. RUANG VEKTOR. VEKTOR (GEOMETRIK) PENGANTAR Jika n adalah sebah bilangan blat positif maka tpel-terorde (ordered-n-tple) adalah sebah rtan n bilangan riil (a a... a n ). Himpnan sema tpel-terorde dinamakan rang-n dan dinyatakan dengan n R. Da ektor (... n ) dan (... n ) pada jmlah didefinisikan oleh n n ( ) n n n R dinamakan sama jika dan jika k adalah sembarang skalar maka perkalian skalar k didefinisikan oleh k ( k k k ) n Vektor-ektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen-segmen garis terarah ata panah-panah di rang- ata rang-; arah panah menentkan arah ektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah dinamakan titik aal (initial point) dari ektor dan jng panah dinamakan titik terminal (terminal point). Selanjtnya ektor akan dinyatakan dengan hrf kecil tebal misalnya a dan x. Bila membahas ektor maka bilangan akan dinyatakan sebagai skalar. Sema skalar merpakan bilangan riil dan akan dinyatakan oleh hrf kecil biasa misalnya k dan l. Jika seperti pada gambar. a titik aal ektor adalah A dan titik terminalnya adalah B maka kita tliskan AB
Gambar. (a). Vektor AB (b). Vektor-ektor ekialen Vektor-ektor yang mempnyai panjang dan arah yang sama alapn mngkin diletakkan pada keddkan yang berbeda-beda seperti ektor-ektor pada gambar.b dinamakan ekialen. Jika dan ekialen maka kita tliskan Definisi. Jika dan adalah sebarang da ektor maka penjmlahan didefinisikan oleh (gambar.) Gambar.
Jika adalah sebarang ektor yang tak nol maka ektor yang memenhi adalah negatif dari (gambar.) - Definisi. Jika dan adalah sebarang da ektor maka pengrangan didefinisikan oleh - (-) (gambar.) Gambar. Soal-soal yang melibatkan ektor seringkali dapat disederhanakan dengan memperkenalkan sebah sistem koordinat sik-sik. Misalkan adalah ektor dalam bidang (rang-) dan anggaplah seperti dalam gambar. baha telah diddkkan sehingga titik permlaannya berada di titik asal sebah sistem koordinasi sik-sik. Koordinat-koordinat ( ) dari titik terminal dinamakan komponen-komponen dari dan kita menliskannya sebagai ( ) Gambar.
Operasi penambahan ektor dan operasi perkalian oleh skalar sangat mdah ntk dilaksanakan di dalam komponen-komponen seperti yang dilkiskan dalam gambar.5 jika ( ) dan ( ) maka ( ) Gambar.5 Jika ( ) dan k adalah sebarang skalar maka dengan menggnakan argmental geometrik yang melibatkan segitiga-segitiga yang serpa dapat diperlihatkan baha k (k k ) (gambar.6) Gambar.6
. NORMA VEKTOR; ILMU HITUNG VEKTOR Teorema. Jika (... n ) (... n ) dan (... n ) adalah ektor n ektor pada R dan k serta l adalah skalar maka : (a) (b) ( ) ( ) (c) (d) (-) yakni (e) k(l) (kl) (f) k( ) k k (g) (k l) k l (h) l (Ingat: adalah skalar bernilai ) Panjang sebah ektor seringkali dinamakan norma dari dan dinyatakan dengan. Jelaslah dari teorema Phythagoras baha norma sebah ektor ( ) di dalam rang- adalah Jika adalah ektor dalam rang- maka (gambar.7) Gambar.7 Jika P (x y z ) dan P (x y z ) adalah da titik didalam rang- maka jarak diantara keda titik tersebt adalah norma ektor P P (gambar.8) P P z ( x x y y z ) 5
Maka jelaslah baha d ( x x ) ( y y ) ( z ) z Gambar.8 n Jika (... n ) dan (... n ) adalah sembarang ektor pada R maka hasil kali dalam Eclidis (Eclidis inner prodct). kita definisikan dengan. ( ) n n. RUANG -n EUCLIDIS Definisi. Jika V adalah sebah rang hasil kali dalam maka norma (ata panjang) ektor dinyatakan oleh dan didefinisikan oleh Definisi. Jika V adalah sebah rang hasil kali dalam maka jarak antara da titik (ektor) dan dinyatakan oleh d() dan didefinisikan oleh d() 6
