KOMPETENSI DASAR : MATERI POKOK : Sistem Bilangan URAIAN MATERI 1. Representasi Data

Transkripsi

1 KOMPETENSI DASAR : 3.1. Memahami sistem bilangan Desimal, Biner, Oktal, Heksadesimal) 4.1. Menggunakan sistem bilangan (Desimal, Biner, Oktal, Heksadesimal) dalam memecahkan masalah konversi MATERI POKOK : Sistem Bilangan Gambaran umum sistem bilangan Sistem bilangan (Desimal, Biner, Octal dan Hexadecimal) Konversi bilangan Sistem bilangan Binary Code Decimal (BCD) dan Binary Code Hexadecimal (BCH) ASCII Code URAIAN MATERI Sistem bilangan (number system) adalah suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem bilanan yang banyak dipergunakan oleh manusia adalah sistem bilangan desimal, yaitu sisitem bilangan yang menggunakan 10 macam symbol untuk mewakili suatu besaran.sistem ini banyak digunakan karena manusia mempunyai sepuluh jari untuk dapat membantu perhitungan. Lain halnya dengan komputer, logika di komputer diwakili oleh bentuk elemen dua keadaan yaitu off (tidak ada arus) dan on (ada arus). Konsep inilah yang dipakai dalam sistem bilangan binary yang mempunyai dua macam nilai untuk mewakili suatu besaran nilai. Selain system bilangan biner, komputer juga menggunakan system bilangan octal dan hexadesimal. 1. Representasi Data Data adalah bilangan biner atau informasi berkode biner lain yang dioperasikan untuk mencapai beberapa hasil penghitungan penghitungan aritmatik, pemrosesan data dan operasi logika, representasi data Dinyatakan dengan sign, bilangan magnitude dan posisi titik radiks. Titik radiks memisahkan bilangan bulat dan pecahan. Penggunaan titik radiks berkaitan dengan jajaran bilangan yang dapat ditampung oleh komputer. 1

2 Representasi Fixed-point : titik radiks selalu pada posisi tetap. a = m x r e r = radiks, m = mantissa, e = eksponen Untuk menyatakan bilangan yang sangat besar atau sangat kecil, dengan menggeser titik radiks dan mengubah eksponen untuk mempertahankan nilainya. Contoh: a. Bilangan desimal: = 5x x x x x x 10-2 = 5x x x x 1 + 6x x0.01 b. Bilangan biner (radiks=2, digit={0, 1}) = 1x4 + 0x2 + 1x1 + 0x.5 + 0x x.125 = Representasi Bilangan Positif dan Negatif pada bilangan BINER a. Label tanda konvensional : + dan Contoh : +4 dan -4 b. Menggunakan posisi digit sebelah kiri (MSB) sebagai sign digit (0 untuk positif dan 1 untuk negatif). Contoh : Sign-Magnitude +9 dalam 8 bit = Sign-Magnitude 4 dalam 4 bit = 1100 Magnitude dari bilangan positif dan negatif sama hanya berbeda pada sign digitnya/msb. c. Representasi Komplemen-1 Angka nol diubah menjadi satu dan satu menjadi nol. Contoh : Dalam 8 bit +12 = = d. Representasi Komplemen-2 Dengan representasi komplemen-1 ditambah 1. Contoh : Dalam 8 bit -12 = (Komplemen-1) 1 + 2

