Representasi Boolean

Transkripsi

1 Aljabar Boolean Boolean Variable dan Tabel Kebenaran Gerbang Logika Aritmatika Boolean Identitas Aljabar Boolean Sifat-sifat Aljabar Boolean Aturan Penyederhanaan Boolean Fungsi Eksklusif OR Teorema De Morgan Konversi Table Kebenaran ke Aljabar Boolean

2 Representasi Boolean Representasi Boolean Variable dan Konstanta Boolean Tabel Kebenaran (Truth Table)

3 Operasi Dasar Gerbang OR (Operasi OR) Gerbang AND (Operasi AND) Gerbang NOT (Operasi NOT)

4 Aljabar Boolean Sifat-sifat Aljabar Boolean Identitas Aljabar Boolean Penyederhanaan Rangkaian Teorema De Morgan

5 Variable Boolean dan Tabel Kebenaran

6 Representasi Boolean Logic 0 Logic 1 False True Off On Low High No Yes Open Switch Close Switch

7 Variable Boolean Binary 0: besar tegangan antara 0 0,8 volt Binary 1: besar tegangan antara 2 5 volt Not used: besar tegangan antara 0,8 2 volt Not used dapat mengakibatkan error Nilai boolean 0 dan 1 tidak merepresentasikan nilai sebenarnya hanya merepresentasikan keadaan sebuah variabel tegangan

8 Tabel Kebenaran Tabel kebenaran fungsinya memberikan gambaran hubungan output suatu rangkaian digital terhadap kombinasi input yang diberikan Terdapat semua kombinasi input yang mungkin (dari variable A dan B) dengan level keadaan output yang berkesesuaian

9 Logic Gates

10 Gerbang OR (operasi OR) Pernyataan: X=A+B X sama dengan A or B Tanda + operasi or tidak memilki arti yang sama dengan aljabar penjumlahan

11 Gerbang AND (operasi AND) Pernyataan: X=A*B X sama dengan A and B

12 Gerbang (operasi) NOT

13 Gerbang (operasi) NOR

14 Gerbang (operasi) NAND

15 Aritmatika Boolean (1) Dengan menambahkan bilangan-bilangan biner, diperoleh: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

16 Aritmatika Boolean (3) Pejumlahan boolean ekuivalen dengan gerbang OR

17 Aritmatika Boolean (4) Perkalian dalam aljabar boolean, 0x0=0 0x1=0 1x0=0 1x1=1

18 Aritmatika Boolean (5) Perkalian dalam aljabar boolean dan gerbang AND

19 Aritmatika Boolean (6) Seperti aljabar pada umumnya, aljabar boolean menggunakan huruf untuk merepresentasikan sebuah variable. Aljabar boolean menggunakan huruf CAPITAL Karena hanya memiliki dua kemungkinan nilai, yaitu 0 dan 1, maka setiap variable boolean memiliki komplementnya. Komplement ditandai dengan bar atau tanda petik tunggal yang dituliskan di atas sebuah variable boolean JikaA 0, maka A 1, atau A' 1 Jika A 1, maka A 0, atau A' 0

20 Aritmatika Boolean (7) Komplement boolean ekuivalen dengan gerbang NOT

21 Identitas Aljabar Boolean (1) Penjumlahan Dalam istilah matematika, identitas adalah sebuah pernyataan bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai variable.

22 Identitas Aljabar Boolean (2) Penjumlahan Identitas 1 aljabar boolean adalah: Penjumlahan sebuah variable dengan 0 sama dengan nilai variable itu sendiri

23 Identitas Aljabar Boolean (3) Penjumlahan Identitas berikutnya merupakan identitas yang sangat berbeda dengan identitas aljabar aritmatika, yaitu Penjumlahan sebuah variable dengan 1 akan selalu menghasilkan nilai 1.

24 Identitas Aljabar Boolean (4) Penjumlahan sebuah variable ditambahkan denga variable itu sendiri akan menghasilkan nilai yang sama dengan nilai variable tersebut.

25 Identitas Aljabar Boolean (5) Penjumlahan Identitas berikut ini berhubungan dengan sifat komplement bilangan biner, yaitu Sebuah variable ditambahkan dengan komplement variable tersebut

26 Identitas Aljabar Boolean (6) Perkalian Terdapat juga empat identitas untuk perkalian aljabar boolean, yaitu: A x 0, A x 1, A x A, and A x A

27 Identitas Aljabar Boolean (7) Perkalian Identitas I: Identitas II:

28 Identitas Aljabar Boolean (8) Perkalian Identitas III:

29 Identitas Aljabar Boolean (9) Perkalian Identitas IV:

30 Identitas Aljabar Boolean (10) Identitas penjumlahan dan perkalian dalam aljabar boolean dapat dirangkum sebagai berikut: Identitas Dasar Aljabar Boolean Penjumlahan A + 0 = A A + 1 = 1 A + A = A A + A = 1 Perkalian 0A=0 1A=A AA=A AA=0

31 Sifat-sifat Aljabar Boolean (1) Jenis lain dari sebuah identitas dalam istilah matematika adalah sifat atau hukum (aturan) Sifat-sifat (hukum-hukum) aljabar boolean adalah: Kamutatif, asosiatif, dan distributif

