PENGANTAR ANALISIS REAL

Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika, fungsi real, peubah real -15

-14 Hendra Gunawan

Pengantar Analisis Real -13 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR -9-1. PROLOG: LOGIKA DAN HIMPUNAN -7-1.1 Kalimat Matematika dan Logika -7-1.2 Pernyataan Berkuantor -6-1.3 Bukti dan Metode Pembuktian -5-1.4 Himpunan dan Notasinya -3 BAGIAN PERTAMA 1 0. BILANGAN REAL 3 0.1 Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal 3 0.2 Sifat Aljabar 4 0.3 Sifat Urutan 6 0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat 7 0.5 Nilai Mutlak 9 1. SIFAT KELENGKAPAN BILANGAN REAL 11 1.1 Paradoks Zeno 11 1.2 Himpunan Terbatas 12 1.3 Sifat Kelengkapan 13 1.4 Manipulasi dengan Supremum dan Infimum 15 2. LEBIH JAUH TENTANG BILANGAN REAL 17 2.1 Maksimum dan Minimum; Interval 17 2.2 N dan Q sebagai Himpunan Bagian dari R 18 2.3 Prinsip Induksi Matematika 21 3. BARISAN 23 3.1 Definisi Barisan 23 3.2 Kekonvergenan Barisan 24 3.3 Teorema Limit 27 3.4 Barisan Monoton 30

-12 Hendra Gunawan 4. SUB-BARISAN DAN BARISAN CAUCHY 32 4.1 Sub-barisan 32 4.2 Teorema Bolzano-Weierstrass 34 4.3 Barisan Cauchy 37 4.4 Barisan Divergen Sejati 39 5. DERET 41 5.1 Deret dan Kekonvergenannya 41 5.2 Deret dengan Suku-suku Positif 43 5.3 Sifat-sifat Dasar Deret 45 5.4 Kriteria Cauchy; Uji Kekonvergenan Deret 46 5.5 Kekonvergenan Mutlak dan Kekonvergenan Bersyarat 48 BAGIAN KEDUA 51 6. FUNGSI 53 6.1 Fungsi dan Grafiknya 53 6.2 Fungsi Polinom dan Fungsi Rasional 56 6.3 Operasi pada Fungsi; Fungsi Invers 58 6.4 Fungsi Terbatas 60 7. LIMIT DAN KEKONTINUAN 63 7.1 Limit Fungsi di Suatu Titik 63 7.2 Kekontinuan di Suatu Titik 66 7.3 Sifat-sifat Limit dan Kekontinuan 68 8. FUNGSI KONTINU PADA INTERVAL 70 8.1 Kekontinuan pada Interval 70 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 72 8.3 Lebih Jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval 73 8.4 Kekontinuan Seragam 75 9. TURUNAN 78 9.1 Turunan di Suatu Titik 78 9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan 81 9.3 Turunan Tingkat Tinggi 83 10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 85 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal 85 10.2 Titik Stasioner 87 10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor 88 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 92

Pengantar Analisis Real -11 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton 92 11.2 Fungsi Monoton yang Mempunyai Turunan 95 11.3 Invers Fungsi Monoton 96 11.4 Fungsi Konveks* 98 BAGIAN KETIGA 101 12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 103 12.1 Luas Daerah di Bawah Kurva 103 12.2 Integral 105 12.3 Turunan dari Integral; Teorema Dasar Kalkulus 107 13. INTEGRAL RIEMANN 110 13.1 Jumlah Riemann Atas dan Jumlah Riemann Bawah 110 13.2 Integral Riemann 111 13.3 Keterintegralan Fungsi Kontinu dan Fungsi Monoton 114 14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN 116 14.1 Sifat-sifat Dasar Integral Riemann 116 14.2 Teorema Dasar Kalkulus untuk Integral Riemann 119 14.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor untuk Integral 121 15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT* 124 15.1 Jumlah Riemann 124 15.2 Integral sebagai Limit 126 15.3 Teorema Darboux 127 16. BARISAN FUNGSI 130 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik 130 16.2 Kekonvergenan Seragam 132 16.3 Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam 135 17. PERTUKARAN LIMIT 137 17.1 Pertukaran Limit dan Turunan 137 17.2 Fungsi Eksponensial 139 17.3 Pertukaran Limit dan Integral 141 18. DERET PANGKAT* 144 18.1 Deret Pangkat dan Interval Kekonvergenannya 144 18.2 Jari-jari Kekonvergenan 145 18.3 Kekonvergenan Seragam Deret Pangkat 147 DAFTAR PUSTAKA 150 INDEKS 151

