MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3 Proses Renewal

Transkripsi

1 MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3 (not just) Always Listening, Always Understanding MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

2 Soal Solusi Ujian Toko kue KP-Khusus Pria (ini toko apaan sih?) buka pukul 8 pagi. Pelanggan datang mengikuti proses Poisson dengan laju 4/jam, pada pukul Antara pukul 10-12, laju kedatangan Poisson-nya adalah 8/jam. Laju kedatangan, dari pukul 12-14, naik secara linier dari 8/jam pada pukul 12 hingga 10/jam pada pukul 14; namun dari pukul laju kedatangan turun secara linier dari 10/jam pada pukul 14 hingga 4/jam pada pukul 17. Tentukan distribusi peluang banyaknya kedatangan pelanggan ke toko KP. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

3 Solusi: Nilai λ t sbb: 4, 0 < t < 2, 8, 2 < t < 4, λ t = t + 4, 4 < t < 6, 22 2 t, 6 < t < 9, Kita tahu m t = t 0 λ s ds. Jadi, m t berturut-turut adalah 8,16,18,21. Distribusi peluang untuk banyaknya kedatangan pelanggan adalah POI (63). MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

4 Misalkan {N t } proses Poisson dengan parameter λ. Hitung E ( N t N t+s ) MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

5 Solusi: Untuk s 0, t + s t. Tulis N t N t+s = N t ( Nt+s N t ) + N 2 t yang mana N t+s N t dan N t saling bebas (karena independent increments); N t+s N t POI (λ s) dan N t POI (λ t). Akibatnya, E ( ) ( ) N t N t+s = E (N ) t Nt+s N t + E ( Nt 2 ) = E ( N t ) E ( Nt+s N t ) + Var ( Nt ) + ( E(Nt ) ) 2 = (λ t)(λ s) + λ t + (λ t) 2 = λ t ( λ (t + s) + 1 ) MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

6 Tim sepakbola putra L c memiliki 2 jenis lawan: tim 1 atau tim 2. Banyaknya gol yang dibuat tim L c terhadap lawan, yaitu tim i, adalah p.a. Poisson dengan parameter λ i (diketahui λ 1 = 2, λ 2 = 3). Pada akhir pekan ini, tim L c akan bertanding melawan tim 1 dengan peluang 0.6 atau melawan tim 2 dengan peluang 0.3. Misalkan X p.a. yang menyatakan banyaknya gol yang dibuat tim L c pada akhir pekan ini, hitung E(X ). MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

7 Dua orang pasien, A dan B, membutuhkan ginjal. Jika dia tidak mendapatkan ginjal baru, maka pasien A akan meninggal setelah suatu waktu yang berdistribusi exponensial dengan parameter λ A. Begitu juga dengan pasien B, akan meninggal setelah suatu waktu yang berdistribusi eksponensial dengan parameter λ B. Ginjal akan tersedia menurut proses Poisson dengan parameter λ. Telah ditentukan bahwa ginjal pertama yang datang diberikan ke pasien A lalu ke pasien B. Berapa peluang pasien A mendapat ginjal baru? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

8 Solusi: Misalkan T A waktu ketika A meninggal tanpa ginjal; T B waktu ketika B meninggal tanpa ginjal; T 1 waktu ketika ginjal pertama datang; T 2 durasi waktu antara kedatangan ginjal pertama dan kedua, P(A mendapat ginjal baru) = P(T A > T 1 ) = λ λ + µ A MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

9 Dua jenis klaim masuk ke perusahaan asuransi. Misalkan N i (t) menyatakan banyaknya klaim tipe i yang masuk hingga waktu t; N i (t), i = 1, 2 adalah proses Poisson yang saling bebas dengan parameter λ 1 = 10 dan λ 2 = 1. Nilai klaim tipe 1 yang berturutan adalah p.a. eksponensial dengan mean 10jt, sedang untuk tipe 2 memiliki mean 5jt. Sebuah klaim bernilai 4jt baru saja masuk. Berapa peluang klaim yang masuk adalah klaim tipe 1? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

