DIMENSI METRIK GRAF KIPAS Suhartina 1*), Nurdin 2), Amir Kamal Amir 3) Perintis Kemerdekaan, Makassar, Indonesia, Kode Pos 90245

Transkripsi

1 DIMENSI METRIK GRAF KIPAS Suhartina 1*), Nurdin 2), Amir Kamal Amir 3) 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin Jln. Perintis Kemerdekaan, Makassar, Indonesia, Kode Pos METRIC DIMENSION OF FAN GRAPH Suhartina 1*), Nurdin 2), Amir Kamal Amir 3) 1 Departement of Mathematic, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Hasanuddin University Perintis Kemerdekaan Street, Makassar, Indonesia, Post Code ABSTRAK Misalkan (, ) suatu graf terhubung danw adalah suatu himpunan bagian dari Himpunan W disebut himpunan penentu (resolving set) pada G jika untuk setiap titik pada G memiliki representasi jarak yang berbeda terhadap W. Himpunan penentu dengan banyak anggota (kardinalitas) minimum disebut himpunan penentu minimum(resolving set minimum) atau basis dari G dan kardinalitas himpunan tersebut menyatakan dimensi metrik (metric dimension) graf G, dinotasikan dengan dim(g). Pada skripsi ini telah ditentukan dimensi metrik graf kipas diperoleh dimensi metrik graf kipas untuk 20 adalah Berdasarkan hasil pembahasan, untuk n 0(mod 10), n 1 (mod 10) + 1, untuk n 2(mod 10), n 3 (mod 10) + 2, untuk n 4(mod 10), n 5(mod 10), n 6 (mod 10) + 3, untukn 7(mod 10), n 8 (mod 10) + 4, untuk n 9 (mod 10)

2 Sedangkan dimensi metrik untuk 1,2,3,,19 adalah 1, untuk n 1 2, untuk n 2,3,4,5 3, untuk n 6,7,8, 5 4, untuk n 9,10,11 5, untuk n 12,13 6, untuk n 14,15,16 7, untuk n 17,18 8, untuk n 19 Kata Kunci : Dimensi Metrik, Graf Kipas, Himpunan Penentu. ABSTRACT Let (, ) be a connected graph andw be a vertices subset of. The set W is called resolving set for G if every vertex on graph G has a distinct representation of W. A resolving set which cardinality is calledminimumresolving set or basis for G and the cardinality of minimum resolving set is calledmetric dimensiongraphg, denoted by dim(g). In this thesis of determined the metric dimension of Fan graph the result obtained Fan the metric dimension of a Fan graph, for 20 is Based on the discussion of, for n 0(mod 10), n 1 (mod 10) + 1, for n 2(mod 10), n 3 (mod 10) + 2, for n 4(mod 10), n 5(mod 10), n 6 (mod 10) + 3, for n 7(mod 10), n 8 (mod 10) + 4, for n 9 (mod 10)

3 Whereas the metric dimension graph for 1,2,3,,19 is 1, for n 1 2, for n 2,3,4,5 3, for n 6,7,8, 5 4, for n 9,10,11 5, for n 12,13 6, for n 14,15,16 7, for n 17,18 8, for n 19 Keyword : Metric Dimension, Fan Graph, Resolving Set. 1. PENDAHULUAN Graf merupakan salah satu cabang matematika yang turut memberikan andil dalam kemajuan diberbagai bidang. Graf dapat berfungsi sebagai model dari suatu sistem yang berupa himpunan titik dan sisi yang menghubungkan setiap titik yang bepasangan. Pemodelan ini dapat digunakan untuk mempermudah menganalisis suatu permasalahan.salah satu materi yang menarik dari teori graf yaitu dimensi metrik. Hingga saat ini pemanfaatan teori dimensi metrik dapat diaplikasikan pada penyelesaian suatu permasalahan di dunia nyata.misalnya pada proses navigasi robot di mana sebuah robot yang bergerak dari satu titik ke titik yang lain pada suatu bidang datar memiliki lintasan untuk dilalui dengan membedakan koordinat-koordinat titik pada lintasan tersebut (S. Khuller, B. Raghavachari, A. Rosenfeld, 1996). Selain itu, pengklasifikasian struktur senyawa kimia (Johnson, 1993)(Johnson M. A., 1998). Dalam sudut pandang teori graf, struktur senyawa dapat dipandang berupa titik dan sisi yang merepresentasikan atom dan jenis ikatannya, sehingga berbagai pemilihan posisi atom menghasilkan sejumlah koleksi senyawa yang berbeda. 2. TINJAUAN PUSTAKA Definisi 2.1.1Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V(G), E(G)) dimanav(g) adalah himpunan tak kosong dari unsur-unsur yang disebut titik (vertex) dan E(G) adalah

