Aplikasi Model Regresi Logit dan Probit pada Data Kategorik

Transkripsi

1 Vol. 6, No.2, 07-4, Jauar 200 Aplkas Model Regres Logt da Probt pada Data Kategork Georga M. Tugk Abstrak Pembahasa dua model alteratf utuk data ber atu model Regress Logt da Probt. Regress Logt dguaka utuk meggambarka hubuga varabel depede varabel respo dega varabel depede varabel predktor ag bersfat kategor, kotu atau kombas keduaa. Sedagka regres Probt adalah suatu aalss regres ag dguaka utuk meggambarka hubuga atara varabel depede da varabel depede. Varabel depede varabel respo basa dsmbolka Y dega skala pegukura dkotomus ber, da varabel depede varable predktor basa dsmbolka X ag skala pegukura bersfat dkotomus, polkotomus atau kotu. Utuk pedugaa parameter pada model regres da regres Logt dguaka Metode Maksmum Lkelhood. Metode Maksmum lkelhood MLE dguaka utuk megestmas parameter ag belum dketahu dega meetapka asums dstrbus Beroull da obek pegamata salg bebas, E, = 0,. Prsp dar MLE utuk medapatka la taksra ag memaksmumka fugs lkelhood. Aplkas dstrbus toleras utuk log doss adalah pedekata ormal dega da stadar devas. Jka G adalah cdf dar dstrbus ormal, maka, - dmaa adalah stadar ormal cdf. Kosep dar toleras dstrbus mead dasar kebeara utuk model. Sehgga, korespode ag cocok utuk toleras dstrbus ormal pada aplkas tokolog memlk mea,77 da stadar devas /9,74 = 0,05. Kata Kuc: Regress Logt, regress Probt, data kategork, metode maksmum Lkelhood, toleras dstrbus.. Pedahulua Lagkah pertama ag dlakuka utuk memlh varabel ag laak adalah memerksa korelas atara varabel predktor. Tuuaa adalah utuk medapatka varabel predktor ag depede. Jka ddapatka varabel predktor ag salg berkorelas, maka haa varabel predktor ag mempua korelas terbesar dega varabel respo ag aka dkutka dalam pembetuka model, karea varabel predktor ag la korelasa dega varabel respo kecl sudah terwakl oleh varabel tersebut. Selauta membuat model uvarat, atu dega meregreska masg-masg varabel predktor terhadap varabel respo, utuk megetahu apakah hubuga atara varabel respo dega predktor sgfka atau tdak. Varabel predktor ag tdak mempua hubuga ag sgfka dega varabel respo aka dkeluarka dar pembetuka model. Kemuda memodelka secara seretak multvarate varabel respo da semua varabel predktor ag sgfka pada pemodela uvarate. Jurusa matematka, Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam, Uverstas Hasaudd, emal: a_matematka@ahoo.co.d

2 Georga M. Tugk Model Regres Logt Regres logstk serg dguaka dalam meelesaka masalah klasfkas pada metode parametrk. Metode dguaka utuk meggambarka hubuga varabel depede varabel respo dega varabel depede varabel predktor ag bersfat kategor, kotu atau kombas keduaa. Utuk meggambar kodsoal mea dar Y respo terhadap X predktor dguaka htuga E Y. Betuk dar model logstk adalah sebaga berkut ep 0 ', ep ' 0 dega =, 2,, p da X =, 2,, p, p = umlah parameter. Dega megguaka trasformas logt dar, maka model logstk dapat dsebut Model Logt ag dtuukka oleh: p g l p p Pada regres ler bergada dasumska bahwa Y = + dmaa adalah galat error da meuukka selsh obek pegamata terhadap la harapaa. Galat dasumska berdstrbus ormal dega rataa ol varas tetap terhadap varabel pegamataa. Sehgga dega respo ag ber dataka, ka 2 Y = 0, maka = - dega probabltas -, Y =, maka = - dega probabltas. Da dapat dataka bahwa memlk E = 0 da var =. [ - ] ag megkut dstrbus bomal Hosmer,989. Metode pedugaa ag dguaka utuk megestmas parameter ag belum dketahu adalah pedugaa maksmum lkelhood Mamum Lkelhood Estmato atau MLE dega meetapka asums dstrbus Beroull da obek pegamata salg bebas, E, = 0,. Pada pasaga pegamata,, fugs lkelhood ag dmaksmumka adalah. 3 Karea pegamata dasumska bersfat depede, maka lkelhood pegamata mrupaka perkala dar fugs lkelhood masg-masg, msal dataka dega I I I 4 dmaa adalah varabel radom bomal ag salg bebas, =, 2,, I dega E =. da = N.

