BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor

BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan perkalian vektor dengan besaran skalar dan vektor lain Mempelajari fisika secara utuh dan mendalam tidak bisa dilakukan tanpa memahami aturanaturan pengoperasian vektor. Sebagaimana telah dipelajari di sekolah menengah, sebagian besaran hanya dinyatakan dengan nilai (magnitude) dan satuan saja, sementara sebagian besaran lainnya dinyatakan dengan nilai, satuan, dan juga arah. Besaranbesaran jenis pertama disebut besaran skalar sedangkan besaranbesaran jenis kedua disebut besaran vektor. Contoh dari besaran skalar adalah jarak, kelajuan, massa, suhu, waktu, usaha, dan energi. Contoh dari besaran vektor adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, momentum, impuls, dan momen gaya (torsi). A. Representasi Vektor, Kesamaan Vektor, dan Komponen Vektor Besaran vektor dilambangkan dengan huruf yang dicetak tebal dan tegak atau dengan huruf biasa (tegak dan tidak tebal) namun dengan anak panah diatasnya. Pada buku ini, besaran vektor ditandai dengan huruf tegak, baik huruf kapital atau pun tidak, yang dicetak tebal. Secara grafis, vektor direpresentasikan dengan anak panah. Arah anak panah menyatakan arah vektor dan panjangnya menyatakan nilai (besar/magnitudo) vektor. Pada Gb. 1.1 diberikan contoh dua buah vektor, vektor dan vektor. A2 A1 (a) (b) Gb. 1.1 Vektor dan vektor Sebagai vektor, vektor dan memiliki baik nilai dan juga arah. Nilai dari vektor disimbolkan dengan atau sederhananya, dan direpresentasikan/ditunjukkan oleh panjang anak panah. Arah vektor adalah ke kanan atau membentuk sudut 0 terhadap sumbu x positif. Sementara itu, vektor memiliki nilai atau dengan arah terhadap sumbu x positif. Dari gambar di atas tampak bahwa nilai vektor lebih besar daripada nilai vektor. Selain itu, kedua vektor tersebut juga memiliki arah yang berbeda. Maka vektor. A B C D E F G Gb. 1.2 Macammacam nilai dan arah vektor Dua vektor dikatakan sama jika nilai dan arah keduanya sama. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Gb. 1.2 berikut. Vektor A memiliki nilai 3 2 satuan dengan arah membentuk sudut 45 o terhadap sumbu x positif. Vektor lain yang memiliki nilai yang sama dengan vektor A adalah vektor E dan G. Vektor lain

2 yang memiliki arah yang sama dengan vektor A adalah vektor B dan G. Maka vektor lain yang sama dengan vektor A hanya vektor G sehingga dapat ditulis A = G. Suatu vektor lebih mudah dianalisis jika digambarkan pada sistem koordinat cartesian, seperti vektor pada Gb. 1.3 (a) dan vektor pada Gb. 1.3 (b). Vektorvektor tersebut dapat diuraikan pada tiaptiap sumbu koordinat. Penguraian vektor pada suatu sumbu koordinat dilakukan dengan memproyeksikan vektor pada masingmasing sumbu. Vektor dalam koordinat dua dimensi dapat diurai menjadi dua vektor komponen, dengan satu vektor komponen pada masingmasing sumbu. Vektorvektor komponennya adalah, vektor komponen pada sumbu, dan, vektor komponen pada sumbu. Sementara Vektor yang merupakan vektor tiga dimensi dapat diurai menjadi tiga vektor komponen, yaitu (vektor komponen sumbu ), (vektor komponen sumbu ), and (vektor komponen sumbu ). (a) (b) Gb. 1.3 Vektor dan vektorvektor komponennya Pada Gb. 1.3 (a), vektor S diuraikan menjadi dua vektor komponennya, maka jumlah kedua vektor komponen tersebut sama dengan vektor S, = + dengan = vektor komponen S pada sumbu x = vektor komponen S pada sumbu y Berdasarkan gambar, nilai vektor yaitu dapat dinyatakan dengan nilainilai dari vektor komponennya, dan dengan menggunakan teorema pitagoras, yaitu = + dengan = nilai vektor = nilai = nilai Sementara itu, vektor T pada Gb. 1.3 (b) terurai pada tiga sumbu, maka hubungan yang berlaku adalah = + + dengan = vektor komponen T pada sumbu x = vektor komponen T pada sumbu y

3 = vektor komponen T pada sumbu z Nilai vektor T, yaitu jika dinyatakan dalam nilainilai vektor komponennya yaitu,, and! dengan menggunakan teorema Phytagoras, diperoleh = + +! dengan = nilai vektor T = nilai = nilai! = nilai. B. Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor tak berdimensi yang bernilai satu dan dengan arah tertentu. Vektor satuan dilambangkan dengan huruf yang dicetak tebal dan diberi tanda topi di atasnya. Oleh karena tidak berdimensi maka vektor satuan bukanlah z vektor dalam arti yang sebenarnya. Vektor satuan hanya membawa informasi arah saja. &' Pada sistem koordinat cartesian, didefinisikan vektorvektor satuan % y pada masingmasing sumbu. Vektorvektor satuan tersebut adalah ", %, dan " &', yang secara berturutturut mengarah pada sumbu x positif, sumbu y positif, dan sumbu z positif (Gb. 1.4). Dengan adanya definisi vektor satuan ", %, dan &' maka sembarang vektor dalam koordinat cartesian dapat dinyatakan menggunakan vektorvektor satuan tersebut. Vektor S dan T pada Gb. 1.3 sebelumnya, jika dinyatakan dengan vektor satuan maka menjadi =S ) " +S * % = " + % +! &' Gb. 1.4 Vektor satuan Selanjutnya, kita juga dapat mencari vektor satuan pada sembarang arah, misalnya vektor satuan yang searah dengan vektor. Vektor satuan ini diperoleh dengan membagi vektor dengan nilainya sendiri,. Vektor satuan ini dilambangkan dengan +, dan disebut sebagai vektor satuan dari. + = + = S ) " +S * % + Contoh Soal Posisi titik A (6,6) dan titik B (5,2) dalam koordinat cartesius masingmasing dinyatakan oleh vektor, dan vektor,. a) Nyatakan vektor, dan, dalam ungkapan vektor satuan adalah ", %, dan &', serta tentukan vektorvektor komponennya masingmasing! b) Tentukan vektor satuan yang searah dengan vektor, dan vektor,

4 Penyelesaian a) Vektor, = 6 " +6 %, komponennya adalah, = 6 ", dan, =6 % Vektor, =5 " +2 %, komponennya adalah, =5 ",, =2 % b) Vektor satuan yang searah,,. =, 5 6 6 " +6%,. = 7( 6) +6 6 " +6%,. = 6 2 " + %,. = 2,. = " 2 + % 2 Yang searah, :,. =, / 0 5 " +2%,. = 5 +2 5 " +2%,. = 29,. = 5 " 29 + 2 % 29 C. Penjumlahan Vektor Penjumlahan pada besaran vektor hanya dapat dilakukan terhadap besaranbesaran vektor yang sejenis. Penjumlahan vektor dapat dilakukan secara grafis maupun menggunakan vektor komponen. Penjumlahan vektor secara grafis dapat dilakukan dengan metode jajargenjang dan metode poligon. 1. Metode Jajargenjang Penjumlahan kedua vektor dengan metode jajargenjang dilakukan dengan membuat dua garis putusputus yang masingmasing sejajar dengan vektor A dan B. Garis putusputus yang sejajar dengan vektor A diletakkan di ujung vektor B, dan garis putusputus yang sejajar dengan vektor B, diletakkan di ujung vektor A. Hasilnya, diperoleh bangun jajar genjang yang dibentuk oleh kedua vektor dan kedua garis putusputus tersebut. Resultan dari vektor dan B adalah sebuah vektor yang terletak pada diagonal jajar genjang tersebut dengan titik pangkal berimpit dengan titik pangkal kedua vektor (Gb. 1.5). ;=+ : : Gb. 1.5 Penjumlahan vektor dengan metode jajargenjang

