PEMANFAATAN APLIKASI GEOGEBRA DALAM GEOMETRI RUANG DI SUSUN OLEH : AULIA DWI UTARI FADILAH NUR NUR HASANAH PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA 4/SEMESTER 5 FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUMATERA UTARA MEDAN 2016
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan rahmat dan karunia-nya,sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini dengan lancar, serta dapat menyelesaikan modul tepat pada waktu yang telah di tentukan. Penyusun menyadari bahwa terlaksananya ini berkat bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, kami ucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Bapak dosen yang telah membantu dan membimbing kami dalam pembuatan modul ini. Penyusun sangat memahami bahwa apa yang telah di dapatkan selama pembuatan modul belumlah seberapa. Penyusun menyadari sepenuhnya bahwa modul ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang bersifat membangun sangat penyusun harapkan demi kesempurnaan modul ini. Penyusun berharap modul ini dapat bermanfaat bagi penyusun sendiri khususnya, dan bagi para pembaca. 31 oktober 2016 Sebelum di jelaskan cara menggambarkan dan menghitung pada geometri ruang dengan aplikasi geogebra versi 5.0 maka disini penulis akan menulisakan terlebih dahulu pengerjaan secara manual dalam menggambar kubus dan balok serta untuk menghitung pada geometri ruang salah satunya yaitu kubus.
Cara Menggambar Kubus dan Balok Untuk mempermudah dalam menggambar sebuah kubus dan balok, sebaiknya menggunakan kertas berpetak. Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam menggambar kubus dan balok seperti gambar di bawah ini, yaitu: Gambar: Kubus (a) dan Balok (b) 1. Untuk menggambar kubus dan balok, bidang depan dan bidang belakang harus digambar kongruen (bentuk dan ukurannya sama). 2. Bidang depan dan belakang pada kubus berbentuk persegi, sedangkan pada balok berbentuk persegi panjang. 3. Garis yang tidak terlihat oleh pandangan, digambar dengan garis putus-putus. Langkah-langkah Menggambar Kubus dan Balok Sebagai contoh, kita akan menggambar balok PQRS.TUVW seperti pada gambar (b). Berdasarkan ketiga hal di atas, maka untuk menggambar balok tersebut, ikutilah langkahlangkah berikut: Gambar: Langkah-langkah Menggambar Kubus dan Balok
1. Gambarlah bidang depan terlebih dahulu, yaitu bidang PQUT yang berbentuk persegi panjang (lihat gambar(a)). 2. Kemudian gambarlah bidang belakang, yaitu bidang SRVW yang kongruen dengan bidang depan (lihat gambar(b)), dengan garis SR dan SW digambar putus-putus (garis yang tidak terlihat oleh pandangan). 3. Gambarlah garis yang menghubungkan titik-titik sudut antara bidang depan PQUT dengan bidang belakang SRVW. Garis SP digambar putus-putus (lihat gambar(c)). JARAK TITIK KE TITIK YANG LAIN Coba kalian amati gambar berikut ini: Pada gambar tersebut terdapat dua buah titik, yaitu titik A dan titik B. Jarak dari kedua titik tersebut dapat kita tentukan dengan cara menghubungkan titik A dan titik B dengan sebuah garis. Panjang garis itulah yang menentukan jarak kedua titik tersebut. Sehingga, jarak dari titik A dengan titik B merupakan panjang ruas garis yang menghubungkan keduanya. Contoh Soal 1: Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini: Apabila panjang rusuk pada kubus diatas adalah 5 cm dan titik X adalah pertengahan antara rusuk AB. Maka hitunglah Jarak:
