OPERASI ARITHMATIK OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN

Transkripsi

1 3 OPERASI ARITHMATIK OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN Tujuan : Setelah mempelajari diharapkan dapat, 1. Memahami aturan-aturan Penjumlahan bilangan biner 2. Memahami aturan-aturan Pengurangan bilangan biner 3. Mampu melakukan operasi penjumlahan bilangan biner dan bilangan heksadesimal 4. Memahami pembentukan Komplemen Satu dan Komplemen Dua 5. Mampu melakukan operasi pengurangan bilangan biner 6. Mampu melakukan operasi perkalian bilangan biner 7. Mampu melakukan operasi pembagian bilangan biner 8. Memahami bilangan dalam bentuk BCD Code 9. Mampu melakukan operasi penjumlahan bilangan dalam bentuk BCD Code dan mengoreksi hasilnya 10. Mampu melakukan operasi pengurangan bilangan dalam bentuk BCD Code Prasyarat : Untuk mempelajari Pembelajaran 3 diperlukan kegiatan dan kemampuan seperti di bawah ini, 1. Telah mengerjakan latihan-latihan pada Pembelajaran Semua latihan pada Pembelajaran 2 dijawab dengan Benar Setelah memahami konsep-konsep dasar Operasi Logik pada pembelajaran 2, pada pembelajara 3 ini akan diuraikan tentang operasi arithmatik. Kedua operasi ini yaitu operasi logik dan operasi arithmatik merupakan dasar dari seluruh kegiatan yang ada pada teknik mikroprosessor dan hampir semua instruksi pada mikroprosessor berdasar pada kedua operasi ini. Dasar operasi arithmatik adalah PENJUMLAHAN dan PENGURANGAN, sedangkan operasi selanjutnya yang dikembangkan dari kedua operasi dasar tersebut adalah operasi PERKALIAN dan operasi PEMBAGIAN. 33

2 Penjumlahan Bilangan Penjumlahan Bilangan Biner Pada penjumlahan berlaku aturan seperti di bawah ini, = = = = 0 / + 1 sebagai carry = 1 / + 1 sebagai carry Seperti cara penjumlahan bilangan desimal yang kita kenal sehari-hari, penjumlahan bilangan biner juga harus selalu memperhatikan carry ( sisa ) dari hasil penjumlahan pada tempat yang lebih rendah. Data A = dan data B = akan dijumlahkan, Data A = Data B = carry 1 1 Hasil A + B = Dalam contoh di atas, telah dilakukan penjumlahan 8 bit tanpa carry, sehingga hasil penjumlahnya masih berupa 8 bit data. Untuk contoh di bawah akan dilakukan penjumlahan 8 bit yang menghasilkan carry. Data A = dan data B = akan dijumlahkan, Data A = = Data B = = carry 1 1 Hasil A + B = = Hasil penjumlahan di atas menjadi 9 bit data, sehingga untuk 8 bit data, hasil penjumlahannya bukan merupakan jumlah 8 bit data A dan B tetapi bit yang ke-8 34

3 ( dihitung mulai dari 0 ) atau yang disebut carry juga harus diperhatikan. sebagai hasil penjumlahan Penjumlahan Bilangan Oktal Proses penjumlahan bilangan oktal sama seperti proses penjumlahan bilangan desimal. Sisa akan timbul / terjadi jika jumlahnya telah melebihi 7 pada setiap tempat. a. Bilangan Oktal A = dan bilangan Oktal B = akan dijumlahkan, Bilangan Oktal A = = Bilangan Oktal B = = carry Hasil A + B = = b. Bilangan Oktal A = dan bilangan Oktal B = akan dijumlahkan, Bilangan Oktal A = = Bilangan Oktal B = = carry Hasil A + B = = Penjumlahan Bilangan Heksadesimal Dalam penjumlahan bilangan heksadesimal, sisa akan terjadi jika jumlah dari setiap tempat melebihi 15. a. Bilangan Heksadesimal A = 9A 16 dan bilangan Heksadesimal B = akan dijumlahkan, Bilangan Heksadesimal A = 9 A 16 = Bilangan Heksadesimal B = = carry Hasil A + B = D D 16 = b. Bilangan Heksadesimal A = E8 16 dan bilangan Heksadesimal B = 9A 16 akan dijumlahkan, 35