5 Jika nilai vektor A dan vektor B diketahui serta sudut yang dibentuk oleh keduanya diketahui maka nilai resultan vektor R dapat diperoleh dengan menggunakan rumus cosinus, yaitu < =7 += +2= cos : dengan = nilai vektor A = = nilai vektor B : = sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B 2. Metode Poligon Penjumlahan vektor dengan metode poligon disebut juga dengan penjumlahan vektor dengan metode segibanyak. Jika vektor yang dijumlahkan hanya dua buah maka disebut juga dengan metode segitiga. Penjumlahan beberapa vektor dengan metode poligon dilakukan dengan menggeser vektor kedua sehingga pangkal vektor kedua berimpit dengan ujung vektor pertama. Selanjutnya vektor ketiga digeser posisinya sehingga pangkalnya berimpit dengan ujung vektor kedua, begitu seterusnya sampai vektor teraktir. Resultan vektor dari penjumlahan ini adalah suatu vektor dengan titik pangkal yang berimpit pada pangkal vektor pertama dan ujung yang berimpit dengan vektor terakhir. Perlu diketahui bahwa suatu vektor dapat digeser posisinya dengan syarat panjang dan arahnya tetap sama. ; ; (a) (b) (c) Gb. 1.6 Sifat komutatif pada penjumlahan vektor Sebagai contoh, pada Gb. 1.6 (a) terdapat dua vektor sejenis, vektor dan vektor. Penjumlahan keduanya dilakukan dengan menggeser vektor B sehingga pangkalnya berimpit dengan ujung vektor A. Maka vektor resultan ;, dimana ;= +, adalah suatu vektor dengan titik pangkal yang berimpit dengan titik pangkal vektor A dan ujung yang berimpit dengan ujung vektor B, Gb. 1.6 (b). Hasil yang sama akan diperoleh jika +. Pada Gb. 1.6 (c) terlihat bahwa ;= +. Dengan demikian, berlaku sifat komutatif pada penjumlahan vektor, yaitu ;= + = +. Lebih lanjut, jika tiga buah vektor dijumlahkan, misalnya vektor,,dan D, maka caranya dengan menggeser vektor agar pangkalnya berimpit dengan ujung vektor, setelah itu menggeser vektor D agar pangkalnya berimpit dengan ujung vektor, seperti yang ditunjukkan pada Gb. 1.7 Maka diperoleh resultan vektor, ;=++D D ; D 3. Metode Vektor Komponen Gb. 1.7 Penjumlahan tiga vektor Sekarang mari kita lihat bagaimana menggunakan metode vektor komponen untuk menjumlahkan vektor secara matematis. Anggap kita memiliki dua vektor, dan, yaitu = " + %

6 == " += % Jika dijumlahkan maka resultannya adalah ;= + ;=E " + % F+(= " += % ) ;=( " += " )+( % += % ) ;=( += ) " +E += F % Sementara itu, vektor ; dapat dinyatakan dengan vektor satuan, ;=< " +< % maka diperoleh nilai vektor komponen dari ;, yaitu < = += < = += Contoh Soal Pada gambar di samping, diberikan tiga vektor gaya. Tentukan resultan dari ketiga gaya itu menggunakan metode jajargenjang, poligon, dan vektor komponen! Penyelesaian Penjumlahan dengan metode jajargenjang dan poligon yaitu: (a) Metode jajargenjang (b) Metode poligon Tampak bahwa resultan vektor yang diperoleh dari kedua metode ini adalah sama. Jika dinyatakan dalam vektor satuan, resultannya adalah G ; G +G +G I =10 " 2 % Sementara itu, untuk menjumlahkan dengan metode vektor komponen, terlebih dahulu kita harus menuliskan ketiga vektor dengan ungkapan vektor satuan ", %, dan &'. Dari gambar diperoleh G = 4" +4%, G =9", dan G I =5" 6% Maka resultan dari ketiga vektor itu adalah G ; =G +G +G I G ; =( 4 " +4 % )+(9 " )+(5 " 6 % ) G ; =10 " 2 % Hasil ini sama dengan yang diperoleh sebelumnya. Namun, metode vektor komponen lebih mudah digunakan. D. Pengurangan Vektor