10 Solusi: Misalkan K i, i = 1, 2, jenis klaim yang masuk; N i nilai klaim jenis i, N 1 Eksp(1/10) dan N 2 Eksp(1/5) P(K 1 4) = P(4 K 1 )P(K 1 ) P(4 K 1 )P(K 1 ) + P(4 K 2 )P(K 2 ) (e 0.4 )(10/11) = (e 0.4 )(10/11) + 2(e 0.8 )(1/11) 1 = e 0.4 MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

11 YoNa membutuhkan waktu T 1 untuk sampai kos apabila naik angkot (naiknya dari halte lho, bukan dari setopan lampu merah). Kalau jalan, YoNa butuh waktu T 2. Kedatangan angkot ke halte mengikuti proses Poisson dengan laju λ. YoNa (atas saran Darma) punya prinsip sbb: begitu sampe di halte, menunggu angkot sampai waktu s; kalau tidak ada angkot ya jalan. Berapa waktu harapan (expected time) dari saat YoNa datang ke halte hingga sampai di kos. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

12 Solusi: Misalkan T p.a. yang menyatakan waktu YoNa datang/berada di halte hingga sampai kos, N s banyaknya angkot yang datang sampai waktu s, E(T ) = E(T N s = 0)P(N s = 0) + E(T N s = i)p(n s = i) i=1 = (s + T 2 ) e λ s + (1/λ + T 1 )(1 e λ s ) s e λ s = ( T 2 1/λ T 1 ) e λ s + 1/λ + T 1 MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

13 Toko pizza Gay-Ay-LebAy menerima pemesanan atau reservasi mulai pukul 10. Reservasi datang menurut proses Poisson dengan laju 6/jam. Reservasi untuk setiap meja saling bebas dengan peluang sbb: meja utk 1 orang, dengan peluang 0.1, meja utk 2 orang, dengan peluang 0.4, meja utk 3-4 orang, dengan peluang 0.2, meja utk 5 orang atau lebih, dengan peluang 0.3, Berapa peluang (a) reservasi pertama terjadi sebelum pukul 11? (b) setidaknya 1 meja utk 3 orang atau lebih telah dipesan sebelum pukul 11? (c) semua reservasi yang terjadi sebelum pukul 13 adalah reservasi meja utk 2 orang? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

14 Solusi: (a) Misalkan T 1 menyatakan waktu yang tersisa (elapsed time) untuk reservasi pertama, P(T 1 < 1) = 1 e 6 1 = 1 e 6. (b) Laju kedatangan untuk reservasi meja utk 3 orang atau lebih adalah 6 ( ) = 3 per jam. Jadi, P(T 1 < 1) = 1 e 3. (c) Laju kedatangan untuk reservasi meja BUKAN utk 2 orang adalah 6 (1 0.4) = 3.6 per jam. Jadi, P(T 1 > 3) = e MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

15 Berita-berita utama yang ada/masuk pada suatu media datang atau terjadi (saling bebas) menurut proses Poisson; berita politik (laju 4/jam), bisnis (laju 5/jam) dan bencana (laju 6/jam). Hitung Cov(N X, N Y ), dimana N X banyaknya berita politik yang ada dan N Y total banyak berita yang masuk. Berapa peluang 2 dari 5 berita utama yang akan masuk adalah berita bencana? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

16 Solusi: Misalkan N Y = N X + N X c, dimana N X c non politik yang masuk, banyaknya berita Cov(N X, N Y ) = Cov(N X, N X + N X c ) = Cov(N X, N X ) + Cov(N X, N X c ) = Var(N X ) + 0 = 4, karena banyaknya berita politik yang masuk adalah p.a Poisson dengan parameter 4; masuknya berita politik dan non politik saling bebas. Misalkan N Be menyatakan berita bencana yang masuk, N Be Bin(5, 6/15). Jadi, P(N Be = 2) = C 5 2 (0.4) 2 (0.6) 3. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

17 Misalkan X 1 dan X 2 p.a. eksponensial yang saling bebas dengan parameter, berturut-turut, θ 1 dan θ 2. Hitung E ( min(x 1, X 2 ) X 1 > X 2 + c ) untuk setiap c > 0. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