3 = (Komplemen-2) 3. Tipe Data Tipe data dapat dibagi 4 (empat) yaitu : a. Data Numerik : merepresentasikan integer dan pecahan fixed-point, real floating-point dan desimal berkode biner. b. Data Logikal : digunakan oleh operasi logika dan untuk menentukan atau memriksa kondisi seperti yang dibutuhkan untuk instruksi bercabang kondisi. c. Data bit-tunggal : untuk operasi seperti SHIFT, CLEAR dan TEST. d. Data Alfanumerik : data yang tidak hanya dikodekan dengan bilangan tetapi juga dengan huruf dari alpabet dan karakter khusus lainnya A. Sistem Bilangan Sistem Bilangan adalah suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem bilangan menggunakan basis (base / radix) tertentu yang tergantung dari jumlah bilangan yang digunakan. Konsep Dasar Sistem Bilangan adalah Suatu sistem bilangan, senantiasa mempunyai Base (radix), absolute digit dan positional (place) value. Macam-Macam Sistem Bilangan Suatu sistem komputer mengenal beberapa macam sistem bilangan, seperti : Tabel 1. Macam sistem bilangan Aplikasi Sistem Bilangan : 1. Sistem Desimal nilai mata uang : puluhan, ratusan, ribuan dll 3

4 2. Sistem Biner rangkaian elektronika digital 3. Sistem Oktal instruksi computer dengan kode 3-bit 4. Sistem Hexadesimal pengalamatan memory pada micro controller 1. Sistem Bilangan Desimal Bialangan desimal adalah bilangan yang menggunakan 10 angka mulai 0 sampai 9 berturut-turut. Setelah angka 9, maka angka berikutnya adalah 10, 11, 12 dan seterusnya. Bilangan desimal disebut juga bilangan berbasis 10. Contoh penulisan bilangan desimal : Ingat, desimal berbasis 10, maka angka 10 lah yang menjadi subscript pada penulisan bilangan desimal. Bentuk nilai ini dapat berupa integer desimal atau pecahan. Integer desimal : adalah nilai desimal yang bulat, misalnya 8598 dapat diartikan : 8 x 10 3 = x 10 2 = x 10 1 = 90 8 x 10 0 = position value/palce value absolute value Absolue value merupakan nilai mutlak dari masing-masing digit bilangan, sedangkan position value adalah merupakan penimbang atau bobot dari masingmasing digit tergantung dari letak posisinya, yaitu bernilai basis dipangkatkan dengan urutan posisinya. Posisi Digit Nilai Posisi = = = = = Sehingga bilangan 8598 dapat diartikan : (8x1000)+(5x100)+(9x10)+(8x1) Pecahan desimal : 4

5 Adalah nilai desimal yang mengandung nilai pecahan dibelakang koma, misalnya nilai 183,75 adalah pecahan desimal yang dapat diartikan : 1 x 10 2 = x 10 1 = 80 3 x 10 0 = 3 7 x 10 1 = 0,7 5 x 10 2 = 0,05 183,75 2. Bilangan Biner (Binary Numbering System) Sistem bilangan biner mempunyai hanya dua macam simbol angka, yaitu 0 dan 1, dan karena itu dasar dari sistem bilangan ini adalah dua. Bilangan biner juga disebut bilangan berbasis 2. Setiap bilangan pada bilangan biner disebut bit, dimana 1 byte = 8 bit. Contoh penulisan : Notasi : (n) 2 - Digit biner digunakan untuk menunjukan dua keadaan level tegangan: HIGH atau LOW. - Sebagian besar sistem digital level HIGH direpresentasikan oleh 1 atau ON dan level LOW direpresentasikan oleh 0 atau OFF. - Penulisan : 110 2, Bilangan Oktal Bilangan Oktal mempunyai delapan macam simbol angka, yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan karena itu, dasar daripada bilangan ini adalah delapan. - Notasi : (n) 8 - Penulisan : 45 8, Bilangan Heksadesimal Bilangan heksadesimal, atau bilangan heksa, atau bilangan basis 16, menggunakan 16 buah simbol, mulai dari 0 sampai 9, kemudian dilanjut dari A sampai F. Jadi, angka A sampai F merupakan simbol untuk 10 sampai 15. Contoh penulisan : C516. Tabel 2. Bilangan Dengan Basis yang Berbeda 5

6 B. Konversi Bilangan Setiap angka pada suatu sistem bilangan dapat dikonversikan (disamakan/diubah) ke dalam sistem bilangan yang lain. Secara umum ekspresi sistem bilangan basis r mempunyai perkalian koefisien oleh pangkat dari r. a n r n + a n-1 r n a 1 r 2 + a 2 r 2 + a 1 r 1 + a 0 r 0 + a -1 r -1 + a -2 r -2 + Contoh. Konversi bilangan n berbasisi r ke desimal 11010,11 2 = = 26,

7 4021,2 5 = = 511,4 10 Gambar 1. Diagram Konversi Bilangan 1. Konversi bilangan Desimal ke Biner Konversi bilangan desimal bulat ke bilangan Biner : Gunakan pembagian dengan 2 secara suksesif sampai sisanya = 0. Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa yang pertama akan menjadi least significant bit (LSB) dan sisa yang terakhir menjadi most significant bit (MSB). Contoh: a. Konersi ke biner : 133 /2 = 66 sisa 1 (LSB) /2 = 33 sisa 0 /2 = 16 sisa 1 /2 = 8 sisa 0 7

8 /2 = 4 sisa 0 /2 = 2 sisa 0 /2 = 1 sisa 0 /2 = 0 sisa 1 (MSB) = LSB MSB b. Konversi ke biner : 244 /2 = 122 sisa 0 (LSB) /2 = 61 sisa 0 /2 = 30 sisa 1 /2 = 15 sisa 0 /2 = 7 sisa 1 /2 = 3 sisa 1 /2 = 1 sisa 1 /2 = 0 sisa 1 (MSB) = LSB MSB 2. Konversi Bilangan Desimal ke Oktal Untuk konversi bilangan decimal menjadi bilangan octal, caranya sama dengan konversi decimal ke biner yaitu dengan pembagian radiksnya. Lebih jelasnya dapat dilihat seperti beberapa contoh di bawah ini. Bilangan dari jika dirubah ke octal menjadi : 16 : 8 = 2 sisa 0 LSD 2 : 8 = 0 sisa 2 MSD Jadi bilangan octal dari adalah Contoh soal : Rubah bilangan dari bentuk decimal ke dalam bentuk bilangan octal : a b Jawab : a. 192 : 8 = 24 sisa 0 8

9 24 : 8 = 3 sisa 0 3 : 8 = 0 sisa 3 Jadi bilangan octal dari adalah b. 78 : 8 = 9 sisa 6 9 : 8 = 1 sisa 1 1 : 8 = 0 sisa 1 Jadi bilangan octal dari adalah Konversi Bilangan Desimal ke Heksadesimal Misalkan bilangan desimal yang ingin saya ubah adalah Untuk menghitung proses konversinya, caranya sama saja dengan proses konversi desimal ke biner, hanya saja kali ini angka pembaginya adalah 16. Maka : 243 : 16 = 15 sisa : 16 = 0 sisa F ingat, 15 diganti jadi F 0 : 16 = 0 sisa 0.(end) Nah, maka hasil konversinya adalah F3 16. Contoh soal : a b Jawab : a. 223 : 16 = 13 sisa 15 ingat, 13 diganti D 15 : 16 = 0 sisa 15 ingat, 15 diganti F 0 : 16 = 0 sisa 0 Jadi hasil konversi dari adalah DF 16 b. 187 : 16 = 11 sisa 11 ingat, 11 diganti B 11 : 16 = 0 sisa 11 ingat, 11 diganti B 0 : 16 = 0 sisa 0 Jadi konversi dari adalah BB Konversi Bilangan Biner ke Desimal 9