7 Pengurangan vektor adalah penjumlahan suatu vektor dengan vektor negatif. Jika vektor dikurangi dengan vektor maka sama dengan vektor ditambahkan dengan negatif dari vektor. =+( ) Negatif dari vektor yaitu vektor adalah suatu vektor yang memiliki nilai sama dengan vektor namun berlawanan arah. Pada Gb. 1.8 (a), diberikan vektor,, dan D. Negatif dari ketiga vektor tersebut ditunjukkan oleh Gb. 1.8 (b). D D (a) Gb. 1.8 (a) Vektor,, dan D (b) (b) Negatif dari vektor,, dan D Dengan menggunakan vektor negatif, prosedur pengurangan vektor secara prinsip sama dengan penambahan vektor. Berikut ini diperlihatkan hasil dari pengurangan vektor :, D, dan. D D (a) (b) (c) Gb. 1.9 Pengurangan vektor Jika vektor dapat dinyatakan dalam vektorvektor komponennya, pengurangan vektor dapat dilakukan secara matematis. Misalnya = " + % == " += % Maka pengurangan vektor dengan vektor = " + % E= " += % F = " = " + % = % =( = ) " +E = F % Contoh Soal Tentukan hubungan yang benar dari vektorvektor kecepatan pada tiaptiap gambar berikut! K I K I K K K K K I K K (a) (b) (c)

8 Penyelesaian Hubungan vektor dapat dicari dengan menggunakan metode poligon pada penjumlahan vektor. Pertama menentukan titik acuan, misalnya titik sudut sebelah kiri bawah segitiga. Setelah itu, tentukan arah putaran, misalnya jika arah vektor searah dengan arah putaran jarum jam, maka bernilai positif, dan jika berlawanan arah maka negatif. Untuk gambar (a) K +( K I )+( K )=0 K K I K =0 K =K +K I E. Perkalian Vektor Untuk gambar (b) K +K I +K =0 K +K +K I =0 Untuk gambar (c) K +K I +K =0 K +K I =K Suatu vektor dapat dikalikan dengan konstanta, besaran skalar, atau dengan vektor lainnya. Jika vektor dikalikan dengan suatu konstanta atau besaran skalar positif, misalnya L, maka hasilnya adalah vektor L, yaitu suatu vektor dengan arah sama dengan vektor dan bernilai L. Namun jika dikalikan dengan konstanta atau besaran skalar negatif L, maka hasilnya adalah vektor L, suatu vektor yang memiliki arah berlawanan dengan vektor dan bernilai L. Sementara itu, perkalian vektor dengan vektor tidak sesederhana perkalian vektor dengan skalar atau konstanta. Terdapat tiga bentuk perkalian vektor dengan vektor, perkalian titik (dot product), perkalian silang (cross product), dan perkalian dyadic (perkalian tensor). Masingmasing memiliki aturannya sendiri. Pada modul ini hanya akan dibahas dua bentuk perkalian, yaitu perkalian titik, dan perkalian silang. Adapun perkalian dyadic akan dipelajari pada Mata Kuliah Mekanika. 1. Perkalian Titik Perkalian titik dua vektor menghasilkan besaran skalar. Perkalian titik vektor dan vektor didefinisikan sebagai = = OPQ : dengan : adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Interpretasi geometris perkalian titik vektor dan vektor adalah perkalian skalar antara panjang vektor dengan panjang proyeksi vektor A pada vektor B (Gb. 1.10 a), atau perkalian skalar antara panjang vektor A dengan panjang proyeksi vektor B pada vektor A (Gb. 1.10 b). : 0 = cos : = R == cos : : (a) (b) Gb. 1.10 Interpretasi geometris perkalian titik Jika vektor dan vektor dinyatakan dengan dalam vektor satuan, maka perkalian titiknya diuraikan sebagai berikut =E " + % F (= " += % ) = = (" " )+ = (" % )+ = (% " )+ = (% % )

