Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start
Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks
Matriks & Ruang Vektor Persamaan Linear Persamaan dimana variabel atau peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri, perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri N buah variable,,, n yang dinyatakan dalam bentuk : a + a +.+ a n n = b dengan b, a, a,..., a n adalah konstanta-konstanta riil Sekumpulan nilai sebanyak n yang disubtitusikan ke n variabel : =k, =k n =k n sedemikian sehingga persamaan tersebut terpenuhi, maka himpunan nilai tersebut (k, k, k n ) disebut Himpunan Penyelesaian (solusi set).
Matriks & Ruang Vektor Persamaan Linear Contoh + + =5 =; =; = (,,) solusi =; =5; = (,5,) solusi =; =; = (,,) solusi Suatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >
5 Matriks & Ruang Vektor Sistem Persamaan Linear Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier didalam n variable:,,.., n disebut Sistem Persamaan Linier (SPL) Jika sistem m persamaan linear dalam n bilangan tak diketahui,,.., n : a + a +. + a n n = b a + a +. + a n n = b...... a m + a m +.+ a mn n = b m
Matriks & Ruang Vektor SPL SPL dengan satu variabel SPL dengan dua variabel SPL dengan banyak variabel
Matriks & Ruang Vektor Contoh SPL dengan Satu Variabel 5 + = t - = 7y + 56 = 5 Harga kamera canon ditambah pajak pembelian % adalah Rp. 5 +, =, = Rp. 5
Matriks & Ruang Vektor Contoh SPL dengan variabel Jika perusahaan A membeli Laptop () dan PC (y) maka ia harus membayar $5., sedangkan jika membeli Laptop dan PC maka ia harus membayar $.. Representasi dari masalah tersebut dalam bentuk SPL + y = 5 + y =
Matriks & Ruang Vektor SPL & Matriks Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom. Detil disini. SPL Umum: a + a + a + +a n n = b a + a + a + +a n n = b : a m + a n + a n + +a nn n = b m Matriks Koefisien A = a a a a n a a a a n = b = b b : a m a m a m a mn A = b : m : b m 9
Contoh:. Kelompok bilangan merupakan matriks, sebab susunannya berbentuk persegi dan bilangan-bilangan itu tersusun dalam baris dan kolom.. Kelompok bilangan bukan matriks, sebab susunannya tidak berbentuk persegi maupun persegi panjang, tetapi berbentuk segitiga.
BEBERAPA ISTILAH DALAM MATRIKS. Baris. Kolom. Elemen/unsur. Ordo
Baris, Kolom, dan Elemen Baris dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar atau horisontal dalam matriks. Kolom dari suatu matriks adalah bagian yang dituliskan tegak atau vertikal dalam matriks. Elemen atau unsur suatu matriks adalah bilangan-bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matriks itu.
Contoh:
Ordo dan Banyak Elemen Matriks Ordo atau ukuran dari suatu matriks ditentukan oleh banyak baris dan banyak kolom dari matriks itu. Banyak elemen atau banyak unsur dari suatu matriks ditentukan oleh hasil kali banyak baris dengan banyak kolom dari matriks itu.
Contoh: Matriks A dikatakan berordo atau berukuran Notasi : Banyak elemen dalam matriks A ditentukan oleh = 6
Jenis Matriks Matriks Baris Matriks Kolom atau Matriks Lajur Matriks Persegi Matriks Segitiga Matriks Diagonal Matriks Identitas Matriks Datar Matriks Tegak Matriks Skalar
Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks berordo n terdiri atas satu baris dan memuat n elemen disebut matriks baris. Matriks berordo m terdiri atas satu kolom dan memuat m elemen disebut matriks kolom atau matriks lajur. Contoh:
Matriks Persegi dan Matriks Segitiga Misalkan suatu matriks berordo m n dengan nilai m = n, sehingga diperoleh matriks berordo n n disingkat matriks berordo n disebut matriks persegi berordo n. Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks yang berada di bawah diagonal utama atau di atas diagonal utama semuanya bernilai nol disebut matriks segitiga (triangular).
Contoh: Matriks Persegi Matriks Segitiga (triangular)
Matriks Diagonal dan Matriks Identitas Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks yang berada di bawah dan di atas diagonal utama semuanya bernilai nol disebut matriks diagonal. Matriks diagonal berordo n dengan elemen-elemen pada diagonal utama semuanya bernilai disebut matriks identitas atau matriks satuan.
Contoh: Matriks Diagonal Matriks Identitas
Matriks Datar dan Matriks Tegak Matriks berordo m n dengan m < n, berarti banyak kolom lebih banyak dibandingkan dengan banyak baris disebut matriks datar. Matriks berordo m n dengan m > n, berati banyak baris lebih banyak dibandingkan dengan banyak kolom, sehingga susunan elemen-elemennya membentuk persegi panjang tegak disebut matriks tegak.
