HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com
Definisi Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class atau collection
Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. BEM adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.
Notasi Himpunan Himpunan dinyatakan dg huruf capital misal : A, B, G Sedangkan elemennya dg huruf kecil a, b, c..,1,2,..
Penyajian Himpunan 1. Enumerasi menyebutkan semua anggota dari himpunan tersebut. contoh : Himpunan tiga bilangan ganjil pertama: A = {1,3,5}. Keanggotaan Himpuan x A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A. Contoh 1. Misalkan: A = {1,3,5,8}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }, K = {{}} maka 1 A, {a, b, c} R, a R, sedangkan {a} R, {} K
Penyajian Himpunan Contoh 2. Misalkan: P 1 = {a, b}, P 2 = { {a, b} }, dan P 3 = {{{a, b}}}, maka : a P 1 a P 2 P 1 P 2 P 1 P 3 P 2 P 3
Penyajian Himpunan 2. Simbol Simbol Baku Beberapa simbol baku pada himpunan N = himpunan bilangan alami (asli) = { 1, 2, 3,... } Z = himpunan bilangan bulat = {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks sedangkan U menyatakan himpunan semesta. Contoh: Misalkan U = {a, b, c, d, e} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {a, d, e}.
Penyajian Himpunan 3. Notasi Persyaratan A = {x syarat yang harus dipenuhi oleh x} contoh : A adalah himpunan bilangan asli yang lebih kecil dari 10 A = { x x 10 dan x N } atau A = { x N x 10 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Penyajian Himpunan 4. Diagram Venn untuk menyatakan relasi antar himpunan Misal U = {1, 2,, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. maka notasi dalam diagram Venn: U A B 7 1 2 8 5 3 6 4
Himpunan Berhingga (Finite Set) Himpunan yang mempunyai anggota berhingga disebut himpunan berhingga (finite set) Sembarang himpunann yang anggotanya tak berhingga disebut himpunan tak berhingga(infinite set) contoh A={a,b,c,d,e,f} adalah finite set, sedangkan Z adalah infinite set.
Kardinalitas Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. (menyatakan banyaknya anggota dari himpunan) Notasi: n(a) atau A contoh : (i) B = { x x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20}, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8 (iii) A = {t, {t}, {{t}},{{{t}}} }, maka A = 4
Himpunan Kosong (null set) Himpunan yang tidak mempunyai anggota atau kardinalitasnya = 0 Contoh : A ={x x < x}, maka n(a)= 0 Notasi : {} atau Ø {Ø} atau {{}} bukan himpunan kosong karena ia memiliki satu elemen yaitu Ø atau {}
Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A B Diagram Venn: U A B
Himpunan Bagian (Subset) Catatan : A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Contoh: A = {a,b,c}, maka {a,b,c} dan adalah improper subset dari A.
Himpunan Bagian (Subset) Contoh. (i) { a, b, c} {a, b, c, d, e} (ii) { a, b, c} {a, b, c } TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku ha sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dirinya sendiri (yaitu, A A). (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari se himpunan (dalam hal ini A ( A)). (c) Jika A B dan B C, maka A C
Himpunan Bagian (Subset) Catatan : A B tidak sama dengan A B Pada : A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh: {a} dan {b,c} adalah proper subset dari {a,b,c} sedangkan : A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.
Himpunan yang Ekivalen Himpunan A disebut ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B A = B A = { 1,2,3,4} dan B = { ali, budi, joko,tuti }, maka A ~ B sebab A = B = 4
Himpunan yang Sama A = B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota B dan sebaliknya setiap anggota B merupakan anggota A.. Jika tidak demikian, maka A B. Notasi : A = B A B dan B A
Himpunan Kuasa Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau 2 A Jika A = m, maka P(A) = 2m. Contoh 12. Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = {, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} Contoh 13. Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.
Himpunan Saling Lepas Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki anggota yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn: U A B Contoh 11. Jika A = { x x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30,... }, maka A // B.
Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B } Contoh (i) Jika A = {a,b,c,d,e} dan B = {c,e,f,g}, maka A B = {c,e} (ii) Jika A = { 1,2,3} dan B = { 4,5}, maka A B =. Artinya: A // B
Operasi Terhadap Himpunan 2. Gabungan (union) Notasi : A B = { x x A atau x B } Contoh: (i) Jika A = { a, b, c} dan B = { b,c,d,e }, maka A B = { a,b,c,d,e } (ii) A = A
Operasi Terhadap Himpunan 3. Komplemen (complement) Notasi : A = { x x U, x A } Contoh Misalkan U = { 1, 2, 3,..., 7 }, jika A = {1, 3, 4, 6}, maka A = {2, 5, 7}
Operasi Terhadap Himpunan 4. Selisih (difference) Notasi : A B = { x x A dan x B } = A B Contoh. (i) Jika A = { a, b, c,d,e,f} dan B = { c,d,f}, maka A B = { a,b,e} dan B A = (ii) {1, 3, 5} {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} {1, 3, 5} = {2}
Operasi Terhadap Himpunan 5. Beda Setangkup (Symmetric Difference) Notasi: A B = (A B) (A B) = (A B) (B A) Contoh 19. Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
Operasi Terhadap Himpunan TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A B = B A (hukum komutatif) (b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)
Contoh 20. Misalkan U = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80 Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80. (i) Semua mahasiswa yang mendapat nilai A : P Q (ii) Semua mahasiswa yang mendapat nilai B : P Q (iii) Semua mahasiswa yang mendapat nilai C : U (P Q)
Operasi Terhadap Himpunan 6. Perkalian Kartesian (cartesian product) Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B } Contoh. (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A B = himpunan semua titik di bidang datar
Operasi Terhadap Himpunan Catatan: 1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A. B. 2. (a, b) (b, a). 3. A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong. Pada Contoh di atas, C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } D C C D. 4. Jika A = atau B =, maka A B = B A =
Contoh. Misalkan A = himpunan makanan = { s = soto, b = bakso, n = nasi goreng, m = mie ayam} B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es jeruk} Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas? Jawab: A B = AB = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (b, c), (b, t), (b, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.
