MENENTUKAN EIGEN PROBLEM ALJABAR MAX-PLUS SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Strata Satu dalam Program Studi Matematika Disusun Oleh: HANIK IMTIHANAH 09610018 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA 2015
Expert PDF Trial
KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan segala nikmat, rahmat dan hidayah-nya kepada penulis, sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Shalawat serta salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW. Semoga kita termasuk umatnya yang akan mendapatkan syafa atnya kelak di hari kiamat. Amin. Penulisan skripsi ini tidak akan terselesaikan tanpa adanya do a, bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak. Maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang tiada terkira kepada: 1. Bapak Prof. Drs. H. Akh. Minhaji, M.A., Ph.D selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah memberikan ijin kepada penulis untuk melaksanakan penulisan skripsi ini. 2. Ibu Dra. Hj. Khurul Wardati, M.Si selaku pembimbing pertama penulis yang senantiasa memberikan bimbingan, arahan, motivasi dan banyak ilmu yang telah diberikan. 3. Bapak M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc selaku pembimbing kedua penulis yang dengan kesabarannya memberikan bimbingan dan arahan dalam penyusunan skripsi ini. 4. Bapak dan Ibu dosen dan seluruh Staf karyawan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga atas ilmu yang telah diberikan. 5. Ibu, Bapak serta keluarga tercinta di Purworejo yang selalu mendo akan dan memotivasi penulis sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. v
Expert PDF Trial
PERSEMBAHAN SKRIPSI INI PENULIS PERSEMBAHKAN KEPADA: FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UIN SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA SERTA IBU, BAPAK TERCINTA SAHABAT-SAHABAT SEPERJUANGAN DAN KELUARGA BESAR MI WAHID HASYIM YOGYAKARTA vii
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i SURAT PERSETUJUAN SKRIPSI... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii SURAT PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI... iv KATA PENGANTAR... v HALAMAN PERSEMBAHAN... vii HALAMAN MOTTO... viii DAFTAR ISI... ix ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN... xi ABSTRAK... xv BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah... 1 1.2 Batasan Masalah... 5 1.3 Rumusan Masalah... 5 1.4 Tujuan Penelitian... 5 1.5 Manfaat Penelitian... 6 ix
1.6 Tinjauan Pustaka... 6 1.7 Metode Penelitian... 7 1.8 Sistematika Penulisan... 9 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Digraf... 10 2.2 Matriks Representasi... 15 BAB III ALJABAR MAX-PLUS 3.1 Struktur Aljabar... 16 3.2 Operasi pada Aljabar Max-Plus... 21 3.3 Sifat Dasar Aljabar Max-Plus... 34 3.4 Digraf dan Matriks Aljabar Max-Plus... 42 3.5 Rata-rata Maksimum Sirkuit... 47 3.6 Transitive Closures... 52 BAB IV EIGEN PROBLEM DALAM ALJABAR MAX-PLUS 4.1 Konsep Dasar Eigen Problem... 54 4.2 Bobot Rata-rata Maksimum Sirkuit adalah Nilai Eigen Utama... 60 x
BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan... 71 5.2 Saran-saran... 72 DAFTAR PUSTAKA... 73 xi
ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN : himpunan bilangan real n : himpunan vektor bilangan real : nilai eigen I : matriks identitas det : determinan : operasi penjumlahan dalam aljabar max-plus (berarti max) : operasi perkalian dalam aljabar max-plus (berarti plus (+)) : kuantor universal : kuantor eksistensial x A : x elemen himpunan A : himpunan bilangan bulat Q : himpunan bilangan rasional : {} max a -1 : invers a : elemen netral dalam aljabar max-plus (bernilai ) e : elemen satuan dalam aljabar max-plus (bernilai 0) xii