18 Solusi: E ( min(x 1, X 2 ) X 1 > X 2 + c ) = E ( ) min(x 1, X 2 ) X 1 > X 2 = E ( min(x 1, X 2 ) ) 1 = θ 1 + θ 2 MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

19 Dua orang pasien, A dan B, membutuhkan ginjal. Jika dia tidak mendapatkan ginjal baru, maka pasien A akan meninggal setelah suatu waktu yang berdistribusi exponensial dengan parameter λ A. Begitu juga dengan pasien B, akan meninggal setelah suatu waktu yang berdistribusi eksponensial dengan parameter λ B. Ginjal akan tersedia menurut proses Poisson dengan parameter λ. Telah ditentukan bahwa ginjal pertama yang datang diberikan ke pasien A (atau ke pasien B jika pasien B masih hidup dan pasien A sudah meninggal) lalu ke pasien B (jika pasien B masih hidup). Berapa peluang pasien AB mendapat ginjal baru? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

20 Solusi: Pasien AB yang mana? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

21 Mobil-mobil yang lewat McD Dago datang menurut proses Poisson dengan laju λ. Niki yang ingin menyeberang di depan McD akan menunggu hingga tidak ada mobil lewat pada T waktu ke depan. Hitung waktu harapan Niki menunggu sebelum menyeberang. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

22 Proses Poisson yang kita kenal selama ini berkonsentrasi pada 2 hal. Pertama, banyaknya kedatangan (arrivals) atau kejadian hingga waktu ke-t (berdistribusi Poisson); kedua, waktu antar-kedatangan kejadian ke-(n 1) dan ke-n (berdistribusi eksponensial). Kedua hal ini setara baik dalam pemahaman (intuitif) maupun sifat distribusinya. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

23 Perhatikan bahwa misalkan T 1 PEUBAH ACAK menyatakan waktu antar-kedatangan dari tidak ada kejadian ke kejadian pertama; kita dapat memandang juga sebagai suatu KEJADIAN yaitu {T 1 > t} yang terjadi j.h.j tidak ada kejadian dari proses Poisson pada interval [0, t], sehingga P(T 1 > t) = e λ t λ t (λ t)0 = e 0! = P(N t = 0), dimana N t p.a. yang menyatakan banyaknya kedatangan atau kejadian. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

24 Diskusi Soal Solusi Ujian Mungkinkah T 1 berdistribusi lain (bukan eksponensial; bahkan distribusi diskrit)? Secara umum, mungkinkah barisan p.a. {T n } saling bebas dan berdistribusi identik bukan eksponensial? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

25 Ilustrasi-1 Soal Solusi Ujian Ilustrasi Distribusi N t Misalkan T 1 p.a. banyaknya percobaan untuk mendapatkan sukses pertama; dengan kata lain T 1 berdistribusi geometrik. Apakah distribusi dari S n = T 1 + T T n, p.a. yang menyatakan banyaknya percobaan (baca: waktu) untuk mendapatkan n sukses? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

26 Ilustrasi Distribusi N t Misalkan T i Geo(p) untuk i = 1, 2; f.p. nya adalah sedangkan f.p.m nya, P(T 1 = k) = (1 p) k p, k = 0, 1,..., M T1 (t) = p 1 (1 p) e t. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

27 Ilustrasi Distribusi N t Misalkan S 2 = T 1 + T 2. Untuk menentukan distribusi S 2, kita cari f.p.m untuk S 2 dengan memanfaatkan kebebasan T 1 dan T 2, M S (t) = M T1 (t) M T2 (t) ( ) p 2 = 1 (1 p) e t, yang merupakan f.p.m dari distribusi binomial negatif dengan parameter (2, p). Jadi, S 2 NB(2, p). MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

28 Ilustrasi Distribusi N t Apa distribusi N t? Tentukan E(N t ) dan Var(N t ). MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