a. titik H ke titik A b. titik H ke titik X c. titik H ke titik B d. Titik E ke titik X Penyelesaiannya: a) titik H ke titik A adalah poanjang garis AH. Garis AH adalah panjang diagonal sisi pada kubus tersebut maka kita dapat menggunakan teorema phytagoras berikut ini: AH = (EH2 + AE 2 ) AH = (5 2 + 5 2 ) AH = (25 + 25) AH = 50 AH =5 2 b) jarak titik H ke titik X adalah panjang garis HX. Panjang AX sama dengan setengah dari panjang rusuk AB, maka: AX = 1/2 AB = 1/2 x 5 cm = 2,5 cm dengan menggunakan teorema phytagoras: HX = (AH 2 + AX 2 ) HX = ((5 2) 2 + 2,5 2 ) HX = (50 + 6,25) HX = 56,25 HX =7,5 cm c) jarak titik H ke titik B adalah panjang garis BH. Garis BH adalah panjang diagonal ruang pada kubus tersebut, oleh karenanya kita bisa menggunakan teorema phytagoras: BH = (AH 2 + AB 2 ) BH = ((5 2) 2 + 5 2 ) BH = (50 + 25) BH = 75 BH =5 3 cm d) Jarak titik E ke titik X aalah panjang garis EAX. panjang AX sama dengan setengah dari panjang rusuk AB, maka:
AX = 1/2 AB = 1/2 x 5 cm = 2,5 cm Dengan menggunakan teorema phytagoras: EX = (AE 2 + AX 2 ) EX = (5 2 + 2,5 2 ) EX = (25 + 6,25) EX = 31,25 EX =5,59 cm JARAK TITIK KE GARIS Amati gambar berikut ini: Pada gambar tersebut ada titik A dan garis g. Jarak antara titik A dengan garis g diperoleh dengan menarik haris dari titik A ke garis g, garis tersebut berhenti di titik P sehingga terciptalah garis AP yang tegak lurus terhadap garis g. jarak dari titik A ke garis g merupakan panjang dari garis AP. Sehingga, jarak antara titik dengan garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut secara tegak lurus terhadap garis tersebut. Perhatikan contoh soal berikut ini: Contoh Soal 2: Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini:
Apabila panjang rusuk pada kubus di atas adalah 6 cm dan titik X merupakan pertengahan diantara rusuk AB, maka hitunglah: a. jarak titik X ke garis DE b. jarak titik X ke garis CE Penyelesaiannya: Karena soal ini sama persis dengan contoh soal 1, maka akan digunakan hasil perhitungan dari contoh soal 1. Kita buat dahulu gambar seperti ini: a. Jarak titik X ke garis DE adalah panjang garis dari titik X ke titik M yang posisinya tegak lurus terhadap garis DE, seperti gambar di bawah ini: DE = AH dan ME = ½ DE = ½ AH = ½ 6 2 = 3 2 Dengan menggunakan teorema phytagoras: MX = ( EX 2 ME 2 ) MX = ((3 5)2 (3 2) 2 ) MX = (45 18) MX = 27 MX =3 3 cm b. Jarak titik X ke garis CE adalah panjang garis dari titik X ke titik N yang posisinya tegak lurus terhadap garis CE, seperti gambar di bawah ini:
CE = BH dan NE = ½ CE = ½ BH = ½ 6 3 = 3 3 Dengan menggunakan teorema phytagoras: NX = (EX 2 NE 2 ) NX = ((3 5) 2 (3 3) 2 ) NX = (45 27) NX = 18 NX =3 2 cm JARAK TITIK KE BIDANG Perhatikan gambar berikut ini: Di dalam gambar tersebut terdapat sebuah tiktik A dan bidang α. Jarak dari titik A ke bidang α dapat diketahui dengan cara menghubungkan titik A secara tegak lurus dengan bidang α. Sehingga, jarak dari suatu titik ke suatu bidang merupakan jarak dari titik tersebut ke proyeksinya pada bidang itu. Perhatikan contoh soal berikut ini: Contoh Soal 3: Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini:
