KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag
KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi : f : A B y = f () Ilustrasi : A B f Gambar fungsi y = f()
Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN : setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B. tidak boleh membentuk cabang seperti ini. A B
Contoh : A B Fungsi Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai 2 kawan. Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang tidak mempunyai kawan.
5 Domain / daerah asal dari f(), notasi D f, yaitu Daerah nilai / Range /Kodomain dari f(), notasi R f, yaitu Himpunan titik di bidang, disebut grafik fungsi f Contoh : Misalkan, maka f(1) = 8, f(-2) = 5 Misalkan, maka } ) ( { R f R Df B D R f R f f } ) ( { }, ), ( ), {( f f R y D f y y 5 2 ) ( 2 f 8 4 5 1) 2( 1) ( 1) ( 2 2 h h h h h f ) [4,, f f R R D 4 1) ( ) ( 2 f
FUNGSI FUNGSI ALJABAR FUNGSI NON ALJABAR ATAU TRANSSEDEN FUNGSI IRRASIONAL FUNGSI RASIONAL FUNGSI POLINOM FUNGSI LINIER FUNGSI KUADRAT FUNGSI KUBIK FUNGSI BIKUADRAT FUNGSI PANGKAT FUNGSI EKSPONEN FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI FUNGSI HIPERBOL
FUNGSI IRRASIONAL : Y = ( 1 + 2X 3X 2 + 4X 3 + + 12X 11 ) 1/11 (Fungsi yang memiliki bentuk umum Y dimana n aalah bilangan bulat positif) FUNGSI POLINOM : Y = 1 + 2X 3X 2 + 4X 3 + + 12X 11 FUNGSI LINIER : Y = 1 + 2X FUNGSI KUADRAT : Y = 1 + 2X 3X 2 FUNGSI KUBIK : Y = 1 + 2X 3X 2 + 4X 3 FUNGSI BIKUADRAT : Y = 1 + 2X 3X 2 + 4X 3 + 5X 4 (Fungsi polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah empat) FUNGSI PANGKAT : Y = X n, n = bulat positif FUNGSI EKSPONEN : Y = 2 X FUNGSI LOGARITMA : Y = n Log X FUNGSI HIPERBOLA : Y = X n, n = riil negatif n (a 0 a1x1 a2x2 a3x3... anxn)
(c) Kemiringan nol (d) Kemiringan tak tentu KEMIRINGAN DAN TITIK POTONG SUMBU Kemiringan (slope) dari fungsi linier dengan satu variabel bebas X adalah sama dengan perubahan dalam variabel terikat (dependent) dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas (independent). Dan biasanya dilambangkan dengan huruf m. Jadi, ΔY Y 2 Y 1 Kemiringan = m = atau ΔX X 2 X 1 (a) Kemiringan positif (b) Kemiringan negatif Y Y
BENTUK UMUM FUNGSI LINIER Y=a 0 + a 1 X di mana a, tidak sama dengan nol. Bentuk ini disebut sebagai bentuk kemiringan-titik potong (slope-intercept). Bentuk seperti ini bila dilihat dari letak kedua variabel X dab Y, maka bentuk ini dapat disebut sebagai eksplisit. Karena variabel bebas X dan variabel terikat Y saling terpisah oleh tanda sama dengan (=)
MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS (1). Metode Dua Titik Y Y 1 Y 2 Y 1 Y = X X 1 X 2 X 1 A (X, Y) A (X 1, Y 1 ) A (X 2, Y 2 ) 0 X
Carilah persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dan (4,6) Penyelesaian : X 1 = 3, X 2 = 4, Y 1 = 2, dan Y 2 = 6 Persamaan garis Y = 4-10 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.3. Y Y 1 = Y 2 Y 1 X X 1 X 2 X 1 Y Y 2 6 2 = X 3 4 3 Y = 4X - 10 6 2 Y 2 = (X 3) 4 3 0 1 2 3 X Y 2 = 4 (X 3) Y = 4 X 12 Y = 4 X - 10 5 (0,-10)
(2). METODE SATU TITIK DAN SATU KEMIRINGAN Y Y 1 = m (X X 1 ) Contoh Carilah persamaan garis yang melalui titik (6, 4) dan kemiringannya -2/3 Penyelesaian : Diketahui (X 1, Y 1 ) = (6, 4) dan m = - 2/3 Y Y Y 1 = m (X X 1 ) Y 4 = -2/3 (X 6) Y = -2/3X + 4 + 4 Y = -2/3X + 8 Persamaan garis Y = -2/3X + 8 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.4. 8 (0,8) 6 Y = - 2/3 X + 8 4 2 0 (12,0) X
HUBUNGAN DUA GARIS LURUS y 1 =a 0 + a 1 dan y 2 =b 0 + b 1 Y Y a 1 b 1 a 1 = b 1 y 1 a o b 0 a o b 0 y 1 y 2 X 0 0 (a) Berpotongan y 2 (b) Sejajar X Y a 1 = b 1 a o = b 0 Y a 1.b 1 = -1 y 1 y 1 a o b 0 y 2 X 0 0 (c) Berimpit y 2 (d) Tegak Lurus X