Perampatan Operasi Himpunan Operasi himpunan dapat dilakukan terhadap 2 atau lebih himpunan. Dalam hal ini kita akan melakukan perampatan (generalization) operasi himpunan. A A... 1 2 A A... 1 A A... 1 2 2 A A... 1 2 n i1 n i1 A n A i A n A i n A n A i1 n A n A i i1 i
Contoh : A (B1B2... Bn) = (A B1) (A B2)... (A Bn) A ( n i1 B i ) n i1 ( A B i )
Hukum yang Berlaku pada Operasi Himpunan
Contoh Soal Operasi Terhadap Himpunan Dari 45 siswa, diketahui 27 siswa yang menyukai IPA dan 26 siswa menyukai IPS. Siswa yang tidak menyukai keduanya ada 5 orang. Tentukanlah banyaknya siswa yang menyukai IPA saja dan IPS saja! Kita cari terlebih dahulu jumlah siswa yang menyukai kedua pelajaran tersebut: n(a B) = (n(a) + n(b)) - (n(u) n(x)) n(a B) = (27 + 26) (45 5) n(a B) = 13 Maka dapat disimpulkan bahwa: Siswa yang menyukai IPA saja = 27-13 = 14 siswa Siswa yang menyukai IPS saja = 26-13 = 13 siswa
Prinsip Inklusi-Eksklusi Ada berapa anggota dalam gabungan dua himpunan hingga? A 1 A 2 = A 1 + A 2 - A 1 A 2
Contoh Ada berapa bilangan bulat positif lebih kecil atau sama dengan 100 yang habis dibagi 6 atau 9? Solusi : Misalkan A: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 B: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 9. Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, banyaknya bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 atau 9 adalah A B A B A B 100 / 6 100 / 9 100 /18 16 11 5 22
Contoh Misalkan ada 1467 mahasiswa angkatan 2004 di ITB. 97 orang di antaranya adalah mahasiswa TI, 68 mahasiswa SI, dan 12 orang mahasiswa double degree TI dan SI. Ada berapa orang yang tidak kuliah di TI atau SI?
Solusi Misalkan A: himpunan mahasiswa angkatan 2004 di TI B: himpunan mahasiswa angkatan 2004 di SI Maka A = 97, B = 68, dan AB = 12. Banyaknya mahasiswa angkatan 2004 di TI atau MI adalah A B = A + B - A B = 97 + 68 12 = 153 Jadi, terdapat 1467 153 = 1314 mahasiswa angkatan 2004 yang tidak kuliah di TI atau MI.
Perluasan Prinsip Inklusi-Eksklusi untuk tiga himpunan Angka 1 merah menunjukkan daerah yang terlibat ketika A dihitung, angka 1 hijau menunjukkan daerah yang terlibat ketika B dihitung,dan angka 1 biru menunjukkan daerah yang terlibat ketika C dihitung. Terlihat bahwa daerah yang beririsan dihitung berulang-ulang. A B dikurangkan (dua 1 merah diambil), A C dikurangkan (dua 1 biru diambil), dan B C dikurangkan (dua 1 hijau diambil) Terlihat bahwa penghitungan hampir benar, kecuali pada daerah di mana ketiga himpunan sama-sama beririsan. Maka perlu ditambahkan kembali A B C.
Perluasan Prinsip Inklusi- Eksklusi untuk tiga himpunan A B C = A + B + C - A B - A C - B C + A B C
Perluasan Prinsip Inklusi- Eksklusi untuk tiga himpunan Sebanyak 115 mahasiswa mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, 71 Kalkulus, dan 56 Geometri. Di antaranya, 25 mahasiswa mengambil Matematika Diskrit dan Kalkulus, 14 Matematika Diskrit dan Geometri, serta 9 orang mengambil Kalkulus dan Geometri. Jika terdapat 196 mahasiswa yang mengambil paling sedikit satu dari ketiga mata kuliah tersebut, berapa orang yang mengambil ketiga mata kuliah sekaligus?
Solusi Misalkan Maka MD: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, K: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Kalkulus, dan G: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Geometri. MD = 115, KPB = 71, G = 56, MD K = 25, MD G = 14, K G = 9, dan MD K G = 196 Dengan mempergunakan prinsip inklusi-eksklusi: MDKPBG = MD + K + G - MDK - MDG - KG + MDKG 196 = 115 + 71 + 56-25 - 14-9 + MD K G Jadi, MD KPB G = 2
Prinsip Inklusi-Eksklusi Teorema 1. Misalkan A 1, A 2,, A n himpunan hingga. Maka 1) ( 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n k j n k j i i j n j i i n i i A A A A A A A A A A A A
Contoh 4 Himpunan ABCD = A + B + C + D - AB - AC - AD - BC - BD - CD + ABC + ABD + ACD + BCD - A B C D
Matur Nuwun