32 Sifat-sifat Aljabar Boolean (2) Sifat komutatif

33 Sifat-sifat Aljabar Boolean (3) Sifat asosiatif penjumlahan Sifat asosiatif perkalian

34 Sifat-sifat Aljabar Boolean (4) Sifat berikutnya adalah distributif,

35 Sifat-sifat Aljabar Boolean (5) Sifat-sifat aljabar boolean dapat dirangkum sebagai berikut: Sifat-sifat Dasar Aljabar Boolean Penjumlahan A + B = B + A A + ( B + C ) = ( A + B ) + C A ( B + C ) = AB + AC Perkalian AB = BA A(BC) = (AB)C

36 Aturan Penyederhanaan Aljabar Boolean (1) Dengan menggunakan identitas dan sifat aljabar boolen dapat digunakan untuk menyederhanakan persamaan aljabar boolean yang lebih kompleks

37 Aturan Penyederhanaan Aljabar Boolean (2) Contoh: sederhanakanlah A+AB

38 Aturan Penyederhanaan Aljabar Boolean (3) Aturan ini dapat dibuktikan dengan langkah-langkah: Faktorkan A, terapkan identitas A + 1 = 1, dan terapkan identitas 1A=A Perhatikan: identitas A + 1 =1 digunakan untuk mereduksi (1 + B) = 1. Dengan demikian dapat disimpulkan ABC + 1 juga akan menghasilkan nilai 1 dengan menggunakan identitas tersebut

39 Aturan Penyederhanaan Aljabar Boolean (4) Contoh: sederhanakanlah A+A B

40 Aturan Penyederhanaan Aljabar Boolean (5) Untuk membuktikan aturan penyederhanaan di atas dilakukan dengan cara: A diekspand, faktorkan B, gunakan identitas A + A = 1, dan gunakan identitas 1A = A Perhaitkan bahwa (A+AB) digunakan untuk mengekspand A menjadi A+AB. Langkah ini disebut backward. Kadang kala di dalam matematika, langkah backward diperlukan untuk memperoleh solusi yang baik.

41 Aturan Penyederhanaan Aljabar Boolean (6) Aturan penyederhaan pada contoh berikut melibatkan sifat distributif Sederhanakan: (A+B)(A+C)

42 Aturan Penyederhanaan Aljabar Boolean (7) Bukti aturan penyederhaan di atas adalah: Langkah-langkahnya adalah: -Distribusikan -Gunakan identitas AA = A -Gunakan aturan A + AB = A untuk mereduksi A + AC -Gunakan aturan A + AB = A untuk mereduksi A + AB

43 Aturan Penyederhanaan Aljabar Boolean (8) Beberapa aturan penyederhanaan dapat dirangkum sebagai berikut: Aturan Penyederhanaan yang Sering Digunakan A + AB = A A + AB = A + B (A + B)(A + C) = A + BC

44 Fungsi Eksklusif OR (1) Selain fungsi-fungsi yang telah dibahas, terdapat fungsi yang cukup penting adalah fungsi eksklusif OR Jika fungsi OR ekuivalen dengan aljabar penjumlahan, fungsi AND ekuivalen dengan aljabar perkalian dan fungsi NOT ekuivalen dengan aljabar kompelementer, maka untuk fungsi Eksklusif OR tidak ada tidak ada ekuivalen secara langsung

45 Fungsi Eksklusif OR (2) Fungsi eksklusif OR (XOR) direpresentasikan dengan simbol: Fungsi tersebut: A B ekuivalen dengan AB +A B

46 Fungsi Eksklusif OR (3) Dalam bentuk rangkaian, Ekuivalensi aljabar boolean ini sangat membantu dalam proses penyederhanaan rangkaian: Suatu pernyataan boolean yang berbentuk AB +A B ( atau sebuah rangkain yang terdiri dari dua gerbang AND dan sebuah gerbang OR) dapat diwakili oleh A B (atau gerbang XOR

47 Aturan De Morgan (1) Jika semua input suatu gerbang AND diinvers, maka fungsi gerbang tersebut sama seperti fungsi gerbang NOR Jika semua input suatu gerbang OR diinvers, maka fungsi gerbang tersebut sama seperti fungsi gerbang NAND Aturan De Morgan memiliki prinsip yang sama, tetapi yang diinvers adalah outputnya.

48 Aturan De Morgan (2) Contoh ekuivalensi De Morgan:

49 Teorema De Morgan (1) Teorema De Morgan dapat diilustrasikan sebagai pemisah simbol bar yang panjang,

50 Teorema De Morgan (2) Jika terdapat lebih dari satu bar untuk suatu variable (atau beberapa variable), pemisahan bar hanya boleh dilakukan satu per satu Untuk mempermudah penyederhanaan rangkaian, pemisahan bar dilakukan pertama kali untuk bar paling panjag (paling atas)

51 Teorema De Morgan (3) Sebagai ilustrasi, misal sebuah pernyataan boolean: (A + (BC)) Disederhanakan menggunakan aturan de Morgan

52 Alternative Representasi

53 Sederhanakan Rangkaian ini:

54 Teorema De Morgan (4) Latihan: Sederhanakan rangkaian berikut ini menggunakan teorema demorgan

55 Teorema De Morgan (5) Latihan: