BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP Msal dguaka kode ler C[, k, d] dega matrks pembagu G da matrks cek partas H. Sebuah blok formas x = x 1 x 2 x k, x = 0 atau 1, yag aka dkrm terlebh dahulu dkodeka (dekode) dega megalka x dega G dperoleh katakode v = xg. Selajutya, katakode v dkrm melalu salura formas, dterma sebaga katakode w. Proses dekode yag merupaka proses utuk medapatka kembal katakode v dar katakode w, dlakuka dega memafaatka matrks cek parts H, (tetap proses tdak aka dbahas dalam Tugas Akhr, pembahasa megea proses dekode dapat dlhat pada [1] da [2]). Kode swa-dual geap memlk suatu keuka yatu matrks cek partas sama dega traspos matrks pembagktya. Sehgga pada proses dekode, matrks cek partas H dcar dega cara cukup metrasposka matrks pembagkt G. Cara tersebut tetuya aka meghemat waktu dalam proses dekode. Selajutya utuk beberapa la yag mugk, aka dkostruks suatu kode swa-dual geap dega jarak mmum sebesar mugk. Berdasarka Teorema 2. 2. 5 da Teorema 2. 2. 6, kode dharapka dapat medeteks da megoreks pola kesalaha dega bobot sebesar mugk. Cara yag dguaka utuk megostruks kode swa-dual semacam tu adalah sepert yag dlustraska dalam cotoh berkut : Cotoh.1 Msal utuk = 8, aka dsusu W C (x, y) pecacah bobot kode swa-dual geap C[8,2]. Meurut teorema Gleaso, W C (x, y) merupaka polom dalam W 1 x, y da W 2 x, y. Karea W C (x, y) merupaka polom homoge berderajat 8, da W 1 x, y polom homoge berderajat 8, serta W 2 x, y polom homoge berderajat 2, W C (x, y) haruslah kombas ler dar W 6 1, W 3 1 W 2, da W 2 3. Sehgga kta dapat meulska : 22
W C x, y = a 0 W 6 1 + a 1 W 3 2 1 W 2 + a 2 W 3 = a 0 x 8 + 8x y + 296x 0 y 8 + + a 1 x + 38x 0 y 8 + +a 2 x 0 y 8 +. W C (x, y) haruslah memuat x 8, sehgga dperoleh a 0 = 1. Selajutya, utuk memaksmalka jarak mmum kta plh a 1 = 8 da a 2 = 26, sehgga kode C tdak memuat katakode berbobot da 8. Pada akhrya kta peroleh : W C x, y = x 17296 x y 535095 x y 3995376 x y 7681680 x y 8 36 12 32 16 28 20 2 2 + 3995376x y 535095x y 17296x y y 20 28 16 32 12 36 8 W C (x, y) d atas merupaka pecacah bobot kode swa-dual geap C[8,2,12]. Kode lebh serg dsebut kode QR[8,2,12], da merupaka kode swa-dual geap dega jarak mmum terbesar utuk = 8. Sekarag kta memperumum metode yag telah kta paka pada cotoh.1, utuk dterapka pada sebarag yag mugk, yatu utuk sebarag kelpata 8. Msal C [, k, d] suatu kode swa-dual geap dega pecacah bobot W x, y = x + A d x d +. Meurut teorema Gleaso, W(x, y) merupaka polom dalam W 1 x, y da W 2 x, y, da dapat dtulska sebaga : W x, y = μ r=0 a r W 1 x, y j 3r W 2 x, y r (.1.a) dega = 8j = 2μ + 8v, v = 0, 1, atau 2. Msalka sebayak μ + 1 = [/2] + 1 koefse a d persamaa (.1.a) dplh sedemka rupa sehgga W(x, y) memlk sebayak mugk koefse utama yag sama dega ol. Sehgga kta peroleh : W x, y = x + A μ + x μ + y μ + (.1.b) Hasl yag dperoleh d persamaa (.1.b) merupaka pecacah bobot kode swadual tersebut dega bobot mmum tak ol terbesar yag dharapka dapat dcapa. Pecacah bobot damaka pecacah bobot ekstrmal. Jka terdapat kode dega pecacah bobot sepert pada persamaa (.1.b), kode mempuya jarak mmum d = μ +, kecual secara kebetula A μ + 23 = 0. Dega kata
la d μ + 8. Tetap, A μ + tdak perah sama dega ol, sebagamaa dtujuka dalam teorema berkut. Teorema juga secara eksplst memberka d = μ + sebaga batas atas bag jarak mmum kode swa-dual geap. Teorema.2 (Mallows da Sloae [1]) A μ +, bayakya katakode takol berbobot mmum pada pecacah bobot ekstrm dberka oleh : 5 5μ 2 μ 1 μ + 5, jka = 2μ 1 1 2 5μ! μ! μ +!, jka = 2μ + 8 3 2 5μ + 2! μ! μ +!, jka = 2μ + 16 2 da tdak perah sama dega ol. Oleh karea tu, jarak mmum kode swa-dual geap pajag, palg besar adalah [ 2] +. Bukt : 1. Kasus = 2μ A = 1, s = Kode swa-dual geap C dega = 2μ + 8 memberka d = d = μ +, 2μ + μ [ 2μ (20μ )] = μ, da s = μ 1. Berdasarka Teorema 3.2.6 kta dapat meyataka bahwa katakode-katakode berbobot μ + d C membetuk d s = μ + μ 1 = 5 -desa. Parameter λ μ + lebh mudah dhtug dalam -desa yatu : A. S( ) 1 Sr ( ), (.2.a) N r s (). ( ) j j1, j r r dega 1 S( x) ( j x). Utuk S(x) yag sepert tu da utuk j1 kta dapatka : (2 ) (20 ) (5 1) 2
1 1 1 S ( ) S(2 ) ( j 2 ) ( 20 j) (5 j) A S j1 j1 j1 1 (5 1)(5 2) ( 1) 2. ( ) (5 2)!! 1 (5 1)!! N 2 2 /2 12 Kode C memlk dettas-dettas berkut : () () () S( r) S( r ) S( r), karea r (16 ) 1 S( r) ( j r) ( r)( 8 r) (20 r), da j1 1 S( r ) ( j r ) ( 8 r)( 12 r) (20 8 r) j1 2 2 S( r ) S( l) r r 2 2 r l 1 2 12 2 r 2 S( r) S(2 ) r Oleh, karea tu persamaa (.2.a) mejad : () 2 2 2.(5 2)! 1 2 Sr ( )..( 2)! 12! 2 r r r! (1)! 2 2.(5 2)! 2..(5 1) () (61)(52)!!(1)! () Dar hasl d atas, sekarag kta kta peroleh : 2 (5) () 5 2 1 25
Maka bayakya katakode berbobot μ + d C adalah 2. Kasus = 2μ + 8 A = 1, s = 5 5μ 2 μ 1 μ + 5. Kode swa-dual geap C dega = 2μ + 8 memberka d = d = μ +, 2μ +8 μ [ 2μ + (20μ +)] = μ + 2, da s = μ + 1. Meurut Teorema 3.2.6 katakode-katakode berbobot μ + d C membetuk desa = 3 desa. Kta htug parameter λ μ + dalam 2-desa, yatu : s (2). ( ) j j1, j r2 r 2 dega d s A. S( ) 1 2 Sr ( ), (.2.c) N r 1 S( x) ( j x). Kemuda kta dapatka secara lagsug : j1 1 1 1 S ( ) S(2 8) ( j 2 8) ( 20 j 8) (5 j 2) j1 j1 j1 1 (5 1)(5 2) ( 1) 1 (5 1)!!, (2 8 ) (20 ) (5 1) A S. ( ) (5 )! N 2 2! /2 12 Kode C memeuh dettas-dettas berkut : S( r) S( r ) S( r) (), karea r (16 ) 1 S( r) ( j r) ( r)( 8 r) (20 r), da j1 1 S( r ) ( j r ) ( 8 r)( 12 r) (20 8 r). j1 () 28 1 S( r ) S( r) 1 N r2 2 6. S ( ) r 2 16 (21) 26
