuk menerangkan perilaku partikel-partikel identik yang memenuhi larangan Pauli, edangkan tatitik Boe- Eintein angat tepat untuk menerangkan perilaku partikel-partikel identik yang tidak memenuhi larangan Pauli. iika Statitik ini adalah mata kuliah wajib program tudi pendidikan fiika. Materi yang akan diajikan mengacu pada kurikulum dan pengalaman mengajar fiika tatitik. Topik-topik yang diajikan dalam pembelajaran dieuaikan dengan kemampuan hamaiwa dan kurikulum. Materi fiika yang akan diajikan menekankan pada pemahaman konep daar dan pengembangannya. Diamping itu akan dibaha juga cara menyajikan materi diertai dengan terapannya dalam kehidupan ehari-hari, terutama pada materi-materi yang dianggap ulit untuk diajarkan kepada mahaiwa. Mengingat begitu pentingnya iika Statitik bagi mahaiwa KIP iika, maka mahaiwa diharapkan dapat mengetahui dan memahami materi ajar iika Statitik yang meliputi Pengantar Metode Stattik, Karakteritik Makrokopik dan Keetimbangan, Dekripi Statitik Sitem Partikel, Entropi dan Temperatur, iika Statitik Page 7

STATISTIK ERMI-DIRAC Enambel dan Sitem Interaktif, Statitik Maxwell-Boltzmann, Aplikai Statitik Maxwell-Boltzmann, Statitik Boe-Eintein, Aplikai Statitik Boe-Eintein, Statitik ermi-dirac, erta Aplikai Statitik ermi-dirac. Dalam hal ini akan membaha mengenai Enambel dan Sitem Interaktif yang terdiri dari Enambel Mikrokanonik, Enambel Kanonik, Aplikai pada Sueptibilita Bahan Magnet dan Energi Rata-Rata Ga Ideal. 1. Rumuan Maalah Beberapa rumuan maalah dalam makalah ini diantaranya: 1) Apa definii Statitik ermi-dirac? ) Apa definii tentang energi ermi? 3) Bagaimanakah perumuan temperatur ermi dan ga elektron? 1.3 Tujuan Penulian Adapun tujuan dalam penyuunan makalah diantaranya: 1) Penuli dapat menjelakan tentang tatitik ermi-dirac ) Penuli dapat menjelakan tantang energi ermi 3) Penuli dapat menjelakan perumuan temperatur ermi dan ga elektron 1.4 Manfaat Penulian Adapun manfaat penulian makalah ini adalah ebagai berikut: 1) Manfaat untuk mahaiwa Penuli melakukan penulian makalah ini diharapkan dapat bermanfaat bagi para mahaiwa, diantaranya dapat dijadikan ebagai alah atu olui yang bia menjembatani permaalahan yang dialami mahaiwa mengenai tatitik ditribui ermi - Dirac ehingga nantinya dapat mengurangi kealahpahaman dalam penafiran materi iika Statitik. ) Manfaat untuk penuli Manfaat untuk penuli yaitu memperlua wawaan dan pengetahuan tentang iika Statitik, terutama tatitik ditribui fungi ermi-dirac erta ebagai bahan acuan dalam pembuatan makalah elanjutnya. 3) Manfaat untuk penuli elanjutnya Manfaat penulian makalah ini untuk penuli elanjutnya adalah dapat digunakan ebagai contoh dalam pembuatan makalah yang akan datang. iika Statitik Page 8

