BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Air merupakan kebutuhan penting bagi pertumbuhan tanaman. Namun, pada saat musim kemarau tiba atau di daerah dengan intensitas hujan rendah, ketersediaan air dalam tanah berkurang yang berakibat kebutuhan air bagi tanaman tidak tercukupi. Para petani di Indonesia mengatasi hal ini dengan menggunakan sistem irigasi. Mereka menggunakan sistem irigasi berbeda saat musim kemarau dan musim hujan. Sistem irigasi yang dibahas dalam skripsi ini adalah sistem irigasi pada saat musim kemarau. Saat musim hujan, para petani menggunakan kerbau untuk membajak sawah. Sementara itu di musim kemarau, para petani menggunakan sistem irigasi alur yaitu sistem irigasi yang dikerjakan dengan cara menanam tanaman di tanah sehingga terbentuk suatu barisan-barisan tanaman. Pengairan pada tanah tersebut diperoleh melalui parit-parit yang dibuat sejajar lajur-lajur tanaman. Namun demikian, dapat digunakan cara alternatif yaitu dengan pembuatan saluran air sebagai pengganti parit-parit tersebut. Jika masalah infiltrasi dipelajari melalui pengamatan maka dibutuhkan waktu dan biaya yang cukup banyak, sehingga digunakan cara alternatif yaitu pemodelan matematika. Dalam kaitannya dengan masalah infiltrasi, ketersediaan air di tanah dipengaruhi oleh nilai suction potential yang didefinisikan sebagai potensial dari gaya yang muncul akibat interaksi lokal antara tanah dan air. Selanjutnya, persamaan matematika yang digunakan dalam masalah infiltrasi adalah persamaan Richards. Persamaan tersebut kemudian ditransformasi menjadi persamaan Helmholtz termodifikasi. Solusi analitik pada masalah infiltrasi dari saluran datar telah dijelaskan oleh Batu (1978). Namun, kendala bentuk saluran yang bermacam-macam, mengaki- 1
2 batkan solusi analitik tidak selalu mudah ditentukan. Oleh karena itu diperlukan solusi numerik. Selanjutnya untuk memperoleh solusi numerik persamaan Helmholtz termodifikasi, digunakan Dual Reciprocity Boundary Element Method (DRBEM). Metode ini dipandang lebih efektif dari pada Boundary Element Method (BEM) untuk menyelesaikan masalah infiltrasi stasioner dari saluran datar periodik. Solusi numerik yang diperoleh dari DRBEM kemudian digunakan untuk menentukan nilai suction potential. Nilai ini memiliki hubungan berbanding lurus dengan ketersediaan air di tanah. Berkembangnya dunia komputasi saat ini, menjadi salah satu alasan penggunaan bantuan program komputer, yaitu MATLAB terutama untuk menyelesaikan proses perhitungan dalam menentukan solusi numerik dengan DRBEM. Selain itu, perhitungan dengan mendiskritisasi batas region menjadi cukup banyak elemen tidak mudah dilakukan secara manual karena membutuhkan waktu dan ketelitian yang cukup tinggi. Beberapa uraian yang telah disampaikan penulis inilah, yang melatar belakangi dalam penulisan skripsi mengenai penggunaan Dual Reciprocity- Boundary Element Method (DRBEM) pada masalah infiltrasi stasioner dari saluran datar periodik. 1.2. Rumusan Masalah Rumusan masalah yang akan dibahas adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana menyelesaikan model matematika masalah infiltrasi stasioner dari saluran datar periodik menggunakan Dual Reciprocity Boundary Element Method (DRBEM)? 2. Bagaimana akurasi solusi yang diperoleh menggunakan DRBEM terhadap solusi dari metode analitik yang dikerjakan Batu? 3. Bagaimana distribusi suction potential (ψ) pada tanah tak jenuh (unsaturatedsoil) dari saluran datar periodik menggunakan solusi numerik dari DRBEM?
