BAB 1 Sistem Bilangan 1.1 Pendahuluan Sistem bilangan didefinisikan sebagai sekumpulan nilai yang digunakan untuk melambangkan besaran. Kita sudah terbiasa menggunakan bilangan ini dalam kehidupan sehari-hari. Jumlah mahasiswa yang hadir dalam kuliah, jumlah matakuliah yang diambil oleh mahasiswa, nilai yang didapat mahasiswa untuk suatu ujian matakuliah, semuanya menggunakan lambang bilangan. Pembahasan mengenai sistem bilangan tidak terbatas pada komputer saja. Kita menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari, dan kita mengetahui bahwa komputer juga menggunakannya sehingga dapat mengolah data menjadi data lain yang berupa bilangan juga. Sejak lama manusia menggunakan tanda atau simbol untuk menggambarkan bilangan. Bentuk awal penggunaan simbol adalah dengan garis lurus. Jumlah garis menunjukkan besarnya bilangan. Ada yang menggambarkan kelompok 6 garis vertikal dengan 1 garis horisontal melintang pada jelompok garis vertikal tersebut untuk menunjukkan jumlah hari dalam 1 minggu. Sangat sulit untuk menggambarkan bilangan sangat besar ataupun sangat kecil menggunakan pendekatan grafis. Pada sekitar tahun 3400 SM di Mesir dan 3000 SM di Mesopotamia mereka membuat simbol untuk menggambarkan bilangan dalam kesatuan 10. Ini adalah langkah besar karena dapat mereduksi jumlah simbol yang diperlukan. Misalnya dua belas dapat digambarkan dengan satu puluhan dan dua satuan, sehingga hanya memerlukan 3 simbol. Bandingkan dengan 1 simbol sebelumnya. Orang Romawi menggunakan 7 buah simbol yang dapat digunakan untuk menggambarkan bilangan 1 sampai dengan 1.000.000. I = 1 1
1. Sistem Bilangan V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 Tambahan tanda garis di atas simbol tadi diartikan sebagai perkalian 1000. Sistem bilangan yang paling banyak digunakan saat ini adalah sistem Arab. Sistem ini pertama kali dibuat oleh orang Hindus dan digunakan pada awal abad ke-3 sebelum Masehi. Pengenalan simbol 0, yang digunakan untuk menunjukkan nilai posisi angka menjadi sangat bermanfaat. Sekarang kita menjadi terbiasa dengan puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya. Dalam sistem bilangan, banyak terjadi perulangan berkali-kali penggunaan suatu simbol. Pada sistem desimal, hanya digunakan simbol sebanyak 10 macam. Simbol ini akan diulang-ulang untuk menyatakan bilangan yang besar. Lihat Gambar 1.1 Perhatikan bagaimana bilangan 0 sampai dengan 9 diulang, dan setiap perulangan, nilai kolom sebelah kirinya bertambah satu (dari 0 menjadi 1, kemudian ). Setiap terjadi kenaikan nilai, sampai nilai tertinggi tercapai (yaitu 9), nilai dikolom sebelah kirinya bertambah 1, jadi setelah 9 adalah 10. Demikian seterusnya berulang-ulang. 09, 10-19, 0-9, 30-39 dst Angka selalu dinulis dengan nilai tertinggi pada bagian paling kiri dari bilangan. 1. Nilai Basis Nilai basis untuk sistem bilangan adalah cacah himpunan nilai berbeda sebelum terjadi perulangan. Misalnya, sistem desimal adalah berbasis sepuluh, dengan nilai 0 sampai dengan 9. Nilai basis yang lain misalnya: biner, oktal, duodesimal, heksadesimal, vigesimal, seksagesimal. Sistem desimal adalah sistem yang paling dikenal, karena ini adalah sistem yang digunakan dalam perhitungan sehari-hari. 1..1 Desimal Sistem desimal terdiri atas 10 angka atau simbol, yaitu 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Dengan menggunakan simbol ini kita dapat menyatakan besaran. Sistem desimal sering dinamakan juga sistem basis-10, karena mempunyai 10 angka.