4 Bilangan Heksadesimal A = E 8 16 = Bilangan Heksadesimal B = 9 A 16 = carry 1 1 Hasil A + B = = Pengurangan Bilangan Pengurangan Bilangan Biner Pada pengurangan bilangan biner berlaku aturan seperti di bawah ini, 0-0 = = 1 / - 1 sebagai borrow 1-0 = = = 0 / - 1 sebagai borrow = 1 / - 1 sebagai borrow Pada pengurangan jika bilangan yang dikurangi lebih kecil dari pada bilangan pengurangnya maka dilakukan peminjaman ( borrow ) pada tempat yang lebih tinggi. Data A = dan data B = akan dikurangkan, Data A = = Data B = = borrow 1 1 Hasil A - B = = Pengurangan Bilangan Biner Melalui Komplement dan Penjumlahan Aturan pengurangan yang tertulis pada untuk sistem microcomputer tidak cocok, oleh karena itu digunakan cara komplement dan penjumlahan. Komplement adalah hasil inverter dari bilangan biner. Cara meng-inverter atau negasi dari bilangan biner biasanya disebut One's Complement atau Einerkomplement atau Komplemen Satu. 36

5 Data A = dan data B = akan dikurangkan, Data B dikomplemen Data B = Komplemen satu B = Pengurangan Langkah Pertama Data A = Komplemen satu B = Hasil Sementara A + B = Hasil Sementara Sisa ( Carry ) Langkah Kedua Karena menghasilkan sisa ( carry ) 1( high ), maka dapat disimpulkan bahwa hasil pengurangannya adalah bilangan Positip yang artinya bahwa pengurang lebih kecil dibandingkan dengan yang dikurangi. Jika dilakukan pengecakan dari hasil pengurangan ( hasil sementara ), maka hasil di atas kurang 1 (satu) dibandingkan dengan hasil yang seharusnya ( = ). Untuk mengoreksi hasil pengurangan tersebut maka hasil sementara ditambah dengan 1 sehingga hasil yang dimaksud menjadi, Hasil Sementara = Hasil A B = = Cara di atas tidak berlaku jika hasil pengurangan adalah bilangan negatip yang artinya bahwa carry-nya 0 ( low ). Untuk dapat melakukan proses pengurangan yang dimaksud lihat contoh di bawah ini. Data A dikurangi dengan data B ( Bilangan pengurang lebih besar dari pada bilangan yang dikurangi ), Data A = =

6 Data B = = Data B dikomplemen Data B = Komplemen satu B = Pengurangan Langkah Pertama Data A = Komplemen satu B = Hasil Sementara A + B = Hasil sementara Sisa ( Carry ) Langkah Kedua Pada tempat sisa ( carry ) berlogika 0 ( low ), maka dapat disimpulkan bahwa hasil pengurangannya adalah bilangan Negatip yang artinya bahwa pengurang lebih besar dibandingkan dengan yang dikurangi. Hasil setelah melalui proses komplemen berupa bilangan positip, sedangkan tanda negatip harus kita tambahkan ( karena sisa 0 ), dan jika diteruskan diperoleh, Hasil Sementara = Komplemen Satu = Hasil = Jadi Hasil pengurangannya adalah = Mengoreksi hasil seperti cara diatas dapat dihindari dengan menggunakan cara menggunakan Two s Complement atau Zweierkomplement atau Komplemen Dua. Komplemen Dua didapatkan dari Komplemen Satu ditambah dengan 1. Data A = Komplemen Satu A = Komplement Dua

7 Kompleman Dua dapat juga dituliskan dengan ( A + 1 ) Data A = Data B = Data B dikomplemen Data B = Komplemen satu B = Komplemen Dua ( B + 1 ) = Pengurangan Data A = Komplemen Dua ( A + 1 ) = Hasil = Pada Carry berlogika 1 yang berarti bahwa hasil pengurangan tersebut adalah bilangan positip, sedangkan 8 bit berikutnya tanpa harus mengalami perubahan adalah hasil pengurangannya. Kurangkan data A dan data b di bawah ini, Data A = Data B = Data B dikomplemen Data B = Komplemen satu B = Komplemen Dua ( B + 1 ) = Pengurangan Data A = Komplemen Dua ( B + 1 ) =