-10 Hendra Gunawan

Pengantar Analisis Real -9 KATA PENGANTAR Buku ini disusun untuk mendukung pengajaran matakuliah Analisis Real di perguruan tinggi, khususnya pada program studi matematika tahap sarjana. Sebagian besar materi dan gaya penyajian buku ini merupakan adaptasi dari buku K.G. Binmore Mathematical Analysis (Cambridge University Press, 1982). Sebagian materi lainnya dan sejumlah soal latihan diambil pula dari buku R.G. Bartle & D.S. Sherbert Introduction to Real Analysis (John Wiley & Sons, 1982). Untuk kemudahan pembaca, materi dalam buku ini dibagi atas tiga bagian. Bagian pertama adalah tentang bilangan real, barisan, dan deret. Bagian kedua adalah tentang fungsi, limit dan kekontinuan, dan turunan. Bagian ketiga adalah tentang integral, barisan fungsi, dan pertukaran limit dan integral. Setiap bab terdiri dari beberapa sub-bab, masing-masing disertai dengan sejumlah soal latihan. Bagi dosen yang menggunakan buku ini sebagai pegangan, setiap sub-bab diperkirakan dapat disampaikan dalam satu jam tatap muka (setara 50 menit). Tentu ada bagian yang dapat disampaikan lebih cepat, dan ada pula yang lebih lambat. Kecepatan pembahasan juga harus disesuaikan dengan kondisi mahasiswa yang dihadapi. Selain itu, bobot kredit untuk matakuliah ini mungkin berbeda di tiap perguruan tinggi. Bila waktu terbatas, tidak semua bab harus dibahas. Sebagai contoh, Bab 15 dan Bab 18 (keduanya diberi tanda *) dapat dilewatkan. Hendra Gunawan Department of Mathematics, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesa 10 Bandung 40132, Indonesia. E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. Website: http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan

-8 Hendra Gunawan

Pengantar Analisis Real -7-1. PROLOG: LOGIKA DAN HIMPUNAN -1.1 Kalimat Matematika dan Logika Di sekolah menengah telah dipelajari apa yang dimaksud dengan pernyataan atau kalimat matematika. Setiap pernyataan dapat bernilai benar atau salah, tetapi tidak mungkin benar dan salah sekaligus. Sebagai contoh, 1 + 1 = 2 merupakan sebuah pernyataan yang benar, sementara 1 + 3 = 5 merupakan sebuah pernyataan yang salah. Kedua pernyataan tadi merupakan contoh kalimat tertutup. Pernyataan seperti n + 1 = 2 merupakan sebuah kalimat terbuka, yang kebenarannya bergantung pada nilai n. Bila n = 1, maka pernyataan tersebut benar; tetapi bila n 1, maka pernyataan tersebut salah. Matematika sarat dengan pernyataan atau kalimat majemuk, yang terdiri dari beberapa pernyataan. Sebagai contoh, pernyataan jika..., maka... sering muncul. Ada kalanya suatu pernyataan merupakan negasi dari suatu pernyataan lainnya: jika P adalah suatu pernyataan, maka negasinya adalah tidak P. Jika diketahui P benar, maka negasinya salah; dan jika diketahui P salah, maka negasinya benar. Berikut adalah beberapa kalimat majemuk dasar yang nilai kebenarannya telah menjadi konsensus. Misalkan P dan Q adalah pernyataan. Kalimat P dan Q, yang disebut konjungsi dari P dan Q, bernilai benar jika P dan Q keduanya benar, dan bernilai salah selain itu. Sementara itu, kalimat P atau Q, yang disebut disjungsi dari P dan Q, bernilai benar jika setidaknya satu di antara P dan Q benar. Selain konjungsi dan disjungsi, kita sering pula menjumpai implikasi jika P, maka Q, yang biasanya dilambangkan sebagai P Q. Dalam implikasi ini, P merupakan syarat cukup bagi Q, sementara Q merupakan syarat perlu bagi P. Sebagian orang juga menyebut P sebagai hipotesis dan Q sebagai kesimpulan. Berdasarkan konsensus, pernyataan jika P, maka Q bernilai salah jika P benar dan Q salah, dan bernilai benar selain itu.

