Drt Fourir, Transformasi Fourir dan DFT A. Drt Fourir Drt fourir adalah drt yang digunakan dalam bidang rkayasa. Drt ini prtama kali ditmukan olh sorang ilmuan prancis Jan-Baptist Josph Fourir (1768-18). Drt yang slanjutnya diknal sbagai drt fourir ini mrupakan drt dalam bntuk sinusoidal (sinus dan cosinus) yang digunakan untuk mrprsntasikan fungsi-fungsi priodik scara umum. Slain itu, drt ini juga sring dijadikan sbagai alat bantu dalam mnylasaikan prsamaan difrnsial, baik prsamaan difrnsial biasa maupun prsamaan difrnsial parsial. Tori dasar drt fourir cukup rumit. Mskipun dmikian, aplikasinya cukup sdrhana. a. Fungsi Priodik Suatu fungsi dikatakan priodic ktika stiap x brlaku, dimana T mrupakan konstanta positif. Nilai trkcil T dinamakan priod trkcil atau disingkat priod f(x). *) Fungsi sinx mmpunyai priod karna fungsi,.. sama dngan sinx. *) Priod fungsi atau dimana n adalah bilangan bulat positif adalah *) Priod adalah *) Suatu konstanta mmiliki priod suatu bilanan poositif Contoh lain dari fungsi priodic adalah gambar sbagai brikut: b. Drt fourir Misalkan f(x) didfinisikan pada slang (-L,L) dan di luar slang ini olh f(x+2l)f(x) yaitu diandaikan bahwa f(x) mmpunyai priod 2L. Drt Fourir atau uraian Fourir yang brssuaian dngan f(x) ditntukan olh:
Disini kofisin Fourir an dan bn adalah c. Aplikasi drt Fourir Salah satu aplikasi dari drt fourir adalah pada pmisahan prpaduan glombang. Suatu glombang yang brgrak pada satu mdium bukan hanya glombang yang brupa glombang tunggal namun mrupakan prpaduan dari banyak glombang. Dngan mnggunakan drt fourir maka prpaduan dari banyak panjang glombang ini dapat dipisahkan kmbali mnjadi glombang-glombang pnyusunnya. Misalkan saja pada glombang radio. Glombang radio FM mmpunyai frkunsi 88 Mhz sampai dngan 18 Mhz. Tapi yang mnimbulkan prtanyaan adalah knapa kita dapat mndngarkan suara pnyiar radionya padahal batas pndngaran manusia hanya 2 Hz sampai dngan 2. Hz saja?. Ini dapat dijawab karna glombang radio trsbut hanya sbagai pmbawa. Yang nantinya pada radio pnrima glombang datang trsbut akan dipcah kmbali yang salah satunya brupa glombang suara yang dapat kita dngarkan. Pada gambar diatas disajikan dua bntuk glombang yang mmpunyai bntuk yang sangat brbda. Namun pada gambar kiri itu mrupakan glombang prpaduan dari banyak skali glombang. Sdangkan pada gambar kanan mrupakan bntuk-bntuk glombang yang mnyusun gambar kiri tadi. Gambar kiri dapat di pcah mnjadi gambar kanan dngan bantuan drt fourir. Hal ini pula yang brlaku pada frkunsi radio yang tlah disinggung sblumnya.
