LOGIKA PROPOSISI Bagian Keempat : Logika Proposisi ARI FADLI, S.T.
Logika Proposisi Tujuan : Mahasiswa dapat menyebutkan tentang logika proposisi, operator dan sifat proposisi
Proposisi Definisi : Setiap pernyataan yang hanya memiliki satu nilai benar atau salah. disimbolkan menggunakan huruf Pernyataan yang memiliki makna/arti Disebut juga sebagai kalimat deklaratif Bukan merupakan kalimat perintah atau tanya
Logika Proposisi Definisi : Logika yang menangani, memproses atau memanipulasi penarikan kesimpulan secara logis dari proposisi
Logika Proposisi Definisi : 1. Pernyataan = suatu kalimat yang memiliki arti 2. Ditulis dengan huruf besar/kecil A,B,c,d 3. Nilai dari pernyataan tersebut bisa bernilai benar atau salah 4. Disebut juga sebagai kalimat deklaratif
Logika Proposisi Contoh : 1. 2 + 2 = 4 2. Bilangan bulat yang membagi habis 23 adalah 1 dan 23. Bukan Proposisi : 1. A + B 5
Logika Proposisi Deskripsi A = Bilangan bulat yang membagi habis 23 adalah 1 dan 23. A atau lainnya yang menggantikan atau mewakili proposisi disebut sebagai variable proporsisional True/False/T/F kemudian disebut sebagai konstanta proporsisional
Soal Proposisi atau bukan? 1. Dewi belajar 2. Budi adalah seorang mahasiswa yang pandai pada matakuliah Matematika Diskrit 3. Angka 13 adalah angka sial 4. Tati, cepat kerjakan tugasmu! 5. Tari, apakah anda sudah menyelesaikan final report
Jawaban 1. Pernyataan ke-3 menimbulkan perdebatan karena tidak setiap orang setuju ada juga yang tidak perduli, atau tidak juga memiliki arti (bukan proposisi) 2. Pernyataan ke-1 dan 2 (merupakan proposisi) 3. Pernyataan ke-4 dan ke-5 (bukan proposisi karena merupakan kalimat perintah dan kalimat tanya)
Contoh Soal Gajah lebih besar daripada kucing Ini suatu perrnyataan? Ini suatu proposisi? Apa nilai kebenarannya? benar
Latihan 1. 1089 < 101 2. y > 16 3. Bulan ini Februari 4. Jangan Tidur dikelas 5. Jika gajah berwarna hijau mereka dapat berlindung dibawah pohon bambu 6. x < y jika dan hanya jika y > x
Jawaban 1089 < 101 Ini pernyataan? Ini proposisi? Apa nilai kebenaran dari proposisi ini? ya ya salah
Jawaban y > 15 Ini pernyataan? ya Ini proposisi? bukan Nilai kebenarannya bergantung pada nilai y, tapi nilai ini tidak spesifik. Kita katakan tipe pernyataan ini adalah fungsi proposisi atau kalimat terbuka.
Jawaban Bulan ini februari Ini pernyataan? Ini proposisi? Apa nilai kebenaran dari proposisi ini? ya ya salah
Jawaban Jangan tidur di kelas Ini pernyataan? Ini proposisi? bukan bukan Hanya pernyataan yang dapat menjadi proposisi.
Jawaban Jika gajah berwarna merah, mereka dapat berlindung di bawah pohon bambu Ini pernyataan? Ya Ini proposisi? Apa nilai kebenaran proposisi tersebut? Ya probably false
Jawaban x < y jika dan hanya jika y > x Ini pernyataan? Ya Ini proposisi? Ya sebab nilai kebenarannya tidak bergantung pada nilai x dan y. Apa nilai kebenaran dari true proposisi tsb?