9 = = + = sedangkan hasil perkalian titik vektor dengan dirinya sendiri, maka =E " + % F ( " + % ) = (" " )+ (" % )+ (% " )+ (% % ) = + = Perkalian titik dapat digunakan untuk menentukan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor, yaitu cos:= = Beberapa sifatsifat perkalian titik 1. = 2. = 3. " " = % % = &' &' =(1)(1) cos0=1 4. " % = % &' = &' " =(1)(1) cos90 T =0 5. Vektor and saling tegak lurus jika =U dan dan bukan nol 2. Perkalian Silang Berbeda dengan perkalian titik, perkalian silang dari dua vektor menghasilkan besaran vektor yang arahnya tegak lurus terhadap kedua vektor pembentuknya. Perkalian silang dari vektor and vektor didefinisikan sebagai = WX dengan ==sin: dan : adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor, dan WX adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari vektor. Secara geometri, nilai dari perkalian silang dua vektor menyatakan luas bangun jajargenjang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut (Gb. 1.11). luas bangun jajargenjang yang dibentuk oleh dan sin : : = Gb. 1.11 Interpretasi geometris dari

10 Terdapat aturan untuk menentukan arah dari yang disebut dengan kaidah tangan kanan (right hand rule). Contohnya, perkalian silang " dengan %, " % seperti yang ditunjukkan oleh Gb. 1.12 (a). z " &' % y Arah putaran (a) (b) Gb. 1.12 (a) Perkalian silang " % (b) Aturan tangan kanan Dari definisi perkalian silang, maka " % = " % sin: WX " % = 1 1 sin90 T WX " % = WX Kemana arah WX? Jika kita mengepalkan tangan kanan dengan arah lipatan ke empat jari searah dengan putaran dari ujung vektor " ke ujung vektor % maka ibu jari akan mengarah ke sumbu z, searah dengan vektor &'. Oleh karena nilai vektor WX sama dengan satu, dan searah dengan &' maka WX=&'. Dengan demikian, maka diperoleh " % = &' Beberapa sifat dari perkalian silang: 1. " % = &', % &' =", &' " =% 2. % " = &', &' % = ", " &' = % 3. " " = % % = &' &' =0 ( karena : =0 ) 4. = 5. Vektor sejajar dengan vektor jika =0 dan dan tidak nol Contoh 6. Soal Diberikan vektor [=" +2% +2&' dan vektor \=2" 2% +&', a. gambar vektor [ dan \ dalam koordinat cartesian b. tentukan nilai vektor [ dan \ c. tentukan hasil dari [ \ d. tentukan hasil dari [ \ e. tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor [ and \ f. tentukan vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh vektor [ dan \ Penyelesaian a. Vektor [ dan \ pada koordinat cartesian ditunjukkan oleh gambar z b. Nilai vektor [ 2 [ 1 ^=^ +^ +^! ^= 1 +2 +2 \ 2 1 2 y 2

11 ^= 9 ^=3 b. Nilai vektor \ _ =_ +_ +_! ^=72 +( 2) +1 ^= 9 ^=3 c. Hasil dari [ \ [ \=E" +2% +2&'F E2" 2% +&'F [ \=2 4+2 [ \=0 d. Hasil dari [ \ [ \=E" +2% +2&'F E2" 2% +&'F [ \=" 2" +" ( 2% )+" &' +2% 2" +2% ( 2% )+2% &' [ \=+2&' 2" +2&' ( 2% )+2&' &' [ \=0 2&' % 4&' +U+2" +4% +4" +U [ \=6" +3% 6&' e. sudut yang dibentuk kedua vektor sin:= [ \ ^_ sin:= 76 +3 +( 6) 3 3 sin:= 81 9 sin:=1 maka :=90 T f. misalkan vektor satuannya WX, maka WX= [ \ [ \ WX= 6" +3% 6& ' 9 WX= 2 3 " +1 3 % 2 3 & '