B. Transformasi Fourir Slain adanya drt fourir, juga diknal adanya transformasi fourir (Fourir Transform-FT). Josph Fourir mngmukakan bahwa sbuah fungsi priodik dapat dirprsntasikan dngan mngkombinasikan pnjumlahan tak hingga dari fungsi sinus dan cosinus. Rprsntasi fungsi inilah yang kmudian diknal sbagai Drt Fourir. Bbrapa tahun stlah pnmuan ini, drt fourir dikmbangkan mnjadi bntuk yang lbih umum shingga dapat ditrapkan pada fungsi yang non-priodik, bntuk yang lbih umum ini yang kmudian diknal sbagai Transformasi Fourir (FT). Sjak pnmuan ini, transformasi fourir mnjadi mtoda yang sangat cocok untuk mnganalisis fungsi atau sinyal, karna transformasi fourir dapat mngubah fungsi atau sinyal dalam domain waktu k domain frkunsi. Biasanya sbuah fungsi digambarkan dalam domain waktu. Artinya yang diukur dari fungsi trsbut adalah waktu. Dngan kata lain, jika kita gambarkan fungsi trsbut pada sumbu simtri, maka sumbu x (sbagai variabl bbas) mwakili waktu, dan sumbu y (sbagai variabl tak bbas) mwakili nilai pada waktu t trtntu, atau nilai amplitudo-nya. Jika kita mnggambar fungsi dalam domain waktu, maka kita akan mmprolh rprsntasi waktu-amplitudo fungsi trsbut. Pada aplikasinya, rprsntasi ini tidak slalu mrupakan rprsntasi trbaik. Pada banyak kasus, informasi khusus trsmbunyi pada nilai frkunsinya. Spktrum frkunsi dari sbuah fungsi mmprlihatkan frkunsi yang trmuat pada fungsi trsbut. Transformasi Fourir (Fourir Transform atau FT) dapat mngubah fungsi atau sinyal dalam domain waktu k dalam domain frkunsi. Jika kita mnrapkan FT pada sbuah fungsi dalam domain waktu, maka kita akan mndapatkan rpsntasi frkunsi-amplitudo fungsi trsbut. Dngan transformasi fourir, sbuah fungsi dapat digambarkan dalam sumbu x yang mnunjukkan spktrum frkunsi dan sumbu y mnunjukkan amplitudo. Gambar FT mnunjukkan brapa banyak frkunsi yang trmuat pada fungsi trsbut. Brikut ini adalah contoh dua buah fungsi stasionr priodik, yang trgabungkan (y 1 + y 2 y) bsrta gambar FT-nya:
Sringkali, informasi yang tidak dapat dilihat pada domain waktu, dapat dilihat pada domain frkunsi. Sbagai contoh dalam bidang mdis diknal sinyal ECG (ElctroCardioGraphy), yaitu catatan grafik aktivitas lktrik jantung. Bntuk khusus ECG orang yang shat, diknal btul olh sorang ahli jantung. Sbuah pnyimpangan yang brarti dari bntuk trsbut biasanya dianggap sbagai gjala adanya pnyakit. Namun gjala adanya pnyakit tidak slalu trlihat jlas pada sinyal ECG dalam domain waktu, trkadang pnyakit dapat didiagnosa lbih mudah jika sinyal dianalisis dalam domain frkunsi. Pada ECG dapat mmanfaatkan transformasi fourir trgantung yang diinginkan. Sprti tlah disinggung sblumnya bahwa tidak slalu suatu gjala kjanggalan pmbacaan catatan grafik aktifitas lktrik jantung dapat tramati dngan baik dalam domain waktu. Shingga diprlukan domain lain yang ssuai dan dapat mmbrikan informasi yang lbih akurat kpada pmbaca. Domain lain yang dapat digunakan adalah domain frkunsi. Dan sbaliknya tidak smua gjala kjanggalan juga dapat dibaca pada domain ini. Shingga antara doain waktu dan domain frkunsi akan saling mlngkapi, trgantung dngan