-6 Hendra Gunawan Tabel kebenaran untuk konjungsi P dan Q, disjungsi P atau Q, serta implikasi jika P, maka Q, diberikan di bawah ini. P Q P dan Q P atau Q P Q B B B B B B S S B S S B S B B S S S S B Dua pernyataan P dan Q dikatakan setara, dinotasikan dengan P Q, apabila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama (yakni, jika P benar, maka Q benar; dan sebaliknya, jika Q benar, maka P juga benar). Dalam hal P dan Q setara, kita sering menulis P jika dan hanya jika Q (yang sesungguhnya terdiri dari dua pernyataan, yaitu P jika Q dan P hanya jika Q ). Catat bahwa P hanya jika Q setara dengan jika tidak Q, maka tidak P, yang setara dengan jika P, maka Q (lihat Soal Latihan No. 2). Contoh 1. Implikasi jika n = 1, maka n 2 = n bernilai benar, karena ketika P benar, Q juga benar. (Dalam hal n = 0, kita dapatkan P salah dan Q benar; namun ini tidak menjadikan implikasi di atas salah.) Contoh 2. Pernyataan n + 1 = 2 setara dengan n = 1. Jadi, n + 1 = 2 jika dan hanya jika n = 1. Soal Latihan 1. Mungkinkah P dan tidak P benar? Bagaimana dengan P atau tidak P? 2. Implikasi jika tidak Q, maka tidak P merupakan kontraposisi dari jika P, maka Q. Periksa kesetaraan kedua implikasi ini dengan menggunakan tabel kebenaran. 3. Implikasi jika Q, maka P merupakan konvers dari jika P, maka Q. Berikan sebuah contoh implikasi yang benar tetapi konversnya salah. 4. Buatlah tabel kebenaran untuk P dan tidak Q dan bandingkan dengan tabel kebenaran untuk jika P, maka Q. Apa kesimpulan anda?

Pengantar Analisis Real -5-1.2 Pernyataan Berkuantor Dalam matematika sering kali kita berurusan dengan pernyataan yang mengandung frase untuk setiap, untuk semua, untuk suatu, terdapat, dan sejenisnya. Untuk setiap, untuk semua, atau frase yang setara dengannya, merupakan kuantor universal; sedangkan untuk suatu, terdapat, atau yang setara dengannya, merupakan kuantor eksistensial. Catat bahwa dalam matematika, untuk suatu berarti terdapat setidaknya satu (bisa satu saja, bisa juga lebih). Berikut adalah beberapa contoh pernyataan berkuantor. Contoh 3. (i) Setiap bilangan asli n memenuhi pertaksamaan n 2 > n. (ii) Setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai jumlah dari beberapa bilangan kuadrat. (Bilangan kuadrat adalah 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, dan seterusnya.) (iii) Terdapat bilangan asli yang genap dan ganjil sekaligus. Negasi dari pernyataan untuk setiap n berlaku P adalah terdapat n yang tidak memenuhi P. Sebagai contoh, negasi dari setiap bilangan asli n memenuhi n 2 > n adalah terdapat bilangan asli n yang tidak memenuhi n 2 > n. Tentu dalam hal ini negasinyalah yang benar. Cukup sering kita menyimpulkan bahwa suatu pernyataan salah setelah memeriksa bahwa negasinya benar. Perhatikan bahwa pernyataan setiap bilangan asli n memenuhi n 2 > n dapat ditulis ulang sebagai implikasi jika n adalah bilangan asli, maka n 2 > n. Jadi, selain melalui negasinya, kita dapat pula memeriksa kebenaran suatu pernyataan berkuantor universal sebagai sebuah implikasi. Soal Latihan 1. Tentukan negasi dari pernyataan pada Contoh 3(ii) dan (iii). 2. Tulis ulang pernyataan pada Contoh 3(ii) sebagai sebuah implikasi. -1.3 Bukti dan Metode Pembuktian Bukti (Ing. proof ) merupakan sesuatu yang membedakan matematika dari ilmu lainnya seperti fisika atau kimia yang berpijak pada eksperimen. Dalam matematika, eksperimen juga penting tetapi bukti lebih esensial. Pernyataan seperti setiap