Logika Proposisi Macam : 1. Proposisi tunggal (atomic) Proposi yang hanya berisi satu variable atau satu konstanta proporsisional 2. Proropisi majemuk (compound) Penggabungan proposisi atomik menggunakan kata penghubung (connectives)
Logika Proposisi Contoh : 1. Proposisi tunggal (atomic) Setiap mahasiswa teknik elektro pandai 2. Proropisi majemuk (compound) Bono kaya raya dan memiliki banyak harta
Logika Proposisi Penghubung Logika (Logical Connectives) : 1. Tidak/Not/Negasi Simbol 2. Dan/And/Konjungsi Simbol 3. Atau/Or/Disjungsi Simbol 4. Implikasi Simbol 5. Bi-Implikasi Simbol 6. Exclusive OR (XOR) Simbol 7. Tidak Dan Simbol 8. Tidak Atau Simbol
Logika Proposisi Hirarki Penghubung : Hirarki ke - Simbol Nama 1 Negasi tidak. 2 Konjungsi. dan. 3 Disjungsi (XOR) 4 Implikasi / Conditional 5 Ekuivalensi / Bi Implikasi / Bi Conditional... atau.... jika. Maka... bila dan hanya bila.
Tabel Kebenaran Definisi Merupakan satu tabel yang menunjukan secara sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang sederhana.
Tabel Kebenaran Tabel Kebenaran Negasi p p Contoh: p = Budi seorang mahasiswa p = Budi bukan seorang mahasiswa 0 1 1 0
Tabel Kebenaran Tabel Kebenaran Konjungsi p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 P : Harimau adalah binatang buas q : Malang adalah ibukota Jawa Timur p q : Harimau adalah binatang buas dan Malang adalah ibukota Jawa Timur Definisi : p q akan benar jika dan hanya jika keduanya bernilai benar dan jika lainnya pasti salah
Tabel Kebenaran Tabel Kebenaran Disjungsi p q p v q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 p : Bono seorang mahasiswa q : Wira seorang sarjana teknik p v q : Bono seorang mahasiswa atau Wira seorang sarjana teknik Definisi : p q akan benar jika dan Salah satu diantaranya adalah benar dan jika lainnya pasti salah
Tabel Kebenaran Tabel Kebenaran Implikasi p q p q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 p : Bono seorang mahasiswa q : Wira seorang sarjana teknik p q: jika Bono seorang mahasiswa maka Wira seorang sarjana teknik antecendent consequent hipotesis kesimpulan Definisi : p q akan salah jikanilai p bernilai benar dan nilai q bernilai salah dan jika lainnya pasti benar
Proposisi Cara Penyebutan Implikasi if p then q whenever p then q p is sufficient for q p only if q p implies q
Tabel Kebenaran Cara Penyebutan Implikasi q if p q whenever p q is neccesarry for p q is implied by p
Tabel Kebenaran Syarat Implikasi adalah perlu dan Cukup, perhatikan contoh berikut ini : Kondisi perlu dinyatakan oleh konklusi. Kondisi cukup dinyatakan oleh hipotesa. Perlu = necessary; Cukup = sufficient Contoh: Jika Bono seorang mahasiswa maka Wira seorang sarjana teknik Kondisi perlu : Wira seorang sarjana teknik Kondisi cukup : Bono seorang mahasiswa
Tabel Kebenaran Tabel Kebenaran Bi Implikasi p q p p 0 0 1 0 1 0 1 0 0 Definisi : Proposisi yang bernilai benar Jika p bernilai benar dan q bernilai benar Jika p bernilai salah dan q bernilai salah Dan lainnya pasti salah 1 1 1
Tabel Kebenaran Tabel Kebenaran Tidak Atau p q p q 0 0 1 0 1 0 P q dapat pula disebut sebagai not or Dan akan bernilai benar jika p bernilai salah dan q bernilai salah, dan jika lainnya pasti salah 1 0 0 1 1 0
