SPECTRUM DETOUR GRAF n-partisi KOMPLIT Desy Norma Puspita Dewi Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail:phyta_3@yahoo.co.id ABSTRAK Matriks detour dari graf G adalah matriks yang elemen ke-(i,j merupakan panjang lintasan terpanjang antara titik ke titik di G. Himpunan nilai eigen matriks detour dari graf terhubung langsung G adalah trum detour. Spectrum detour dari graf G biasanya dinotasikan dengan. Dalam artikel ini, hanya menentukan trum detour graf n-partisi komplit,,,,, dan graf 3-. partisi komplit,,. Dalam menentukan trum detour graf tersebut dengan cara menggambar pola grafnya, mencari matriks detournya, setelah itu dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut, sehingga diperoleh pola (konjektur trum detour, kemudian merumuskan konjektur sebagai teorema yang dilengkapi dengan bukti-bukti. Kata kunci: Graf n-partisi Komplit, Matriks Detour, dan Spectrum, ABSTRACT The detour matrices of a graph is for its (i,j entry the length of the longest path between vertices to of G. Set of detour matrices eigenvalues of a connected graph G are detour trum. Detour trum of G, denoted by. In this article, only determination of detour trum of complete n- partition graph,,,,, and complete 3-partition graph,,. Determination of trum detour graph are picturing model graph, then finding detour matrices, after that finded eigenvalues and eigenvectors from that matrices, with the result that detour trum obtained model of detour trum, end then formulate the model as theorem with its prove. Keywords: Complete n- Partitions Graph, Detour Matrices, and Spectrum PENDAHULUAN Graf G adalah pasangan (V(G,E(G dengan V(G adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik (verte, dan E(G adalah himpunan (mungkin kosong pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di V(G yang disebut sisi (edge. Misalkan terdapat suatu graf G, dari suatu graf tersebut dibentuk matriks adjacency atau matriks keterhubungan. Matriks adjacency merupakan matriks simetri. Matriks adjacency dapat dirubah menjadi matriks detour, yang unsur-unsur ke--(i,j merupakan panjang lintasan terpanjang antara titik i dan j. Setelah dibentuk menjadi matriks detour, maka dapat dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut. Biasanya trum graf dibentuk dari nilai eigen dari matriks terhubung langsung. Dalam pengertian, nilai eigen dari graf G dinotasikan dengan, i =,,,n dan trum ditulis dengan (G. Matriks detour didefinisikan =(G dari G sehingga unsur ke (i,j adalah panjang lintasan terpanjang antara titik i dan j. Nilai eigen dari (G disebut -nilai eigen dari G dan membentuk -trum dari G, dinotasikan dengan G. Karena matriks detour simetris, semua nilai eigen µ, i =,,,n adalah real dan dapat diberi label µ µ µ. Jika µ µ µ adalah nilai eigen dari matriks detour, maka -trum dapat ditulis sebagai µ µ µ di mana m menyatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen m dan m m m n. (Ayyaswamy dan Balachandran, 00:50. KAJIAN TEORI. Graf Definisi Graf G adalah pasangan himpunan (V,E dengan V adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari obyek-obyek yang disebut sebagai titik dan E adalah himpunan (mungkin kosong pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di G yang disebut sebagai sisi (Chartrand dan Lesniak, 986:4.
