MA4183 MODEL RISIKO Bab 5 Teori Kebangkrutan Control your risk!
Konsep Surplus 1 Perusahaan asuransi memiliki modal awal atau initial surplus 2 Perusahaan menerima premi dan membayarkan klaim 3 Premi bersifat konstan sedangkan klaim/kerugian bersifat acak dan tidak pasti 4 Net surplus adalah modal awal + premi - klaim 5 Jika net surplus kurang dari atau sama dengan nol = Bangkrut atau Ruin
Fungsi surplus Misalkan perusahaan asuransi memiliki modal u saat waktu t = 0. Modal ini disebut initial surplus. Perusahaan menerima presmi setiap waktu (secara reguler). Klaim kerugian sebesar X i dibayarkan setiap akhir periode i, i = 1, 2,.... Asumsikan {X i } saling bebas dan berdistribusi identik.
Model yang merepresentasikan surplus pada waktu n dengan modal awal u adalah untuk n = 1, 2,.... U(n; u) = u + n n X i, i=1
Konsep Bangkrut Definisi Kebangkrutan akan terjadi pada waktu n jika U(n; u) 0 untuk pertama kali pada waktu n, n 1.
Waktu Bangkrut atau Time of Ruin Definisi Peubah acak T (u) yang menyatakan waktu bangkrut atau time of ruin adalah T (u) = min{n 1 : U(n; u) 0}
Definisi Diberikan suatu initial surplus u, peluang ultimate ruin adalah ψ(u) = P(T (u) < )
Definisi Diberikan suatu initial surplus u, peluang bangkrut pada waktu t adalah ψ(t; u) = P(T (u) < t) untuk t = 1, 2,...
Peluang Bangkrut Pandang kasus ψ(0) atau peluang bangkrut saat initial surplus u = 0: P(bangkrut saatu = 0) = ψ(0) = P(bangkrut saat u = 0 tidak ada klaim saat t = 1)P(tidak ada klaim s + P(bangkrut saat u = 0 ada 1 klaim saat t = 1)P(ada 1 klaim saat t + P(bangkrut saat u = 0 ada 2 klaim saat t = 1)P(ada 2 klaim saat t = ψ(1) f X (0) + 1 f X (1) + 1 f X (2) + = ψ(1) f X (0) + S X (0)
Untuk u = 1, ψ(1) = f X (0) ψ(2) + f X (1) ψ(1) + S X (1).
Untuk u 1, modelnya adalah atau ψ(u) = f X (0) ψ(u + 1) + ψ(u + 1) = 1 f X (0) ψ(u) u f X (j) ψ(u + 1 j) + S X (u) j=1 u f X (j) ψ(u + 1 j) S X (u). j=1
Ketaksamaan Lundberg Teorema Untuk fungsi surplus waktu diskrit, peluang ultimate ruin memenuhi ketaksamaan Lundberg: ψ(u) exp( r u), dimana r adalah adjustment coefficient, yaitu nilai r > 0 yang memenuhi persamaan E(e r(x 1) ) = 1.
Diskusi: Dapatkah anda menunjukkan bahwa log M X (r) = r?
Contoh. Misalkan klaim X setiap saat mengikuti distribusi Bernoulli dengan parameter θ. Peluang ultimate ruin saat u = 0, ψ(0) = ψ(1) f X (0) + S X (0) = ψ(1) (1 θ) + θ = θ = E(X ),
Sedangkan ψ(1) dapat dihitung dengan mudah dari persamaan diatas yaitu ψ(1) = 0. Dapatkah kita menghitung ψ(2)?
Latihan Pendahuluan 1 Tunjukkan bahwa untuk model surplus diskrit, ψ(0) = E(X ) 2 Diketahui p.a klaim X memiliki fungsi peluang: f X (0) = 0.5; f X (1) = f X (2) = 0.2; f X (3) = 0.1 Hitung peluang ψ(u) untuk u 0.
Kebangkrutan Pada Waktu Hingga Diberikan initial surplus u = 0. Pada saat t = 1, kebangkrutan akan terjadi dengan peluang ψ(1; 0) = P(T (0) 1) = P(X 1 = 1) + P(X 1 = 2) + = S X (0) dimana X 1 menyatakan banyaknya klaim pada waktu t = 1.
Misalkan u = 1. Kebangkrutan pada saat t = 1 terjadi dengan peluang ψ(1; 1) = P(T (1) 1) = P(X 1 = 2) + P(X 1 = 3) + = S X (1)
Kita pandang kasus kebangkrutan saat t = 2, diberikan initial surplus u = 0. Kebangkrutan pada saat atau sebelum (at or before time) t = 2 akan terjadi karena Bangkrut saat t = 1 Rugi sebesar j saat t = 1 untuk j = 0, 1,..., u yang kemudian diikuti oleh kebangkrutan pada saat/periode t 1 sesudahnya
Kebangkrutan saat t, diberikan initial surplus u: u ψ(t; u) = ψ(1; u) + f X (j) ψ(t 1; u + 1 j) j=0
Latihan Pendahuluan 1 Misalkan p.a X yang menyatakan klaim memiliki fungsi peluang f X (0) = 0.5; f X (1) = f X (2) = 0.2; f X (3) = 0.1. Hitung peluang kebangkrutan saat atau sebelum waktu t = 1, 2, diberikan u = 0, 1. 2 Claim severity setiap periode berdistribusi geometrik dengan parameter 0.6. Hitung peluang bangkrut saat atau sebelum t = 2, diberikan initial surplus u = 2.
Model Surplus Kontinu Pandang model yang merepresentasikan surplus pada waktu t dengan modal awal u adalah U(t; u) = u + c t S(t),
dimana S(t) = X 1 + X 2 + + X N(t) atau dengan kata lain total kerugian atau aggregate loss. Jika N(t) = 0 maka S(t) = 0. Kita akan memandang khusus saat N(t) adalah proses Poisson.
Proses Poisson Definisi N(t) adalah suatu proses Poisson dengan parameter λ, yaitu laju terjadinya events setiap unit waktu, jika (a) N(t 2 ) N(t 1 ) POI (λ (t 2 t 1 )) (b) N(t) memenuhi independent increments
Diskusi: S(t) merupakan compound Poisson process U(t; u) merupakan compound Poisson surplus process E(S(1)) = E(N(1))E(X ) = λ µ X c = (1 + θ)e(s(1)), dimana θ > 0 adalah loading factor
Latihan: 1 Misalkan p.a X yang menyatakan klaim memiliki fungsi peluang f X (0) = 0.5; f X (1) = f X (2) = 0.2; f X (3) = 0.1. Hitung r. Hitung ketaksamaan Lundberg untuk u = 0, 1. 2 Dapatkah anda menentukan ketaksamaan Lundberg untuk kasus waktu kontinu?