kbutuhan. Hal trsbut mrupakan contoh sdrhana dari kgunaan domain frkunsi. Transformasi fourir brsifat rvrsibl, yaitu suatu fungsi dapat ditransformasi k dalam domain frkunsi (yang mmuat informasi frkunsi amplitudo), dan di invrsikan lagi k domain waktu (yang mmuat informasi waktu-amplitudo). Namun, kdua informasi trsbut tidak bisa didapatkan scara brsamaan. Rprsntasi fungsi dalam domain frkunsi tidak mmuat informasi waktu, dmikian pula sbaliknya. Untuk fungsi-fungsi yang stasionr, yaitu fungsi yang nilai frkunsinya tidak brubah-ubah scara kontinu, informasi waktu dan frkunsi scara brsamaan tidak diprlukan, karna di sluruh intrval waktu, nilai komponn frkunsinya konstan. Sifat-Sifat Transformasi Fourir
Suatu sinyal sring ditulis dngan huruf kcil dan transformasi fourir atau spktrumnya dngan huruf bsar. Hubungan antara sinyal dan spktrumnya sring dituliskan dngan f(x) < > F(w), dngan sinyal di sisi kiri dan spktrumnya di sisi kanan. Transformasi Fourir mmiliki bbrapa sifat yang mnarik dan mmudahkan untuk mngrti knapa spktra dari sinyal trtntu punya bntuk trtntu, yaitu: 1. Linarity : f(x)+g) <--> F(w)+G(w) a*f(x) <--> a*f(w) artinya jika ada pnambahan/pngurangan dua sinyal maka spktranya ditambahkan/dikurangkan juga dan jika amplitudo sinyalnya dinaikkan/diturunkan maka spktrumnya pun dinaikkan/diturunkan. 2. Scaling: f(a*x) <--> (1/a) * F(w/a) artinya jika dibuat fungsi yang lbih lbar dalam arah x maka spktrumnya akan mnjadi lbih kcil dalam arah x dan ampiltudonya pun akan brubah.. Tim Shifting : f(x-x) <--> (xp(-i*w*x)) * F(w) jika waktu digsr maka trjadi pnggandaan Transformasi Fourir dngan ksponnsial nilai imajinr, dngan dmikian prgsran waktu dalam amplitudo spktrum tidak trlihat prbdaannya yang trlihat hanya dalam phas. 4. Frquncy Shifting (xp(-i*w*x))*f(x)<-->f(w-w) mrupakan pasangan rangkap dari tim shifting 5. Duality or Symmtry Jika f(x) <--> F(w) maka F(x) <--> f(-w) misalnya karna factor ini spktrum pulsa rctangular adalah fungsi sin dan pada saat yang sama spktrum fungsi sin adalah pulsa rctangular juga. 6. Symmtry Ruls Transformasi Fourir sinyal ral dan gnap adalah ral dan gnap juga (misal symtikal sinyal maka yang dicrminkan adalah skitar sumbu y) Transformasi Fourir sinyal ral dan ganjil adalah ral dan ganjil juga (ganjil mngartikan ktidaksimtrisan, dicrminkan diskitar titik pusat sumbu) Transformasi Fourir sinyal ral mmiliki bagial ral gnap dan bagian imajinr ganjil srta amplitudo yang slalu simtris. Transformasi Fourir sinyal imajinr murni adalah simtris,tapi Transformasi Fourir sinyal komplks tidak slalu simtris. 7. Torma Konvolusi
Konvolusi adalah oprasi antara dua fungsi yang trdfinisi sbagai intgral, yang bisa dijlaskan sbagai brikut: Ambil 2 fungsi misal dua fungsi rctangl f 1 (x) dan f 2 (x). Jadikan salah satu fungsi pada posisi ttap.lalu crminkan fungsi yang kdua diskitar sumbu y. Kmudian gsr fungsi kdua itu mlwati suatu nilai u dimana u brasal dari -µsampai µ. Fungsi hasil dari konvolusi f 1 dan f 2 adalah g(u) dimana u adalah paramtr. Untuk u trtntu, kalikan lalu gsr dan crminkan satu sama lain antara f 1 dngan f 2. Kmudian