Desy Norma Puspita Dewi Sehingga jika,, maka,,, dan,,,, dimana,,,, disebut titik (verte dan,,,, disebut sisi (edge.. Adjacent dan Incident Sisi dikatakan menghubungkan titik dan. Jika adalah sisi di graf, maka dan disebut terhubung langsung (adjacent. dan serta dan disebut terkait langsung (incident. Titik dan disebut ujung dari. Dua sisi berbeda dan disebut terhubung langsung jika terkait langsung pada titik yang sama. Untuk selanjutnya sisi, ditulis (Abdussakir, dkk, 009:6. 3. Graf Komplit Definisi Graf komplit (complete graph adalah graf dengan dua titik yang berbeda saling terhubung langsung (adjacent. Graf komplit dengan titik dinyatakan dengan (Chartrand dan Lesniak, 986:9. Definisi 3 Graf G dikatakan partisi n-komplit jika G adalah graf partisi-n dengan himpunan partisi,,, sehingga jika dan,, maka. Maka graf ini dinotasikan dengan,,, (Abdussakir, dkk. 009:3. 4. Graf Terhubung Definisi 4 Misalkan graf. Misalkan dan adalah titik pada. Jalan (trail pada yang dinotasikan adalah barisan berhingga yang berganti : 0,,,,,,, antara titik dan sisi yang diawali dan diakhiri dengan titik dengan adalah sisi di untuk,,,. 0 disebut titik awal dan disebut titik akhir. Titik 0,,,, disebut titik internal, dan menyatakan panjang dari. Jika 0, maka W disebut jalan terbuka. Jika 0 maka W disebut jalan tertutup. Jalan yang tidak mempunyai sisi disebut jalan trivial (Abdussakir, dkk. 009:49. 5. Nilai Eigen dan Vector Eigen Definisi 5 Misalkan A sebuah matrik n n. Bilangan disebut nilai eigen (eigenvalue dari A jika terdapat vektor tidak nol sedemikian sehingga A =. Kemudian vektor disebut vektor eigen (eigenvector dari A yang berpasangan ke nilai eigen (Jain & Gunawardena, 004:5. 6. Spectrum Graf Misalkan terdapat suatu graf G, dari suatu graf tersebut dibentuk matriks adjacency atau matriks keterhubungan. Matriks adjacency merupakan matriks simetri. Matriks adjacency dapat dirubah menjadi matriks detour, yang unsur-unsur ke-(i,j merupakan panjang lintasan terpanjang antara titik i dan j. Setelah dibentuk menjadi matriks detour, maka dapat dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut. Misalkan G graf berorder p dan A matriks keterhubungan dari graf G. Suatu vektor tak nol disebut vektor eigen (eigen vector dari A jika adalah suatu kelipatan skalar dari, yakni, untuk sebarang skalar. Skalar disebut nilai eigen (eigen value dari A, dan disebut sebagai vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan. Untuk menentukan nilai eigen dari matriks A, persamaan ditulis kembali dalam bentuk 0, dengan I matriks identitas berordo p. Persamaan ini akan mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika 0 Persamaan 0 akan menghasilkan persamaan polinomial dalam variabel dan disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Skalar-skalar yang memenuhi persamaan karakteristik ini tidak lain adalah nilai-nilai eigen dari matriks A. Misalkan,,, adalah nilai eigen berbeda dari A, dengan,,,, dan misalkan,,, adalah banyaknya basis untuk ruang vektor eigen masingmasing, maka matriks berordo yang memuat,,, pada baris pertama dan,,, pada baris kedua disebut trum graf G, dan dinotasikan dengan. Jadi trum graf G dapat ditulis dengan (Abdussakir, dkk, 009:8-83. 7. Graf dalam Matriks Detour Matriks detour didefinisikan = (G dari G sehingga unsur atau entry (i,j adalah panjang lintasan terpanjang antara titik i dan j. Nilai eigen dari (G disebut nilai eigen dari G dan membentuk trum dari G, yang dinotasikan dengan. Selama matriks detour simetris, semua nilai eigen, i =,,, n adalah real dan dapat diberi label. Jika adalah nilai eigen dari matriks detour, maka -trum dapat ditulis sebagai 4 Volume No. November 0