STATISTIK ERMI-DIRAC BAB II ISI.1 DISTRIBUSI ERMI DIRAC Ditribui fermi-dirac ini adalah ditribui yang mematuhi aa larangan pauli eperti partikel-partikel berpin pecahan etengah (1/, 3/,...) contohnya elektron atau nukleon, yang diebut dengan fermion, dan fungi ditribui yang berlaku bagi item fermion ini adalah ditribui ermi-dirac : 1 f E (1) D Ae E / kt 1 untuk ditribui ermi-dirac, A angat bergantung pada T, dan ketergantungannya ini biaanya menghampiri bentuk ekponenial ehingga dapat dituli ebagai berikut : A E / kt e () dengan demikian, fungi ditribui ermi-dirac menjadi 1 f E (3) D e ( E E ) / kt 1 E diebut energi ermi. (Walaupun energi ermi endiri bergantung pada uhu, ketergantungannya cukup lemah ehingga E dapat kita perlakukan ebagai ebuah tetapan). Marilah kita lihat ecara kualitatif perbedaan antara f dan f BE D pada uhu rendah. Untuk ditribui Boe-Eintein, pada limit T rendah, dengan menganggap ementara A = 1, faktor ekponenial menjadi bear untuk E yang bear; karena itu, f 0 untuk keadaan dengan energi BE yang bear. Satu-atunya tingkat energi yang memiliki peluang bear untuk ditempati adalah keadaan yang memiliki E 0 ; karena faktor ekponenial menghampiri 1, ehingga penyebut f menjadi angat kecil, dan dengan demikian f BE. Jadi, bila T kecil, emua partikel dalam item berebut menempati keadaan energi yang terendah. Efek ini dikenal iika Statitik Page 9

STATISTIK ERMI-DIRAC ebagai pengembunan (condenation). Kelak akan kita lihat bagaimana efek ini memberikan akibat-akibat tidak terduga yang cukup menarik perhatian. Efek pengembunan ini tidak mungkin terjadi pada item fermion, eperti T = 0 item elektron, karena ebagaimana telah kita ketahui, elektron-elektron dalam ebuah atom, mialnya tidak emuanya menempati keadaan energi terendah, berapapun rendahnya uhu. Marilah kita lihat bagaimana ditribui ermi-dirac mencegah terjadinya hal ini. aktor ekponenial dalam penyebut f adalah D e ( E E ) / kt. Untuk E > E, ceritanya angat berbeda, karena E E negatif, ehingga untuk T yang kecil, faktor e ( E E ) / kt menuju nol, dan f 1. Dengan demikian, probabilita populai hanyalah atu fermion per atu keadaan kuantum, euai dengan yang diyaratkan oleh aa Pauli. Jadi, pada uhu yang rendah ekalipun, item fermion tidak mengembun ke tingkat energi yang terendah. Pada D E E 0 1 f D Gambar... Pengiian berbagai tingkat energi elektron menurut ditribui ermi-dirac pada T = 0 Mialkan uatu aembly tertutup dan mengandung ejumlah N fermion yang tak aling berinteraki, dengan energi total E. Seperti pada pembahaan tatitik ebelumnya, konfigurai aembly dapat dinyatakan dalam bentuk ditribui item pada ejumlah pita energi. Tiap pita iika Statitik Page 10

STATISTIK ERMI-DIRAC mengandung ejumlah g keadaan dengan energi yang berada dalam interval dan d. Konfigurai aembly ditandai oleh nilai n yang menyatakan jumlah item yang dapat ditempatkan pada berbagai nilai. Karena aemblynya tertutup, maka jumlah total item dan energi total harulah memenuhi yarat n N n Seperti halnya dengan boon, pertukaran dua fermion tidak akan menghailkan uunan yang baru karena partikelnya identik (tak dapat dibedakan). Selanjutnya jira terdapat E w cara menyuun n item diantara pita energi yang memiliki g keadaan, maka jumlah total konfigurai adalah W w yang tentu aja W tak lain adalah robot konfigurai. Oleh karena fermion memenuhi larangan Pauli, maka jumlah yang dapat ditempatkan pada uatu keadaan hanya dapat bernilai 0 atau 1. Jika ejumlah g n item telah ditempatkan dalam g keadaan, maka terdapat n dari g keadaan yang maih koong. Maka banyaknya cara mengii adalah w g! n! g n! Untuk menggambarkan proe pengiian ini, gambar berikut memperlihatkan 3 item (digambarkan dengan titik) pada 5 keadaan (digambarkan dengan kotak). Hail menunjukkan bahwa terdapat 10 cara, nilai ini euai jika kita menggunakan rumu 5.3 Bobot konfigurai ecara keeluruhan diperoleh dengan mengalikan maing-maing jumlah uunan yang mungkin, yakni W g! n! g n! iika Statitik Page 11