29 Ilustrasi-2 Soal Solusi Ujian Ilustrasi Distribusi N t Misalkan distribusi antar-kedatangan adalah Poisson dengan mean λ; λ λi P(T n = i) = e, i = 0, 1, 2,... i! Tentukan P(N t = n), dimana N t = maks{n : S n t}. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

30 Ilustrasi Distribusi N t Perhatikan untuk kasus T 1, T 2,... p.a saling bebas berdistribusi eksponensial dengan parameter λ. Kita akan menentukan distribusi peluang N t. Untuk n = 0, P(N t = 0) = P(N t 0) P(N t 1) = P(S 0 t) P(S 1 t) = 1 (1 e λt ) = e λt = e λt (λt)0. 0! MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

31 Ilustrasi Distribusi N t Untuk n = 1, P(N t = 1) = P(N t 1) P(N t 2) dst untuk n = 2, 3,... = P(S 1 t) P(S 2 t) t λ 2 = (1 e λt ) 0 Γ(2) s 2 e λ s 2 ds 2 = (1 e λt ) ((1 e λt ) λt e λt) = λt e λt λt (λt)1 = e 1! MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

32 Ilustrasi Distribusi N t Cara lain untuk menentukan distribusi N t adalah dengan memandang peluang total P(N t = n) = = 0 t 0 P(N t = n S n = k) f Sn (k) dk P(T n+1 > t k) f Sn (k) dk MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

33 Ilustrasi Distribusi N t Untuk waktu antar-kedatangan berdistribusi eksponensial dengan parameter λ, P(N t = n) = t 0 = e λ(t k) λt (λt)n = e n! λ n Γ(n) kn 1 e λk dk MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

34 Ilustrasi-3 Soal Solusi Ujian Ilustrasi Distribusi N t Diketahui U 1, U 2,... peubah acak yang saling bebas berdistribusi U(0, 1). Misalkan Hitung E(N). N = min{n : U 1 + U U n > 1}. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

35 Ilustrasi Distribusi N t Diketahui T i Unif (0, 1). Misalkan S n = T T n. Untuk menentukan distribusi S n, kita gunakan teknik f.p.m, Jadi, S n. M Sn (t) = M T1 (t) M T2 (t) M Tn (t) ( e t ) ( 1 e t ) ( 1 e t ) 1 = t t t ( e t ) 1 n = t MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

36 Ilustrasi Distribusi N t Distribusi S n sulit untuk ditentukan (setidaknya, bentuk tidak cantik!). Akibatnya, distribusi N t pun sulit ditentukan. Mungkinkah kita menghitung E(N t )? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

37 Ilustrasi Distribusi N t Perhatikan: E(N t ) = = 0 t 0 = F (t) + E(N t T 1 = u) f (u) du ( ) 1 + E(N t u ) f (u) du t 0 E(N t u ) f (u) du MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

38 Ilustrasi Distribusi N t Jadi, untuk kasus waktu antar-kedatangan berdistribusi Unif (0, 1), t E(N t ) = F (t) + E(N t u ) f (u) du 0 t = t + E(N t u ) 1 du m(t) = t 0 0 m(y) dy, dengan memisalkan y = t u. Dengan menghitung turunan pertama dari m(t) dan menyelesaikan persamaan diferensial, diperoleh m(t) = e t 1, 0 t 1. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

39 Ilustrasi Distribusi N t Lalu, bagaimana dengan E(N)? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

40 Ilustrasi-4 Soal Solusi Ujian Ilustrasi Distribusi N t Wind(r)a bekerja tidak tetap (kadang-kadang dapat kerjaan, lebih sering sih jadi pengacara ). Rata-rata, Winda bekerja selama tiga bulan (untuk setiap pekerjaan yang dia terima). Jika waktu antar-pekerjaan yang Winda dapatkan berdistribusi eksponensial dengan mean dua, pada rate berapa Winda akan mendapat pekerjaan baru? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

41 Ilustrasi Distribusi N t Distribusi N t Kita mulai dengan memperhatikan pertanyaan berikut: mungkinkah banyaknya renewal N t dapat tak hingga pada waktu yang hingga?. Dengan kata lain, dapatkah kita tunjukkan bahwa N t = maks{n : S n t} valid atau berlaku? Catatan: S n adalah waktu untuk mendapatkan kedatangan atau kejadian atau renewal ke-n. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