Teorema. Jika dan adalah ektor pada n R dan k adalah sembarang skalar maka : a).. b) ( )... c) (k). k(. ) d). Selanjtnya. jika dan hanya jika. RUANG VEKTOR UMUM Misalkan V sebarang himpnan benda yang da operasinya kita definisikan yakni penambahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penambahan tersebt kita pahami ntk mengasosiasikan sebah atran dengan setiap pasang benda dan dalam V yang mengandng elemen yang kita namakan jmlah dan ; dengan perkalian skalar kita artikan atran ntk mengasosiasikannya baik ntk setiap skalar k mapn setiap benda pada V yang mengandng elemen k yang dinamakan perkalian scalar (scalar mltiple) oleh k. Jika aksioma aksioma berikt dipenhi oleh sema benda pada V dan oleh sema skalar k dan l maka kita namakan V sebah rang ector (ector space) dan benda benda pada V kita namakan ector: a) Jika dan adalah benda benda pada V maka berada di V. b) c) ( ) ( ) d) ada sebah benda di V sehingga ntk sema di V. e) Untk setiap di V ada sebah benda di V yang kita namakan negatif sehingga (-) (-). f) Jika k adalah sebarang skalar dan adalah sebarang benda di V maka k berada di V. g) k( ) k k h) (k l) k l i) k(l) (kl)() j) l 7
Teorema. Misalkan V adalah sebah rang ektor sebah ektor pada V dan k sebah skalar; maka : (a) (b) k (c) (-) - (d) jika k maka k ata.5 SUBRUANG Sbhimpnan W dari sebah rang ektor V dinamakan sbrang (sbspace) V jika W it sendiri adalah rang ektor di baah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V. Teorema. Jika W adalah himpnan dari sat ata lebih ektor dari sebah rang ektor V maka W adalah sbrang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikt berlak. (a) Jika dan adalah ektor-ektor pada W maka terletak di W. (b) Jika k adalah sebarang skalar dan adalah sebarang ektor pada W maka k berada di W. Sebah ektor dinamakan kombinasi linear dari ektor-ektor... r jika ektor tersebt dapat dingkapkan dalam bentk k k... k r r dimana k k... k r adalah skalar. Contoh Perlihatkan baha (9 7) merpakan kombinasi linier dari ( -) dan (6 ). Tnjkkan pla baha ( - 8) bkan merpakan kombinasi linier dar ektor dan tersebt Jaab Spaya merpakan kombinasi linier dari dan maka hars ada skalar k dan k sehingga k k ; yakni 8
(9 7) k ( -) k (6 ) Penyamaan komponen-komponen yang bersesaian memberikan k k k 6k k k Dengan memecahkan sistem ini akan menghasilkan k - k sehingga Demikian jga spaya merpakan kombinasi linier dari dan maka hars ada skalar k dan k sehingga k k ; yakni ( - 8) k ( -) k (6 ) Penyamaan komponen-komponen yang bersesaian memberikan 9 7 k k k 6k k k 8 Sistem-sistem persamaan ini tidak konsisten (bktikan) sehingga tidak ada skalar k dan k yang memenhi k k. Dengan demikian jelas bkanlah kombinasi linier dari dan. Definisi. Jika... r adalah ektor-ektor pada rang ektor V dan jika masingmasing ektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear... r maka kita mengatakan baha ektor-ektor ini merentang V. Teorema 5. Jika... r adalah ektor-ektor pada rang ektor V maka : (a) Himpnan W dari sema kombinasi linear... r adalah sbrang V. (b) W adalah sbrang terkecil dari V yang mengandng... r dalam arti baha setiap sbrang lain dari V yang mengandng... r hars mengandng W. 9