-4 Hendra Gunawan bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4 tidak dapat disimpulkan benar melalui eksperimen dengan bilangan-bilangan kuadrat, karena terdapat tak terhingga banyaknya bilangan kuadrat (kita takkan pernah selesai dengan mereka). Eksperimen dapat menghasilkan suatu dugaan, namun kita perlu bukti untuk meyakinkan bahwa pernyataan itu memang benar adanya. Untuk dapat membuktikan pernyataan seperti di atas perlu banyak latihan. Dihadapkan pada sebuah pernyataan, langkah pertama yang perlu dilakukan adalah memahami maksud pernyataan tersebut: apa yang diketahui dan apa yang harus dibuktikan. Kadang kita harus mengetahui konteks yang terkait dengan pernyataan tersebut. Dalam pernyataan setiap bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4, kita berurusan dengan bilangan asli (1, 2, 3,... ). Selain itu, pernyataan di atas juga mengandung kuantor setiap, yang memerlukan aksi tertentu dalam pembuktiannya kelak. Sebelum kita membahas bagaimana membuktikan suatu pernyataan berkuantor seperti di atas, marilah kita pelajari bagaimana membuktikan pernyataan tanpa kuantor yang berbentuk konjungsi, disjungsi, atau implikasi. Untuk membuktikan bahwa P dan Q benar, tentunya kita harus membuktikan bahwa P benar dan juga Q benar. Sementara itu, untuk membuktikan bahwa P atau Q benar, kita dapat memulainya dengan memisalkan P salah dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa Q benar. (Jika P benar, maka P atau Q benar, sehingga tidak ada yang harus dilakukan.) Untuk membuktikan bahwa implikasi jika P, maka Q benar, kita mulai dengan memisalkan bahwa P benar dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa Q juga benar. (Jika P salah, maka P Q otomatis benar, sehingga tidak ada yang harus dilakukan.) Implikasi ini dapat pula dibuktikan melalui kontraposisinya, yaitu jika tidak Q, maka tidak P. Cara lainnya adalah dengan metode pembuktian tak langsung, yaitu dengan memisalkan P benar dan Q salah, dan kemudian berusaha mendapatkan suatu kontradiksi, sesuatu yang senantiasa salah. Yang dimaksud dengan kontradiksi adalah konjungsi R dan tidak R, untuk suatu pernyataan R. Sebagai contoh, n genap dan ganjil (tidak genap) sekaligus merupakan suatu kontradiksi. Contoh 4. Buktikan jika n memenuhi n 2 = n, maka n = 0 atau n = 1. (Di sini kita berhadapan dengan sebuah implikasi dengan hipotesis n memenuhi n 2 = n dan kesimpulan berupa suatu disjungsi n = 0 atau n = 1.)