10 Proses konversi bilangan biner ke bilangan desimal adalah proses perkalian setiap bit pada bilangan biner dengan perpangkatan 2, dimana perpangkatan 2 tersebut berurut dari kanan ke kiri bitbernilai 2 0 sampai 2 n. contoh bilangan yang merupakan hasil perhitungan di atas, yaitu bilangan tersebut di baca posisinya mulai dari kanan ke kiri. Saatnya mengalikan setiap bit dengan perpangkatan 2. Ingat, perpangkatan 2 tersebut berurut mulai dari 2 0 sampai 2 n, untuk setiap bit mulai dari kanan ke kiri. Maka : = (1 x 2 0 ) + (0 x 2 1 ) + (1 x 2 2 ) + (0 x 2 3 ) + (0 x 2 4 ) + (0 x 2 5 ) + (0 x 2 6 ) + (1 x 2 7 ) = = Konversi bilangan Biner ke Oktal Untuk merubah bilangan biner ke bilangan oktal, perlu diperhatikan bahwa setiap bilangan oktal mewakili 3 bit dari bilangan biner. Maka jika kita memiliki bilangan biner yang ingin dikonversi ke bilangan oktal, langkah pertama yang kita lakukan adalah memilah-milah bilangan biner tersebut, setiap bagian 3 bit, mulai dari kanan ke kiri, sehingga menjadi seperti berikut : 110 dan setelah dilakukan proses pemilah-milahan seperti ini, dilakukan proses konversi ke desimal terlebih dahulu secara terpisah. 110 dikonversi menjadi 6, dan 111 dikonversi menjadi 7. Hasilnya kemudian digabungkan, menjadi 678, yang merupakan bilangan oktal dari Contoh lain : Konversikan kedalam bentuk bilangan oktal Jadi = Konversi Biner ke Heksadesimal 10

11 Sebagai contoh, misalnya merubah ke bentuk heksadesimal. Proses konversinya juga tidak begitu rumit, hanya tinggal memilahkan bit2 tersebut menjadi kelompok-kelompok 4 bit. Pemilahan dimulai dari kanan kekiri, sehingga hasilnya sbb : 1110 dan 0010 Nah, coba lihat bit2 tersebut. Konversilah bit2 tersebut ke desimal terlebih dahulu satu persatu, sehingga didapat : 1110 = 14 dan 0010 = 2 14 dilambangkan dengan E 16. Dengan demikian, hasil konversinya adalah E2 16. Bagaimana kalau bilangan binernya tidak berjumlah 8 bit. Contohnya Caranya tambahkan saja 0 di depannya. Tidak akan memberi pengaruh terhadap hasilnya. Jadi setelah ditambah menjadi Hasilnya adalah 0011 = = 5 Dengan demikian hasil konversinya adalah Konversi Bilangan Oktal ke Biner Sebaliknya untuk mengkonversi Bilangan Oktal ke Biner yang harus dilakukan adalah terjemahkan setiap digit bilangan oktal ke 3 digit bilangan biner. Contoh Konversikan ke bilangan biner Jadi = , karena 0 didepan tidak dituliskan maka hasilnya adalah Contoh lain : konversikan ke dalam bentuk biner Jadi = Konversi Bilangan Oktal ke Desimal 11

12 Uraikan masing-masing digit bilangan biner kedalam susunan radik 8 (kalikan saja setiap bilangan dengan perpangkatan 8). Contoh, bilangan oktal yang dikonversi ke dalam bentuk desimal adalah 716. Maka susunannya menjadi demikian: = (6 x 8 0 ) + (1 x 8 1 ) + (7 x 8 2 ) = = Konversi Bilangan Oktal ke Heksadesimal Untuk konversi oktal ke heksadesimal, kita akan membutuhkan perantara, yaitu bilangan biner. Maksudnya adalah kita konversi terlebih dahulu oktalcar ke biner, lalu konversikan nilai biner tersebut ke nilai heksadesimalnya. Nah, baik yang konversi oktal ke biner maupun biner ke heksadesimal kan udah dijelaskan. Coba buktikan, bahwa bilangan oktal 72 8 jika dikonversi ke heksadesimal menjadi 3A 16. Caranya : Hasilnya adalah dituliskan A Jadi hasil konversi dari 72 8 adalah 3A Konversi Bilangan Heksadesimal ke Biner Dalam proses konversi heksadesimal ke biner, setiap simbol dalam heksadesimal mewakili 4 bit dari biner. Misalnya proses konversi bilangan heksa B7 16 ke bilangan biner. Maka setiap simbol di bilangan heksa tersebut dikonversi terpisah ke biner. Ingat, B 16 merupakan simbol untuk angka heksadesimal Nah, heksadesimal jika dikonversi ke biner menjadi , sedangkan heksadesimal 7 16 jika dikonversi ke biner menjadi Maka bilangan binernya adalah , atau kalau dibuat ilustrasinya seperti berikut ini : B 7 bentuk heksa 12