.6 KEBEBASAN LINEAR Jika S {... r } adalah himpnan ektor maka persamaan ektor k k... k r r mempnyai paling sedikit sat pemecahan yakni k k... k r Jika ini adalah sat-satnya pemecahan maka S kita namakan himpnan bebas linear (linearly independent). Jika ada pemecahan lain maka S kita namakan himpnan tak bebas linear (linearly dependent). Contoh. Himpnan ektor-ektor S { } dengan ( 5 -) (7-5 8) adalah himpnan tak bebas linier karena Teorema 6. Himpnan S dengan da ektor ata lebih adalah (a) Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tidak sat diantara anggota himpnan ektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari anggota himpnan ektor S lainnya. (b) Bebas linear jika tidak ada anggota himpnan ektor S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dalam anggota himpnan ektor S lainnya. Teorema 7. (a) Jika sebah himpnan mengandng ektor nol maka himpnan it takbebas linear. (b) Sebah himpnan yang mempnyai persis da ektor takbebas linear jika dan hanya jika salah sat dari ektor it adalah perkalian dari skalar lainnya. Teorema 8. Misalkan S {... r } adalah himpnan ektor-ektor pada R n. Jika r > n maka S takbebas linear.
.7 BASIS DAN DIMENSI Jika V adalah sebarang rang ektor dan S {... r } merpakan himpnan berhingga dari ektor-ektor pada V maka S kita namakan basis ntk V jika (a) S bebas linear ; (b) S merentang V Contoh Misalkan ( ) ( 9 ) dan ( ). Perlihatkanlah baha himpnan S { } adalah basis ntk R. Jaab. Untk memperlihatkan baha S merentang R maka hars ditnjkkan baha sembarang ektor b (b b b ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier b k k k dari ektor-ektor S. Dengan menyatakan persamaan ini dalam komponenkomponennya maka akan memberikan (b b b ) k ( ) k ( 9 ) k ( ) ata (b b b ) (k k k k 9k k k k ) ata k k k k 9k k k k b b b Jadi ntk memperlihatkan baha S merentang V maka kita hars perlihatkan baha sistem persamaan (.) mempnyai pemecahan ntk sema pilihan b (b b b ). Untk membktikan S bebas linier (BL) hars ditnjkkan baha sat-satnya pemecahan dari. k k k adalah k k k..
Seperti sebelmnya jika persamaan. dinyatakan dalam komponenkomponennya maka pembktian BL akan diredksi menjadi pembktian baha sistem tersebt homogen yait 9 k k k k k k k k yang hanya mempnyai pemecahan triial. Perhatikan baha persamaan (.) dan (.) mempnyai matriks koefisien yang sama. Selanjtnya tinja kembali bagian (a) (b) dan (d) dari teorema handot kliah pada bagian Hasil Selanjtnya mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan (ata Hoard Anton teorema 5 pada bagian.7). Menrt bagian tersebt jelas secara serempak dapat dibktikan baha S bebas linier dan merentang R dengan memperlihatkan baha matriks koefisien 9 A pada persamaan (.) dan (.) dapat dibalik (mempnyai inerse). Hal ini sama dengan membktikan baha det (A) yait ( ) 9 det A Jelas karena det (A) maka menrt A dapat dibalik. Jadi S adalah sebah basis ntk R. Contoh Misalkan M M M dan M Himpnan S [M M M M ] adalah sebah basis ntk rang ektor M dari matriks-matriks x. Untk melihat baha S merentang M perhatikanlah baha sebah ektor khas (matriks)
d c b a dapat kita tlis sebagai dm cm bm am d c b a d c b a Untk melihat baha S bebas linier anggaplah baha dm cm bm am yakni d c b a maka d c b a Jadi a b c d sehingga S bebas linier Basis S dalam contoh ini disebt basis bak ntk M. Definisi. Sebah rang ektor taknol V dinamakan berdimensi berhingga (finite dimensional) jika rang ektor tersebt mengandng sebah himpnan berhingga dari ektor-ektor {... n } yang membentk sebah basis. Jika tidak ada himpnan seperti it maka V dinamakan berdimensi takberhingga (infinite dimensionel). Tambahan lagi kita akan menganggap rang ektor nol sebagai rang ektor berdimensi berhingga alapn rang ektor tersebt tidak mempnyai himpnan bebas linear sehingga basis pn tidak ada. Teorema 9. Jika S {... n } adalah basis ntk rang ektor V maka setiap himpnan dengan lebih dari n ektor adalah takbebas linear.
