Transformasi Laplace Metode transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan secara mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear. Dengan menggunakan transformasi Laplace, beberapa fungsi umum dapat diubah seperti fungsi sinusoida, fungsi sinusoida teredam, dan fungsi eksponensial menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks s. Bila persamaan aljabar dalam s dipecahkan, maka penyelesaian dari persamaan diferensial (transformasi Laplace balik dan variabel tidak bebas) dapat diperoleh dengan menggunakan tabel transformasi Laplace atau dengan teknik uraian pecahan parsial. Suatu kelebihan metode transformasi Laplace adalah bahwa metode ini memungkinkan penggunaan teknik grafis untuk meramal kinerja sistem tanpa menyelesaikan persamaan diferensial sistem. Kelebihan lain metode transformasi Laplace adalah diperolehnya secara serentak baik komponen transien maupun komponen keadaan tunak jawaban persamaan pada waktu menyelesaikan persamaan diferensial. Peninjauan kembali variabel kompleks dan fungsi kompleks. Sebelum disajikan transformasi Laplace, akan ditinjau kembali teori Euler, yang mengaitkan fungsi sinusoida dengan fungsi eksponensial. Variabel kompleks. Bilangan kompleks mempunyai bagian nyata dan bagian imajiner, keduanya adalah konstan. Jika bagian nyata dan/atau bagian imajiner adalah variabel, bilangan kompleks itu dinamakan variabel kompleks. Pada transformasi Laplace akan digunakan notasi s sebagai variabel kompleks, yaitu: (1) dengan σ adalah bagian nyata dan ω adalah bagian imajiner. Fungsi Kompleks. Fungsi kompleks F(s), fungsi dan s, mempunyai bagian nyata dan bagian imajiner atau (2)
dengan F x dan F y adalah besaran nyata. Besaran dan F(s) adalah F + akar dari 2 2 x F y F x +F y dan sudut θ dan F(s) adalah tan -1 (F y /F x ). Sudut tersebut diukur berlawanan jarum jam dari sumbu nyata positif. Konjugasi kompleks dari F(s) adalah F(s) = F x jf y Fungsi kompleks G(s) dikatakan analitik dalam suatu daerah bila G(s) dan semua turunannya ada pada daerah tersebut. Turunan dari suatu fungsi analitik G(s) diberikan: (3) Karena Δs = Δ σ + jδω, maka Δs dapat mendekati nol sepanjang jumlah tertentu dari lintasan yang berbeda. Titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) analitik disebut titik ordiner (ordinary), sedangkan titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) tidak analitik disebut titik singuler. Titik-titik singuler yang menyebabkan fungsi G(s) atau turunan-turunannya mendekati tak terhingga disebut pole (kutub). Jika G(s) mendekati tak terhingga untuk s mendekati -p dan jika fungsi G(s)(s + p) n (n = 1,2,3) (4) mempunyai nilai terhingga tak nol di s = -p. maka s = -p disebut pole orde n. Jika n = 1, pole tersebut disebut pole sederhana. Jika n = 2, 3,..., pole tersebut disebut pole orde dua, pole orde tiga, dan seterusnya. Titik-titik yang menyebabkan fungsi G(s) sama dengan nol disebut zero. Untuk melukiskannya, tinjau fungsi kompleks G(s) mempunyai nol di s = -2, s = -10, kutub sederhana di s = 0, s = -1, s = - 5, dan kutub ganda (banyak kutub dan orde 2) di s = -15. Perhatikan bahwa G(s) menjadi nol di s =. Karena untuk nilal yang besar dan s G(s) mempunyai tiga nol (banyak nol dan orde 3) di s =. Jika titik-titik di tak terhingga dimasukkan, G(s) mempunyai jumlah yang sama d kutub sebagai nol. Ringkasnya, G(s) mempunyai 5 nol (s = -2, s = -10, s =, s =, s ) dan 5 kutub(s = 0,s =-1,s = -5, s = -15, s = -15).