1.. Nilai Basis 3 0 0 p 1 e r 3 u 4 l 5 a 6 n 7 g 8 a 9 n 1 10 11 v 1 e 13 r 14 t 15 i 16 k 17 a 18 l 19 0... 9 90... 9 9990 Perulangan horisontal Gambar 1.1: Perulangan horisontal dan vertikal
4 1. Sistem Bilangan 1.. Biner Dalam sistem biner, hanya ada simbol atau angka yaitu 0 dan 1. Sistem basis- ini dapat dipergunakan untuk menyatakan besaran yang direpresentasikan dalam desimal maupun sistem bilangan lain. Contoh: 1..3 Oktal Desimal Biner 13 1101 13 1111011 45 101101 103 1111111111 Sistem oktal adalah sistem basis-8 dengan simbol sebanyak 8 macam yaitu: 0,1,,3,4,5,6, dan 7. Contoh: 1..4 Heksadesimal Desimal Biner Oktal 13 1101 15 13 1111011 173 45 101101 33 103 1111111111 1777 Sistem heksadesimal adalah sistem basis-16 dengan simbol sebanyak 16 macam yaitu: 0,1,,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E dan F. Contoh: Desimal Biner Heksadesimal 13 1101 D 13 1111011 7B 45 101101 D 103 1111111111 3FF Sistem duodesimal adalah sistem berbasis 1 digunakan oleh orang Romawi untuk beberada keperluan. Sistem vigesimal adalah sistem bilangan berbasis 0 digunakan oleh orang Maya sedang seksagesimal berbasis 60 dan digunakan oleh orang Babylonia. 1.3 Faktor Bobot Faktor bobot adalah nilai pengali yang dikenakan pada setiap posisi kolom dalam bilangan. Misalnya, desimal mempunyai faktor bobot sepuluh, yang
1.4. Konversi sistem bilangan 5 artinya setiap kolom disebelah kiri mempunyai nilai bobot sebesar sepuluh kali lebih besar dari kolom sebelah kanannya. Dengan demikian setiap bergeser ke kiri faktornya menjadi 10 kali lipat. 00= 0 10 0 = 0 1 = 0 0 10 1 = 0 10 = 0 10 = 100 = 00 00 (hasil penjumlahan) Contoh lain untuk bilangan 31, 31= 10 0 = 1 = 1 10 1 = 1 10 = 10 3 10 = 3 100 = 300 31 (hasil penjumlahan) Bilangan biner mempunyai faktor bobot sebesar dua. Oleh karena itu bilangan 10110 dapat diuraikan menurut bobotnya menjadi: 10110= 0 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 = 1 = 1 4 = 4 0 3 = 0 8 = 0 1 4 = 1 16 = 16 (hasil penjumlahan) 1.4 Konversi sistem bilangan 1.4.1 Konversi bilangan desimal menjadi biner Pengubahan bilangan desimal menjadi bilangan biner dapat dilakukan dengan membagi dua bilangan desimal tersebut secara berulang sampai habis sambil mencatat sisa hasil bagi (modulo). Sebagai contoh bilangan desimal 19 dapat diubah menjadi bilangan biner dengan cara yang terlihat pada Gambar 1.. Untuk menguji hasil konversi tersebut dapat dilakukan dengan cara sebelumnya. Lihat Gambar 1.3.
6 1. Sistem Bilangan 19 = 9 sisa 1 9 = 4 sisa 1 4 = sisa 0 = 1 sisa 0 1 = 0 sisa 1 19 10 = 1 0 0 1 1 Gambar 1.: Konversi bilangan desimal 19 menjadi biner 10110= 0 0 = 1 1 = 1 1 1 = 1 = 1 = 0 4 = 0 0 3 = 0 8 = 0 1 4 = 1 16 = 16 19 (hasil penjumlahan) Gambar 1.3: Pengujian bilangan biner 10011 menjadi bilangan desimal 1.4. Konversi bilangan desimal menjadi oktal Pengubahan bilangan desimal menjadi bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara yang sama dengan konversi dari bilangan desimal menjadi bilangan biner, dengan mengganti bilangan pembagi dengan delapan. Sebagai contoh bilangan desimal 31 dapat diubah menjadi bilangan oktal dengan cara yang terlihat pada Gambar 1.4. 31 = 40 sisa 1 8 40 = 5 sisa 0 8 5 = 0 sisa 5 8 31 10 = 5 0 1 8 Gambar 1.4: Konversi bilangan desimal 31 menjadi oktal Untuk menguji hasil konversi tersebut dapat dilakukan dengan cara sebelumnya. Lihat Gambar 1.5. Sekilas terlihat bahwa perhitungan di atas tidak benar. Namun demikian, perlu diingat bahwa perhitungan tersebut dilakukan dalam bilangan oktal. Hasil dari 15 adalah 6 dengan sisa 1, karena sebenarnya 15 8 = 13 10.
1.4. Konversi sistem bilangan 7 501= 1 8 0 = 1 1 = 1 0 8 1 = 0 8 = 0 5 8 = 5 64 = 30 31 (hasil penjumlahan) Gambar 1.5: Pengujian bilangan oktal 501 menjadi bilangan desimal 1.4.3 Konversi bilangan desimal menjadi heksadesimal Cara pengubahan bilangan desimal menjadi bilangan oktal dapat diterapkan juga untuk mengubah bilangan desimal menjadi heksadesimal, dengan cara mengganti bilangan pembagi dengan enam belas. Sebagai contoh bilangan desimal 31 dapat diubah menjadi bilangan heksadesimal dengan cara yang terlihat pada Gambar 1.6. 31 = 0 sisa 1 16 0 = 1 sisa 4 16 1 = 0 sisa 1 16 31 10 = 1 4 1 8 Gambar 1.6: Konversi bilangan desimal 31 menjadi heksadesimal Hasil konversi inipun dapat diuji kebernarannya dengan cara yang sama seperti sebelumnya. Lihat Gambar 1.7. 141= 1 16 0 = 1 1 = 1 4 16 1 = 4 16 = 64 1 16 = 1 56 = 56 31 (hasil penjumlahan) Gambar 1.7: Pengujian bilangan heksadesimal 141 menjadi bilangan desimal 1.4.4 Cara lain konversi bilangan Secara umum pengubahan suatu bilangan dalam sistem bilangan non-desimal menjadi suatu bilangan dalam sistem bilangan non-desimal lain dapat dilakukan dengan mengubahnya terlebih dahulu ke bilangan desimal, kemudian diubah ke sistem bilangan tujuan. Namun demikian pengubahan bilangan biner menjadi bilangan oktal (dan bilangan heksadesimal) dan sebaliknya da-
8 1. Sistem Bilangan pat dilakkan secara langsung dengan cara seperti ditunjukkan pada Gambar 1.8. 157 8 = }{{} 001 }{{} 101 }{{} 111 = 1101111 1 5 7 Gambar 1.8: Pengubahan bilangan oktal 157 menjadi biner Cara tersebut dilakukan dengan mengubah setiap digit bilangan oktal menjadi 3 digit biner (bit). Ingat 8 adalah 3. Sebaliknya untuk mengubah bilangan biner menjadi bilangan oktal dapat ditempuh dengan mengelompokkan setiap 3 bit dari bilangan biner dari kanan dan menerjemahkan masing-masing kelompok menjadi bilangan oktal yang sesuai. Lihat Gambar 1.9. 10011001 = }{{} 10 }{{} 011 }{{} 001 = 31 8 3 1 Gambar 1.9: Pengubahan bilangan biner 10011001 menjadi oktal Pengubahan bilangan heksadesimal menjadi biner dapat dilakukan dengan menerjemahkan setiap digit bilangan heksadesimal menjadi 4 bit. Bilangan 4 didapat karena 16 (heksadesimal) adalah 4. Contoh 1.1 Ubah bilangan BA 16 menjadi bilangan desimal! Jawab: BA 16 = 16 + 11 16 1 + 10 16 0 = 56 + 11 16 + 10 1 = 51 + 176 + 10 = 698 10 Contoh 1. Ubah bilangan 845 10 menjadi bilangan heksadesimal! Jawab:
1.4. Konversi sistem bilangan 9 Contoh 1.3 845 = 5 sisa 13(D) 16 5 16 = 3 sisa 4 3 16 = 0 sisa 3 Jadi 845 10 = 34D 16 Ubah bilangan B 16 menjadi bilangan biner! Cara I: Bilangan setiap kali dibagi dengan. Perlu diingat bahwa pembagian dilakukan dalam bilangan heksadesimal. Cara II: B = 15 sisa 1 15 = A sisa 1 A = 5 sisa 0 5 = sisa 1 = 1 sisa 0 1 = 0 sisa 1 Jadi B 16 = 101011 Setiap digit bilangan heksadesimal diterjemahkan menjadi 4 bit. Contoh 1.4 B 16 = 0010 1011 = 101011 11 Ubah bilangan biner 110011011 menjadi bilangan heksadesimal! Jawab:
10 1. Sistem Bilangan Setiap 4 bit dikelompokkan untuk diterjemahkan menjadi masingmasing 1 digit heksadesimal 110011011 = 1 1001 1011 = 1 9 B = 19B 16