STATISTIK ERMI-DIRAC Oleh karena Stirling g dan n cukup bear, maka kita dapat menggunakan pendekatan g! log W log n! g n! = g log g n log n g n log g n Mengikuti metode ebelumnya, yarat yang haru dipenuhi adalah log W n dn 0 Nilai yang ada dalam tanda kurung harulah bernilai nol untuk etiap harga manapun log W n 0 Dari peramaan 5.5 log W g n log n n g n n log 0 g n exp 1 Nilai n yang bereuaian dengan konfigurai yang memiliki peluang terbear n g exp 1 Peramaan di ata diebut ditribui ermi-dirac untuk aembly fermion. iika Statitik Page 1

STATISTIK ERMI-DIRAC Bentuk 1 / exp ermi dan umumnya dituli dalam bentuk ecara umum dikenal dengan nama fungi f 1 exp / kt 1 Peramaan di ata diperoleh dengan melakukan ubtituí 1 / kt dan / kt. dalam peramaan di ata diebut energi ermi. Jika rapat keadaan dengan energi berada di antara dan dalam interval energi terebut adalah d n d f g d, maka jumlah item yang berada. KONIGURASI ERMION Salah atu ifat yang dimiliki fermion adalah terpenuhinya prinip eklui Pauli. Tidak boleh lebih dari atu fermion memiliki keadaan kuantum yang ama. Satu keadaan hanya boleh koong atau hanya ditempati oleh atu fermion. Konekueni dari prinip ekklui Pauli adalah jumlah fermion haru lebih edikit atau ama dengan jumlah keadaan. Ini berbeda dengan item klaik atau boon di mana tidak ada pembataan jumlah partikel yang menempati keadaan tertentu. Berapa pun jumlah keadaan yang teredia, maka keadaan terebut dapat menampung partikel klaik maupun boon yang jumlahnya berapa pun. Untuk menurunkan fungi ditribui ermi-dirac kita pun akan memulai dengan membagi keadaan-keadaan ata kelompok-kelopok ebagai berikut : Kelopok-1 mengandung g 1 keadaan dengan energi rata-rata E 1 Kelopok- mengandung g keadaan dengan energi rata-rata E... Kelopok- mengandung g keadaan dengan energi rata-rata E iika Statitik Page 13

STATISTIK ERMI-DIRAC... Kelopok-M mengandung g M keadaan dengan energi rata-rata Mg ME Jumlah item yang menempati maing-maing keadaan mialkan n 1 item menempati keadaan-1 n item menempati keadaan-... n item menempati keadaan-... n M item menempati keadaan-m Karena atu keadaan makimum menampung atu item maka haru terpenuhi n 1 g 1, n g,, n g, n M g M. Selanjutnya kita akan menentukan berapa cara menyuun n 1 item pada g 1 keadaan, n item pada g keadaan,, n M item pada g M keadaan. Tinjau kelompok-1. Di ini ada keadaan dan menampung item. Kembali kita menganalogikan keadaan ebagai kuri dan item ebagai benda yang akan ditempatkan pada kuri-kuri terebut, eperti diilutraikan pada Gbr. 6.1. iika Statitik Page 14

STATISTIK ERMI-DIRAC Gambar : Contoh penyuunan fermion analog dengan penyuunan kuri. Sebagian kuri ditempeli benda (keadaan yang diii fermion) dan ebagian kuri koong (keadaan yang tidak ditempati fermion). Untuk menentukan jumlah cara menempatkan benda pada kuri-kuri terebut, kita tempelkan benda pada kuri-kuri teebut. Pada atu kuri hanya boleh ditempelkan atu benda. Penempelan ini menjamin bahwa tidak boleh lebih dari atu benda berada pada atu luri. Akibatnya kita dapatkan : Ada buah kuri yang ditempeli benda Ada buah kuri yang koong. Kemudian kita melakukan permutai emua kuri yang ada baik yang koong maupun yang ditempeli benda, karena benda udah menempel pada kuri maka permutai tidak memungkinkan munculnya atu kuri yang menampung lebih dari atu benda. Jumlah kuri yang dipermutai adalah kuri ehingga menghailkan jumlah permutai ebanyak cara. tetapi, karena buah kuri koong tidak terbedakan dan buah kuri yang ditempeli benda juga tidak dapat dibedakan maka jumlah permutai buah kuri haru dibagi dengan iika Statitik Page 15

STATISTIK ERMI-DIRAC permutai buah kuri koong, tidak terbedakan dan buah kuri yang ditempeli benda untuk mendapatkan penyuunan yang berbeda. Jadi, jumlah penyuunan yang berbeda hanyalah pada (6.1) Dengan cara yang ama kita dapatkan jumlah cara penyuunan keadaan adalah item (6.) Begitu eterunya. Akhirnya, jumlah total cara penyuunan ecara berama ama item pada keadaan, item pada keadaan,, item pada keadaan adalah x x x Selanjutnya kita perlu menentukan berapa cara membawa item dari luar untuk diditribuikan ke dalam keadaan keadaan di dalam aembli. Seperti yang kit baha pada aembli boon, untuk partikel tak terbedakan jumlah cara terebut adalah. Akhirnya, jumlah cara penyuunan fermion untuk konfigurai di ata adalah atau dalam notai logaritma ( umlah total item dalam aembli dan energi total aembli maing maing adalah iika Statitik Page 16

STATISTIK ERMI-DIRAC dan ntuk item teriolai di mana tidak terjadi pertukaran partikel maupun energi antara aembli dan lingkungan maka jumlah partikel elalu kontan dan energi total juga kontan. Dengan demikian bentuk diferenial dari N dan U adalah ( ( Konfigurai Makimum Konfigurai dengan probabilita makimum diperoleh dengan memakimalkan atau dengan memperhatikan kontrain pada peramaan (6.5) dan (6.6). Sebelum ke arah itu kita coba ederhanakan pada peramaan (6.4) Selanjutnya kita gunakan pendekatan Stirling untuk menyederhanakan faktorial, yaitu Dengan demikian bentuk dapat diaprokimai ebagai berikut. ( Selanjutnya, ambil diferenial ke dua rua peramaan (6.7) iika Statitik Page 17

STATISTIK ERMI-DIRAC ( Mari kita hitung atu per atu uku dalam peramaan (6.8) i. ii. iii. Dari hail di ata maka bentuk ebagai berikut. dapat dituli dalam bentuk lebih ederhana ( Konfigurai dengan probabilita makimum diperoleh dengan mencari olui untuk peramaan, atau ( Agar peramaan (6.10) elalu nol untuk variai terpenuhi yang embarang maka haru iika Statitik Page 18

STATISTIK ERMI-DIRAC yang memberikan ungkapan untuk ebagai ( Berlaku juga pada fungi ditribui fermion bahwa parameter memenuhi. Dengan parameter ini maka kita dapat menuli peramaan (6.11) ecara lebih ekpliit ebagai ( Peramaan (6.1) merupakan bentuk umum fungi ditribui ermi-dirac untuk fermion. Tabel 1 ungi Ditribui Statitik Tipe Ditribui Sifat-ifat ungi contoh Maxwell- Boltzmann Boe-Eintein ermi-dirac Partikel identik yang dibedakan dapat Partikel identik yang tak dapat dibedakan berpin bulat Partikel identik yang tak dapat dibedakan berpin tengahan. MB BE D E kt E A ( E ) e 1 E kt 1 E E kt e 1 1 Semua Ga He cair (pin 0) oton (pin 1) Elektron (pin ½) Proton nertron iika Statitik Page 19