Definisi transformasi Laplace, pembahasan singkat kondisi keberadaan transformasi Laplace, dan contoh contoh yang melukiskan penurunan transformasi Laplace beberapa fungsi yang biasa dijumpai. Dapat didefinisikan bahwa, f(t) = fungsi waktu t sedemikian rupa sehingga f(t) = 0 untuk t <0 s = variabel kompleks = simbol operasional yang menunjukkan bahwa besaran yang didahuluinya ditransformasi dengan integral Laplace e st dt F(s) = transformasi Laplace dari f(t) Selanjutnya transformasi Laplace dari f(t) didefinisikan oleh st st [ F( t)] = F( s) = e dt[ f ( t)] = f ( t) e dt 0 0 Proses kebalikan dari penemuan fungsi waktu f(t) dan transformasi Laplace F(s) dinamakan transformasi Laplace balik. Notasi untuk transformasi Laplace balik adalah. Jadi [F(s)] = f(t) Transformasi Laplace dapat juga digunakan untuk memecahkan persamaan difrensial linear yang mempunyai parameter konstan, dimana variable merupakan fuksi waktu. Untuk memperoleh transformasi Laplace tanpa menggunakan tabel Laplace, ada beberapa langkah penting yaitu: 1. Pilih fungsi waktu f(t) 2. Kalikan dengan suatu faktor konvergen e -st 3. Integrasikan bentuk-bentuk ini antara limit 0 dan Contoh 1 Tentukan transformasi Laplace dari fungsi e -at Solusi. 0
Penyederhanaan fungsi ini menghasilkan Integrasikan, diperoleh Subsitusi batasan yang ada, diperoleh Oleh karenanya, maka atau Dengan demikian Contoh 2 Tentukan dan dimana A merupakan konstanta dan sebab itu merupakan waktu independen. Solusi Karena Selanjutnya a = 0 dan e -at = 1
Maka Untuk dan maka sebaliknya dan Transformasi Laplace Balik Proses matematik untuk mengubah dari variabel kompleks ke bentuk ungkapan waktu disebut transformasi balik. Notasi transfomasi Laplace balik dinyatakan dengan Contoh 3 Tentukan transformasi Laplace balik dari Ekspansi pecahan parsial dari F(s) adalah a 1 dan a 2 diperoleh dengan
Jadi Fungsi Alih Dalam teori kontrol, fungsi alih digunakan untuk mencirikan hubungan masukan dan keluaran dari komponen atau sistem yang dapat digambarkan dengan persamaan diferensial linear, invarian-waktu. Fungsi alih persamaan diferensial linear, invarian-waktu suatu sistem didefinisikan sebagai perbandingan antara transformasi Laplace keluaran (fungsi tanggapan) terhadap transformasi Laplace masukan (fungsi penentu dengan anggapan bahwa semua syarat awal nol. Perhatikan persamaan diferensial linear, invarian-waktu sistem yang didefinisikan dengan persamaan diferensial berikut: dengan ( n m) dengan y adalah keluaran sistem dan x masukan. Fungsi alih sistem mi diperoleh dengan mengambil transformasi Laplace kedua sisi Persamaan (5) dengan anggapan semua syarat awal nol atau (5) Dengan menggunakan konsep fungsi alih dapat dinyatakan sistem dinamik dengan persamaan aljabar dalam s. Jika pangkat tertinggi dan s dalam penyebut fungsi alih sama dengan n, maka sistem disebut sistem orde ke-n.
Kegunaan konsep fungsi alih terbatas pada sistem linear persamaan diferensial, waktu tidak berubah. Namun pendekatan fungsi alih digunakan secara ekstensif dalam analisis dan desain sistem demikian. Berikut ini kita akan mendaftar komentar penting mengenai fungsi alih. (Perhatikan bahwa dalam daftar tersebut sebuah sistem adalah sistern linear yang dijelaskan oleh persamaan diferensial, waktu tidak berubah). 1. Fungsi alih dari sistem adalah model matematika yang merupakan metode operasional dari pernyataan persamaan diferensial yang menghubungkan variabel keluaran dengan variabel masukan. 2. Fungsi alih adalah sifat dari sistem tersebut sendiri, tidak tergantung dari besaran dan sifat dari masukan atau fungsi penggerak. 3. Fungsi alih termasuk unit yang diperlukan untuk menghubungkan masukan dengan keluaran; namun, ia tidak memberikan informasi apapun mengenai struktur fisik dari sistem tersebut. (Fungsi alih dari banyak sistem yang secara fisik berbeda dapat identik). 4. Jika fungsi alih dari sistem diketahui, keluaran atau tanggapan dapat ditelaah untuk berbagai macam bentuk masukan dengan pandangan terhadap pengertian akan sifat dari sistem tersebut. 5. Jika fungsi alih dari sistem tidak diketahui, ia mungkin dapat diadakan secara percobaan dengan menggunakan masukan yang diketahui dan menelaah keluaran dari sistem tersebut. Sekali diadakan, fungsi alih memberikan penjelasan penuh dan karakteristik dinamika dari sistem, yang berbeda dan penjelasan fisiknya.