Apabila panjang rusuk kubus di atas adalah 6 cm dan titik X adalah pertengahan antara rusuk AB. Maka hitunglah jarak dari titik X ke bidang CDEF! Penyelesaiannya: Buatlah gambar seperti berikut ini: Jarak titik X ke bidang CDEF adalah panjang garis dari titik X ke titik Z yang tegak lurus terhadap bidang CDEF. XZ = ½ AH = ½ 6 2 = 3 2 cm Demikianlah kiranya penjelasan yang cukup panjang tentang Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang. PEMANFAATAN GEOGEBRA DALAM GEOMETRI RUANG
Geometri adalah ilmu yang membahas tentang hubungan antara titik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang.mempelajari geometri penting karena geometri telah menjadi alat utama untuk mengajar seni berpikir. Dengan berjalannya waktu, geometri telah berkembang menjadi pengetahuan yang disusun secara menarik dan logis. Dalam hal ini pembuatan geometri ruang dibutuhkan suatu alat untuk mempermudah yaitu aplkasi Geogebra, dibawah ini akan dijelaskan dalam pembuatan bangun ruang seperti balok,kubus, pembuatan garis,pembuatan bidang dan penunjukkan sudut pada bangunbagunu tersebut. Membuat Kubus a. Buka aplikasi geogebra, untuk membuat kubus menggunakan tampilan grafik 3D. Yaitu dengan mengklik Tampilan pada tool bar lalu pilih Tampilan Grafik 3D Gambar 1
b. Apabila hanya menggunakan tampilan grafik 3D saja maka klik tanda (X) yang sudah dilingkari Gambar 2 c. Selanjutnya Klik kanan pada sembarang maka,pilih plane. Maka akan menunjukkan pada gambar 4 Gambar 3
Gambar 4 d. Kemudian klik tampilan grafik (pada gambar3) maka akan tampil seperti gambar 5 lalu hilangkan centang pada lingkaran merah. Gambar 5 Gambar 6
e. Selanjutnya, untuk memulai membuat kubus klik gambar piramida lalu pilih cube Gambar 7 f. Kemudian buat 2 buah titik sembarang pada grafik, maka otomatis akan terbentuk kubus Gambar 8
g. Jika ingin mengubah warna kubus klik kanan di kiri atas dibawah tulisan cube lalu klik properti. maka akan tampil jendela seperti pada gambar 10 Pilih warna yang diinginkan. Gambar 9 gambar 10 h. Otomatis warna kubus akan berubah Gambar 11
Membuat balok a. Buka aplikasi geogebra versi 5.0. ubah tampilan menjadi grafik 3D selanjutnya untuk memunculkan grid klik kanan pilih kisikisi Gambar 1 b. Kita misalkan membuat balok dengan ukuran panjang 3 lebar 4 dan tinggi 5. Selanjutnya untuk membuat alas, kita klik plygon lalu buat titik titik pada grafik Gambar 2
c. Selanjutnya, untuk menjadikannya balok kita klik pyramid pilih Extrude to Prism (paksa ke prisma atau selinder) kemudian klik pada titik A untuk memasukkan nilai tinggi yaitu 5 pada jendela yang muncul lalu klik ok Gambar 3 d. Maka dapat diperoleh sebuah balok Gambar 4
Jarak titik Ke Garis Menghitung jarak titik ke garis kita misalkan pada kubus ABCDEFGH dengan rusuk 5, maka akan kita cari jarak titik C terhadap HB. a. Pertama buatlah kubus ABCDEFGH pada Geogebra Gambar 1 b. Langkah selanjutnya membuat garis HB dengan pilih segment (ruas garis diantara dua titik). kemudian klik titik H dan titik B (lihat pada gambar 3) Gambar 2 Gambar 3