SISTEM PERSAMAAN LINIER PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER: DUA PERSAMAAN DENGAN DUA VARIABEL METODE ELIMINASI Contoh 5.1. Carilah nilai-nilai dari variabel X dan Y yang dapat memenuhi kedua persamaan berikut ini : 3X 2Y = 7 2X + 4Y = 10 (5.1) (5.2) Penyelesaian : 1. Variabel yang akan dieliminasikan adalah variabel Y. 2. Karena variabel Y yang dipilih, maka Persamaan (5.1) harus dikalikan dengan konstanta 2, dan Persamaan (5.2) dikalikan dengan konstanta 1, sehingga kedua persamaan menjadi, 3X 2Y = 7 (kalikan dengan 2), maka 6X 4Y = 14 2X + 4Y = 10 (kalikan dengan 1), maka 2X + 4Y = 10 3. Karena kedua koefisien dari variabel Y tandanya berbeda, maka harus dijumlahkan, dan menjadi, 6X 4Y = 14 2X + 4Y = 10 + 8X + 0 = 24 X = 3 4. Subtitusikan nilai X = 3 kedalam salah satu persamaan semula agar diperoleh nilai Y. Bila disubtitusikan pada Persamaan (5.1), maka akan menghasilkan, 3 (3) -2Y = 7-2Y = 7 9 Y = 1
METODE SUBSTITUSI Contoh 5.2. 3X 2Y = 7 (5.1) 2X + 4Y = 10 (5.2) Misalkan variabel X yang dipilih pada persamaan (5.2), maka akan menjadi, 2X = 10 4Y X = 5 2Y (koefisien variabel X=1) Karena Persamaan (5.2) yang dipilih, maka subtitusikan kedalam persamaan pertama, sehingga menjadi, 3 (5 2Y) 2Y = 7 15 6Y 2Y = 7 15 8Y = 7-8Y = 7 15 Y = 1 Substitusikan nilai Y = 1 ini kedalam salah satu persamaan mula-mula, misalkan Persamaan (5.1), sehingga memperoleh hasil, 3X 2 (1) = 7 3X = 7 + 2 X = 3 Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan urut (3.1).
Fungsi Kuadrat Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah Maka, y = a 2 + b + c y a b 2a 2 D 4a D = b 2 4ac Bentuk grafik dari fungsi kuadrat adalah PARABOLA 1 2 1 2 a + a -
Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus: Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus: - b - (b 2 4ac) Titik puncak = -----, --------------- 2a 4a -b ± (b 2 4ac) X1.2 = -------------------- 2a Contoh: Jika fungsi kuadrat Y = X 2 8X + 12 Carilah koordinat titik puncak dan gambarkan - b - (b 2 4ac) Koordinat Titik puncak = -----, --------------- 2a 4a
Contoh : Jika fungsi kuadrat Y = X 2 8X + 12, carilah koordinat titik puncak dan gambarkanlah parabolanya? Penyelesaian : Koordinat titik puncak b, 2a ( 4, 4) 2 ( b 4ac 4a 8 (64 48, 2 4 Untuk X = 0, maka Y = 12 Titik potong sumbu Y adalah (0,12) Untuk Y = 0, maka X 2 8X + 12 = 0
Titik potong sumbu X adalah (2,0) dan (6,0). Berdasarkan nilai-nilai penyelesaian dari titik puncak dan titik potong sumbu X dan Y, maka kurva parabolannya dapat digambarkan seperti 7.3.
Y (0,12) (8,12) Y = a 0 = a 1 X + a 2 X 2 +a 3 X 3 (2,0) 2
Fungsi Kuadrat Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah Maka, y = a 2 + b + c y a b 2a 2 D 4a D = b 2 4ac Bentuk grafik dari fungsi kuadrat adalah PARABOLA 1 2 1 2 a + a -
Titik Ekstrem Parabola Titik Maksimum dan titik Minimum Fungsi Maksimum dan minimum fungsi sangat ditentukan oleh nilai dari a y = a 2 + b + c Titik Maksimum didapat jika a, dan titik maksimumnya 1 2 a - 2 b a, 4 D a Titik Miminum didapat jika a, dan titik minimumnya 1 2 a + 2 b a, 4 D a Titik 1,2 dapat dicari dengan: b 2a D
Posisi Parabola Jika D, maka parabola memotong sb pada titik ( 1,0) dan ( 2,0) 1 2 1 2 a + a - Jika D = 0, maka parabola menyinggung sb pada titik b, 0 2a - b/2a a + a - - b/2a Jika D, maka parabola TIDAK memotong sb a + a - Definit Positif Definit Negatif
FUNGSI PANGKAT TIGA Polinomial tingkat 3 dengan satu variabel bebas disebut sebagai kubik, dan mempunyai bentuk umum : Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + a 3 X 3 dimana : a 3 tidak sama dengan nol. fungsi kubik ini bila digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius, kurvanya mempunyai dua lengkung (concave) yaitu : lengkung ke atas dan lengkung ke bawah, seperti tampak pada gambar di samping. a 0 Y 0 Y = a 0 = a 1 X + a 2 X 2 +a 3 X 3
PENERAPAN FUNGSI DIBIDANG EKONOMI Fungsi linier adalah suatu fungsi yang sangat sering digunakan oleh para ahli ekonomi dan bisnis dalam menganalisa dan memecahkan masalah-masalah ekonomi. Hal ini dikarenakan bahwa kebanyakan masalah ekonomi dan bisnis dapat disederhanakan atau diterjemahkan ke dalam model yang berbentuk linier.
Beberapa penerapan fungsi linier dalam bidang ekonomi dan bisnis adalah: a. Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar b. Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk c. Pengaruh Pajak dan Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar. d. Fungsi biaya, fungsi pendapatan dan analisis Pulang Pokok (BEP=Break Even Point) e. Fungsi Konsumsi dan Tabungan f. Model Penentuan Pendapatan Nasional