4 himpunan dari pasangan tak terurut (u,v) dari titik-titik u dan v yang berbeda di V(G) yang disebut sisi (edge). Selanjutnya sisi e = (u,v) pada graf G ditulis e = uv. Banyaknya unsur di V disebut order dari G yang dilambangkan dengan p(g), sedangkan banyaknya unsur di E disebut ukuran dari G yang dilambangkan dengan q(g). Definisi Jarak (distance) antara dua titik u dan v pada G adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan antara u dan v, dinotasikan dengan (, ). Definisi Operasi jumlah dari graf 1 dan 2 ditulis 1 + 2, adalah graf dengan himpunan titik ( ) ( 1 ) ( 2 ) dan himpunan sisi ( ) ( 1 ) ( 2 ) *(, ) ( 1 ), ( 2 )+. Definisi Graf komplit (complete) adalah graf yang setiap dua titik yang berbeda saling terhubung langsung. Definisi Jika graf yang berbentuk lintasan dengan titik sebanyak n, maka disebut graf lintasan dan disimbolkan dengan. Definisi Graf kipas adalah graf yang dibentuk dari penjumlahan graf komplit 1 dan graf lintasan yaitu 1 +, dengan demikian graf kipas mempunyai (n + 1) titik dan (2n 1) sisi. 2.1 Dimensi Metrik Definisi Dimensi metrik adalah banyaknya anggota pada himpunan penentu dari graf dan dinotasikan dengan ( ) 3. HASIL DAN PEMBAHASAN minimum Beberapa tahap yang harus dilakukan dalam penentuan dimensi metrik suatu graf, khususnya graf kipas akan dijelaskan pada bagian ini, Lemma 3.2 Misalkan adalah suatu graf kipas dengan 20 i. Untuk 0( 10) maka ( ) 4 10 ii. Untuk 1( 10) mak ( ) 4 10 iii. Untuk 2( 10) maka ( ) iv. Untuk 3( 10) maka ( ) v. Untuk 4( 10) maka ( ) vi. Untuk 5( 10) maka ( ) vii. Untuk 6( 10) maka ( ) viii. Untuk 7( 10) maka ( )

5 ix. Untuk 8( 10) maka ( ) x. Untuk 9( 10) maka ( ) Bukti : i) Berdasarkan Lemma 3.1 (i) diperoleh bahwa 1 merupakan himpunan penentu bagi untuk 0 ( 10) Karena , maka ( ) 4 10 untuk 0 ( 10) ii) Berdasarkan Lemma 3.1 (ii) diperoleh bahwa 2 merupakan himpunan penentu bagi untuk 1 ( 10) Karena , maka ( ) 4 10 untuk 1 ( 10) iii) Berdasarkan Lemma 3.1 (iii) diperoleh bahwa 3 merupakan himpunan penentu bagi untuk 2 ( 10) Karena , maka ( ) untuk 2 ( 10) iv) Berdasarkan Lemma 3.1 (iv) diperoleh bahwa 4 merupakan himpunan penentu bagi untuk 3 ( 10) Karena , maka ( ) untuk 3 ( 10) v) Berdasarkan Lemma 3.1 (v) diperoleh bahwa 5 merupakan himpunan penentu bagi untuk 4 ( 10) Karena , maka ( ) untuk 4 ( 10) vi) Berdasarkan Lemma 3.1 (v) diperoleh bahwa 5 merupakan himpunan penentu bagi untuk 5 ( 10) Karena , maka ( ) untuk 5 ( 10) vii) Berdasarkan Lemma 3.1 (vi) diperoleh bahwa 6 merupakan himpunan penentu bagi untuk 6 ( 10) Karena , maka ( ) untuk 6 ( 10) viii) Berdasarkan Lemma 3.1 (vii) diperoleh bahwa 7 merupakan himpunan penentu bagi untuk 7 ( 10) Karena , maka ( ) untuk 7 ( 10) ix) Berdasarkan Lemma 3.1 (viii) diperoleh bahwa 8 merupakan himpunan penentu bagi untuk 8 ( 10) Karena , maka ( ) untuk 8 ( 10)

6 x) Berdasarkan Lemma 3.1 (i) diperoleh bahwa 1 merupakan himpunan penentu bagi untuk 9 ( 10) Karena , maka ( ) untuk 9 ( 10) 4. PENUTUP 4.1 Kesimpulan Berdasarkan hasil yang telah diperoleh maka dapat disimpulkan bahwa: - Dimensi metrik graf kipas (F n ) adalah 1, untuk n 1 2, untuk n 2,3,4,5 3, untuk n 6,7,8, 5 4, untuk n 9,10,11 5, untuk n 12,13 6, untuk n 14,15,16 7, untuk n 17,18 8, untuk n 19 - Dimensi metrik graf kipas (F n ), untuk 9 adalah, for n 0(mod 10), n 1 (mod 10) + 1, for n 2(mod 10), n 3 (mod 10) + 2, for n 4(mod 10), n 5(mod 10), n 6 (mod 10) + 3, for n 7(mod 10), n 8 (mod 10) + 4, for n 9 (mod 10) 4.2 Saran Untuk melanjutkan pembahasan mengenai skripsi ini penulis menyarankan untuk meninjau dimensi metrik pada graf kipas namun dengan menggunakan software.

7 DAFTAR PUSTAKA [1]. Abdussakir, dkk Teori Graf. Malang: UIN Malang Press. [2]. Buczkowski, P., Chartrand, G., Poisson, C., dan Zhang, P. (2003): On k-dimensional Graphs and Their Bases, Period. Math.Hungar.46(1), [3]. Chartrand, G., Erol, L., Johnson, M. dan Oellermann, O.(2000), Resolvability in graphs and the metric dimension of a graph, Discrete Appl. Math. 105, [4]. Chartrand, G. Dan Lesniak, L Graph and Digraph 2nd Edition. California: Wadsworth. Inc. [5]. Gallian, Joseph. A A Dynamic Survey of Graph Labeling. [6]. Hindayani.2011 : Dimensi Metrik Graf +,,,,UIN Maulana Malik Ibrahim Malang. [7]. Harary, F. danmelter, R. (1976): On the Metric Dimension of a Graph, Ars Combin [8]. Mudjiati,T, Dimensi Metrik Graf KincirDenganDaunBervariasi, InstitutTeknologi Surabaya. [9]. Mahfudiyah, Lutvi Pelabelan Graceful pada Graf Kipas dan Graf Kipas Ganda, bilangan asli dan 2, UIN Malang. [10]. M. Johnson, Structure-activity maps for visualizing the graph variables arising in drug design, Journal of Biopharmaceutical Statistics 3 (2) (1993) , pmid: [11]. M. A. Johnson, Browsable structure-activity datasets, in: R. Carb o-dorca, P. Mezey (eds.), Advances in Molecular Similarity, JAI Press Inc, Stamford, Connecticut, 1998, pp [12]. Muzayyana, I Dimensi Metrik Graf Lintasan Tak Hingga,Universit Islam Negeri(UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang. [13]. S. Khuller, B. Raghavachari, A. Rosenfeld, Landmarks in graphs, Discrete Applied Mathematics 70 (1996) [14]. Wilson. Robin J dan Walkins, John J Graphs An Introductory Approach : A first Course in Discrete Mathematic. New York: John Wiley & Sons,Inc.