c. Klik Perpendicular Line kemudian klik garis HB lalu klik titik C,untuk membuat garis C tegak lurus terhadap garis HB. Maka akan terlihat seperti gambar 5 garis saling berpotongan. Gambar 4 Gambar 5 d. Pada perpotongan garis tersebut tandai dengan pilih intersect (perpotongan dua objek), kemudian klik perpotongan garis tersebut. Perpotongan garis dimisalkan dengan I. Maka akan tampil seperti gambar 7 (lingkaran putih) Gambar 6 Gambar 7
e. Selanjutnya untuk menghitung jarak C I, pilih Distance or Length (jarak atau panjang) lalu klik titik c dan titik I. Gambar 8 Gambar 9
Jarak Titik Ke Bidang Contoh, misalkan Pada kubus ABCDEFGH dengan rusuk 5. Maka akan dicari jarak titik H terhadap bidang A C F a. Buatlah kubus dengan geogebra b. Selanjutnya Buat lah bidang ACF pada kubus dengan cara pilih polygon kemudian klik pada titik A C F lalu ke Titik A lagi. Gambar 1 c. Membuat garis H dan tegak lurus terhadap bidang ACF caranya yaitu dengan Klik perpendicular line, lalu klik poly dan klik juga H. (lihat gambar 2 menghasilkan perpotongan) Gambar 2
d. Untuk menandai perpotongan pilih intersect (perpotongan dua objek) lalu Garis b kemudian klik poly maka akan diperoleh titik I (lihat gambar 4) Gambar 3 Gambar 4
e. Untuk menghitung jarak I dan H, langsung saja klik Distance or lenght (jarak atau panjang), kemudian klik lagi H dan klik I. Maka akan diperoleh jarak H I (lihat gambar 6) Gambar 5 Gambar 6
Sudut Antara Dua Garis Dibawah ini akan diberikan contoh untuk menghitung sudut antara dua garis, Misalkan kubus ABCDEFGH dengan rusuk 5, maka akan dicara sudut antara BI dan ABCD dengan I titik tengah GH. Langkah-langkah : a. Buatlah kubus ABCDEFGH di aplikasi geogebra b. Kemudian,buatlah garis CF dengan klik segment (ruas garis diantara dua titik), lalu klik titik C dan F, maka akan terbentuk garis CF. Gambar 1 c. Agar dapat menentukan sudut,maka kita klik paralel line (garis sejajar), lalu klik garis CF dan klik titik D. Maka akan tampil pada gambar 3.
Gambar 2 Gambar 3 d. Agar dapat menentukan sudutnya maka kita klik Angle (sudut), lalu klik Line(garis) c dan klik pinggiran AD. gambar 4 gambar 5
Sudut Antara Garis Dan Bidang Dibawah ini akan diberikan contoh untuk menghitung sudut antara garis dan bidang, Misalkan kubus ABCDEFGH dengan rusuk 5, maka akan dicara sudut CF dan AD Langkah-langkah: a. Buatlah kubus ABCDEFGH di geogebra b. Kemudian, buat titik I dengan klik Midpoint (titik tengah atau pusat),selanjutnya klik titik G dan H,maka akan memperoleh titik I (Lihat gambar 2). Gambar 1 Gambar 2
c. Langakah selanjutnya, buatlah garis BI dengan cara klik ruas garis diantara dua titik dan klik titik B dan I. (lihat gambar3) Kemudian buatlah garis melalui titik I dan tegak lurus ABCD dengan cara klik Perpendicular Line lalu klik bidang ABCD, dan Klik I. (Lihat gambar 4) Maka setelah kita dapat garisnya, carilah titik potong garis tersebut dengan menggunakan intersect. (lihat gambar 5) Gambar 3 Gambar 4
Gambar 5 d. Selanjutnya,kita buat garis BJ yang merupakan proyeksi garis BI. Kemudian pilih angle (sudut), lalu klik titik I B J. gambar 6
DAFTAR PUSTAKA Zaelani, Ahmad. 1700 Soal Bimbingan Pemantapan MATEMATIKA SMA/MA. 2000. Jakarta: YBAMA WIDYA. http://www.berpendidikan.com/2016/08/langkah-langkah-cara-membuat-menggambarkubusdan-balok.html. http://www.rumusmatematikadasar.com/2016/06/cara-menghitung-jarak-titik-ke-titik-garisdan-bidang.html.