3 09 Georga M. Tugk Karea z = ep l z, maka utuk z persamaa 4 dapat dtuls mead l ep I 5 kemuda dlakuka trasformas logt terhadap model regres logstk pada persamaa 5. sehgga ddapatka model : I ep ep 6 Prsp dar MLE utuk medapatka la taksra adalah dega memaksmumka fugs lkelhood. Nla maksmum dar fugs persamaa 6 dapat dperoleh melalu trasformas log. Karea fugs logartmaa mooto ak, maka L = l I ep l 7 Nla dperoleh melalu turua parsal pertama L terhadap ag dsamaka dega ol, sehgga persamaa 7 aka mead : a a a L L 0 8 dmaa a = 0,, 2,., p dega ep ep meataka taksra lkelhood maksmum dar. Sedag terhadap varas dperoleh dar turua parsal kedua dar persamaa 8 ag hasla meurut Hogg & Crag 995 dberka dalam betuk berkut, b a b a L ep ep 2

4 Georga M. Tugk 0 dmaa a, b = 0,, 2,, p. 9 a b 3. Model Regres Probt Regres Probt adalah suatu aalss regres ag dguaka utuk meggambarka hubuga atara varabel depede da varabel depede. Varabel depede varabel respo basa dsmbolka Y dega skala pegukura dkotomus ber, da varabel depede varable predktor basa dsmbolka X ag skala pegukura bersfat dkotomus, polkotomus atau kotu. Jka da dketahu maka 2 ep. 2 2 Y = Y = 0 X P = P = 0 0 P / ep t dt = [ 0 + ]. 0 dega [.] adalah fugs kumulatf dstrbus ormal stadar. [ P ] [ [ 0 ]] P 0 [ ] atau Z = 0 + dega Z = P. Dega cara ag sama ka varabel bebas lebh dar satu, maka: Z = X + e dega Z merupaka varabel ag tdak dobservas, da observasa adalah Y = Jka Z > 0 Y = 0 ka Z 0 dega adalah resdual ag dasumska berdstrbus ormal dega mea ol 0 da varas satu. Probabltas Y = dar persamaa adalah : P = X 2 P 0 = - X 3

5 Georga M. Tugk 4. Aplkas Model respo ber dguaka pada tokolog utuk meggambarka efek dar doss baha kma racu apakah ag dapat meebabka kemata. Pada aplkas, kosep dar toleras dstrbus mead dasar kebeara utuk model. Msalka meuukka doss atau log doss utuk baha kma toc. Utuk meeleks subek secara acak, dega memsalka Y = ka subek mat, maka adaka sebuah subek memlk toleras T utuk doss, dega Y= ekuvale utuk T. Dalam hal, kemugka ddapatka seragga ag dapat bertaha dar semprota racu ka doss kurag dar T, da mat ka doss terkecla T. Merubah toleras d atara subek, da msalka Gt= T meuukka fugs dstrbus bersarat cumulatf dstrbuto fucto atau cdf utuk dstrbus populasa. Utuk doss tertetu, peluag peeleksa subek ag mat secara acak adalah 4 Jka F adalah cdf dar trasformas ler T, sebagamaa stadar cdf utuk dstrbus keluarga ekspoesal ka G adalah aggota, maka peluaga adalah. Dalam beberapa eksperme tokolog, dstrbus toleras utuk log doss adalah pedekata ormal dega mea da stadar devas. Jka G adalah cdf dar dstrbus ormal, maka, - 5 dega adalah stadar ormal cdf. Dega mesubttus pada persamaa 5, maka dperoleh, - 6 ag merupaka model regres probt. Utuk model probt, grafk respo utuk atau utuk, dmaa terlhat ormal dega mea da stadar devas. Terdapat 68% dar dstrbus ormal ag berada dalam stadar devas dar mea, adalah arak atara la dmaa = 0,6 atau 0,84, da dmaa = 0,50. Nla peubah d pada la partkular adalah, dmaa adalah fugs kepadata ormal stadar. Nla tertgg ketka, dmaa aka sama dega 0,48 da ttk. Dega perbadga, kurva respo utuk model regres logstk dega parameter cocok utuk logstk cdf dega stadar devas. Nla peubah d pada adalah 0,25. Nla peubah saat =/2 adalah sama utuk correspodg cdf pada kurva probt da logstk ketka logstk adalah 0,40/0,25 =,6 kal dar la probt. Stadar devas aka sama ketka logstk adalah,8 kal probt. Ketka kedua modela pas, parameter peduga pada model logstk adalah berksar atara,6-,8 kal dar model probt. Estmas ML utuk model probt dapat dperoleh dega megguaka algortma scorg Fsher utuk GLM. Logt da probt lks smetrs berksar 0,5, dar pegertaa maka ag dperoleh dar [ ] [ ]