13 11 7 bentuk desimal bentuk biner Hasilnya disatukan, sehingga menjadi Konversi Bilangan Heksadesimal ke Desimal Untuk proses konversi ini, caranya sama saja dengan proses konversi biner ke desimal, hanya saja kali ini perpangkatan yang digunakan adalah perpangkatan 16, bukan perpangkatan 2. Sebagai contoh, konversi bilangan heksa C8 16 ke bilangan desimal. Maka terlebih dahulu ubah susunan bilangan heksa tersebut, mulai dari kanan ke kiri, sehingga menjadi sebagai berikut : C8 (16) = (12x16 1 ) + (8x16 0 ) = = 200 (10) Contoh lain : 7D (16) 7D (16) = (7x16 1 ) + (13x16 0 ) = = 125 (10) 12. Konversi Bilangan Heksadesimal ke Oktal Nah, sama seperti konversi oktal ke heksadesimal, kita membutuhkan bantuan bilangan biner. Lakukan terlebih dahulu konversi heksadesimal ke biner, lalu konversikan nilai biner tersebut ke oktal. Sebagai latihan, buktikan bahwa nilai heksadesimal E7 16 jika dikonversi ke oktal menjadi Caranya : Cara 1 Konversikan Hexa Desimal Desimal Oktal E7 (16) = (14x16 1 ) + (7x16 0 ) 231 : 8 sisa 7 = : 8 sisa 4 = 231 (10) 3 Hasil : E7 (16) = 347 (8) Cara 2 13

14 Konversikan Hexa Biner Biner Oktal E7 (16) E Jadi hasilnya : E7 (16) = 347 (8) C. Bentuk Bilangan Dalam Code Form Mengkonversi bilangan yang berharga besar, memerlukan hitungan yang cukup melelahkan. Melalui bilangan dalam Code Form maka pekerjaan konversi bilangan dapat dipermudah dan dipercepat. Di bawah ini adalah Code Form dalam bilangan Desimal, Bilangan Oktal dan bilangan Heksadesimal yang sering dipergunakan. 1. Sistem Bilangan Binary Code Decimal (BCD) Bilangan desimal pada setiap tempat dapat terdiri dari 10 bilangan yang berbeda-beda. Untuk bilangan biner bentuk dari 10 elemen yang berbeda beda memerlukan 4 bit. Sebuah BCD mempunyai 4 bit biner untuk setiap tempat bilangan desimal. Kode ini digunakan untuk meng-outputkan hasil digital ke peralatan yang men-displaykan bilangan numeric (0-9), seperti : jam digital, voltmeter digital. Ada 5 jenis kode BCD : a. Kode 8421 b. Kode 5421 kode dengan factor pembobot c. Kode 2421 d. Kode Excess-3 Bukan kode pembobot e. Kode 2 of 5 Kode pembobot direpresentasikan sebagai : D 10 = (8 x a 3 ) + (4 x a 2 ) + (2 x a 1 ) + (8 x a 0 ) Nilai decimal Nilai bobot(tergantung jenis kode pembobot) Contoh 1 : 14