max : maksimum x x... x x n : x pangkat n n mn max : matriks ukuran m x n atas aljabar max-plus : himpunan bilangan asli A T : martiks transpose dari A E n : matriks identitas pada aljabar max-plus : akhir suatu bukti : standar urutan : implikasi : subset D : digraf (selanjutnya dinyatakan dengan graf) V : vertex; himpunan semua titik pada suatu graf E : edges; himpunan semua busur pada suatu graf : lintasan (path) l( ) : panjang lintasan w( ) : bobot lintasan u v : titik u mencapai titik v xiii
D A : graf preseden dari matriks A : sirkuit (, A) : nilai rata-rata sirkuit atas A (A) : nilai rata-rata maksimum suatu sirkuit N c (A) : titik kritis pada D A (A) : transitive closure lemah (A) : transitive closure kuat V(A,) : himpunan vektor eigen yang bersesuaian dengan : sigma ; penjumlahan dari beberapa elemen xiv
ALJABAR MAX-PLUS Oleh : Hanik Imtihanah (09610018) Aljabar max-plus ( max ABSTRAK ) adalah himpunan semua bilangan real digabung, dengan operasi penjumlahan didefinisikan sebagai nilai maksimum dan operasi perkalian didefinisikan sebagai nilai penjumlahan biasa. Aljabar maxplus merupakan semifield idempotent komutatif, dengan demikian tidak mempunyai invers pada operasi. Pada himpunan bilangan real dikenal vektor dan matriks yang elemen-elemennya bilangan real beserta operasi-operasi pada vektor dan matriks real. Demikian pula pada terdapat vektor dan matriks yang elemen-elemennya di max beserta operasi-operasinya pada max. Eigen problem yang meliputi nilai eigen dan vektor eigen merupakan salah satu topik dalam aljabar yang dimiliki oleh matriks bujur sangkar. Berbeda dengan aljabar linear biasa, eigen problem dalam tidak dapat diselesaikan dengan metode max determinan. Pada max matriks bujur sangkar A dapat direpresentasikan dalam bentuk graf yang disebut dengan graf preseden dan dinotasikan dengan D A. Pada penelitian ini akan dibahas bagaimana cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen pada matriks dalam aljabar max-plus dengan merepresentasikannya ke dalam graf. max max Kata kunci : aljabar max-plus, nilai eigen, vektor eigen. xv
2 C yang menghubungkan kedua stasiun sebelumnya menuju stasiun selanjutnya. Lama perjalanan dari A menuju C dinotasikan dengan a 1 dan lama perjalanan dari B menuju C adalah a 2. Untuk waktu keberangkatan kereta dari stasiun A dinotasikan dengan x 1, sedangkan dari B dinotasikan dengan x 2. Misalkan tidak ada jadwal keberangkatan kereta dan kereta langsung berangkat setelah penumpang berganti di stasiun C, maka keberangkatan kereta (b) di stasiun C dapat ditentukan oleh kedatangan kereta dari stasiun A dan B. b max( x1 a1, x2 a2) (1.3) Jika operasi max dinotasikan dengan dan operasi penjumlahan dinotasikan dengan, maka persamaan (1.3) dapat dituliskan dengan persamaan berikut: b x a ) ( x ) (1.4) ( 1 1 2 a2 Adapun permasalahan transportasi yang lain (Butkovič, 2010), diperhatikan dua penerbangan dari bandara A dan B, tiba di sebuah bandara utama C yang menghubungkan keberangkatan kedua penerbangan lainnya. Bandara utama C mempunyai beberapa pintu gerbang dan waktu transfer diantara kedua pesawat tersebut nontrivial. Diberikan waktu keberangkatan pesawat di bandara C adalah b 1 dan b 2. Waktu transfer diantara kedatangan kedua pesawat dan waktu keberangkatan kedua pesawat diberikan dalam matriks a A a 11 21 a a 12 22