8 Hasil = Pada tempat sisa ( carry ) berlogika 0 ( low ), maka dapat disimpulkan bahwa hasil pengurangannya adalah bilangan Negatip dan harus dikoreksi. Dengan jalan meg- Komplemen Dua-kan sekali lagi hasil pengurangannya dan menambahkan tanda negatip ( - ) di depan bilangan tersebut maka diperoleh hasil yang sudah benar yang secara rinci diuraikan seperti di bawah ini, Hasil = Komplemen Satu = Komplemen Dua = Jadi Hasilnya adalah = Bilangan biner Negatip diperoleh dengan cara meng-komplemen Dua-kan bilangan positipnya. Bilangan Biner A = = Komplemen Dua ( A + 1 ) = = Bilangan Biner B = = Komplemen Dua ( B + 1 ) = = Bilangan Biner C = = Komplemen Dua ( C + 1 ) = =

9 Increment dan Decrement Increment ( bertambah ) dan Decrement ( berkurang ) adalah dua pengertian yang sering sekali digunakan dalam teknik mikroprosessor. Dalam matematik pengertian increment adalah Bertambah Satu dan decrement artinya Berkurang Satu Increament Sistem Bilangan Seperti penjelasan di atas bahwa increment artinya bilangan sebelumnya ditambah dengan 1. Bilangan Biner A = Increment A = Bilangan Heksadesimal B = 7 F +1 Increment B = Decrement Sistem Bilangan Decrement diperoleh dengan cara mengurangi bilangan sebelumnya dengan 1. Bilangan Biner A = Decrement A = Bilangan Heksadesimal B = 7 F -1 Decrement B = 7 E Increment dan decrement biasanya digunakan dalam pembuatan program Penghitung Naik ( Up-Counter ) dan Penghitung Turun ( Down-Counter ) 41

10 Perkalian dan Pembagian Perkalian dan pembagian memanfatkan proses penambahan dan proses pengurangan. Perkalian berarti pengulangan proses penambahan sedangkan pembagian berarti pengulangan proses pengurangan sesuai dengan besarnya penyebut ( pengali atau pembaginya ) Perkalian Bilangan Biner Perkalian dua bilangan biner mempunyai aturan yang sama dengan perkalian bilangan desimal. Proses perkalian bilangan A dan B dilakukan dengan cara mengalikan secara individu bilangan A dengan setiap bit bilangan B, kemudian semua hasil perkaliannya ditambahkan menurut susunan bit yang sesuai. Bilangan desimal A = 49 dikalikan dengan bilangan desimal B = 103, dapat diselesaikan dengan cara seperti di bawah ini, A x B = x Bilangan biner A = dikalikan dengan bilangan biner B = , dapat diselesaikan seperti di bawah ini, A x B = x Untuk bilangan biner pengalinya hanya berharga 0 atau 1, oleh karena itu perkalian bilangan biner hanya memerlukan operasi penjumlahan dan operasi geseran. 42

11 Pembagian Bilangan Biner Operasi pembagian dua bilangan biner secara terpisah dapat juga digambarkan sebagai operasi pengurangan dan operasi geser. Bilangan desimal A = 156 dibagi dengan bilangan desimal B = 13, dapat diselesaikan dengan cara seperti di bawah ini, A : B = : 13 = Bilangan biner A = dibagi dengan bilangan biner B = 1101, dapat diselesaikan seperti di bawah ini, : 1101 = Bilangan biner A = ,001 dibagi dengan bilangan biner B = 101, dapat diselesaikan seperti di bawah ini, ,001 : 101 = 1001,