Teorema. Sebarang da basis ntk rang ektor berdimensi berhingga mempnyai jmlah ektor yang sama. Dimensi sebah rang ektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya ektor pada basis ntk V Tambahan lagi kita mendefinisikan rang ektor nol mempnyai dimensi nol. Teorema. (a) Jika S {... n } adalah sebah himpnan n ektor bebas linear pada sebah rang V yang berdimensi n maka S adalah sebah basis ntk V. (b) Jika S {... n } adalah sebah himpnan n ektor yang merentang rang V yang berdimensi n maka S adalah basis ntk V. (c) Jika S {... n } adalah sebah himpnan bebas linear pada rang V yang berdimensi n dan r < n maka S dapat diperbesar menjadi basis ntk V ; yakni ektor-ektor r... n sehingga {... r r... n } adalah sebah basis ntk V..8 RUANG BARIS DAN KOLOM MATRIKS; RANK; PENERAPAN TERHADAP PENCARIAN BASIS Tinjalah matriks m x n a a A am a a a m a a a n n mn Vektor-ektor
r r r m ( a a an ) ( a a a ) ( a a a ) m m n mn terbentk dari baris-baris A yang kita namakan ektor-ektor baris A dan ektorektor c a a a m c a a a m... c a a a m terbentk dari kolom-kolom A yang kita namakan ektor-ektor kolom A. Sbrang R n yang direntang oleh ektor-ektor baris yang kita namakan rang baris (ro space) A dan sbrang R m yang direntang oleh ektor-ektor kolom kita namakan rang kolom (colmn space) A. Contoh 5 Misalkan A Vektor-ektor baris A adalah r ( ) dan r ( - ) Vektor-ektor kolom A adalah c c dan c Teorema. Operasi baris elementer tidak mengbah rang baris sebah matriks. Teorema. Vektor-ektor baris taknol berbentk eselon baris dari matriks A membentk basis ntk rang baris A. 5
Contoh 6. Carilah sebah basis ntk rang yang direntang oleh ektor-ektor ( - ) ( -5 - - 6) ( 5 5 ) ( 6 8 8 6) Jaab. Rang yang direntang oleh ktor-ektor ini adalah rang baris dari matriks 5 6 5 5 6 8 8 6 Dengan meredksi matriks ini menjadi bentk eselon baris (bktikan sendiri!) didapatkan Vektor-ektor baris taknol pada matriks ini adalah ( - ) ( ) dan ( ) Vektor-ektor ini membentk basis bagi rang baris tersebt dan sebagai konsekensinya maka akan membentk basis ntk rang yang direntang oleh dan Teorema. Jika A adalah sebarang matriks maka rang baris dan rang kolom A mempnyai dimensi yang sama. Dimensi rang baris dan rang kolom matriks A dinamakan rank A dan dinyatakan dengan rank (A). 6
Teorema 5. Jika A adalah matriks n x n maka pernyataan-pernyataan berikt ekialen sat sama lain. (a) A dapat dibalik. (b) A x hanya mempnyai pemecahan triial. (c) A ekialen baris dengan I n. (d) A x b konsisten ntk tiap-tiap matriks b yang berkran n x. (e) det(a). (f) A mempnyai rank n. (g) Vektor-ektor baris A bebas linear. (h) Vektor-ektor kolom A bebas linear. Teorema 6. Sebah sistem persamaan linear Ax b adalah konsisten jika dan hanya jika b berada pada rang kolom A. Teorema 7. Sebah sistem persamaan linear Ax b akan konsisten jika dan hanya jika rank dari matriks koefisien A sama dengan rank dari matriks yang diperbesar [A b]. Teorema 8. Jika Ax b adalah sistem linear konsisten dari m persamaan n bilangan takdiketahi dan jika A mempnyai rank r maka pemecahan sistem tersebt mengandng n r parameter..9 RUANG HASIL KALI DALAM Sebah hasil kali dalam (inner prodct) pada rang ektor riil V adalah fngsi yang mengasosiasikan bilangan riil dengan masing-masing pasangan ektor dan pada V sedemikian rpa sehingga aksioma-aksioma 7
