Prosdg Sear Nasoal Volue 03, Noor ISSN 443-09 MODEL REGRESI NONPARAMETRIK DENGAN PENDEKATAN SPLINE TRUNCATED Rahat Hdaat, Yula, Marwa Sa 3 Isttut Tekolog Sepuluh Nopeber, Uverstas Cokroaoto Palopo,3 daatath@gal.co Aalss regres erupaka salah satu aalss d dala statstka ag dguaka utuk egestas pola hubuga atara varabel predktor x dega varabel respo. Dberka data berpasaga x, dega hubuga atara x dega dasuska egkut odel regres oparaetrk f x,,,...,. Kurva regres dhapr dega fugs sple g dega r buah ttk kot K. Estas utuk kurva regres sple dberka f ˆ x A K. Estator sple sagat bergatug pada ttk kot da sfat estator oleh sple adalah ler. Kata kuc: oparaetrk, sple. Pedahulua Aalss regres dpaka berkeaa dega stud pola hubuga atar satu atau lebh varabel predktor dega aksud eaksr atau epredks varabel respo. Sela utuk egetahu pola hubuga, aalss regres uga bsa dpaka utuk epredks. Aalss regres dala egestas kurva regres terdapat tga pedekata, atu pedekata regres paraetrk, regres oparaetrk da regres separaetrk. Dala pedekata regres paraetrk terdapat asus ag sagat kuat da kaku atu betuk kurva regres dketahu sala ler, kuadratk, kubk, poloal deraat p, ekspoe da la-la. Dsapg tu, dperluka pegetahua asa lalu tetag karakterstk data agar eperoleh peodela ag bak. Tuua utaa dala aalss regres adalah ecar betuk estas kurva regres. Dala odel regres paraetrk estas kurva regres ekuvale dega estas terhadap paraeter-paraeter dala odel []. Pedekata odel regres paraetrk elk sfat ag sagat bak dar padaga Statstka Iferesa sepert sederhaa, udah terpretasa, parso, tak bas, estator ler, efse, kosste, da Best Ler Ubased Estator (BLUE). Walaupu sagat hadal dar ss feresa, aka tetap pedekata sagat ebutuhka terpeuh asusasus ag dsaratka. Tdak seua perasalaha pola hubuga dapat ddekat dega regres paraetrk karea tdak seua perasalaha epua foras betuk hubuga atau kurva regres atar varabel respo dega varabel predktor. Jka dpaksaka dega pedekata regres Halaa 03 dar 35
Rahat Hdaat, Yula, Marwa Sa paraetrk aka aka eberka kespula ag eesatka. Oleh karea tu, ada plha dega eggguaka pedekata oparaetrk ag tdak eerluka foras pola hubuga atar varabel. Dala odel regres oparaetrk betuk kurva regres dasuska tdak dketahu. Kurva regres haa dasuska halus (sooth) dala art teruat d dala suatu ruag fugs tertetu (ruag Hlbert, ruag Sobolev, ruag HlbertSobolev, ruag Baach, ruag fugs kotu, ruag Etrop, da la-la) []. Perbedaa atara paraetrk dega oparaetrk adalah dala pedekata paraetrk data cederug dpaksa utuk egkut pola tertetu, sedagka pedekata oparaetrk data dber keleluasaa utuk ecar pola kurva regresa sedr sehgga sagat fleksbel da obektf. Beberapa odel regres oparaetrk ag baak dguaka atara la Hstogra, Kerel, Sple, Poloal Lokal, Deret Ortogoal, Deret Fourer, knn, Neural Network (NN), Wavelets, MARS, da ag la. Seua odel elk kelebha da kekuraga serta otvas sedr dala eodelka pola []. Dar beberapa odel regres oparaetrk tersebut ag palg popular adalah Sple. Peelta secara teorts uga baak berkebag atara la dlakuka []; [3]; [4]. Sple erupaka potoga-potoga poloal ag elk sfat tersege da kotu (trucated). Regres sple poloal trucated dguaka karea epua kelebha atu odel cederug ecar sedr estas data keaapu pola data tersebut bergerak. Kelebha terad karea dala sple terdapat ttk-ttk kot, atu ttk perpadua bersaa ag euukka terada perubaha pola perlaku data [5]. Dega ttk kot, sple dapat eberka fleksbltas ag lebh bak dar pada poloal, sehgga eugkka utuk eesuaka dr secara efektf terhadap karakterstk lokal. Alasa la elh regres sple poloal trucated karea obektf da optasa egguaka etode least square sehgga secara ateatk udah, sederhaa, da bak dala ebatu feres statstk. [6] dala artkela earaka egguaka regres sple poloal ka plot data tdak elas, stadar devas besar, da utuk lebh udah. [7] eperlhatka dala regres oparaetrk sple data cross secto da satu respo, bahwa ka la paraeter peghalus sagat kecl aka aka eberka estator kurva regres ag sagat kasar. Sebalka, ka la paraeter peghalus sagat besar aka aka dhaslka estator kurva regres Halaa 04 dar 35