12 Dalam BCD Code Bentuk biner jika dinyatakan dalam bilangan desimal memerlukan 4 bit data. Kombinasi 4 bit data jika dimanfaatkan seluruhnya akan didapatkan kemungkinan 16 informasi yang berbeda. Dari 16 informasi ini untuk BCD Code hanya digunakan 10 informasi, sedangkan 6 informasi yang lain tidak diperlukan. Tabel di bawah memperlihatkan bilangan biner, desimal dan heksadesimal dibandingkan terhadap bentuk BCD-Code. Desimal BCD Biner Heksa TIDAK DIIJINKAN 1010 A 11 TIDAK DIIJINKAN 1011 B 12 * TIDAK DIIJINKAN 1100 C 13 TIDAK DIIJINKAN 1101 D 14 TIDAK DIIJINKAN 1110 E 15 TIDAK DIIJINKAN 1111 F 1) 2) Keterangan 1) 2) *) Echte Tetraden ( 8421 Code ) Pseudotetrades Dinyatakan pada tempat kedua ( dikoreksi sebagai puluhan dan satuan ) Jika kita bandingkan bentuk bilangan di atas dengan bentuk BCD, tampak bahwa setiap tempat ( dekade ) dari bilangan desimal memerlukan 4 group ( = Tetrade ) dari bilangan biner dan tetrade ini tidak lagi dinyatakan dalam bilangan heksadesimal tetapi dalam bilangan desimal. Kombinasi yang termasuk dalam BCD Code dinyatakan sebagai Echte Tetraden sedangkan informasi yang tidak termasuk dalam BCD Code 44

13 dinyatakan sebagai Pseudotetrades. Keberadaan Pseudotetrades dalam operasi arithmatik mempunyai arti yang sangat penting, yaitu bahwa hasil operasi arithmatik tidak diijinkan berada di daerah Pseudotetrades ini. Jika ternyata hasil operasi arithmatik dalam BCD Code berada pada daerah Pseudotetrade, maka hasil operasi tersebut harus dikoreksi Penjumlahan Bilangan Dalam BCD Code Penjumlahan bilangan dalam BCD Code terjadi seperti halnya pada penjumlahan bilangan biner. Jika hasil penjumlahan berada pada daerah Pseudotetrade maka harus dilakukan koreksi dengan cara menambahkan hasil dengan 6 10 = Bilangan A = 0011 dan B = 0110 dalam bentuk BCD akan ditambahkan, Bilangan A = Bilangan B = Hasil Sementara = Koreksi = tidak diperlukan karena hasilnya tidak berada di Pseudotretade. Hasil = ( bentuk BCD ) 2 Bilangan A = 0111 dan B = 1000 dalam bentuk BCD akan ditambahkan, Bilangan A = Bilangan B = Hasil Sementara = Koreksi = diperlukan karena berada di Pseudotretade. Hasil = Jadi penjumlahan di atas menghasilkan ( bentuk BCD ) Puluhan Satuan 45

14 Koreksi pada contoh 2 menghasilkan Carry untuk tempat yang lebih tinggi ( puluhan ), sehingga hasil penjumlahan setelah dikoreksi menghasilkan bilangan desimal 2 tempat yaitu 1 ( satu ) puluhan dan 5 ( lima ) satuan yang dalam bilangan desimal disebut ( lima belas ) sebagai hasil penjumlahan antara 7 10 ( tujuh ) dengan 8 10 ( delapan ) Untuk penjumlahan bilangan yang lebih besar dapat dilakukan seperti pada contoh di atas hanya saja harus diperhatikan cara-cara mengoreksi setiap hasil sementaranya. 1 Bilangan A dan B dalam bentuk BCD akan ditambahkan, Bilangan A = Bilangan B = Carry = Hasil Sementara = Koreksi = Carry = 1 Hasil = (10) Dari contoh di atas koreksi tidak hanya terjadi pada hasil yang berada di daerah Pseudotretades saja tetapi juga terjadi pada tetrade yang menghasilkan carry walaupun tetrade tersebut tidak berada pada daerah Pseudotretade Pengurangan Bilangan Dalam BCD Code Pengurangan bilangan dalam BCD-Code, seperti pada pengurangan bilangan biner juga dapat dilakukan melalui langkah terbalik penjumlahan komplemen. Komplemen satu dan komplemen dua pada pengurangan bilangan dalam BCD-Code ini dinyatakan dalam Komplemen Sembilan ( K9 ) dan Kompleman Sepuluh ( K10 ). Komplemen Sembilan dibentuk melalui perbedaan harga terhadap harga tertinggi dari bilangan Desimal yaitu 9 10, sedangkan Komplemen Sepuluh dibentuk melalui increment dari Komplemen Sembilan sehingga dapat dituliskan, Komplemen Sepuluh = Komplemen Sembilan + 1 K ( 10 ) = K ( 9 )

15 Komplemen Sembilan dari Bilangan A = 0110 dalam bentuk BCD adalah, Bilangan BCD tertinggi = Bilangan A = K ( 9 ) dari A = Komplemen Sepuluh dari Bilangan B = 0111 dalam bentuk BCD adalah, Bilangan BCD tertinggi = Bilangan B = K ( 9 ) dari B = K ( 10 ) dari B = Bentuk komplemen untuk bilangan yang besar ( mempunyai beberapa tempat ) dalam BCD Code dapat dilihat pada contoh di bawah, Dari Bilangan A = ( = ) dalam bentuk BCD akan dibentuk Komplemen Sembilan dan Komplemen Sepuluh, Bilangan BCD tertinggi = Bilangan A = K ( 9 ) dari A = K ( 10 ) dari B = di atas menunjukan bahwa pembentukan K ( 10 ) dilakukan dengan cara pembentukan K ( 9 ) pada setiap tempat terlebih dahulu dan terakhir baru di increment untuk memdapatkan K ( 10 ). Proses pengurangan dapat dilakukan melalui penambahan dengan Komplemen Sepuluh yang kemudian hasilnya masih perlu dikoreksi. Jika setelah dikoreksi masih timbul carry maka carry tersebut tidak menunjukan harga bilangan tetapi hanya menunjukan tanda bilangan. Carry 1 menunjukan tanda + ( plus ) sedangkan carry 0 ( tanpa carry ) menunjukan tanda - ( minus ). Jika terdapat tanda ( minus ) maka hasilnya masih harus dilakukan Komplemen Sepuluh sekali lagi. 47

16 Dari Bilangan B = dan bilangan A = dalam bentuk BCD Code. Nyatakan hasil A B. Bilangan A = K ( 10 ) dari B = Carry Hasil Sementara = Koreksi = Carry Hasil A B = = Karena hasilnya mempunyai tanda + ( positip ) maka hasilnya tidak perlu dikoreksi lagi. Di bawah ini adalah contoh yang hasilnya masih harus dilakukan Komplemen Sepuluh sekali lagi karena menghasilkan tanda ( negatip ). Dari Bilangan B = dan bilangan A = dalam bentuk BCD Code. Nyatakan hasil B A. Bilangan B = K ( 10 ) dari A = Carry 1 Hasil Sementara = Koreksi = Carry Hasil B A = K ( 10 ) dari Hasil Hasil Akhir B - A =

17 LATIHAN 1 Lakukan operasi Penjumlahan dua buah bilangan biner di bawah ini, a b c a b c Lakukan operasi Pengurangan dua buah bilangan biner di bawah ini, a b c a b c Lakukan operasi Perkalian pada dua buah bilangan biner di bawah ini, a x b x c x d x a b c d Lakukan operasi Pembagian pada dua buah bilangan biner di bawah ini, a : b : c : a b , c , Bentuklah bilangan biner dibawah ini kedalam Komplemen Satu dan Komplemen Dua. a b c d

18 a b c d Nyatakanlah dalam bilangan Positip atau Negatip bilangan Komplemen Dua 8 bit di bawah ini. a b c d a. negatip b. negatip c. positip d. positip 7 Hitunglah pengurangan dua bilangan biner di bawah ini dangan cara menjumlahkan dengan hasil Komplemen Dua. a b c a b c Jumlahkan bilangan dalam bentuk BCD di bawah ini a b a b

19 9 Kurangkanlah bilangan dalam bentuk BCD di bawah ini a b a b