42 Ilustrasi Distribusi N t Distribusi dari N t dapat ditentukan sbb: P(N t = n) = P(N t n) P(N t n + 1) = P(S n t) P(S n+1 t) = F Sn (t) F Sn+1 (t) dimana F f.d. dari T i, i 1; F n adalah distribusi dari S n. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

43 Ilustrasi Distribusi N t Sementara itu, mean N t adalah E(N t ) = P(N t n) = = n=1 P(S n t) n=1 F Sn (t) = m t = m(t). n=1 Catatan: m t disebut mean-value function. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

44 Ilustrasi Distribusi N t Untuk kasus waktu antar-kedatangan berdistribusi eksponensial, E(N t ) = F Sn (t) n=1 = F S1 (t) + F S2 (t) + t = k e λk dk + F S2 (t) + 0 ( = (1 e λt ) (1 e λt ) λt e λt) + = λt? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

45 Diskusi Soal Solusi Ujian Ilustrasi Distribusi N t Bagaimana jika E(N t ) = 2? E(N t ) = 2 t? Dapatkah informasi ini membantu kita untuk dapat menentukan distribusi N t? Bagaimana perilaku Nt t untuk t?* MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

46 Ilustrasi Distribusi N t Perhatikan kembali proses Poisson {N t } dengan parameter λ; N t POI (λt). Kita peroleh m t = E(N t ) = λt, yang merupakan fungsi linier dari t. Proses Poisson merupakan satu-satunya proses renewal yang memiliki m t linier. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

47 Ilustrasi Distribusi N t Misalkan suatu proses renewal memiliki m t = 2t dan kita ingin menentikan distribusi banyaknya renewal sampai waktu 10. Karena m t linier, maka kita dapat katakan proses renewal tersebut adalah proses Poisson dengan parameter λ = 2. Jadi, P(N 10 = n) = e 2 10 (2 10)n, n 0. n! MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

48 Perilaku S n dan S n /n Ilustrasi Distribusi N t Misalkan E(T i ) = µ, maka E(S n ) = E(T T n ) = n E(T i ) = n µ. i=1 Sementara itu, E ( ) Sn = E n ( ) T1 + + T n n = 1 n E(T T n ) = 1 n n E(T i ) = µ. i=1 MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

49 Ilustrasi Distribusi N t Dengan peluang 1, untuk n. S n n µ, MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

50 Perilaku N t dan N t /t Ilustrasi Distribusi N t Kita tahu N t = maks{n : S n t} yang memiliki distribusi tertentu (jika dapat ditentukan). Untuk N t POI (λt), misalnya, kita dapat melihat perilakunya pada suatu t melalui E(N t ) atau m t -nya. Diperoleh m t t λ. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

51 Ilustrasi Distribusi N t Secara umum berlaku, m t t 1 µ, untuk t (Teorema Renewal Elementer), dengan µ mean waktu antar-kedatangan. Catatan: 1/µ disebut rate dari proses renewal. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

52 Contoh/Latihan Soal Solusi Ujian Ilustrasi Distribusi N t Telpon seluler de Ika selalu terisi pulsa 100rb. Jika pulsa habis, Ika langsung mengisinya (kayaknya de Ika bandar pulsa ya). Pulsa 100rb Ika akan dapat dipakai (baca: memiliki masa hidup [dalam hari]) mengikuti distribusi Uniform pada selang [3, 6]. Pada setiap berapa hari Ika harus mengisi pulsa? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

53 Ilustrasi Distribusi N t Solusi: P.a berdistribusi U(3, 6) memiliki mean 4.5, lim t N t t = 1 µ, dengan µ = 4.5. Jadi, de Ika akan mengisi pulsa setiap 4.5 hari. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

54 Ilustrasi Distribusi N t Ternyata Ika bukan bandar pulsa, maksudnya saat pulsa Ika habis, Ika harus ke warung dan beli pulsa. Waktu yang dihabiskan Ika untuk mendapatkan pulsa baru adalah p.a. berdistribusi U(0, 1). Jadi, setiap berapa hari Ika harus mengisi pulsa? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