6 Georga M. Tugk 2 Secara tdak lagsug kurva respo utuk medekat smetr ag berksar pada ttk 0,5. Faktaa, medekat 0 da pada la ag sama medekat. Model logt da probt tdak cocok ketka megkat dar 0 secara lambat, tap terkadag tepat pada saat medekat. Kurva dar respo, ] 7 ag betuka dtuukka pada Gambar. Gambar terlhat tdak smetrs, mempag dar da lebh taam mempag dar 0. Utuk model,, Gambar. Kurva Respo Model Logt daprobt Lk utuk GLM dsebut complemetar log-log lk. Utuk megterpretaska model 8, maka dapat dtetuka la da 2, atu dperoleh da, -, -, -, -. Peluag utuk kegagala pada sama dega peluag kegagala pada ag dtgkatka utuk la ag lebh tgg utuk setap keaka ut pada arak Model ag berhubuga adalah, ] 9 utuk setap ag berala lambat dar, amu medekat 0 dega taam. Sebagamaa keaka, terad perpotoga kurva ketka da. Model megguaka log-log lk, - *, -+ ].

7 Georga M. Tugk 3 Utuk parameter b > 0 da, da memlk mea a+0,557b da stadar devas. Model log-log lk uga cocok megguaka algortma scorg Fsher utuk GLM. Blss 935 melaporka umlah dar peuag terbuuh setelah 5 am pembukaa gas Karbo Dsulfde pada kosetras ag beragam, sebagamaa ag dberka pada Tabel. Tabel. Jumlah Beetles ag Mat Setelah Pembera Karbo Dsulfde. Ftted Values Log Dose No. Beetles No. Klled Comp. Log-Log Probt Logt, ,7 3,4 3,5, ,3 0,7 9,8, ,9 23,4 22,4, ,3 33,8 33,9, ,7 49,6 50,0, ,2 53,4 53,3, , 59,7 59,2, ,9 59,2 58,8 Sumber: Data dar Blss935. Model dega log-log lk bermbag memlk dugaa ML sama utuk Pada log doss,7, peluag cocok utuk ssa adalah *, -+, sedagka utuk log doss,8 dperoleh 0,332, sedagka pada log doss,9 dperoleh. Peluag utuk bertaha hdup adalah ep22,0 0, = 9,03 lebh tgg utuk setap 0, keaka pada log doss. 5. Kesmpula Utuk setap la log doss, dega megalka peluag estmas terbuuh dega umlah dar peuag pada level tu, dperoleh la lapora ag cocok pada Tabel. Statstc goodess-of-ft atau kesesuaa model adalah G 2 = 3,5, dega df=6. Model logt da probt cocok dguaka, dmaa la G 2 adalah, utuk model logt da 0,0 utuk model probt. Utuk probt model. Yag maa pada,77. I adalah korespode ag cocok utuk toleras dstrbus ormal ag memlk mea,77 da stadar devas /9,74=0,05. Daftar Pustaka [] Agrest, A., 2002, Categorcal Data Aalss 2 d Edto, Joh Wle & Sos, Ic., Hoboke, New Jerse. [2] Satosa, B. da Haum, D. R., 2007, Stud komparas metode klasfkas dua kelas, [26 auar 2009].

8 Georga M. Tugk 4 [3] Dggle, P.J., Lag, K.Y., da Zeger, S.L., 994, Aalss of Logtudal Data, Oford Scece Publcato. [4] Dobso, A.J., 983, Itroducto To Statstcal Modellg, Lodo, Chapma & Hall. st Edto. [5] Hosmer, D.W. da Lemeshow, S., 2000, Appled Logstc Regresso 2 d Edto, Joh Wle & Sos, Ic. [6] Hogg, R. V. da Crag, A. T., 995, Itroducto to Mathematcal Statstcs, Pretce Hall, 5 th edto. [7] Keward, K.M. da Smth, D.M., 995, Computg the geeralzed estmatg equatos for repeated measuremet, Gestat Newsletter. [8] Kurter, M.H., 2004, Appled Lear Regresso Models 4 th, Mc Graw Hll Compaes. [9] Motegomer, D.C. da Peck, E.A, 992, Itroducto To Ler regresso Aalss, Joh Wle & Sos, NIC, 2 d Edto. [0] McCullagh, P. da Nelder, J.A., 989, Geeralzed Lear Models, Lodo: Chapma ad Hall, 2 d Edto. [] McCullagh, P. da Nelder, J.A., 992, Geeralzed Lear Models, Lodo: Chapma ad Hall, 3 th Edto.