4 b 1 = x d a ) ( x d ) (1.7) ( 1 1 11 2 2 a12 sedangkan persamaan (1.6) dapat dituliskan dengan persamaan berikut: b 2 = x d a ) ( x d ) ( 1 1 21 2 2 a22 b 2 = x d a ) ( x d ) (1.8) ( 1 1 21 2 2 a22 selanjutnya, persamaan (1.7) dan (1.8) dapat ditulis dengan b1 ( x1 d b2 ( x1 d 1 1 a a 11 21 ) ( x ) ( x 2 2 d d 2 2 a a 12 22 ) ) a a 11 21 a a 12 22 x1 d x2 d 1 2 (1.9) secara umum, persamaan (1.9) dapat dinyatakan dengan sistem persamaan linear b A x (1.10) Kedua permasalahan mengenai sistem transportasi di atas dapat dimodelkan secara matematis ke dalam persamaan non linear, namun permasalahan tersebut dapat dimodelkan menjadi permasalahan linear dengan cara merubah operasi max menjadi dan operasi penjumlahan menjadi. Dalam Rudhito (2005) sistem (1.10) di atas disebut dengan sistem persamaan linear maxplus. Sistem persamaan linear (1.10) menunjukkan bahwa dalam aljabar maxplus terdapat matriks sebagaimana dalam aljabar biasa. Nilai eigen dan vektor
5 eigen merupakan salah satu topik pembahasan pada aljabar yang memiliki matriks. Menurut Subiono (2013) eigen problem dalam aljabar max-plus dapat digunakan untuk menganalisa periode penjadwalan dalam sistem transportasi. Untuk itu, sesuai dengan kedua permasalahan di atas, untuk mengetahui periode keberangkatan pesawat dan penyusunan jadwalnya, penulis tertarik untuk membahas mengenai eigen problem, yaitu menentukan nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus. 1.2. Batasan Masalah Pembatasan masalah dalam suatu penelitian sangat diperlukan agar objek yang dikaji jelas dan mudah dipahami. Permasalahan dalam penulisan ini adalah masalah eigen pada aljabar max-plus. Eigen problem yang akan dibahas adalah nilai eigen dan vektor eigen aljabar max-plus. 1.3. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah dijabarkan, maka permasalahan yang akan dibahas dalam penulisan ini adalah mengenai bagaimana menentukan nilai eigen dan vektor eigen pada aljabar max-plus. 1.4. Tujuan Penelitian Berdasarkan pada permasalahan maka tujuan dari penulisan ini adalah untuk mengetahui cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen pada aljabar maxplus.
6 1.5. Manfaat Penelitian Manfaat dari penulisan ini adalah: 1. Memberikan pengetahuan tentang konsep menentukan nilai eigen dan vektor eigen pada aljabar max-plus. 2. Memberikan kemudahan untuk mendapatkan solusi/ penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear dalam aljabar max-plus yang dapat digunakan untuk memodelkan suatu permasalahan nyata, yaitu permasalahan sistem dinamis. 3. Memberikan motivasi kepada peneliti selanjutnya untuk mengembangkan penelitian mengenai aljabar max-plus. 1.6. Tinjauan Pustaka Penulisan tugas akhir ini mengacu pada literatur utama yaitu buku yang ditulis oleh Bacelli, et.al. (2001). Bacelli membahas mengenai aljabar max-plus, sistem persamaan linear max-plus, aljabar max-plus dan teori graf. Konsep dasar eigen problem aljabar max-plus dijelaskan oleh Butkovič, P (2010), digunakan sebagai acuan dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Rudhito (2003) membahas mengenai sistem linear max-plus waktuinvariant yang meliputi analisis input-output dan sifat periodik sistem linear maxplus waktu-invariant, dengan menggunakan sistem persamaan linear max-plus sebagai konsep dasar dalam pembahasannya. Tesis tersebut memberikan inspirasi pada penulis untuk membahas mengenai aljabar max-plus. Perbedaan antara penulisan ini dengan penulisan tersebut yaitu, dalam penulisan ini, penulis