Tabel Kebenaran Tabel Kebenaran Tidak Dan p q p q 0 0 1 0 1 1 p q dapat pula disebut sebagai not and Akan bernilai salah jika p bernilai benar dan q bernilai benar dan jika lainnya pasti benar 1 0 1 1 1 0
Logika Proposisi Contoh Penerapan : p : motor itu bannya kurang angin q : motor itu kehabisan bahan bakar Motor itu bannya kurang angin dan kehabisan bahan bakar dapat disimbolkan dengan p q
Logika Proposisi Contoh : Dengan kondisi sama simbolkanlah pernyataan berikut : 1. Motor itu tidak kehabisan bahan bakar tapi bannya kurang angin 2. Tidak benar bahwa motor itu kehabisan bahan bakar dan bannya kurang angin
Logika Proposisi p = Motor itu tidak kehabisan bahan bakar q = Motor itu bannya kurang angin
Logika Proposisi Solusi : Motor itu tidak kehabisan bahan bakar tapi bannya kurang angin q p Tidak benar bahwa motor itu kehabisan bahan bakar dan bannya kurang angin (q p)
Logika Proposisi Tabel Kebenaran : p q p p q p q p q p q T T F T T T T T F T F T F F F T T F T T F F F T F F T T
Latihan Misalkan kondisinya seperti ini : A = Budi sakit flu B = Budi test SPMB C = Budi lulus Buatlah pernyataan dan tabel kebenarannya berikut ini : 1. A B 3. (A B) C 2. B C 4. (A B) C
Jawaban A = Budi sakit flu B = Budi test SPMB C = Budi lulus 1. A B Jika Budi sakit flu maka budi tidak test SPMB Oleh karena budi sakit flu maka budi tidak test SPMB Budi tidak test SPMB jika Budi sakit flu Budi tidak test SPMB oleh karena budi sakit flu A B B A B 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
Jawaban A = Budi sakit flu B = Budi test SPMB C = Budi lulus 1. B C Jika Budi test SMPB maka budi tidak test lulus B C C B C 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
Jawaban A = Budi sakit flu B = Budi test SPMB C = Budi lulus 1. (A B) C (A B) C A B C A B (A B ) C 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 A B C A B (A B ) C 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1
Proposisi Tautologi, proposisi yg memuat nilai true untuk variabel hasilnya. p v p Kontradiksi, proposisi yg memuat nilai false untuk variabel hasilnya. p p Kontingensi, proposisi yg memuat campuran dari true dan false utk kolom hasilnya. p q
Proposisi Contoh Tautologi (Disimbolkan oleh) = Excluded Middle Law p v p p p p v p T F T T T T F F T F F T
Proposisi Contoh Kontradiksi p p p p p p T F F T F F F T F F T F
Proposisi Contoh Kontingensi p q p p q p q T F T T T F F F F T T F F T F F
Proposisi Konversi q p disebut konversi dari p q Inversi dari p q adalah p q Kontraposisi q p disebut kontrapositif dari p q
Proposisi Hukum Ekuivalensi Logika 1. Hukum Komutatif 2. Hukum Asosiatif ( ) ( ) ( ) ( )
Proposisi Hukum Ekuivalensi Logika 3. Hukum Distributif ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4. Hukum Identitas p T p p R p
Proposisi Hukum Ekuivalensi Logika 5. Hukum Ikatan p T T 6. Hukum Negasi Ganda 7. Hukum Negasi p F F p p T
Proposisi Hukum Ekuivalensi Logika 8. Hukum Idempoten p p p 9. Hukum Demorgan ( ) ( ) p p p
Proposisi Hukum Ekuivalensi Logika 10. Hukum Absorpsi p (p p) p p (p p) p
Contoh Soal Tunjukkan bahwa p (p q) p q! Solusi : p (p q) p ( p q) (Hukum De Morgan) (p p) (p q) (Hukum distributif) T (p q) p q (Hukum negasi) (Hukum identitas)
Contoh Soal Buktikan hukum penyerapan : p (p q) p! Solusi : p (p q) (p F ) (p q) (Hukum identitas) p (F q) p F p (Hukum distributif) (Hukum Null) (Hukum identitas)