berikt dipenhi ntk sema ektor dan di V dan jga ntk sema skalar k. ) (aksioma simetri) ) (aksioma penambahan) ) k k (aksioma kehomogenan) ) ; dan (aksioma kepositifan) jika dan hanya jika Sebah rang ektor riil dengan sebah hasil kali dalam dinamakan rang hasil kali dalam riil (real prodct space). Teorema 9. Jika dan adalah ektor-ektor pada rang hasil kali dalam riil dan k sebarang skalar maka (a) (b) (c) k k. PANJANG DAN SUDUT DI RUANG HASIL KALI DALAM Di R panjang ektor ( ) diberikan oleh yang dapat kita tliskan dalam ras-ras hasil kali dalam titik sebagai ( ) Dengan cara yang sama jika ( ) adalah ektor di R maka ( ) Selanjtnya diperoleh definisi berikt Definisi. Jika V adalah sebah rang hasil kali dalam maka norma (ata panjang) ektor dinyatakan oleh dan didefinisikan oleh 8
Definisi. Jika V adalah sebah rang hasil kali dalam maka jarak antara da titik (ektor) dan dinyatakan oleh d() dan didefinisikan oleh d ( ) Contoh 7. Jika (... n ) dan (... n ) adalah ektor pada Rn dengan hasil kali dalam Eclidis maka n dan d ( ) ( ) ( ) ( ) n n Amatilah baha persamaan ini tak lain dari rms bak ntk norma Eclidis dan jarak yang dibahas pada sb bab Rang-n Eclidis. Teorema. (Ketaksamaan Cachy-Scharz). Jika dan adalah ektor pada sebah rang hasil kali dalam maka Berikt adalah tinjaan terhadap sifat-sifat yang paling penting dari panjang Eclidis dan jarak Eclidis dalam R dan R dalam bentk tabel Sifat-sifat dasar panjang (L) L. D. ( ) L. jika dan hanya jika L. k D. ( ) Sifat-sifat dasar jarak (D) d k D. d ( ) d( ) L. (ketaksamaan segitiga) d jika dan hanya jika D. d ( ) d( ) d( ) (ketaksamaan segitiga) 9
Teorema beriktnya akan mengaki definisi-definisi mengenai normal dan jarak pada rang hasil kali dalam Teorema. Jika V adalah rang hasil kali dalam maka norma dan jarak d() memenhi sema sifat yang didaftarkan pada tabel di atas. Definisi. Dalam rang hasil kali dalam da ektor dan dinamakan ortogonal jika. Selanjtnya jika ortogonal terhadap setiap ektor pada himpnan W maka kita katakan baha ortogonal terhadap W. Teorema. (Teorema Pythagoras yang digeneralisasi). Jika dan adalah ektorektor ortogonal pada rang hasil kali dalam maka. BASIS ORTONORMAL; PROSES GRAM-SCHMIDT Definisi. Sebah himpnan ektor pada rang hasil kali dalam dinamakan himpnan ortogonal jika sema pasangan ektor-ektor yang berada dalam himpnan tersebt ortogonal. Sebah himpnan ortogonal yang setiap ektornya mempnyai norma dinamakan ortonormal. Contoh 8 Misalkan ( ) dan Himpnan S {... n } ortonormal jika R mempnyai hasil kali dalam Eclidis karena dan