55 Suatu proses menghitung {N t, t 0} adalah jika barisan p.a. tak negatif {T 1, T 2,...} saling bebas dan berdistribusi identik. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

56 Contoh/Latihan Misalkan para nasabah bank akan datang ke sebuah mesin ATM mengikuti proses Poisson dengan parameter/laju λ. Namun nasabah-nasabah itu akan masuk ke ruang mesin ATM apabila mesin tersebut kosong (bukan kosong duitnya, tapi tidak ada yang memakai!) saat mereka datang. Jadi, kalau mesin ATM sedang dipakai seseorang maka nasabah baru yang datang akan pulang (daripada menunggu). Jika waktu yang dihabiskan nasabah di mesin ATM berdistribusi F, maka... MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

57 1. Apakah situasi ini dapat diterima? Dengan kata lain, mungkinkah nasabah datang mengikuti proses Poisson namun kemudian pulang jika mesin ATM sedang dipakai nasabah lain? Perlukah kita melihat kedatangan sebagai proses Poisson? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

58 Ya. Namun kita tidak (selalu) perlu melihat kedatangan sebagai proses Poisson. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

59 2. Dapatkah kita mengabaikan proses kedatangan nasabah dan hanya berkonsentrasi pada waktu yang dihabiskan nasabah di mesin ATM? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

60 Misalkan W p.a. menyatakan waktu yang dihabiskan nasabah di mesin ATM; asumsikan berdistribusi eksponensial dengan parameter λ. E(W ) = 1/λ. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

61 Pandang kasus: seseorang A menggunakan mesin ATM. Nasabah B datang dan bersedia menunggu orang tersebut. Waktu yang dihabiskan yang diharapkan atau expected amount of time B di mesin ATM adalah... MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

62 E(W B ) = 1/λ + 1/λ = 2/λ. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

63 3. Lanjutan dari butir 2, misalkan nasabah B datang dan menunggu hingga waktu s; jika s < t (t adalah waktu yang dihabiskan nasabah A di mesin ATM) maka nasabah B pulang. Jika s > t, berapa waktu yang dihabiskan nasabah B di mesin ATM? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

64 E(W B ) = s + 1/λ. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

65 4. Kembali ke situasi awal dimana kedatangan nasabah mengikuti proses Poisson. Misalkan para nasabah bersedia antre. Diketahui seorang nasabah sedang memakai mesin ATM. Ketika Vina datang, sudah ada 2 orang lain yang sedang antre. Berapa mean waktu yang dihabiskan Vina di mesin ATM? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

66 E(W B ) = 1/λ + 4/λ. (mean waktu proses Poisson plus mean waktu di ATM) MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

67 Teorema Renewal Elementer Misalkan proses renewal {N t } dengan T n menyatakan waktu antar-kedatangan kejadian ke-(n 1) dan ke-n. Misalkan m t = E(N t ) dan µ = E(T n ). Untuk t, m t t 1 µ. (Petunjuk: lihat *, perilaku Nt t untuk t ) MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

68 Teorema Limit Pusat untuk Misalkan {N t } proses renewal dengan mean dan variansi T n, berturut-turut, adalah µ dan σ, ( ) lim P N t t/µ t t σ 2 /µ < x = 1 x e x2 /2 dx. 3 2 π Dengan kata lain, untuk t besar, N t akan (mendekati) distribusi normal dengan mean t/µ dan variansi tσ 2 /µ 3. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

69 Ilustrasi 1 - Misalkan para calon penumpang bis transjakarta datang ke halte menurut proses renewal dengan mean waktu antar-kedatangan µ. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

70 Berapa waktu yang diharapkan (expected time) hingga calon penumpang kedua datang? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

71 E(S 2 ) = E(T 1 + T 2 ) = 2µ MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

72 Hitung peluang bahwa waktu yang tersisa (elapsed time) calon penumpang pertama lebih dari 2 jam? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