7 menggunakan sistem persamaan linear max-plus untuk memperoleh nilai eigen dan vektor eigen atas aljabar max-plus, sedangkan tesis tersebut menggunakan sistem persamaan linear max-plus untuk menyelesaikan masalah input-output pada siatem linear max-plus waktu-invariant. Rudhito (2008) juga memberikan tambahan wacana untuk penelitian ini. Dalam artikelnya, M. Andhi Rudhito membahas mengenai eksistensi dan ketunggalan nilai eigen dan vektor eigen atas aljabar max-plus interval. Artikel tersebut memberikan tambahan wawasan kepada penulis untuk membahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen atas aljabar max-plus. 1.7. Metode Penelitian Penelitian yang dilakukan penulis adalah studi literatur, yaitu dengan mempelajari dan mengkaji beberapa buku, jurnal, karya ilmiah, dan beberapa referensi lain yang berkaitan dengan cara menentukan eigen problem pada aljabar max-plus. Sifat penelitian yang dilakukan adalah kualitatif. Penulis melakukan klarifikasi dan membuktikan teorema-teorema yang terdapat pada buku acuan. Penulis juga mencoba mengkonstruksi beberapa contoh yang ada pada buku acuan dan mengembangkannya. Sumber data yang penulis gunakan dalam penulisan ini berupa buku, tesis, jurnal, makalah, artikel, dan hasil penelitian lain yang relevan. Dari sumber data tersebut, tidak semuanya penulis jadikan sebagai acuan secara langsung. Hanya sumber data berupa buku yang penulis jadikan sebagai bahan acuan secara
8 langsung, terutama yang berkaitan dengan definisi dan contoh. Meski demikian, sumber-sumber data lain memberikan wawasan dan warna tersendiri dalam penulisan ini. Tujuan dari penulisan ini adalah untuk mengetahui cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen pada aljabar max-plus. Sebelumnya terlebih dahulu dijelaskan mengenai landasan teori yang digunakan, yaitu teori graf. Teori ini digunakan sebagai landasan berpikir untuk menyelesaikan eigen problem dalam aljabar max-plus, karena matriks aljabar max-plus dapat direpresentasikan ke dalam graf. Selain itu, masalah sistem dinamis sebagaimana sistem transportasi, dapat diilustrasikan menggunakan graf berarah berbobot dan dapat ditangani dengan baik oleh aljabar max-plus. Selanjutnya, diberikan pembahasan mengenai struktur aljabar max-plus untuk mengetahui sifat-sifat dan operasi yang berlaku pada aljabar max-plus. Struktur aljabar max-plus adalah semiring idempoten komutatif, sehingga berbeda dari aljabar linear bisa, operasi tidak invertibel. Oleh karena itu, digunakan teori graf untuk menyelesaikan eigen problem dalam aljabar max-plus. Keterkaitan antara aljabar max-plus dengan teori graf adalah adanya graf representasi matriks atas aljabar max-plus, yang disebut dengan graf preseden. Graf preseden tersebut dapat memuat suatu sirkuit, sehingga diberikan pembahasan mengenai rata-rata makimum sirkuit dan transitive closures sebagai konsep dasar untuk menyelesaikan eigen problem dalam aljabar max-plus.
9 1.8. Sistematika Penulisan Penulisan ini terdiri atas 5 bab, dengan rincian sebagai berikut: - Bab I berisi pendahuluan, antara lain berisi tentang latar belakang masalah, batasan masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, serta sistematika penulisan. - Bab II berisi pembahasan mengenai landasan teori yang digunakan, yaitu teori graf. - Bab III berisi pembahasan mengenai definisi dan konsep dasar aljabar maxplus. Pembahasan tersebut meliputi struktur aljabar max-plus, operasi yang berlaku pada aljabar max-plus, sifat dasar aljabar max-plus, keterkaitan antara teori graf dengan aljabar max-plus, rata-rata maksimum sirkuit dan transitive closures. - Bab IV berisi pembahasan mengenai masalah yang diteliti, yaitu berisi definisi-definisi dan teorema-teorema mengenai eigen problem aljabar maxplus. - Bab V adalah penutup yang berisi kesimpulan dan saran.