Model Regres Noparaetrk Dega Pedekata Sple Trucated oparaetrk ag sagat ulus. Akbata dala estator sple utuk data cross secto perlu dplh paraeter peghalus ag optal agar dperoleh estator ag palg sesua utuk data. Dala peelta, aka dlakuka estas kurva regres oparaetrk egguaka pedekata sple trucated serta bagaaa sfat-sfat dar estator ag dperoleh. Aalss Regres Aalss regres erupaka suatu aalss statstka ag dguaka utuk egetahu persaaa pola hubuga atara varabel predktor da varabel respo. Terdapat dua pedekata estas odel dala aalss regres, atu regres paraetrk da regres oparaetrk. Pedekata regres paraetrk dguaka ka betuk kurva regres dketahu. Jka pola hubuga data ebetuk pola lear aka dguaka pedekata regres paraetrk lear. Jka pola hubuga data ebetuk pola kuadrat aka dguaka pedekata regres kuadratk, da la-la [8]. Betuk pola hubuga dapat ddetfkas berdasarka pada foras asa lalu atau scatter plot data [9]. Aalss Regres Ler Regres ler erupaka etode statstka ag dguaka utuk eodelka hubuga atara varabel respo dega satu atau lebh varabel predktor. Apabla baaka varabel predktor haa ada satu, dsebut sebaga regres ler sederhaa, sedagka apabla terdapat lebh dar satu varabel predktor, dsebut sebaga regres ler bergada. Aalss regres apu edeskrpska feoea data elalu terbetuka suatu odel hubuga ag bersfata uerk. Jka x adalah varabel predktor da adalah varabel respo, aka terdapat hubuga fugsoal atara x da. Jka dbuat secara ateats hubuga tu dapat dabarka sebaga berkut. f x (0.) daa adalah adalah varabel respo ag erupaka suatu fugs dar varabel predktor x, serta adalah error acak ag dasuska egkut dstrbus oral [0]. Sple dala Regres Noparaetrk Sple dala regres oparaetrk epua sfat fleksbltas ag tgg da epua keapua egestas perlaku data ag cederug berbeda pada terval ag berlaa ([8];[]). Keapua egestas perlaku data dtuukka oleh fugs trucated (potoga-potoga) ag elekat pada estator Halaa 05 dar 35
Rahat Hdaat, Yula, Marwa Sa da potoga-potoga tersebut ag dsebut ttk kot. Ttk kot erupaka ttk perpadua bersaa ag euukka perubaha pola perlaku fugs pada selag ag berbeda. Sple erupaka salah satu es pecewse poloal, atu poloal ag elk sfat tersege. Sfat tersege eberka fleksbltas lebh dar poloal basa, sehgga eugkka utuk eesuaka dr secara lebh efektf terhadap karakterstk lokal suatu fugs atau data. Dala fugs sple terdapat ttk kot ag erupaka ttk perpadua ag euukka perubaha perlaku kurva pada selag ag berbeda [9]. Fugs sple berderaat adalah sebarag fugs ag secara uu dapat dsaka dala betuk sebaga berkut: dega adalah kostata rl, da x k x ; k ; 0 x k x k J (0.) f x x x k 0 Jka =,, da 3 dperoleh berturut-turut sple lear, sple kuadratk da sple kubk serta k adalah ttk kot. Apabla dasuska error berdstrbus oral depede dega ratarata ol da varas, aka rata-rata f x da varas pada odel regres uga berdstrbus oral dega. Akbata dperoleh estas utuk paraeter dega egguaka etode least square, atu dega euka ulah kuadrat error-a adalah sebaga berkut, f x = x x k J 0 Dega peaa atrks, dperoleh: X X X X X Halaa 06 dar 35