3 1.3. Batasan Masalah Masalah yang dibahas pada skripsi ini dibatasi pada implementasi Dual Reciprocity Boundary Element Method (DRBEM) untuk menyelesaikan masalah infiltrasi stasioner di tanah homogen dari saluran datar periodik. Khususnya yang dibahas di sini adalah tanah tak jenuh (unsaturated soil). 1.4. Maksud dan Tujuan Penelitian Maksud penulisan skripsi ini adalah untuk memenuhi syarat kelulusan program Strata-1(S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada. Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut: 1. Menyelesaikan model matematika masalah infiltrasi stasioner dari saluran datar periodik menggunakan Dual Reciprocity Boundary Element Method (DRBEM). 2. Mengetahui akurasi solusi yang diperoleh menggunakan DRBEM terhadap solusi yang diperoleh dengan metode analitik yang dikerjakan Batu. 3. Menentukan distribusi suction potential(ψ) pada tanah tak jenuh (unsaturatedsoil) dari saluran datar periodik menggunakan solusi numerik dari DRBEM. 1.5. Tinjauan Pustaka Pembahasan mengenai konsep-konsep yang mendasari Dual Reciprocity - Boundary Element Method (DRBEM), antara lain persamaan Laplace diambil dari buku karangan Katsikadelis (2002), kemudian tahapan dalam menentukan solusi fundamental persamaan Laplace dan persamaan integral batas serta proses mendapatkan solusi numerik pada titik-titik kolokasi dengan cara diskritisasi batas region diperoleh dari buku karangan Ang (2007). Konsep mengenai Dual Reciprocity Boundary Element Method (DRBEM) untuk menyelesaikan persamaan Helmholtz termodifikasi dimensi dua, meliputi bentuk persamaan Helmholtz termodifikasi dimensi dua, perumusan integral batas untuk memperoleh persamaan integral batas yang memuat integral garis dan inte-
4 gral lipat dua atas region R menggunakan solusi fundamental persamaan Laplace dan solusi persamaan Helmholtz yang dicari, kemudian pendekatan suku di integral lipat dua dengan fungsi basis radial sampai dengan proses diskritisasi pada kurva batas C untuk memperoleh persamaan yang membangun sistem persamaan linear, sehingga solusi numerik pada titik-titik kolokasi dapat ditentukan, diperoleh dari buku karangan Ang (2007). Beberapa dasar teori yang berkaitan dengan DRBEM, diantaranya vektor diambil dari buku karangananton dan Rorres (2004), teorema Green di bidang dan pembuktiannya dijelaskan kembali dari buku karangan Budhi (2001), kemudian teorema Gauss Green, teorema divergensi Gauss, identitas Green kedua beserta pembuktiannya serta penjelasan mengenai fungsi Dirac delta merujuk pada buku karangan Katsikadelis (2002). Penjelasan mengenai turunan parsial dan deret Taylor, penulis mengacu pada buku karangan Budhi (2001) dan Taylor (1983). Selanjutnya, penjelasan terkait fungsi basis radial diambil dari Buhmann (2010), Karur dan P.A.Ramachandran (1994) dan Putri (2010). Penggunaan metode elemen batas untuk infiltrasi stasioner dari saluran periodik, telah dibahas oleh Azis (2003). Dalam jurnalnya, dijelaskan penggunaan Boundary Element Method (BEM) untuk mengetahui potensial fluks matrik dan pengaruhnya terhadap bentuk saluran air yang berbeda-beda. Untuk implementasi dari DRBEM, yaitu pada masalah infiltrasi stasioner dari saluran datar periodik, penulis mengacu dari jurnal Solekhudin (2013) dan disertasi Imam Solekhudin. Kemudian solusi numerik yang diperoleh dari metode DRBEM ditransformasi menjadi Φ dan dibandingkan dengan solusi analitik Φ a yang diperoleh dari jurnal Batu (1978). 1.6. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah studi literatur. Pembahasan terkait penyelesaian persamaan Helmholtz termodifikasi dengan Dual Reciprocity Boundary Element Method (DRBEM), diperoleh dengan mengkaji buku Ang (2007), yaitu diawali dengan relasi resiprokal antara solusi fundamental per-
5 samaan Laplace dan solusi persamaan Helmholtz yang dicari. Relasi resiprokal tersebut menghasilkan suku yang memuat integral lipat dua, dan selanjutnya didekati dengan fungsi basis radial untuk mendapatkan persamaan integral batas. Adanya proses perhitungan berulang, mengakibatkan penyelesaian secara manual kurang efektif, sehingga digunakan software berupa MATLAB. Untuk mempermudah pembuatan program penyelesaian persamaan Helmholtz di MATLAB, terlebih dahulu dibuat diagram alir pembuatan program. Kemudian dipelajari pula proses penurunan untuk mendapat persamaan Helmholtz termodifikasi dari persamaan Richards, yang merupakan persamaan pengatur masalah infiltrasi stasioner di tanah homogen. Hasil dari metode numerik ini selanjutnya dibandingkan dengan hasil dari metode analitik yang dikerjakan Batu (1978). Di sisi lain solusi ini juga digunakan untuk memperoleh nilai suction potential, ψ. 1.7. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN Berisi latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, serta sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Berisi uraian dan definisi yang mendasari pembahasan pada bab selanjutnya. BAB III DUAL RECIPROCITY BOUNDARY ELEMENT METHOD Menjelaskan langkah-langkah penyelesaian persamaan Helmholtz termodifikasi dengan DRBEM kemudian menjelaskan implementasi numerik DRBEM di MAT- LAB serta diagram alir program di MATLAB. BAB IV MASALAH INFILTRASI STASIONER DARI SALURAN DATAR PE- RIODIK Membahas proses penurunan untuk mendapat persamaan Helmholtz termodifikasi dari persamaan Richards, yang merupakan persamaan pembangun masalah infil-
6 trasi stasioner di tanah homogen. Selanjutnya proses perhitungan dikerjakan dengan MATLAB. Solusi yang diperoleh dari DRBEM ini kemudian dibandingkan dengan solusi analitik Φ yang diperoleh Batu (1978). Di sisi lain solusi ini juga digunakan untuk memperoleh nilai suction potential, ψ, yang mendefinisikan potensial dari gaya yang muncul akibat interaksi lokal antara tanah dan air. BAB V KESIMPULAN Berisi kesimpulan dari pembahasan DRBEM dan aplikasinya, beserta saran dari penulis.