Jika adalah ektor taknol pada rang hasil kali dalam maka menrt sifat L dari teorema ektor mempnyai norma karena Proses pengalian ektor taknol ini dengan kebalikan panjangnya ntk mendapatkan ektor yang normanya dinamakan menormalisasikan. Himpnan ortogonal dari ektor taknol selal dapat dikonersikan terhadap ortonormal dengan menormalisasikan ektornya masing-masing Contoh 9 Himpnan S { } dimana ( ) ( ) dan ( -) adalah ortogonal karena. Karena dan dengan menormalisasikan masing-masing ektornya akan menghasilkan himpnan ortonormal pada contoh 8 Teorema. Jika S {... n } adalah basis ortonormal ntk rang hasil kali dalam V dan adalah sebarang ektor dalam V maka n n Teorema. Jika S {... n } adalah himpnan ortogonal ektor taknol dalam rang hasil kali dalam maka S bebas linear.
Teorema 5. Misalkan V adalah rang hasil kali dalam dan {... n } adalah himpnan ortonormal dari ektor-ektor V. Jika W menyatakan rang yang direntang oleh... n maka setiap ektor dalam V dapat dingkapkan dalam bentk dimana terletak di W dan ortogonal terhadap W dengan memisalkan n n. dan n n. (Lihat gambar.9 ntk melkiskannya pada R ) W Gambar.9 Menrt gambar.9 maka kita namakan sebagai proyeksi ortogonal pada W dan menyatakannya dengan proy. Vektor - proy kita namakan komponen yang ortogonal terhadap W. Dengan notasi ini rms (.) dan (.) dapat ditliskan sebagai proy (proyeksi ortogonal pada W) n n.5 proy (komponen ortogonal terhadap W) n n.6
Contoh. Misalkan R mempnyai hasil kali dalam Eclidis dan misalkan W adalah sbrang yang direntang oleh ektor-ektor ortonormal ( ) ( ) 5 5. Proyeksi ortogonal ( ) pada W adalah dan proy ()( ) ( )( ) ( ) 5 5 5 5 5 Komponen yang ortogonal terhadap W adalah Perhatikanlah baha 8 ( ) ( ) ( ) proy 5 5 proy ortogonal baik terhadap mapn sehingga ektor ini ortogonal terhadap setiap ektor para rang W yang direntang oleh dan sebagai mana yang diharapkan. 5 5 Teorema 6. Setiap rang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol mempnyai sebah basis ortonormal. Misalkan V adalah sebarang rang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol dan misalkan S {... n } adalah sebarang basis ntk V. Urtan langkah-langkah berikt akan menghasilkan basis ortonormal {... n } ntk V Proses Gram-Schmidt Langkah. Misalkan. Vektor mempnyai norma. Langkah. Bat/bangn ektor yang normanya yang ortogonal terhadap. Caranya adalah hitng komponen yang ortogonal terhadap rang W yang direntang oleh dan kemdian normalisasikanlah komponen tersebt; yakni proy proy
- proy W proy Gambar. Langkah. Bat/bangn ektor yang normanya yang ortogonal terhadap mapn. Caranya adalah hitng komponen yang ortogonal terhadap rang W yang direntang oleh dan dan menormalisasikannya (gambar...); yakni proy proy - proy proy W Gambar. Langkah. Bat/bangn ektor yang normanya yang ortogonal terhadap dan. Caranya adalah hitng komponen yang ortogonal terhadap rang W yang direntang oleh dan dan menormalisasikannya. Jadi