BAB V PENUTUP 5.1 KESIMPULAN Berdasarkan penelitian serta studi literatur yang penulis lakukan mengenai menentukan eigen problem aljabar max-plus, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Nilai eigen unik dari matriks A merupakan nilai maksimum bobot ratarata dari semua sirkuit elementer yang mungkin pada graf D A. 2. Vektor eigen yang bersesuaian dengan merupakan kolom ke-v dari matriks (A ) untuk suatu v N c (A), dengan 1 A (( A)) A. 3. Dalam terapannya, nilai eigen dapat digunakan untuk menyatakan periode dalam suatu sistem dinamik, sedangkan vektor eigen yang bersesuaian dapat digunakan dalam penyusunan jadwal dalam suatu sistem dinamik, misalnya dalam sistem transportasi. 5.2 SARAN Berdasarkan pada studi literatur yang telah penulis lakukan, maka dapat disampaikan beberapa saran berikut: 1. Penelitian ini hanya dibatasi pada penyelesaian eigen problem yang meliputi nilai eigen dan vektor eigen, diharapkan ada penelitian lebih lanjut yang akan membahas mengenai ruang eigen. 73
74 2. Penelitian ini juga hanya membahas mengenai eigen problem pada matriks aljabar max-plus secara umum, oleh karena itu penulis menyarankan untuk melakukan penelitian untuk matriks yang lebih khusus, misal matriks yang irredusibel, matriks sirkulan, maupun yang lainnya. 3. Pada bagian akhir tulisan ini penulis hanya sekilas membahas contoh terapan aljabar max-plus dalam jaringan transportasi, untuk itu penulis mengharapkan ada penelitian selanjutnya yang secara khusus membahas mengenai aplikasi atau terapan aljabar max-plus dalam kehidupan nyata. 4. Pembahasan mengenai ilmu terapan untuk aljabar max-plus secara lengkap dapat dilihat di Bacelli (2001), Subiono (2013) dan referensi lain. Semoga tugas akhir ini dapat menjadi inspirasi bagi pembaca untuk mengembangkan lebih lanjut tentang konsep eigen problem dalam aljabar maxplus khususnya dan konsep aljabar max-plus pada umumnya.
75 DAFTAR PUSTAKA Aldous, Joan M. 2004. Graph and Applications an Introductory Approach. Springer Verlag. London. Bacelli, F., et al. 2001. Synchronization and Lineraity. NewYork: John Wiley & Sons Butkovič, P., 2010. Max-Linear Systems: Theory and Algorithms. University of Birmingham. Birmingham, UK. Farlow, Kasie G. 2009. Max-Plus Algebra. Thesis: Faculty of the Virginia Polytechnic Institute and State University. Virginia. Kandasamy, W.B., Vasantha. 2002. Smarandache Semirings, Semifield, and Semivector spaces. American Research Press: Rehoboth, NM Novrida, Rida. 2012. Nilai Eigen dan Vektor Eigen dalam Aljabar Max-Plus. Tesis: Program Pascasarjana Universitas Indonesia. Depok. Rudhito, Andy. 2003. Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant. Tesis: Program Pascasarjana Universitas Gadjah Mada. Yogyakarta. Rudhito, Andy, dkk. 2008 Nilai Eigen dan Vektor Eigen atas Aljabar Max-Plus Interval. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika. FMIPA UNY. Yogyakarta. 28 November 2008. Schutter, Bart DE., 1996. Max-Algebraic System Theory for Discrete Event System. PhD Thesis. Department of Electrical Engineering, Katholieke Universiteit Leuven. Subiono, 2013. Aljabar Maxplus dan Terapannya. Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya.