SPEKTRUM ADJACENCY, SPEKTRUM LAPLACE, SPEKTRUM SIGNLESS-LAPLACE, DAN SPEKTRUM DETOUR GRAF MULTIPARTISI KOMPLIT K( 1, 2,, n )

Transkripsi

1 MATEMATIKA LAPORAN PENELITIAN BERSAMA DOSEN-MAHASISWA SPEKTRUM ADJACENCY, SPEKTRUM LAPLACE, SPEKTRUM SIGNLESS-LAPLACE, DAN SPEKTRUM DETOUR GRAF MULTIPARTISI KOMPLIT K(, 2,, n ) Oleh: ABDUSSAKIR, M.Pd DEASY SANDHYA ELYA IKAWATI F. KURNIA NIRMALA SARI FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 203

2 LAPORAN PENELITIAN BERSAMA DOSEN-MAHASISWA. Judul Penelitian Hibah : Spektrum Adjacency, Spektrum Laplace, Spektrum Signless-Laplace, dan Spektrum Detour Graf Multipartisi Komplit K(α, α 2, α 3,, α n ) 2. Bidang Ilmu : Matematika 3. Judul Skripsi : () Persaan Polinomial Karakteristik Matriks Adjacency, Matriks Laplace, dan Matriks Signless- Laplace Graf Multipartisi Komplit K(α, α 2, α 3,, α n ) (2) Spektrum Adjacency, Spektrum Laplace, dan Spektrum Signless-Laplace Graf Multipartisi Komplit K(α, α 2, α 3,, α n ) 4. Peneliti : Abdussakir, M.Pd (NIP ) Deasy Sandhya Elya Ikawati (NIM ) F. Kurnia Nirmala Sari (NIM ) 5. Jurusan/Prodi Asal : Matematika 6. La kegiatan : 5 (Lima) Bulan 7. Biaya yang diusulkan : Rp ,- (Empat Juta Rupiah) Ketua Jurusan Matematika, Malang, 4 Januari 203 Ketua Peneliti, Abdussakir, M.Pd Abdussakir, M.Pd NIP NIP

3 PENGESAHAN LAPORAN PENELITIAN BERSAMA DOSEN-MAHASISWA Judul Penelitian : Spektrum Adjacency, Spektrum Laplace, Spektrum Signless-Laplace, dan Spektrum Detour Graf Multipartisi Komplit Bidang Ilmu Peneliti K(α, α 2, α 3,, α n ) : Matematika : Abdussakir, M.Pd (Ketua) Deasy Sandhya Elya Ikawati (Anggota) F. Kurnia Nirmala Sari (Anggota) Telah disahkan pada tanggal, 4 Januari 203. a.n Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Pembantu Dekan Bidang Akademik Ketua Peneliti, Dr. H. Agus Mulyono, S.Pd., M.Kes Abdussakir, M.Pd NIP NIP Mengesahkan Ketua Lemlitbang UIN Maliki Malang, Dr. Hj. Ulfah Uti, M.Si NIP

4 DAFTAR ISI Halan Spul Halan Pengesahan Kata Pengantar... Daftar Isi... i iii BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang... B. Rumusan Masalah... 4 C. Tujuan Penelitian... 4 D. Manfaat Penelitian... 4 BAB II KAJIAN TEORI A. Graf... 6 B. Derajat Titik... 6 C. Graf Terhubung... D. Matriks... 3 E. Graf dan Matriks... 8 F. Spektrum Graf... 2 BAB III PEMBAHASAN A. Spektrum Graf Multipartisi Komplit K α, α 2, α 3,, α k dengan α i = n untuk semua i B. Spektrum Graf Multipartisi Komplit K α, α 2, α 3,, α k BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA... 6 iii