Selajutya kta substtuska hasl-hasl d atas ke persamaa (.2.c), sehgga kta dapatka : 1 (2).(5 )! S ( ).(5 )!.(5 1)!..( )!! (2 1)!!(2 1) (2) (5 )! (5 1)! 5 (20 2 1).( )!!!(2 1)!(2 1) (5 )!(18 3)!(21) (2) (5 )!(18 3)!( )!(2 1) (.2.d) Sekarag kta kembalka hasl pada persamaa (.2.d) dalam kosekues (3) ( 2) (2) 3-desa. Karea ( 1) ( 1) 1, kta peroleh (2 6). Sehgga, (3) ( 2) (5 )!(18 3) 2(2 1) (5 )!3(6 1).. (2 6)!( )!(2 1) 6( 1)!( )!(2 1) A (61)(5 )!!(1)! 1 (5 )! ( ) ( ), karea (6 1)!(1)! Selajutya kta htug A, bayakya katakode berbobot μ + d C. (3). / 3 3! 1 (5 )! (1)!3!. ( ). ( 3)!3!!( 1)! ( )! 1 (5 )!..( 1).( 2).( )!( )! 3. Kasus = 2μ + 16 A = 1, s = Kode swa-dual geap C dega = 2μ + 16 memberka d = d = μ +, 2μ +16 μ [ 2μ +12 (20μ +12)] = μ +, da s = μ + 3. Meurut 27
Teorema 3.2.6 katakode-katakode berbobot μ + d C membetuk d s desa = 1 desa. Kta lagsug htug parameter λ μ + dalam 1-desa, yatu : A. S( ) 1 1 Sr ( ) (.2.f) N r s (1). ( ) j j1, j r1 r 1 dega 3 S( x) ( j x). Secara lagsug kta dapatka : j1 3 3 1 S ( ) S(2 16) ( j 2 16) ( 20 j 16) (5 j ) j1 j1 j1 3 3 (5 3)! (5 3)(5 2) ( 1)!, (2 16 ) (20 12) (5 3) A S.!(5 3)! 3 2. ( ) (5 3)! (5 2)! N 2 2 /2 128 Kode C memeuh dettas-dettas berkut : S( r) S( r ) S( r) (), karea r ( 3) 3 S( r) ( j r) ( r)( 8 r) (20 12 r), da j1 1 S( r ) ( j r ) ( 8 r)( 12 r) (20 16 r). j1 () 216 1 S( r ) S( r) N r1 2 15 r 1 2 S ( ) Selajutya kta substtuska hasl-hasl d atas ke persamaa (.2.f), sehgga kta dapatka : 2 3 (1) 2.(5 2)! 2. (5 3)!..( 2)!!!( 3) 28
(1) (5 2)! 8(5 3)! ( 2)!! ( 3)!! (5 2)!((0 2) ( 3)) ( 3)!! (52)!(3621) ( 3)!! 3 (5 2)!.( 2). 2 ( 3)!! Selajutya kta htug A, bayakya katakode berbobot μ + d C. A (3). / 3 3! 1 (5 )! (1)!3!. ( ). ( 3)!3!!( 1)! ( )! 1 (5 )!..( 1).( 2).( )!( )! Nla A pada ketga kasus d atas tdak sama dega ol utuk 8, sehgga jarak mmum kode swa-dual geap dega pajag, terbesar adalah [/2]+. Terbukt. Telah dketahu beberapa kode swa-dual geap dega jarak mmum mecapa batas atas yag dberka oleh Teorema.2. Beberapa kode tersebut dapat dlhat d tabel.1 berkut : [, k, d] Nama Kode [8,, ] Hammg [16, 8, ] Tambah lagsug dar dua kode Hammg [2, 12, 8] Golay [32, 16, 8] Reed-Muller orde 2 [0, 20, 8] Double Crculat Code [8, 2, 12] Quadratc Resdu (QR) 29
[56, 28, 12] Double Crculat Code [6, 32, 12] Double Crculat Code [80, 0, 16] QR [88,, 16] Double Crculat Code [10, 52, 20] QR Tabel.1 Kode swa-dual geap dega d=[/2]+ 30