. Jika dan vektor-vektor tak kolinear dan A = ( x + 4y ) + ( 2x + y + ) dan B = ( y 2x + 2 ) + ( 2x 3y -), maka carilah nilai x dan y sehingga 3A = 2B. Penyelesian: 3A = 2 B 3(x + 4y ) +3 ( 2x + y + )b = 2( y 2x + 2 ) +2 ( 2x 3y -) (3x + 2y -2y + 4x - 4 ) + ( 6x + 3y + 3-4x +6y + 2) = 0 (7x + 0y 4 ) + (2x + 9y + 5 ) = 0 Karena a dan b tak kolinear maka 7x + 0y 4 = 0.... () 2x + 9y + 5 = 0..... (2) Eliminasi () dan (2) 4x + 20y = 8 4x + 63y = -35-43y = 43 y = - substitusi ke pers (2) 2x + 9y = -5 2x 9 = -5 2x = 4 x = 2 Sehingga x = 2, y = - 2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (x,y,z ) dan R (x 2,y 2,z 2 ) seperti yang ditunjukkan pada gambar. Z P Q R O Y X
Penyelesaian: Diketahui: vektor posisi : = x i + y j + z k = x 2 i + y 2 j + z 2 k Karena dan segaris, maka berlaku : = m = =(xi + yj + zk) ( x i + y j + z k) =(x-x )i +(y-y )j + (z-z )k = = (x 2 x )i + (y 2 y )j + (z 2 z )k sehingga ; (x-x )i + (y-y )j + (z-z )k = m [(x 2 x )i + (y 2 y )j + (z 2 z )k] x x = m (x 2 x ) m = x x x 2 x y - y = m (y y ) m = z - z = m (z z ) m = z y y y 2 2 y z z z Jadi persamaan garis lurus yang melalui titik P dan R adalah x x x 2 x = y y y 2 y = z z z 2 z 2
3. misalkan vector-vektor kedudukan dari titik-titik P dan Q relative terhadap sebuah titik asal O masing-masingnya diberikan oleh p dan q. jika R adalah sebuah titik yang membagi garis PQ kedalam bagian-bagian yang perbandingannya m : n, maka perlihatkan bahwa vector kedudukan R diberikan oleh: dan vector ini tak bergantung pada titik asal. Penyelesaian: Ilustrasi: P m R n Q O Diketahui: Dan PR : RQ = m : n Sehingga ( ) ( ) ( ) (terbukti) 4. buktikan bahwa kedua diagonal jajar genjang berpotongan ditengah tengah (bisec). Ilustrasi: B C E A D 3
Penyelesaian: Maka : ( ) ( ) Maka: ( ) ( )....(2) Diperoleh juga : Dari () dan (2) diperoleh : ( ) ( ) ( ) ( ) Karena dan maka : Sehingga dengan menggunakan eliminasi diperoleh : Dan (terbukti) 4
5. Jika ABCDEF adalah titik-titik sudut dari sebuah segi-enam beraturan, maka carilah resultan dari gaya-gaya yang dinyatakan oleh vektor-vektor AB, AC, AD, AE, dan AF. Penyelesaian: ilustrasi: B C A D F E Diketahui: Karena (searah dan sama panjang), maka : Karena (searah dan sama panjang), maka : Diketahui bahwa, maka : dan Jadi: (sifat komutatif) ( ) ( ) 5
6. Perlihatkan bahwa. Penyelesaian:: Karena Sehingga.....() Karena Sehingga Dari persamaan () diperoleh 7. Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua buah sisi sebuah segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan besarnya separuh dari besarnya sisi ketiga ini! Penyelesaian: C R Q A P B P, Q, R masing-masing merupakan titik-titik tengah dari 6
= ( ) = ( ) ( ) = ( ) = Maka ( ) Dengan cara yang sama diperoleh: (terbukti) 8. ABCD adalah sebuah jajaran genjang dengan P dan Q adalah masing-masing titik tengah dari sisi-sisi BC dan CD. Buktikan bahwa AP dan AQ memotong diagonal BD atas tiga bagian yang sama dititik E dan F. A B F E D C Penyelesaian: 7
= b a = x ( b a ) = a + ½ b = y ( a + b) a = y ( a + b) + x ( b a ) = (x + y )a + ( -x + y) b Karena a dan b tak kolinear sehingga x + y = x = y 8
-x + y = 0 x = y y = y y = sehingga x = dan y = Didapat : DE = DB, AE = AQ = b a = m ( b a ) = b + ½ a = n ( b + /2a) b = n ( b + a) + m ( b a ) = ( n m)a + ( n + m )b Karena a dan b tak kolinear sehingga 9
n m = 0 m = n n + m = n + n = n = sehingga m =, dan n = didapat FB = DB dan AF = AP Sehingga terbukti 9. Buktikan ketiga vektor berikut dapat membentuk sebuah segitiga : [3,,-2], [-,3,4], [4,-2,-6]. Tentukan pula panjang garis-garis berat segitiga tersebut! Penyelesaian: Ilustrasi: a f b d e c 0