STATISTIK ERMI-DIRAC.3 ENERGI ERMI Energi ermi adalah tingkat energi tertinggi yang ditempati elektron pada uhu T = 0K (pada keadaan daar). Energi ermi merupakan uatu kuantita yang angat penting dalam item fermion (elektron adalah fermion). ermion adalah item partikel dengan fungi gelombang yang aling bertumpangan, yang memiliki pin etengah bilangan bulat-ganjil (...). ermion memenuhi prinip eklui Pauli, dan fungi gelombang item fermion berubah tanda terhadap pertukaran etiap paangan partikel. ungi gelombang emacam ini diebut antiimetrik. Hanya atu fermion yang diperbolehkan terdapat pada keadaan kuantum tertentu dari item terebut. a. Sitem dua partikel yang terbedakan Terdapat dua partikel, partikel 1 dan, yang berada dalam keadaan a dan keadaan b. Jika kedua partikel terebut terbedakan, maka terdapat dua kemungkinan teriinya keadaan yang diperoleh oleh fungi gelombang : Untuk fermion, kemungkinan untuk mendapatkan kedua partikel terebut dalam keadaan yang ama (mial pada keadaan a) adalah: Jadi, dalam item fermion, kehadiran partikel dalam keadaan kuantum tertentu dapat mencegah partikel lain untuk berada dalam keadaan itu ( hal ini terjadi karena untuk fermion berlaku prinip eklui Pauli). b. Sitem dua partikel tak terbedakan Jika terdapat partikel yang tidak dapat dibedakan, maka poii maing- iika Statitik Page 0

STATISTIK ERMI-DIRAC maing partikel tidak dapat ditentukan, dan fungi gelombangnya haru merupakan kombinai dari dan, untuk mencerminkan peluang yang ama. Untuk fermion, fungi gelombang anti imetriknya adalah : aktor diperlukan untuk menormaliai fungi gelombang terebut. Penentuan Bearnya Energi ermi Bayangkan ebuah elektron beba bergerak dalam ebuah umur potenial (daerah yang membatai gerak elektron, dimana daerah terebut memiliki energi potenial tak hingga ), yang lebarnya L dan kedalamannya. Aumikan bahwa pada daerah 0 L energi potenialnya ama dengan 0. Jika partikel tidak memiliki energi potenial, maka peramaan eigen valuenya ( P.S ) adalah: Untuk 1 dimeni Bearnya harga adalah P.S : = dimana pada elektron beba: V(x) = 0 =...(1) Dan oluinya adalah : Ain kx + Bco kx iika Statitik Page 1

STATISTIK ERMI-DIRAC Agar = = 0 maka bearnya x harulah ama dengan 0. Untuk x = 0, maka : = Ain k0 + Bco k0 dan co 0 = 1, agar = 0 maka B = 0...() Jika peramaan () diubtituikan ke dalam peramaan (1), maka didapat: = bila k = bila k =...k(1) Karena = = 0, maka : A in kl in kl kl n k =...k() Bila peramaan k(1) diubtituikan ke dalam peramaan k(), maka: = L a. Untuk harga n terkecil n = 1 L = Panjang gelombang yang diperoleh kecil (minimum) b. Untuk harga n terbear n = 3 L = panjang gelombang yang diperoleh bear (makimum) iika Statitik Page

STATISTIK ERMI-DIRAC Bila pada n = maka jumlah tingkat energi yang terii penuh oleh elektron dimana N adalah jumlah elektron dan angka menunjukan pin elektron (pin up dan pin down), ebear : Energi terebut dinamakan energi ermi, yaitu tingkat energi tertinggi yang ditempati elektron pada uhu T = 0K (pada keadaan daar, yang elektronnya terii penuh). Jika uhu T = 0K, maka: 1. Elektron akan mampu bertranii (loncat) ke tingkat energi yang lebih tinggi.. Sedangkan elektron yang lainnya, pada waktu yang beramaan, tidak dapat bertranii ke tingkat energi yang lebih tinggi, hal ini terjadi dikarenakan berlakunya prinip eklui Pauli. Dari peramaan-peramaan diata, dapat diimpulkan bahwa emakin banyak gelombang yang terbentuk, maka akan emakin tinggi tingkat energinya..4 TEMPERATUR ERMI DAN GAS ERMI-DIRAC Sebelum membaha lebih jauh perilaku ga yang dibentuk oleh fermion, kita akan menéela fungí ermi dengan foku pada energi ermi. ungi ermi pada temperatur mutlak nol ditunjukkan pada gambar berikut. Ketika temperatur mutlak T 0, uku 0 / kt memiliki dua nilai yang mungkin. (i) Untuk 0, 0 / kt (ii) Untuk 0, 0 / kt dan Maka fungi ermi dapat memiliki dua harga yakni untuk 0, 1 f 0 e 1 dan iika Statitik Page 3