5 proy proy Dengan menerskannya dalam cara ini kita akan mendapatkan himpnan ortonormal dari ektor-ektor {... n }. Karena V berdimensi n dan karena setiap himpnan ortonormal bebas linier maka himpnan {... n }akan merpakan basis ortonormal ntk V. Pembentkan langkah demi langkah diatas ntk mengbah sembarang basis ke basis ortonormal dinamakan proses Gram-Schmidt diperlihatkan baha pada masing-masing tahapan proses ini ektor-ektor... k membentk basis ortonormal ntk sbrang yang direntang oleh... k Contoh. Tinjalah rang ektor R dengan hasil kali dalam Eclidis. Terapkanlah proses Gram-Schmidt ntk mentransformasikan basis ( ) ( ) dan ( ) ke dalam basis ortonormal. Jaab Langkah. ( ) Langkah. ( ) proy Maka 6 6 6 6 proy proy
6 Langkah. ( ) 6 6 6 proy Maka proy proy Jadi 6 6 6 membentk basis ortonormal ntk R.. EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah matriks n x n sering kita jmpai tidak ada hbngan geometrik yang nyata diantara ektor x dan bayangannya Ax di baah perkalian oleh A (gambar. a). Akan tetapi ada beberapa ektor tak nol yang sering memetakan A ke dalam skalar dengan perkalian skalarnya sendiri (Gambar.b). Pada bagian ini akan ditnjkkan bagaimana mencari ektor-ektor ini. Gambar. Definisi. Jika A adalah matriks n x n maka ektor taknol x di dalam R n dinamakan ektor eigen (eigenector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar Ax Ax (a) (b)
dari x yakni Ax λx ntk sat skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigenale) dari A dan x dikatakan ektor eigen yang bersesaian Contoh. Vektor x adalah ektor eigen dari A yang bersesaian 8 dengan nilai eigen λ karena Ax x 8 6 Untk mencari nilai eigen matriks A yang berkran n x n maka dapat ditliskan kembali Ax λx sebagai Ax λix ata secara ekialen ( λ I A) x Spaya menjadi nilai eigen maka hars ada pemecahan tak nol dari persamaan ini. Menrt teorema 5 bagian Rang Baris dan Kolom Matriks; Rank; Penerapan terhadap Pencarian Basis maka persamaan (.) akan mempnyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika ( λ I A) det Ini dinamakan persamaan karakteristik A; skalar yang memenhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A.. Contoh Carilah nilai-nilai eigen dari matriks Jaab. A λ Karena λi A λ maka polinom karakteristik dari A adalah λ 7
λ det( λi A) det λ λ λ dan persamaan karakteristik dari A adalah λ λ Pemecahan-pemecahan persamaan ini adalah λ dan λ ; inilah nilainilai eigen dari A. Contoh Carilah nilai-nilai eigen dari A 7 8 Jaab. Sebagaimana contoh-contoh terdahl maka det λ λ 8 ( λi A) det λ λ 8λ 7λ 7 Maka nilai-nilai eigen dari A hars memenhi persamaan pangkat tiga λ 8λ 7λ dengan memecahkan persamaan ini maka diperoleh pemecahan nilai-nilai eigen dari A adalah (Bktikan sendiri!) λ λ dan λ. Teorema. Jika A adalah matriks n x n maka pernyataan-pernyataan berikt ekialen sat sama lain (a) λ adalah nilai eigen dari A (b) Sistem persamaan (λi - A)x mempnyai pemecahan yang taktriial (c) Ada ektor taknol x di dalam R n sehingga Ax λx (d) λ adalah pemecahan riil dari persamaan karakteristik det (λi - A) 8