5 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Graf G adalah pasangan (V(G), E(G)) dengan V(G) adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, dan E(G) adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan takberurutan dari titik-titik berbeda di V(G) yang disebut sisi. Banyaknya unsur di V(G) disebut order dari G dan dilbangkan dengan p(g), dan banyaknya unsur di E(G) disebut ukuran dari G dan dilbangkan dengan q(g). Jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan ukuran dari G masing-masing cukup ditulis p dan q. Graf dengan order p dan ukuran q dapat disebut graf-(p, q). Sisi e = (u, v) dikatakan menghubungkan titik u dan v. Jika e = (u, v) adalah sisi di graf G, maka u dan v disebut terhubung langsung (adjacent), v dan e serta u dan e disebut terkait langsung (incident), dan titik u dan v disebut ujung dari e. Untuk selanjutnya, sisi e = (u, v) akan ditulis e = uv. Derajat dari titik v di graf G, ditulis deg G (v), adalah banyaknya sisi di G yang terkait langsung dengan v. Dal konteks pembicaraan hanya terdapat satu graf G, maka tulisan deg G (v) disingkat menjadi deg(v). Misalkan G graf dengan order p (p ) dan ukuran q serta himpunan titik V(G) = {v, v 2,, v p }. Matriks keterhubungan titik (atau matriks Adjacency) dari graf G, dinotasikan dengan A(G), adalah matriks (p p) dengan unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j bernilai jika titik v i terhubung langsung dengan titik v j serta bernilai 0 jika titik v i

6 2 tidak terhubung langsung dengan titik v j. Dengan kata lain, matriks adjacency dapat ditulis A(G) = [a ij ], i, j p, dengan a ij 0, jika, jika v v E( G) i v v E( G) i j j Matriks adjacency suatu graf G adalah matriks simetri dengan unsur 0 dan dan memuat nilai 0 pada diagonal utanya (Abdussakir, dkk, 2009:73-74). Matriks derajat dari matriks G, dinotasikan dengan D(G), adalah matriks diagonal yang elemen baris ke-i dan kolom ke-i adalah derajat dari v i, i =, 2, 3,, p. Jadi, matriks derajat dari graf G dapat ditulis D(G) = [d ij ], i, j p, dengan d ij deg( vi ) 0, i, i j j Matriks L(G) = D(G) A(G) disebut matriks Laplace dan matriks L + (G) = D(G) + A(G) disebut matriks Signless-Laplace dari graf G. Pada graf G, lintasan-v v n adalah barisan titik-titik berbeda v, v 2,, v n sedemikian hingga titik yang berurutan terhubung langsung. Suatu graf kemudian disebut terhubung jika terdapat suatu lintasan antara sebarang dua titik di G. Misalkankan G adalah graf terhubung dengan order p. Matriks Detour dari G adalah matriks DD(G) sedemikian hingga elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j adalah bilangan yang menyatakan lintasan terpanjang dari v i ke v j di G. Pembahasan matriks Adjacency A(G), matriks Laplace L(G), matriks Signless- Laplace L + (G), dan matriks Detour DD(G) dari graf G dapat dikaitkan dengan konsep nilai eigen dan vektor eigen pada topik aljabar linier yang menghasilkan konsep

7 3 spectrum. Misalkan, 2,, n dengan > 2 > > n adalah nilai eigen berbeda dari matriks suatu graf, dan misalkan m( ), m( ),, m( n ) adalah banyaknya basis untuk ruang vektor eigen masing-masing i. Matriks berordo (2 n) yang memuat, 2,, n pada baris perta dan m( ), m( 2 ),, m( n ) pada baris kedua disebut spectrum graf G, dan dinotasikan dengan Spec(G). Jadi, spectrum graf G dapat ditulis dengan Spec(G) = m ) 2 ( 2 m( ) n m( ). n Spektrum yang diperoleh dari matriks A(G) disebut spektrum Adjacency, dari matriks L(G) disebut spektrum Laplace, dari matriks L + (G) disebut spekturm Signless- Laplace, dan dari matriks DD(G) disebut spektrum Detour. Adapun penelitian sebelumnya yang sudah dilakukan para peneliti tentang spectrum graf yaitu Shuhua Yin (2006) meneliti spektrum Adjacency dan spektrum Laplace pada graf G l yang diperoleh dari graf komplit K l dengan menbahkan pohon isomorfik berakar untuk masing-masing titik di K l. Yuanping Zhang (2008) meneliti tentang Q-spectrum graf lolipop. Abdussakir, dkk (2009) meneliti spektrum Adjacency pada graf Komplit (K n ), graf Star (S n ), graf Bipartisi Komplit (K m,n ), dan graf Lintasan (P n ). Ayyaswy dan Balachandran (200) meneliti spectrum Detour beberapa graf. Im Fachruddin (200) meneliti spektrum graf hasilkali Cartesius. Lailatul Khusnah (20) meneliti spektrum Detour pada Graf Komplit (K n ). Bayu Tara Wijaya (20) meneliti spektrum Detour Graf m-partisi Komplit. Melihat penelitian-penelitian sebelumnya, maka peneliti merasa perlu untuk meneliti spektrum suatu graf, yang lebih dikhususkan pada spektrum Adjacency,

8 4 spektrum Laplace, spektrum Signless-Laplace, dan spektrum Detour pada graf Multipartisi Komplit K(α, α 2, α 3,, α n ). Penelitian ini berusaha meneliti spektrum suatu graf secara lengkap meliputi keempat spectrum dan mengbil graf Multipartisi Komplit K(α, α 2, α 3,, α n ) dengan 2 n dan i, n N. B. Rumusan Masalah Masalah dal penelitian ini dirumuskan sebagai berikut, yaitu bagaimana spektrum Adjacency, spektrum Laplace, spektrum Signless-Laplace, dan spektrum Detour graf Multipartisi Komplit K(α, α 2, α 3,, α n )? C. Tujuan Penelitian Sesuai rumusan masalah, maka tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan spektrum Adjacency, spektrum Laplace, spektrum Signless-Laplace, dan spektrum Detour graf Multipartisi Komplit K(α, α 2, α 3,, α n ). D. Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut.. Memberikan informasi mengenai spektrum suatu graf sehingga dapat menjadi acuan peneliti lain untuk menentukan spectrum graf-graf lain yang belum dikaji dal penelitian ini.

9 5 2. Memberikan informasi mengenai spektrum suatu graf sehingga dapat digunakan oleh peneliti lain untuk mengkaji lebih mendal tentang karakteristik suatu graf atau untuk aplikasi pada masalah yang berkaitan.

10 BAB III PEMBAHASAN Berikut ini dipaparkan hasil penelitian terkait penentuan spectrum pada graf multi partisi komplit K α, α 2, α 3,, α k. Sebagaimana dijelaskan pada bab sebelumnya, jika α i = n untuk semua i, maka K α, α 2, α 3,, α k ditulis menjadi K n(k). Pada pembahasan ini, spektrum graf multipartisi komplit K α, α 2, α 3,, α k dibahas secara terpisah antara K n (k) dengan K α, α 2, α 3,, α k, pada saat terdapat α i α j. Hasil penelitian dinyatakan langsung dal bentuk teorema beserta buktinya. A. Spektrum Graf Multipartisi Komplit K α, α 2, α 3,, α k dengan α i = n untuk semua i Teorema Misalkan K n(k) adalah graf k-partisi komplit dengan n titik pada masing-masing partisi. Maka spectrum Adjacency graf K n (k) adalah Spec K n (k) = n 0 (k )n (k ) k(n ) Bukti : Matriks adjacency dari graf K n k adalah 26

11 27 A K n(k) = Setelah ditemukan matriksnya, maka akan ditentukan persaan karakteristik dari A K n(k) yaitu, det λi A K n(k) = λ 0 0 λ λ 0 0 λ λ 0 0 λ Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Gaussian Elimination pada Maple.2 maka diperoleh suatu pola pada diagonal utanya. Karena det λi A adalah hasil perkalian diagonal matriks segitiga atas tersebut, maka diperoleh polinomial karakteristiknya yaitu, Karena, det (K n (k) ) = 0, maka det(k n(k) ) = λ k(n ) λ + n k (λ (k )n) Dan diperoleh nilai eigen det (K n (k) ) = λ k(n ) λ + n k (λ (k )n) = 0 λ = n atau λ = 0 atau λ = (k )n

12 28 Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen. Untuk λ = n disubsitusikan ke dal det λi A K n (k) diperoleh: n 0 0 n n 0 0 n n 0 0 n Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Jordan pada Maple.2 maka diperoleh matriks baru, yaitu: n n n n (k )n n + n n + n Matriks di atas adalah matriks berukuran kn x kn, untuk λ = n yang elemennya menghasilkan 0 semua yaitu n + n sebanyak k, maka banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = n adalah k. Untuk λ = 0 disubstitusikan ke dal det λi A K n (k) diperoleh:

13 Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Jordan pada Maple.2 maka diperoleh matriks baru, yaitu: n n (k )n Karena untuk λ = 0 hanya menghasilkan k baris yang elemennya tidak berisi 0 semua, dan diketahui matriks di atas berukuran kn kn, maka baris yang berisi 0 semua ada kn k. Jadi banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 0 adalah k(n ). Untuk λ = (k )n disubstitusikan ke dal det λi A K n(k) diperoleh: (k )n 0 0 (k )n (k )n 0 0 (k )n (k )n 0 0 (k )n

14 Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Jordan pada Maple.2 maka diperoleh matriks baru, yaitu: (k )n (k )n k n + n k n + n k n (k )n Karena untuk λ = (k )n yang elemennya menghasilkan 0 semua sebanyak baris, maka banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = (k )n adalah. Jadi terbukti bahwa 30 Spec K n(k) = n 0 (k )n (k ) k(n ) Teorema 2 Misalkan K n(k) adalah graf k-partisi komplit dengan n titik pada masing-masing partisi. Maka spectrum Detour graf K n (k) adalah Spec DD K n(k) = kn kn 2 kn Bukti: Matriks detour dari graf K n(k) adalah DD K n(k) = 0 kn kn kn kn 0 kn kn kn kn 0 kn kn kn kn 0

15 Setelah ditemukan matriksnya, maka akan ditentukan persaan karakteristik dari DD K n (k) yaitu, det λi DD K n(k) = λ (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) λ (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) λ (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) λ Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Gaussian Elimination pada Maple.2 maka diperoleh suatu pola pada diagonal utanya. Karena det λi DD (K n(k) ) adalah hasil perkalian diagonal matriks segitiga atas tersebut, maka diperoleh polinomial karakteristiknya yaitu, det λi DD (K n (k) ) = λ + kn kn (λ (kn ) 2 ) Karena, det λi DD (K n(k) ) = 0, maka det λi DD (K n (k) ) = λ + kn kn (λ (kn ) 2 ) = 0 dan diperoleh nilai eigen λ = (kn ) atau λ = (kn ) 2 Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen. Untuk λ = (kn ) disubsitusikan ke dal det λi DD (K n (k) ) diperoleh: (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Jordan pada Maple.2 maka diperoleh matriks baru, yaitu: 3

16 (kn) 2 + kn Karena untuk λ = kn hanya menghasilkan baris yang elemennya tidak berisi 0 semua, dan diketahui matriks di atas berukuran kn kn, maka baris yang berisi 0 semua ada kn. Jadi banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = kn adalah kn. Untuk λ = (kn ) 2 disubstitusikan ke dal det λi DD (K n (k) ) diperoleh: (kn ) 2 (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) 2 (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) 2 (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) (kn ) 2 Dengan mereduksi matriks dengan menggunakan metode Jordan maka diperoleh matriks baru, yaitu: kn+(kn) kn+(kn) (kn) 2 kn + kn+(kn) 2 Karena untuk λ = (kn ) 2 yang elemennya menghasilkan 0 semua sebanyak baris, maka banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = (kn ) 2 adalah. Jadi terbukti bahwa Spec DD K n(k) = (kn ) (kn )2 (kn )

17 33 Teorema 3 Misalkan K n(k) adalah graf k-partisi komplit dengan n titik pada masing-masing partisi. Maka spectrum Laplace graf K n(k) adalah Spec L K n (k) = 0 (k )n kn k(n ) (k ) Bukti: Matriks Laplace dari graf K n (k) L K n(k) = (k )n 0 0 (k )n (k )n 0 0 (k )n (k )n 0 0 (k )n Setelah ditemukan matriksnya, maka akan ditentukan persaan karakteristik dari L K n (k) yaitu, det λi L K n(k) = λ (k )n 0 0 λ (k )n λ (k )n 0 0 λ (k )n λ (k )n 0 0 λ (k )n Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Gaussian Elimination pada Maple.2 maka diperoleh suatu pola pada diagonal utanya. Karena det λi L (K n(k) ) adalah hasil perkalian diagonal matriks segitiga atas tersebut, maka diperoleh polinomial karakteristiknya yaitu,

18 34 det λi L (K n(k) ) = λ λ (k )n k(n ) λ kn k Karena, det λi L (K n (k) ) = 0, maka det λi L (K n(k) ) = λ λ (k )n k(n ) λ kn k = 0 dan diperoleh nilai eigen λ = 0 atau λ = (k )n atau λ = kn Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen. Untuk λ = 0 disubsitusikan ke dal det λi L (K n(k) ) diperoleh: k n 0 0 k n k n 0 0 k n k n 0 0 k n Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Jordan pada Maple.2 maka diperoleh matriks baru, yaitu: (k )n (k )n n (k )n n (k )n k n (k )n Karena untuk λ = 0 yang elemennya menghasilkan 0 semua sebanyak baris, maka banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 0 adalah. Untuk λ = (k )n disubstitusikan ke dal det λi L (K n (k) ) diperoleh:

19 Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Jordan pada Maple.2 maka diperoleh matriks baru, yaitu: n n (k )n Karena untuk λ = (k )n hanya menghasilkan k baris yang elemennya tidak berisi 0 semua yaitu, dan diketahui matriks di atas berukuran kn kn, maka baris yang berisi 0 semua ada kn k. Jadi banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = (k )n adalah k n. Untuk λ = kn disubstitusikan ke dal det λi L (K n(k) ) diperoleh: kn k n 0 0 kn k n kn k n 0 0 kn k n kn k n 0 0 kn k n Dengan mereduksi matriks menggunakan metode Jordan pada Maple.2 maka diperoleh matriks baru, yaitu:

20 36 n n n + (k )n n n n n Karena untuk λ = (k )n yang elemennya menghasilkan 0 semua sebanyak k, maka banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = kn adalah k. Jadi terbukti bahwa Spec L K n (k) = 0 (k )n kn k n (k ) B. Spektrum Graf Multipartisi Komplit K α, α 2, α 3,, α k Graf multipartisi komplit K α, α 2, α 3,, α k dengan α, = α 2 = α 3 = = α k = m dan α k = m + akan ditulis menjadi K k-(m)(m+). Dengan demikian, maka K(m, m, m,,m, m+) dengan m sebanyak a faktor akan ditulis menjadi K a (m)(m+). Teorema 4 Misal K a m (m + ) adalah graf multipartisi komplit dengan 2 a, m N. Maka spektrum Adjacency K a m m + adalah : 2 2 ( a ) m ( 2m 4) m ( a ) m ( 2m 4) m Spec 0 AKa ( m)( m ) m a a( m ) m Bukti : Misalkan A K a m m + adalah matriks adjacency dari graf multipartisi komplit K a m m +.

21 A( Ka ( m)( m )) m + m + Setelah didapatkan matriks A K a m m + maka persaan polinomial karakteristik dari A K a m m +, yaitu : I A( Ka ( m)( m )

22 det I A( Ka ( m)( m )) det I A( Ka ( m)( m )) m + Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 2, maka akan didapatkan : m m m ( a) m ( 2m 4) m ( a) m ( 2m 4) m a(m-)+m a- a(m-)+m a-

23 39 Sehingga dari pola diagonal uta yang diperoleh dengan mengeliminasi matriks akan membentuk suatu persaan polinomial karakteristik, yaitu : 2 2 a( m) m a ( a ) m ( 2m 4) m ( a ) m ( 2m 4) m det( I A( K( m)( m ))) m ( )( ) Dari persaan polinomial karakterisktik tersebut, maka untuk mendapatkan nilai eigennya adalah : det I A K m m a( m) m a ( a ) m ( 2m 4) m ( a ) m ( 2m 4) m m ( )( ) Sehingga diperoleh nilai eigennya adalah λ = 0 atau λ 2 = m atau λ 3 = a m 2 +2m +4+m 2 2 atau λ 4 = a m m +4+m 2 2. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Untuk λ = 0 disubsitusikan λ ke dal det λi A K a m m + diperoleh : det I A( Ka ( m)( m )) m + m +

24 Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 2, maka akan didapatkan : m m ( a) m ( 2m 4) m ( a) m ( 2m 4) m a(m-)+m a- a(m-)+m a- Karena pada matriks di atas adalah matriks yang mempunyai kolom sebanyak a + m + dan terdapat a m + m nulitas. Menurut teorema 2.4 dijelaskan bahwa nulitas dari matriks A adalah dimensi ruang solusi dari Ax = 0. Sehingga dapat dikatakan bahwa banyak basis ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 0 sebanyak a m + m. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 2. Untuk λ 2 = m disubsitusikan λ 2 ke dal det λi A K a m m + diperoleh :

25 4 m 0 0 m m 0 det I A( Ka ( m)( m )) 0 m m 0 0 m m + Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 2, maka akan didapatkan : m + m m m ( a ) m ( 2m 4) m m ( a ) m ( 2m 4) m a(m-)+m a- a(m-)+m a- Pada matriks di atas dapat dilihat bahwa matriks tersebut memilik a nulitas. Menurut teorema 2.4 dijelaskan bahwa nulitas dari matriks A adalah dimensi ruang solusi dari Ax = 0. Sehingga dapat dikatakan bahwa banyak basis ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 2 = m sebanyak (a ).

26 Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ Untuk λ 3 = a m 2 +2m +4+m 2 2 disubsitusikan λ 3 ke dal det λi A K a m m +. Dengan cara yang sa dengan pembuktian sebelumnya, pada matriks dapat dilihat bahwa matriks tersebut memilik nulitas. Menurut teorema 2.4 dijelaskan bahwa nulitas dari matriks A adalah dimensi ruang solusi dari Ax = 0. Sehingga dapat dikatakan bahwa banyak basis ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = a m 2 +2m +4+m 2 2 sebanyak. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 4. Untuk λ 4 = a m m +4+m 2 2 disubsitusikan λ 4 ke dal det λi A K a m m +. Dengan cara yang sa dengan pembuktian sebelumnya, pada matriks dapat dilihat bahwa matriks tersebut memilik nulitas. Menurut teorema 2.4 dijelaskan bahwa nulitas dari matriks A adalah dimensi ruang solusi dari Ax = 0. Sehingga dapat dikatakan bahwa banyak basis ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = a m m +4+m 2 2 sebanyak. Jadi terbukti bahwa

27 ( a ) m ( 2m 4) m ( a ) m ( 2m 4) m Spec 0 AKa ( m)( m ) m a a( m ) m Teorema 5 Misal K a m (m + ) adalah graf multipartisi komplit dengan m sebanyak a, m N. Maka spektrum Laplace K a m m + adalah : 0 ( a ) m Spec Ka ( m)( m ) m a( m ) a Bukti : Misalkan A K a m m + adalah matriks adjacency dari graf multipartisi komplit K a m m A( Ka ( m)( m )) m + m + D K a m m + adalah matriks derajat dari graf multipartisi komplit K a m (m + ).

28 D( Ka ( m)( m )) m + m + Maka matriks Laplace dari graf multipartisi komplit adalah: L K a m m + = D K a m m + A K a m m L( Ka ( m)( m )) LKa ( m)( m ) m + m +

29 45 Setelah didapatkan matriks L K a m m + maka persaan polinomial karakteristik dari L K a m m +, yaitu : I L( Ka ( m)( m ) det I L( Ka ( m)( m )) det I L( Ka ( m)( m )) m + Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software m + Maple 2, maka akan didapatkan :

30 a m a m m a(m ) a m a(m-) a Sehingga dari pola diagonal uta yang diperoleh dengan mengeliminasi matriks akan membentuk suatu persaan polinomial karakteristik, yaitu : m a( m) det( I L( K ( )( ))) ( ) ( ) a a m m a m Dari persaan polinomial karakterisktik tersebut, maka untuk mendapatkan nilai eigennya adalah : det I L K m m 0 a a m a( m) ( ) ( ) a m 0 Sehingga diperoleh nilai eigennya adalah λ = 0 atau λ 2 = atau λ 3 = + atau λ 4 = a + m +. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Untuk λ = 0 disubsitusikan λ ke dal det λi L K a m m + diperoleh :

31 det I L( Ka ( m)( m )) m + Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 2, maka akan didapatkan : m a m a m m a(m ) a m a(m ) a Pada matriks di atas terdapat nulitas. Menurut teorema 2.4 dijelaskan bahwa nulitas dari matriks A adalah dimensi ruang solusi dari Ax = 0. Sehingga dapat dikatakan bahwa banyak basis ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 0 sebanyak. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 2. Untuk λ 2 = disubsitusikan λ 2 ke dal det λi L K a m m + diperoleh :

32 det I L( Ka ( m)( m )) m + m + Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 2, maka akan didapatkan : m a(m ) m m m a(m ) a Karena untuk λ 2 = menghasilkan m nulitas (diketahui dari persaan polinomial λ m ), maka banyak basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 2 = sebanyak m. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3. Untuk λ 3 = + disubsitusikan λ 3 ke dal det (λi L K a m m + ) diperoleh :

33 det I L( Ka ( m)( m )) m + 0 m + Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 2, maka akan didapatkan : m m m a(m ) a m a(m ) a Karena untuk λ 3 = + menghasilkan a m nulitas (diketahui dari persaan polinomial λ a m ), maka banyak basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = + sebanyak a m.

34 50 Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 4. Untuk λ 4 = a + m + disubsitusikan λ 4 ke dal det (λi L K a m m + ) diperoleh : m 0 0 m m 0 det I L( Ka ( m)( m )) 0 m m 0 0 m m + Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 2, maka akan didapatkan : m + a m m m m m m a(m ) a m a(m ) a

35 5 Karena untuk λ 4 = a + m + menghasilkan a nulitas (diketahui dari persaan polinomial λ a + m + a ), maka banyak basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 4 = (a + )m + sebanyak a. Jadi terbukti bahwa Spec LK ( m)( m ) a 0 ( a ) m m a( m ) a Teorema 6 Misal K m (m + ) adalah graf bipartisi komplit dengan m 2, m N maka spektrum Signless-Laplace K m m + adalah : 0 m m 2m Spec( S K( m)( m ) ) m m Bukti : Misalkan A K m m + adalah matriks adjacency dari graf bipartisi komplit K m m A( K( m)( m )) m+ m+

36 52 D K m m + adalah matriks derajat dari graf bipartisi komplit K m (m + ). m m m D( K( m)( m )) m m m m m+ m+ Maka matriks signless-laplace dari graf bipartisi komplit adalah: S K m m + = D K m m + + A K m m + m m m S( K( m)( m )) m m m m m m m S K( m)( m ) m m m m m+ m+

37 53 Setelah didapatkan matriks S K m m + maka persaan polinomial karakteristik dari S K m m +, yaitu : m m m I S( K( m)( m ) m m m m m m m det I S( K( m)( m )) m m m m m m m det I S( K( m)( m )) m m m m m+ m+

38 54 Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 2, maka akan didapatkan : m m 0 0 m m 0 0 m m m m m Sehingga dari pola diagonal uta yang diperoleh dengan mengeliminasi matriks akan membentuk suatu persaan polinomial karakteristik, yaitu : det( ( ( )( ))) ( ) m m I S K m m m ( m ) 2m Dari persaan polinomial karakterisktik tersebut, maka untuk mendapatkan nilai eigennya adalah : det I S K m m 0 ( ) m m m ( m ) 2m 0 Sehingga diperoleh nilai eigennya adalah λ = 0 atau λ 2 = m atau λ 3 = m + atau λ 4 = 2m +. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Untuk λ = 0 disubsitusikan λ ke dal det λi S K m m + diperoleh :

39 55 m m m det I S( K( m)( m )) m m m m m+ Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada m+ software Maple 2, maka akan didapatkan : m m m m m m m Pada matriks di atas terdapat nulitas. Menurut teorema 2.4 dijelaskan bahwa nulitas dari matriks A adalah dimensi ruang solusi dari Ax = 0. Sehingga dapat dikatakan bahwa banyak basis ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 0 sebanyak. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 2. Untuk λ 2 = m disubsitusikan λ 2 ke dal det λi S K m m + diperoleh :

40 det I S( K( m)( m )) m+ m+ Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 2, maka akan didapatkan : m m m m m m Karena untuk λ 2 = m menghasilkan m nulitas (diketahui dari persaan polinomial λ m m ), maka banyak basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 2 = m sebanyak m. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3. Untuk λ 3 = m + disubsitusikan λ 3 ke dal det (λi S K m m + ) diperoleh :

41 det I S( K( m)( m )) m+ m+ Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 2, maka akan didapatkan : m m m m m m Karena untuk λ 3 = m + menghasilkan m nulitas (diketahui dari persaan polinomial λ m m ), maka banyak basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = m + sebanyak m. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 4. Untuk λ 4 = 2m + disubsitusikan λ 4 ke dal det (λi S K m m + ) diperoleh :

42 58 m m m det I S( K( m)( m )) m m m m m+ m+ Dengan mengeliminasi matriks dengan metode Jordan yang ada pada software Maple 2, maka akan didapatkan : 2m m m m m m m m m Karena untuk λ 4 = 2m + menghasilkan nulitas (diketahui dari persaan polinomial λ 2m + ), maka banyak basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 4 = 2m + sebanyak. Jadi terbukti bahwa Spec S K( m)( m ) 0 m m 2m m m

43 BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan mengenai spektrum Adjacency, spectrum Detour, spektrum Laplace, dan spektrum Signless-Laplace, dapat diperoleh kesimpulan bahwa:. Misalkan K n(k) adalah graf k-partisi komplit dengan n titik pada masing-masing partisi. Maka spectrum Adjacency graf K n (k) adalah Spec K n k = n 0 k n k k n 2. Misalkan K n(k) adalah graf k-partisi komplit dengan n titik pada masing-masing partisi. Maka spectrum Detour graf K n (k) adalah Spec DD K n(k) = kn kn 2 kn 3. Misalkan K n(k) adalah graf k-partisi komplit dengan n titik pada masing-masing partisi. Maka spectrum Laplace graf K n(k) adalah Spec L K n (k) = 0 (k )n kn k(n ) (k ) 4. Misal K a m (m + ) adalah graf multipartisi komplit dengan 2 a, m N. Maka spektrum Adjacency K a m m + adalah : 59

44 ( a ) m ( 2m 4) m ( a ) m ( 2m 4) m Spec 0 AKa ( m)( m ) m a a( m ) m 5. Misal K a m (m + ) adalah graf multipartisi komplit dengan m sebanyak a, m N. Maka spektrum Laplace K a m m + adalah : 0 ( a ) m Spec Ka ( m)( m ) m a( m ) a 6. Misal K m (m + ) adalah graf bipartisi komplit dengan m 2, m N maka spektrum Signless-Laplace K m m + adalah : 0 m m 2m Spec( S K( m)( m ) ) m m B. Saran Berdasarkan hasil penelitian, maka penelitian selanjutnya dapat dilakukan dengan menentukan spectrum graf multipartisi komplit yang belum dibahas dal penelitian ini. Selain itu, penelitian selanjutnya dapat diarahkan pada penentuan spectrum graf yang lain. 59