STATISTIK ERMI-DIRAC untuk 0, 1 f 1 e 1 Hal ini menunjukkan bahwa pada temperatur mutlak nol, peluang bahwa keadaan dengan energi 0 terii ama dengan atu, dengan kata lain emua keadaan terii. Sebaliknya bahwa emua keadaan dengan energi 0 koong. Bentuk fungi ermi untuk temperatur mutlak nol ditunjukkan pada gambar berikut. f 1 0 0 Sifat fungi f dapat dijelakan ecara ederhana ebagai berikut. Pada temperatur mutlak nol, fermion menduduki keadaan dengan energi yang paling rendah. Oleh karena hanya atu fermion yang dapat menduduki atu keadaan, maka keadaan dengan energi paling rendah emuanya terii ampai emua fermion berada dalam tingkatan energi terebut. Singkatnya dapat dikatakan bahwa tingkatan energi ermi adalah tingkatan energi tertinggi yang diduduki oleh fermion pada temperatur mutlak nol, keadaan dengan tingkatan energi di atanya tidak terii. bahwa Nilai 0 dapat dicari dari peramaan 5.11 dengan menggunakan yarat 0 n n d N iika Statitik Page 4

STATISTIK ERMI-DIRAC Oleh karena bentuk fungi ermi pada T 0 K, n g untuk ( 0 ) ketika n 0 untuk ( 0 ) yarat di ata dapat dituli menjadi E ( 0 ) 0 n d N, Karena fermion merupakan item kuantum maka bentuk fungi rapat keadaan g dapat diambil dari peramaan 4.1 oleh karena momentum udut pin fermion memungkinkan lebih dari atu keadaan untuk etiap tingkatan energi. Dengan penerapan yang lebih lua ini, mialnya dalam kau elektron, kita dapat memandang bahwa bilangan kuantum pin magnetiknya dapat berharga 1 dan 1. Jadi memungkinkan dua keadaan untuk tiap tingkatan energi 3 m g V 4 h dalam ebuah ruang V. Peramaan 5.13b menjadi 1 3 ( 0 ) 0 m 1 V 4 d N h 0 h 3 N m 8 V Secara ederhana kita dapat menghubungkan bearan di ata dengan energi termal kt dengan mendefeniikan temperatur ermi T melalui hubungan kt 0 Dalam tabel berikut diajikan nilai 0 dan T untuk berbagai ga ermi-dirac ; ga fermion yang dibentuk oleh atom iotop Helium 3 H pada tekanan tandar dan juga ga elektron dalam logam alkali lithium dan natrium / 3 iika Statitik Page 5

STATISTIK ERMI-DIRAC Tabel 1. Energi dan temperatur ermi Ga 0 ev T ( K ) Helium 0,94 x 10-3 10 Ga elektron dlm lithium 4,7 54.000 Ga elektron dalam natrium.1 4.000 Untuk ga molekuler yang mengandung fermion, temperatur erminya relatif rendah dibandingkan temperatur kamar normal. GAS ELEKTRON Dari tabel 1 nampak bahwa untuk ga elektron temperatur erminya relatif tinggi, diperkirakan bahwa kenaikan temperatur T dari temperatur mutlak ke nilai di ekitar temperatur kamar hanya akan berpengaruh pada elektron-elektron dengan energi yang dekat dengan energi ermi. Hal ini ditunjukkan pada gambar berikut dengan aumí bahwa harga khuu (yang lebih mudah dihitung). kt dan nilai fungi ermi diberikan untuk berbagai f 1 kt 1 e 1 f 0 1 e 1 0,73 0,5 f kt 1 e 1 0,7 iika Statitik Page 6