hitung ara di bawah hasilnya dngan mngintgralkannya. Ara ini adalah nilai g(u) untuk u trsbut. Untuk hasil yang mnyluruh langkah tadi prlu dilakukan pada stiap u. Sbagai contoh, trdapat dua fungsi rctangular yang dimulai saat u -µ, g(u) adalah karna dua trsbut tidak ovrlap dan prkaliannya akan mnghasilkan nol fungsi dngan nol ara. Ktika u brgrak k kanan, g(u) akan trus ttap sampai akhirnya dua fungsi rctangular tadi mulai brtampalan. Kmudian smakin brgrak k kanan maka snakin bsar ara yang akan trbntuk sampai akhirnya mncapai nilai maksimum, jadi nilai g(u) smakin mmbsar. Lalu kdua fungsi rctangular itu smakin kurang brtampalan pada saat salah satunya brgrak smakin kkanan shingga nilai g(u) akan brkurang dan brkurang lagi. Akhirnya g(u) mncapai nol lagi dan ttap sampai +µ. Hasil g(u) trsbut mrupakan suatu fungsi sgitiga. Prosdur mnmukan Discrt Transform dan Fourir Transform a. Rumus mnmukan Fourir Transform Eulr: b. Rumus mnmukan Diskrt Transform Discrt Fourir Transform Transformasi fourir diskrit atau disbut dngan Discrt Fourir Transform (DFT) adalah modl transformasi fourir yang diknakan pada fungsi diskrit, dan hasilnya juga diskrit. DFT didfinisikan dngan :
F( N 1 j2πknt / N DFT sprti rumus di atas dinamakan dngan DFT 1 dimnsi, DFT smacam ini banyak digunakan dalam pngolahan sinyal digital. Contoh : Diktahui f(t) dalam bntuk diskrit f(n) sbagai brikut : f(t) 1 2 t DFT dngan T1 dari fungsi f(n) di atas adalah : k k1 jn F() f ( n) F(1) 1+ 1+ 1+ 1 4.5 jnπ j 2πn / 4 j4n / 4 jnπ k2 F(2) j6nn / 4 j1.5nπ k F() Hasil dari DFT untuk T (priod sampling) yang brbda akan juga brbda. Shingga dalam pross prhitungan DFT, pnntuan nilai T juga mrupakan prhatian pnting. Sbagai acuan dapat digunakan aturan frkwnsi Niquist bahwa frkwnsi sampling minimal dua kali frkwnsi informasi (data), atau dngan kata lain priod sampling maksimal stngah kali priod dari nilai fungsinya. Contoh : Diktahui f(t) dalam bntuk diskrit f(n) sbagai brikut : f(t) DFT dngan T1 dari fungsi f(n) di atas adalah : F( 2 1 7 1 2 j 2πnk / 8 7 Hasil DFT fungsi f(t) di atas adalah : 1 2 jπnk / 8 k F( 12 1 t
2-2 2j 4 5 6-2 + 2j 7 Trlihat bahwa hasil dari DFT adalah bilangan komplk, yang trdiri dari unsur ral dan imaginr. Shingga dapat dipisahkan dalam unsur ral dan imaginr sbagai brikut : Dan dapat digambarkan sbagai brikut : k Ral{F(} Im{F(} 12 1 2-2 -2 4 5 6-2 2 7 Bagian Ral Bagian Imaginr Gambar 4.5. Contoh DFT ral dan imaginr Atau dapat dinyatakan dalam magnitud dan phas dngan dfinisi sbagai brikut : Magnitud : F ( ( R { f ( }) 2 + ( Im{ f ( k ) }) 2 Im Phas : { } { F( } Arg F( R { F( } Magnitud Phas Gambar 4.6. Contoh DFT ral dan imaginr Bila DFT dihitung untuk k s/d 15 maka hasilnya adalah: k F( K F(
12 8 12 1 9 2-2 2j 1-2 2j 11 4 12 5 1 6-2 + 2j 14-2 + 2j 7 15 Trlihat trjadi pngulangan hasil, hal ini disbabkan pross DFT mmang mngakibatkan trjadinya priodik. Ini sbagai akibat dari adanya unsur radial 2 dalam bntuk transformasi fourir. Shingga dalam pross prhitungan DFT, prhitungan cukup dilakukan sampai 1/2 priodik saja. Dan prhitungan inilah yang dinamakan dngan FFT (Fast Fourir Transform).