73 P(T 1 > 2) = MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

74 Tentukan mean kedatangan calon penumpang? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

75 t E(N t ) = m(t) = F (t) + 0 m(y) dy = MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

76 Misalkan para calon penumpang bis transjakarta datang ke halte menurut proses renewal dengan mean waktu antar-kedatangan µ. Lama waktu (number of hours) kedatangan bis yang berturutan adalah p.a uniform pada selang nol dan satu. Misalkan sebuah bis baru saja meninggalkan halte. Jika N t banyaknya penumpang yang akan masuk ke bis berikutnya, hitung E(N t ). MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

77 Misalkan U U(0, 1) adalah p.a. yang menyatakan waktu antar-kedatangan bis. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

78 Jadi, E(N t u) = E(N t U = u) = n t f Nt U = m(t) n t=0 E(N t ) = E(E(N t U)) = E(m(T )) = 1 0 m(t) dt MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

79 Misalkan para calon penumpang bis transjakarta datang ke halte menurut proses renewal dengan mean waktu antar-kedatangan µ. Apabila telah ada N calon penumpang menunggu maka bis akan berangkat. Pihak atau perusahaan transjkt mengeluarkan biaya sebesar n C (dalam ribu rupiah) apabila ada sejumlah n calon penumpang yang menunggu. Berapa rata-rata biaya yang harus dikeluarkan pihak perusahaan transjkt? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

80 Pertama, dapat kita katakan bahwa renewal terjadi apabila sebuah bis telah meninggalkan stasiun (yang artinya adalah sejumlah N calon penumpang berada di dalam bis). Situasi ini disebut sebagai siklus yang lengkap (a completed cycle). Panjang siklus yang diharapkan atau expected length of cycle adalah E(panjang siklus) = E(N T n ) = N E(T n ) = N µ MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

81 Biaya tiap siklus atau cost of a cycle dapat dihitung dengan memperhatikan jumlah calon penumpang melalui waktu antar-kedatangan calon penumpang. Untuk waktu antar-kedatangan T 1, misalnya, tidak calon penumpang yang menunggu sehingga biayanya adalah 0 C. Untuk T 2, ada 1 calon penumpang yang menunggu, dst, E(biaya siklus) = E(0 C T 1 ) + E(1 C T 2 ) + + E((N 1) C T n ) N = E((n 1) C T n ) n=1 = = Cµ N(N 1) 2 MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

82 Diskusi: Tepatkah menggambarkan reward untuk setiap kedatangan N calon penumpang? Mengapa tidak cukup hanya 1 calon penumpang? Apakah proses yang melekat pada kedatangan bis? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

83 Ilustrasi 2 - Masa hidup atau lifetime sebuah komputer adalah p.a. kontinu. Chen memiliki sikap berikut, dia akan membeli komputer baru apabila komputer lama rusak atau telah mencapai usia T tahun. Misalkan harga komputer baru adalah C 1 dan biaya yang dikeluarkan apabila komputer lama rusak adalah C 2. Asumsikan bahwa komputer yang rusak tidak dapat di-loak-kan. What is Chen s long-run average cost? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

84 Ujian? MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

85 Pandang proses renewal {N t, t 0} dengan waktu antar kedatangan T n, n 1. Misalkan setiap kali renewal ke-n terjadi, diperoleh reward R n. Asumsikan R n, n 1 saling bebas dan berdistribusi identik; meski dimungkinkan pula R n bergantung pada T n. Misalkan R t = R 1 + R R Nt, maka R t adalah reward total yang diperoleh sampai waktu t. MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

86 Proposisi Soal Solusi Ujian Misalkan E(R) = E(R n ) dan E(T ) = E(T n ). Jika E(R) < dan E(T ) <, maka (a) dengan peluang 1, lim t R t t = E(R) E(T ) (b) lim t E(R t ) t = E(R) E(T ) MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3

87 Sebuah siklus atau cycle dikatakan lengkap setiap kali renewal terjadi. Jadi, the long-run average reward is just the expected reward earned during a cycle divided by the expected length of a cycle MA5181 PROSES STOKASTIK Bab 3