Diketahui:, -, -, -, -, - =, - = Sehingga, Karena, maka ketiga vektor tersebut membentuk sebuah segitiga. ( terbukti ) Perhatikan gambar diatas! Panjang verktor-vektor,, dan tersebut. merupakan panjang garis-garis berat pada segitiga [ ], -, -, -, -, -
, - [ ], - 0. Jika A= 4i - 3j + 3k dan B = - 2i + j - 2k carilah vektor satuan yang tegak lurus A dan B Penyelesaian:, - ( ) Vektor satuan =. Carilah volume sebuah paralelepipedum yang sisinya dinyatakan oleh A = 2i 3j + 4k, B = i + 2j k dan C = 3i j + 2k. penyelesaian: ilustrasi: 2
Volume = Luas bidang alas x t = x t t = proyeksi pada ( ) = ( ) Sehingga volume = ( ) =. ( ) = = = (3i j + 2k). = 5 + 6-4 = 7 2. Misalkan ABCD adalah sebuah jajaran genjang. Buktikan bahwa Penyelesaian: = +. D C A B Kedua ruas dikuadratkan, diperoleh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).........() Dan, diperoleh bahwa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Maka: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )........... (2) Sehingga dari () dan (2) diperoleh: = + (terbukti) 3. Perlihatkan bahwa ( ) ( ) ( ) adalah vektor-vektor satuan yang saling tegak lurus Penyelesaian: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (A,B,C vektor satuan) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4
( ) ( ) ( ) ( ) Jadi A,B dan C adalah vektor-vektor satuan yang saling tegak lurus. 4. Untuk harga-harga a yang manakah A = ai 2j + k dan B = 2ai + aj 4k saling tegak lurus? penyelesaian : dua vector saling tegak lurus jika dot product-nya sama dengan nol (0), maka: ( ) ( ) ( )( ) 5. Buktikan bahwa sudut yang dibentuk dalam sebuah setengah-lingkaran adalah siku-siku! penyelesaian : ilustrasi: B A D C akan ditunjukan karena maka 5
dimiliki bahwa dan maka ( ) ( ) karena ( searah dan sama panjang), maka: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan Karena Sehingga diperoleh: ( ). /. / 0, dimana. 0 = Maka sudut yang dibentuk dalam sebuah setengah-lingkaran adalah siku-siku. 6
6. Misalkan vektor-vektor satuan dalam bidang-xy yang membuat sudut-sudut dengan sumbu x positif. Buktikan rumus trigonometri berikut: ( ) ( ) Penyelesaian: Ilustrasi: y ( ) ( ) α β x ( ) ( ) Dari grafik diperoleh: Maka: Karena adalah vector satuan, maka =, sehingga diperoleh: Dari grafik diketahui, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7
( ) Jadi, ( ) ( terbukti ) Dari hasil sebelumnya diperoleh, ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) Sehingga : ( ) ( terbukti ) 7. Buktikan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) penyelesaian: Menurut sifat ke-2 hasil kali silang, yaitu ( ) ( ) ( ), maka diperoleh: ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) (( ) ) () ( ) ( ) (( ) ) Menurut sifat ke-4 hasil kali silang, yaitu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) ( ) Dari () dan (2 ), diperoleh: ( ) ( ) (( ) ( ) ),( ) -,( ) - ( ) ( ) (( ) ( ) ),( ) -,( ) - ( ) ( ) (( ) ( ) ),( ) -,( ) - karena hasil kali titik bersifat komutaif, maka: ( ) ( ) (( ) ( ) ),( ) -,( ) -,( ) -,( ) - ( ) ( ) (( ) ( ) ),( ) -,( ) -,( ) -,( ) - Sehingga, diperoleh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( ) -,( ) -,( ) -,( ) -,( ) -,( ) - = {,( ) -,( ) - + *,( ) -,( ) - + *,( ) -,( ) - + 8
= 0 + 0 + 0 = 0 (terbukti) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8. Carilah luas segitiga yang titik-titik sudutnya pada (3,-,2), (,-,-3), (4,-3,)! Penyelesaian: Ilustrasi: D C(4,-3,) A(,-,-3) B(3,-,2) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) Luas daerah jajar genjang ABDC adalah ( ( )) ( ) ( ) Maka: Jadi, luas daerah segitiga = x luas daerah jajar genjang ABDC = = 9
TUGAS ANALISA VEKTOR KUMPULAN SOAL DAN JAWABAN Oleh TRI RENDRA SUTRISNA ( ER 009 003 ) PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MATARAM 202 20