12 RANGKUMAN 1. Besaran vektor adalah besaran yang dinyatakan dengan nilai, satuan, dan arah. 2. Secara geometris, vektor direpresentasikan dengan anak panah. Arah anak panah menyatakan arah vektor dan panjangnya menyatakan nilai vektor. 3. Penjumlahan vektor dibedakan dalam dua jenis, penjumlahan secara grafis dan penjumlahan secara matematis. Penjumlahan vektor secara grafis dapat dilakukan dengan metode jajargenjang dan metode poligon sedangkan penjumlahan secara matematis dilakukan dengan metode vektor komponen. 4. Penjumlahan vektor A and B dengan metode jajargenjang ; 5. Penjumlahan vektor dengan metode poligon D ; D 6. Penjumlahan vektor A dengan vektor B menggunakan metode vektor komponen ;=< " +< % dimana < = += dan < = += 7. Perkalian titik dua vektor menghasilkan besaran skalar. Perkalian titik vektor dan vektor didefinisikan sebagai = =cos: 8. Perkalian silang dari vektor and vektor didefinisikan sebagai ==sin: WX dan ==sin: 9. Aturan untuk menentukan arah dari vektor hasil perkalian silang menggunakan kaidah tangan kanan (right hand rule). Contoh: " % =&'.

13 SOAL PEMAHAMAN KONSEP 1. Berikut ini adalah vektorvektor dari besaran momentum, vektor yang memiliki nilai paling besar adalah... a. b. c. 2. Hubungan yang benar dari vektorvektor berikut adalah... D a. D=+b. D= c. D= 3. Hubungan yang benar dari vektorvektor berikut adalah... D a. + D=0 b. +D=0 c. ++D=0 4. Vektor komponen pada sumbu x dari vektor A adalah... y a. OPQ : " b. Qab : " c. " c x 5. Perhatikan gambar pada Soal no.4! Nilai vektor komponen pada sumbu y dari vektor A adalah... a. OPQ : b. Qab : c. 6. Jika D= maka arah dari Vektor D adalah... a. ke sumbu y positif b. ke sumbu x positif c. ke sumbu x negatif z y x 7. Perhatikan gambar dua vektor berikut ini. Hasil dari perkalian titik kedua vektor tersebut adalah... a. 0 b. 11 satuan c. 30 satuan

14 8. Perhatikan kembali gambar pada Soal no. 7, hasil dari = a. 0 b. 11 &' c. 30 &' 9. Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor berikut ini a. 120 o b. 135 o c. tidak membentuk sudut 10. Berikut ini yang bukan vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang datar yang dibentuk oleh vektor [= " +% dan \= " +&' adalah... " a. + % + & ' I I I " b. % & ' I I I c. " % & ' I I I

15 SOAL URAIAN 1. Tentukan resultan vektorvektor berikut dengan menggunakan metode jajargenjang dan poligon 2. Tentukan hubungan vektorvektor pada masingmasing gambar berikut! B B B A C A C A C 3. Berikut ini adalah vektorvektor gaya yang bekerja pada suatu balok. Uraikan vektorvektor tersebut pada masingmasing sumbu! g f θ G 4. Vektor,,,, dan, I berturutturut adalah vektor posisi titik (3,4,0), (0,5,2), dan (8,0,6). Gambarkan vektor,, vektor,, dan vektor, I dalam sistem koordinat cartesian, dan nyatakan ketiga vektor ini dalam ungkapan vektor satuan ", %, dan &' 5. Vektor, adalah vektor posisi dari titik (3,4,5) dan vektor, adalah vektor posisi titik (5,2,8). a. hitung resultan kedua vektor menggunakan metode vektor komponen! b. cari jarak yang memisahkan kedua titik secara vektor! 6. Jika =" 4% +6&' dan =4" 2% 2&' maka a. tunjukkan bahwa B=! b. tunjukkan bahwa! c. tentukan dua macam vektor satuan yang tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh kedua vektor! G G I