STATISTIK ERMI-DIRAC f(ε) ε ε - kt ε ε + kt Ditribui jumlah elektron ke eluruh tingkatan energi merupakan perkalian antara fungi ditribui dengan rapat keadaan Bentuk grafik n n d f g d dapat dilihat pada gambar berikut. n g(ε ~ ε 1/ T = 0 T > 0 Sifat-ifat ga elektron pada temperatur mutlak nol dapat dihitung dari ditribui integral dengan mengambil bata integral dari 0 ampai 0. Contoh energi rata-rata elektron pada T 0 adalah : 0 0 n d n d ehingga f 1 untuk dan f 0 untuk, iika Statitik Page 7

STATISTIK ERMI-DIRAC ( 0 ) nilai g diambil dari peramaan 5.14 0 0 0 0 g d g d Untuk mencari bagaimana perilaku ga elektron apabila temperatur mutlak dinaikkan (di ata nol), maka pertama perlu dicari energi ermi ebagai fungi temperatur. Dengan menggunakan peramaan 5.11 erta yarat kekekalan Maka 0 0 n d N f g d N Oleh karena itu kita hanya perlu mencari nilai energi ermi ebagai bata ata integral. Pendekatan yang dapat diambil adalah dengan 3 5 T T. Tingkatan energi ermi ebagai fungi temperatur dapat dinyatakan T 0 1 1 T Untuk T dengan 8 x 10-5. 30.000 K, nilai T 1 T pada temperatur kamar kira-kira ama Energi rata-rata elektron pada temperatur T diperoleh dengan menghitung nilai integral f g d untuk memperoleh 0 3 T 0 5 T 4 Pana jeni pada volume contan atu mol ga elektron diperoleh dari iika Statitik Page 8

STATISTIK ERMI-DIRAC C v N A RT T T Dengan temperatur ermi Kira-kira 0,05 R. T 30.000 K pada temperatur kamar nilai pana jeni.5 CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANNYA 1. Hitunglah energi ermi E dari logam Natrium Pemecahan : Karena etiap atom natrium menyumbangkan atu elektron valeni, maka jumlah elektron per atuan volume, N/V, ama dengan jumlah atom natrium per volume. Nilai ini dapat ditentukan dari kerapatan atom natrium dan maa atom natrium : N V Jumlah atom per volume N A M 0,971 g / cm 3 6,0 10 3 atom / mol 3,0 g / mol,54 10,54 10 8 cm m 3 3 E h m hc mc 8 V 18,09 10 m 6 0,511 10 ev 3,15 3 ev N 140 ev. nm 3 3,54 10 8 8 m 3 3 9 10 m nm iika Statitik Page 9

STATISTIK ERMI-DIRAC. Suatu metal mempunyai energi ermi E = 4,0 ev dan uhu T = 400 K. Hitung cacah elektron beba peratuan energi n(e) untuk (a) E = E + kt (b) E = E kt Pemecahan : Untuk E E n E E 1 / C n E Dari peramaan n C E de de E E e CE 1 / / kt 1 E 1 / n n n E n E E E e 1 E E / kt a) ehingga untuk E = E + kt n E kt n E 1 E kt / E 1 n E E kt E e / kt 1 dengan T = 400 K E n kt 4, 0 3 19 1,38 10 J / K 400 K 1,6 10 J / ev ev n 4,034 ev E kt / E 1 n E e 1 4,034 ev 0,54 n 4,0 ev b) untuk E = E kt kt 1 ( E kt ) / E n E 1 3,966 ev 3,966 / 4,0 n 4,0 ev 3,966 ev 1,5 n 4,0 ev e 1 1 1 0,034 ev 3. 15 molekul helium maing-maing menpunyai pin total dan berada pada bidang potenial L x L. Tentukan a. energi ermi b. energi total ytem Penyeleaian : iika Statitik Page 30

STATISTIK ERMI-DIRAC a. merupakan contoh fermion karena menmpunyai pin tengahan, atau. Tingkat energi diberikan oleh per.(.14) untuk L z = L y = L Setiap titik (m,n) ditempati dua molekul yaknin dengan pin up dan pindown. 15 berturut menempati dan berenergi ebagai berikut : N 0 m n E/E 0 1 1 1 1 5 3 1 5 4 8 5 1 3 10 6 3 1 10 7 3 13 8 3 13 Dengan demikian energi ermi yakni energi tertinggi adalah 13E 0 Salah atu dari keadaan no.7 dan no.8 ditempati atu molekul lainnya dua. dan b. Energi total ytem 15 E = (+5+5+8+10+10+13+13)E 0 + 3 x 13 E 0 = 119 E 0 4. 4, x 10 1 elektron berada di dalam kotak bervolume 1 cm 3. Hitung : a. Bear vector gelombang ermi b. Energi ermi ytem c. Energi dan vector gelombang ermi jika electron diganti proton. Penyeleaian : a. Dari per.(6.5) diperoleh Maka iika Statitik Page 31

STATISTIK ERMI-DIRAC P = Dan panjang vector gelombang ermi b. Energi ermi c. Bila electron diganti proton maa proton kira-kira 1836 maa electron m p = 1836 m e 5. Sytem ga electron beba di dalam logam pad atemperatur nol mempunyai kerapatan N = 10 elektron/cm 3. Tentukan potenial kimia dari electron konduki di dalam logam terebut. Penyeleain : Dari rapat keadaan Maka 6. Bintang neutron Reaki di dalam bintang neutron adalah p + e +, MeV n Hitung : iika Statitik Page 3

STATISTIK ERMI-DIRAC a. Kerapatan minimum electron beba b. Kerapatan minimum bintang neutron agar reaki di ata dapat berlangung Penyeleaian : a. Menggunakan per.(6.7) Reaki berlangung jika b. Rapat maa minimum bintang neutron iika Statitik Page 33

STATISTIK ERMI-DIRAC BAB III PENUTUP 3.1 Keimpulan Berdaarkan uraian-uraian yang telah dijabarkan oleh penuli di ata dapat diimpulkan bahwa: 1. Elektron atau fermion dalam ebuah atom memiliki tingkatantingkatan energi yang dapat dierap atau dipancarkan. Elektron ini memenuhi prinip ekklui Pauli, yang menyebutkan bahwa tidak ada elektron yang memiliki bilangan kuantum yang ama, kehadiran partikel dalam keadaan kuantum tertentu dapat mencegah partikel lain untuk berada dalam keadaan itu. Peluang elektron untuk menempati tingkat energi tertentu (loncat ke tingkat energi tertentu) dapat dinyatakan melalu ditribui ermi-diract, yang memiliki peramaan :. Temperatur ermi pada T = 0 K adalah : 3. Energi ermi adalah tingkat energi tertinggi yang ditempati elektron pada uhu T = 0K (pada keadaan daar). Energi ermi merupakan uatu kuantita yang angat penting dalam item fermion (elektron adalah fermion). 3. Saran Setelah membaha dan mengkaji tentang tatitik ermi-dirac ini adapun beberapa aran yang ingin diampaikan penuli dari pembahaan materi ini yaitu dengan untuk bia memahami perkembangan tatitik ermi- Dirac maka kita haru menggunakan banyak refereni. Sehingga, emakin banyak refereni yang kita baca, maka pemahaman mengenai materi terebut akan emakin bertambah. iika Statitik Page 34

STATISTIK ERMI-DIRAC DATAR PUSTAKA Abdullah, Mikrajuddin.009.Pengantar iika Statitik. Bandung : Intitut Teknologi Bandung. Purwanto, Agu. 007. iika Statitik. Yogyakarta: Gaya Media. Sudiarta, I Wayan. 01. Diktat Kuliah iika Statitik. Mataram: Univerita Mataram. iika Statitik Page 35