Spectrum Detour Graf n-partisi Komplit µ µ µ di mana menunjukkan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen dalam dan tentunya. (Ayyaswamy dan Balachandran, 00 PEMBAHASAN. Spectrum Detour dari Graf n-partisi Komplit,,,, Pembahasan trum detour dari graf n- partisi komplit,,,,, dibatasi pada, dan,.. Spectrum Detour Graf 3-Partisi Komplit,,,, 64 8 8. Spectrum Detour Graf 4-Partisi Komplit,,,,,, 69 3 3.3 Spectrum Detour Graf 5-Partisi Komplit,,,,,,, 36 9 9.4 Spectrum Detour Graf 6-Partisi Komplit,,,,,,,, 676 6 6 Teorema : Jika,,, adalah graf n-partisi komplit dengan, ;, dan, maka:,,, dimana,,, adalah trum detour dari graf n-partisi komplit dan bilangan asli. Bukti: Misalkan,,, adalah matrik detour adjacent dari,,,, maka,,, 0 0 0 0 Dari matriks detour adjacent di atas, maka akan dicari nilai eigennya dengan menentukan det,,, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Kita kalikan matriks di atas dengan sehingga diperoleh Dimisalkan, maka 0, 0 Melalui operasi basis elementer, matriks det,,, direduksi menjadi matriks segitiga atas, sehingga diperoleh 0 0 0 0 0 0 Sehingga det,,, tidak lain adalah hasil perkalian diagonal matriks segitiga atas tersebut, sehingga diperoleh det I K,,, p Karena det,,, 0, maka p 0 Sehingga didapat nilai eigen atau, karena maka nilai eigennya diperoleh atau p p Sedangkan untuk vektor eigennya, yaitu 0 p Jurnal CAUCHY ISSN: 086-038 5
Desy Norma Puspita Dewi ' 0 ' ' ( p = 0 ' 0 p Kemudian, akan dibuktikan bahwa untuk n akan didapatkan banyaknya basis vektor eigen adalah. Untuk p akan didapatkan ( p ( p 0 ( p ( p ( p = 0 0 p ( p ( p 0 ( p ( p = 0 0 p Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, aka didapatkan Kemudian didapat 0 0 0 0 0 0 0 ( p = 0 0 0 0 0 0 p,,, Sehingga diperoleh. Misal maka vektor eigennya adalah s s S = = = S ( p s s p Jadi didapatkan banyaknya basis ruang eigen untuk p adalah. Untuk p akan didapatkan ( p ( p 0 ( p ( p ( p = 0 0 p 0 ( p = 0 0 p Dengan mereduksi matriks di atas menjadi bentuk eselon tereduksi baris, maka didapatkan 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( p = 0 0 0 0 0 0 p Kemudian didapat 0 Sehingga diperoleh. Maka vektor eigennya adalah ( p p p S = = ( p ( p p Jadi didapatkan banyaknya basis ruang eigen untuk adalah. Jadi terbukti bahwa,,,.. Spectrum Detour dari Graf 3-Partisi Komplit K,,n Pembahasan trum detour dari graf 3- partisi komplit K,,n dibatasi pada 5.. Spectrum Detour Graf 3-Partisi Komplit,,,,5 5 + 09 5 09 6 8 = 3 4. Spectrum Detour Graf 3-Partisi Komplit,,,,6 9 + 97 9 97 6 8 = 3 5.3 Spectrum Detour Graf 3-Partisi Komplit,,,,7 33+ 597 33 597 6 8 = 3 6.4 Spectrum Detour Graf 3-Partisi Komplit,,,,8 37 + 99 33 99 6 8 = 3 7.5 Spectrum Detour Graf 3-Partisi Komplit,,,,9 4+ 93 4 93 6 8 = 3 8.6 Spectrum Detour Graf 3-Partisi Komplit,,,,0 45 + 689 45 689 6 8 = 3 9 6 Volume No. November 0
Spectrum Detour Graf n-partisi Komplit Berdasarkan hasil trum detour dari graf 3-partisi komplit,, di atas, dapat diperoleh dugaan sementara bahwa bentuk umum dari trum detour adalah: ( (,, n ( + n + n + + 6 n + 0 n+ 793 ( + n + n + 6 n + 0 n+ 793 6 8 = 3 n Dengan 5 PENUTUP n dan n adalah bilangan asli. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan mengenai trum detour dari graf n-partisi komplit, diperoleh kesimpulan: (a. Untuk graf n-partisi komplit,,,, dengan, ;, dan, maka ( p, +, +, + sp e c D D n n n n m = ( p, (b. Untuk graf 3-partisi komplit,, dengan,,, n ( ( ( + n + n + + 6 n + 0 n+ 793 ( + n + n+ 6 n + 0 n+ 793 6 8 = 3 n Saran Pada artikel ini, penulis hanya memfokuskan pada trum detour yang digambarkan oleh dua bentuk graf n-partisi komplit yaitu graf n-partisi komplit,,,, dan graf 3-partisi komplit,,. Pada bentuk graf 3-partisi komplit,, masih merupakan konjektur, sehingga perlu diselidiki lebih lanjut. Karena masih banyaknya bentuk dari graf ini, maka untuk penulisan skripsi selanjutnya diteliti pada graf lain. DAFTAR PUSTAKA [] Abdussakir, dkk. 009. Teory Graf : Topik Dasar untuk Tugas Akhir/Skripsi. Malang: UIN-Malang Press. [] Chartrand, G and Lesniak, L. 986. Graph and Digraph: Second Edition California: A Division Wadsworth [3] Ayyaswamy, S.K. dan Balachandran, S. (00. On Detour Spectra of Some Graphs. World Academy of Science, Enggineering and Technology. (www.waset.org/journals/waset/v67/v67-88.pdf. diakses Februari 0. [4] Jain, S. K. 004. Linear Algebra; An Interactive Approach. Australia: Thomson Learning. Jurnal CAUCHY ISSN: 086-038 7