Contoh:
Matriks Skalar Matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu. Contoh :
Penyajian SPL sebagai Matriks Augmented a + a + a + + a n n = b a + a + a + + a n n = b : a m + a m + a m + + a mn n = b m a a a a n b a a a a n b :. a m a m a m a mn b m Matriks Augmented Matriks Koefesien dengan satu kolom tambahan, matrik B yang unsur-unsurnya adalah konstantakonstanta dari ruas kanan SPL Matriks Augmented
atau AX = B dengan A=(a ij ) matriks koefisien, X=(,,.., n ) * dan B=(b,b,,b n ) *. Matriks lengkap sistem tersebut adalah : (AB) a a... a m a a a... m............ a a n n...... b b... bm
Contoh + = 7 + 5 = - + = Dng notasi matriks 5 = 7 A X = B 7 + = - + = Dng notasi matriks 7 = A X = B A, matriks koefisien X, matriks variabel /peubah B, matriks konstanta
Pembagian SPL. SPL Homogen a + a +.. + a n n = a + a +.. + a n n =.. a m + a m +.. + a mn n = Contoh: + = + + =
. SPL Non Homogen a + a +.+ a n n = b a + a +.+ a n n = b a m + a m +.+ a mn n = b m CONTOH + = X + + = 5
SPL Konsisten dan Inkonsisten Apabila SPL mempunyai penyelesaian, maka disebut sistem persamaan linear yang konsisten, sebaliknya SPL tidak mempunyai penyelesaian disebut sistem persamaan linear yang inkonsisten. Suatu SPL yang konsisten mempunyai penyelesaian tunggal atau penyelesaian sebanyak tak berhingga. SPL Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN Tidak mempunyai penyelesaian disebut INKONSISTEN TUNGGAL BANYAK
Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan dalam grafik, maka: Var => sama Konst => tidak + y = 7 + y = 5 U P X U X U P X P berpotongan di titik P P berpotongan di titik P P berimpit Inkonsisten Konsisten
SUSUNAN PERSAMAAN LINIER HOMOGEN AX= NON HOMOGEN AX=B, B SELALU ADA JAWAB TAK PUNYA JAWAB R(a) r(a,b) MEMPUNYAI JAWAB Hanya Jawab Trivial (,, n =); r=n Selain Jawab Trivial, Ada Juga Jawab Nontrivial r<n JAWAB UNIK (TUNGGAL) r = n BANYAK JAWAB r < n Untuk menyelesaikan persamaan linier menggunakan metode Gauss. Jordan yaitu: merubah matriks augmented (A B) menjadi matriks eselon terreduksi dengan cara melakukan transformasi elementer.
Sistem Persamaan Linier Non Homogen Bentuk umum: A = B, dimana B Sistem Persamaan linier non homogen akan mempunyai jawab bila : Rank(A) = Rank(A B) Contoh ;. carilah titik persekutuan garis. -+6y = -9 dengan garis. -y = Jawab: -+6y=-9 -y= Dalam bentuk matriks= 6 9 atau A y - (A B) 6 : : 9 B ~ r(a)=r(a B)= r<n Jumlah variabel= < B 6 : : 9 B () ~ : : Jadi jawabnya tidak tunggal.
Contoh. Selesaikan sistem persamaan linier non homogen Di bawah ini : Jawab : B A ~ ) ( B ~ ) ( B ~ ) ( B 5 5 5 5 5 ~ /5) ( B 5 5
5 5 ~ ) ( B () B 6 6 ~ / 6) ( B ~ () B ) ( B Rank (A) = R (A B) = = banyaknya variabel Jadi jawabnya tunggal Matriks lengkap di atas menyatakan: Sehingga sebagai penyelesaiannya : atau
Sistem Persamaan Linier Homogen Bentuk umum: A =, yaitu: a + a +... a n n = a + a +... a n n = a m m +a m m +... a mn n = Atau= n mn m mn n n a a a a a a a a a Matriks A berukuran (m n) Matriks berukuran (n ) Matriks o berukuran (m ) Karena matriks lengkapnya (A Õ) maka akan selalu berlaku rank (A)=rank (A Õ). Sehingga sistem persamaan linier homogen selalu mempunyai jawab (konsisten).
Contoh. Selesaikan sistem persamaan linier dibawah ini : Jawab : Sehingga solusinya : Yaitu solusi trivial atau atau ) (A ~ ) ( B ) ( B ~ B ~ ) ( B ) ( B,,
. Selesaikan sistem persamaan linier di bawah ini : Jawab : atau ) (A ~ ) ( B ) ( B ~ () B
Rank (A) = (A ) = < n = jadi solusinya tidak tunggal (banyak) ~ ) (/ B / / ~ ) ( B / / / /
Dimana : dan bebas. Sehingga : Berlaku untuk setiap bilangan riil a & b b a - b a - didapat b dan a untuk -/ / b -/ -/ a b a b a /b - -/a /b -/a
Matriks & Ruang Vektor Latihan. Yang manakah dari persamaan berikut yang merupakan persamaan linier dalam,, dan? a. + + = b. + + = sin k (k adalah sebuah konstanta) c. - + / = d. = - + 7 e. + - - =5 f. =. Carilah himpunan penyelesaian untuk: a. 6-7y= b. + - 7 =8. Carilah matriks augmented untuk tiap SPL berikut: a. - = b. + = + = - + 5 = - = + =
Latihan Matriks & Ruang Vektor. Carilah sebuah SPL yang bersesuaian dengan setiap matriks augmented berikut! a. 5. Definisikan SPL berikut sebagai Konsisten atau inkonsisten dengan menggambarkan garis persamaannya. b. a. + y = b. + y = y = 8 + y = 6