Model Regres Noparaetrk Dega Pedekata Sple Trucated Bla persaaa d ats dturuka terhadap vektor da hasla dsaaka dega ol aka ddapat: dega: X ˆ X X X (0.3) x x x k x k x x x k x k x x x k x k Estator Sple dala Regres Noparaetrk Fugs sple erupaka ulaha dar fugs poloal dega suatu fugs trucated. Dala baga dbahas tetag odel regres oparaetrk, daa estas kurva f dlakuka dega egguaka sple. Dberka data berpasaga x, da hubuga atara x dega odel regres oparaetrk:,,,..., f x dasuska egkut D dala peelta, dlakuka suatu kaa dega kurva regres f dhapr dega fugs sple f dega kot K. Dala betuk atrk dsaka sebaga berkut: f x f x f x Apabla odel regres sple dsaka dala betuk atrks, dperoleh: 0 x x x x K x K r x x x x K x Kr x x x x K x K r r Halaa 07 dar 35
Rahat Hdaat, Yula, Marwa Sa atau dapat dtuls dega X K, K,..., Kr Selauta, estas paraeter 0 dperoleh dega etode least square, dega eelesaka optas: M M r r R R X K, K,..., Kr X K, K,..., Kr M r R Julah kuadrat error dega peabara atrksa dberka sebaga berkut: X K, K,..., Kr X K, K,..., Kr X K X K X K X K X K Bla persaaa d atas dturuka terhadap vektor da hasla dsaaka dega ol, dperoleh: X K X K X K 0 dega, ˆ X K X K X K X K X K, K,..., Kr r x x x x K x K x x x x K x K r x x x x K x K Akbata, estas utuk kurva regres sple dega kot K dberka oleh : r r Halaa 08 dar 35
Model Regres Noparaetrk Dega Pedekata Sple Trucated fˆ x X K ˆ X K X K X K X K Sehgga dperoleh: fˆ x A K dega AK X KX K X K X K erupaka fugs dar ttk kot da K K, K,..., Kr erupaka ttk-ttk kot. Sfat Kelera Estator Model regres oparaetrk sple dapat dtuls dala betuk atrks berkut. X K dega,,...,. Jka dtulska f X K, dega K K K K r atrks fugs dar K, aka dperoleh: f X K erupaka da fˆ X K ˆ X K X K X K X K A K Berdasarka persaaa d atas, terlhat bahwa estator sple ˆf erupaka estator ag ler. Kelera dapat eberka keudaha bag peelt dala ebetuk statstk feres utuk pedekata sple. Kespula. Jka dketahu odel regres oparaetrk:,,,..., f x Kurva regres f dhapr dega fugs sple dega r buah ttk kot K, dperoleh ˆ,,..., r f A K K K A K Halaa 09 dar 35
Rahat Hdaat, Yula, Marwa Sa dega AK X KX K X K X K erupaka fugs dar ttk-ttk kot K K, K,..., K.. Sfat estator ag dperoleh adalah ler. r Daftar Pustaka [] Budatara, I.N., Lestar, B., Islaat, A., Pelha Kot Optal dala Estator Sple Terbobot pada Regres Noparaetrk Heteroskedastk Data Logtudal, Sear Nasoal Stattska IX, Isttut Tekolog Sepuluh Nopeber, Surabaa. 009. [] Doksu,K., da Koo,Y.J., O Sple Estators ad Predcto Itervals Noparaetrc Regresso, Coputatoal Statstcs ad Data Aalss, 000, vol. 35, 67 8, 000. [3] Wad, M.P., A Coparso of Regresso Sple Soothg Procedures, Departets of Bostatstcs, School of Publc Health, Harvard, 005. [4] Huag, Z.J., Local Asptotc for Poloal Sple Regresso, The Aual Statstcs, vol. 3, o. 5, 600 635, 003. [5] Eubak, R.L., Sple Soothg ad Noparaetrc Regresso d Edto, Marcel Dekker, New York, 999. [6] Hurle, D., Husse,J., McKeow,R., da Add,C., A Evaluato of Sples Ler Regresso, South Carola Cetral Cacer Regstr, Coluba, 005. [7] Wahba, G., Sple Models for Observatoal Data, SIAM, CBMS-NSF Regoal Coferece Seres ad Appled Matheatcs, Phladelpha. 990. [8] Eubak, R.L., Sple Soothg ad Noparaetrc Regresso, Mercel Dekker, New York, 988. [9] Hardle, W., Appled Noparaetrc Regresso, Cabrdge Uverst Press, New York, 990. [0] Draper, N.R da Sth. H., Appled Regresso Aalss (thrd edto), Caada: Joh ad Wles & Sos,c, 998. [] Budatara, I.N., Model Sple dega Kots Optal, Jural Ilu Dasar, FMIPA Uverstas Jeber, 7, 77-85, 006. Halaa 0 dar 35