Pengantar Analisis Real -3 Bukti. Misalkan n memenuhi n 2 = n (yaitu, hipotesis benar). Akan ditunjukkan bahwa n = 0 atau n = 1 (yaitu, kesimpulan benar). Untuk itu, misalkan n = 0 salah, yakni n 0. Tugas kita sekarang adalah menunjukkan bahwa n = 1. Untuk itu, perhatikan bahwa n 2 = n setara dengan n(n 1) = 0. Karena n 0, maka mestilah n 1 = 0. Jadi mestilah n = 1. Sekarang kita akan membahas bagaimana membuktikan suatu pernyataan berkuantor. Secara umum, untuk membuktikan pernyataan terdapat n sehingga P, kita harus mendapatkan n (entah bagaimana caranya) yang membuat P benar. Sebagai contoh, pernyataan terdapat bilangan asli n sehingga n 2 n terbukti benar setelah kita menemukan bilangan n = 1 yang memenuhi n 2 n. Sementara itu, untuk membuktikan pernyataan untuk setiap n berlaku P, kita harus memulainya dengan mengambil n sembarang (tentunya dalam konteks yang sesuai), dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa P berlaku untuk n. Cara lainnya adalah dengan menuliskan pernyataan berkuantor ini sebagai sebuah implikasi, baru kemudian kita membuktikannya. Contoh 5. Buktikan bahwa setiap bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4. Bukti. Ambil sebarang bilangan kuadrat, sebutlah n 2. Ada dua kemungkinan tentang n, yaitu n genap atau n ganjil. Jika n genap, sebutlah n = 2k, maka n 2 = 4k 2. Dalam hal ini n 2 mempunyai sisa 0 ketika dibagi dengan 4. Sementara itu, jika n ganjil, sebutlah n = 2k + 1, maka n 2 = 4k 2 + 4k + 1. Dalam hal ini n 2 akan mempunyai sisa 1 ketika dibagi dengan 4. Jadi, berapa pun n, n 2 akan mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4. Contoh-contoh pembuktian lainnya akan anda jumpai pada bab-bab selanjutnya, yang berkenaan dengan materi pokok Analisis Real. Soal Latihan 1. Buktikan jika n 2 ganjil, maka n ganjil. 2. Buktikan jika m 2 + n 2 = 0, maka m = 0 dan n = 0.

-2 Hendra Gunawan -1.4 Himpunan dan Notasinya Himpunan adalah suatu koleksi objek, dan objek dalam suatu himpunan disebut sebagai anggota himpunan itu. Jika x merupakan anggota himpunan H, maka kita katakan x di H dan kita tuliskan x H. Jika y bukan anggota H, maka kita tuliskan y / H. Cara yang paling sederhana untuk menyatakan sebuah himpunan adalah dengan mendaftarkan anggotanya. Sebagai contoh, kita menuliskan A = {0, 1, 2, e, π} untuk menyatakan himpunan yang anggotanya adalah bilangan 0, 1, 2, e, π. Serupa dengan itu, B = {Bagong, Gareng, Petruk, Semar} menyatakan himpunan dengan anggota Bagong, Gareng, Petruk, dan Semar. Cara penulisan di atas tentunya tidak cocok digunakan untuk menyatakan himpunan yang mempunyai tak hingga banyaknya anggota. Himpunan demikian biasanya dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki secara khusus oleh anggotanya. Sebagai contoh, C = {x : x real, x > 0} menyatakan himpunan semua bilangan real positif. Serupa dengan itu, D = {y : y menghormati Semar} menyatakan himpunan semua orang yang menghormati Semar. Selanjutnya kita gunakan notasi untuk menyatakan himpunan kosong, yakni himpunan yang tidak mempunyai anggota. Sebagai contoh, himpunan bilangan asli n yang genap dan ganjil sekaligus merupakan himpunan kosong; yakni {n : n bilangan asli yang genap dan ganjil sekaligus} =. Misalkan H dan G adalah dua buah himpunan. Kita sebut G himpunan bagian dari H dan kita tuliskan G H

Pengantar Analisis Real -1 apabila setiap anggota G merupakan anggota H. (Jadi, bila diberikan dua buah himpunan H dan G, dan kita diminta untuk membuktikan bahwa G H, maka yang harus kita lakukan adalah mengambil x G sembarang dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa x H.) Catat bahwa G = H jika dan hanya jika G H dan H G. Jika G H dan G H, maka G disebut sebagai himpunan bagian sejati dari H, ditulis G H. Sebagai contoh, jika A adalah himpunan semua bilangan bulat yang habis dibagi 10 dan B adalah himpunan semua bilangan yang habis dibagi 2, maka A B. Soal Latihan 1. Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita dapat mendefinisikan irisan dari A dan B, yaitu A B = {x : x A dan x B}. Buktikan bahwa A B = A jika dan hanya jika A B. 2. Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita dapat mendefinisikan gabungan dari A dan B, yaitu A B = {x : x A atau x B}. Buktikan bahwa untuk tiga himpunan A, B, dan C sembarang berlaku (a) A (B C) = (A B) (A C). (b) A (B C) = (A B) (A C).

0 Hendra Gunawan