15 Z (10) = Desimal Biner Code Desimal Dalam contoh ini BCD terdiri dari 3 kelompok bilangan masing-masing terdiri dari 4 bit, dan jika bilangan desimal tersebut di atas dikonversi ke dalam bilangan biner secara langsung adalah 317 (10) = (2) dan hanya memerlukan 9 bit. Untuk contoh proses sebaliknya dapat dilihat di bawah ini. Contoh : Biner Code Desimal Desimal Jadi bentuk BCD di atas adalah bilangan Z (10) = Contoh 2 : a =. BCD(8421)? 7 10 = (8x0) + (4x1) + (2x1) + (1x1) 7 10 = 0111 BCD(8421) b = BCD(5421)? = (5x0) + (4x0) + (2x0) + (1x1) (5x1) + (4x0) + (2x1) + (1x1) = BCD(5421) c = BCD(2421)? = (2x0) + (4x1) + (2x0) + (1x0) (2x1) + (4x1) + (2x1) + (1x0) = BCD(2421) Dari ke-tiga jenis kode BCD dengan bobot, yang paling banyak digunakan adalah kode Kode Excess 3 Kode ini memiliki kelebihan nilai 3 dari digit asalnya. Contoh : 0 10 disimpan sebagai (0+3) = 0011 Excess-3 Nilai tertinggi untuk BCD Excess-3 adalah (9+3) = 1100 Excess-3 Kode 2 of 5 15

16 Kode ini memiliki 2 nilai bit 1 dari 5 bit yang tersedia. Penempatan bit 1 dimulai dari MSB, sedang bit 1 untuk digit berikutnya mengikuti posisi di sebelahnya. Contoh : 2 10 disimpan sebagai of 5 Table 3 Rangkaian Kode BCD 2. Binary Code Hexadecimal (BCH) Bilangan heksadesimal dalam setiap tempatdapat terdiri dari 16 bilangan yang berbeda-beda ( angka dan huruf ). Bentuk biner untuk 16 elemen memerlukan 4 bit. Sebuah BCH mempunyai 4 bit biner untuk setiap tempat bilangan heksadesimal. Contoh Z (16) = 31AF Bilangan Heksadesimal 3 1 A F Biner Code Heksadesimal Untuk proses sebaliknya, setiap 4 bit dikonversi ke dalam bilangan heksadesimal. Contoh : 16

17 Biner Code Heksadesimal Bilangan Heksadesimal A Jadi bentuk BCH diatas adalah bilangan Z(16)= A618. D. ASCII Code American Standard Code For Information Interchange Dalam bidang mikrokomputer ASCII-Code mempunyai arti yang sangat khusus, yaitu untuk mengkodekan karakter (Huruf, Angka dan tanda baca yang lainnya). Code-code ini merupakan code standard yang dipakai oleh sebagian besar sistem mikrokomputer. Selain huruf, angka dan tanda baca yang lainada 32 (mis ACK, NAK dsb.) merupakan kontrol untuk keperluan transportasi data. ASCII Code terdiri dari 7 bit biner 2 7 = 128 kombinasi kode 7 bit 3 bit MSB dan 4 bit LSB. Di bawah ini adalah tabel 7 bit ASCII Code beserta beberapa penjelasan yang diperlukan. Tabel Kode ASCII 17

18 Contoh : Untuk mendapatkan ASCII Code bagi karakter N adalah ( 4E 16 ) dengan penjelasan bahwa 100 adalah b7, b6 dan b5 yang lurus keatas terhadap huruf N dan dan berharga 4 sedangkan 1110 adalah b4, b3, b2 dan b1 yang lurus kesamping kiri terhadap huruf N dan berharga E. Contoh lain : Dengan menggunakan table ASCII, tentukan kode ASCII untuk 65-M Jawab : M LATIHAN SOAL : 18

19 1. Konversikan system bilangan berikut ini : a. 75 (10) =.. (2) f. 647 (8) = (10) b (2) =. (8) g. B5C (16) =. (8) c. 63 (8) = (10) h. 74 (8) =. (BCD) d. 8AF (16) = (2) i. 567 (8) =. (2) e (BCD) =.. (16) j. 6CA (16) = (2) 2. Konversikan command berikut ini ke dalam kode ASCII : BEGIN () 23:LD A, 100h; LD B, 20h; ADD A,B; GOTO 23; END; By : RINI DWI PUSPITA 19