SIFAT-SIFAT GRAF KOSET DAN GRAF KONJUGASI DARI GRUP NON KOMUTATIF

Transkripsi

1 MATEMATIKA LAPORAN PENELITIAN PENGUATAN PROGRAM STUDI SIFAT-SIFAT GRAF KOSET DAN GRAF KONJUGASI DARI GRUP NON KOMUTATIF Spektrum Graf Konjugasi dan Graf Komplemen Graf Konjugasi dari Grup Dihedral Disusun oleh: Dr. Abdussakir, M.Pd FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 6

2 LAPORAN PENELITIAN PENGUATAN PROGRAM STUDI SPEKTRUM GRAF KONJUGASI DAN GRAF KOMPLEMEN GRAF KONJUGASI DARI GRUP DIHEDRAL FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 6

3 PENGESAHAN LAPORAN PENELITIAN PENGUATAN PROGRAM STUDI Judul Penelitian : Spektrum Graf Konjugasi dan Graf Komplemen Graf Konjugasi dari Grup Dihedral Ketua Peneliti : Dr. Abdussakir, M.Pd 3 Peneliti & Judul Penelitian : Ketua Spektrum Adjacency Graf Konjugasi dan Graf Komplemen Graf Konjugasi dari Grup Dihedral Mahasiswa Spektrum Laplace Graf Komplemen Graf Konjugasi dari Grup Dihedral Mahasiswa Spektrum Laplace Graf Konjugasi dari Grup Dihedral 4 Bidang Ilmu : Aljabar 5 Mahasiswa :. M. Muzakir (NIM. 3677). Rhoul Khasanah (NIM. 36) 6 Lama Kegiatan : 5 (Lima) Bulan 7 Biaya yang diusulkan : Rp...,- Disahkan oleh: Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Malang, 9 Desember 6 Peneliti, Dr. drh. Hj. Bayyinatul Muchtaromah, M.Si Dr. Abdussakir, M.Pd NIP NIP Ketua LPM UIN Maulana Malik Ibrahim Malang Dr. Hj. Mufidah Ch., M.Ag. NIP

4 KATA PENGANTAR Puji syukur ke hadirat Allah Swt., sehingga dengan rahmat dan hidayah-nya laporan penelitian dengan judul Spektrum Graf Konjugasi dan Graf Komplemen Graf Konjugasi dari Grup Dihedral dapat diselesaikan. Sholawat dan salam semoga tetap tercurahkan kepada nabi Muhammad Saw. yang telah membimbing manusia menuju jalan yang lurus, yaitu agama Islam. Selama penyusunan laporan ini, peneliti telah dibantu oleh banyak pihak. Pada kesempatan ini, peneliti menyampaikan terima kasih kepada.. Prof. Dr. H. Mudjia Rahardjo, M.Si, selaku rektor Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang.. Dr. drh. Hj. Bayyinatul Muchtaromah, M.Si, selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang beserta seluruh Pembantu Dekan di Fakultas Sains dan Teknologi. 3. Dr. Abdussakir, M.Pd, selaku ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang, beserta rekan-rekan dosen Jurusan Matematika. 4. Dosen dan staf di Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang. 5. Semua anggota tim penelitian. Peneliti mendo akan semoga bantuan yang telah diberikan dicatat sebagai amal baik oleh Allah SWT. Malang, Desember 6 Peneliti i

5 ABSTRAK Pada penelitian ini ditentukan beberapa spektrum dari graf konjugasi dan graf komplemen graf kojugasi dari grup dihedral. Spektrum yang diteliti meliputi spektrum adjacency dan spektrum Laplace. Berdasarkan penelitian ini diperoleh:. Spektrum adjacency graf konjugasi dari grup dihedral D n untuk n ganjil dan n 3 adalah n spec A G D n = 3 n n. Spektrum Laplace graf konjugasi dari grup dihedral D n untuk n ganjil dan n 3 adalah n spec L (G(D n )) = n + 3 n n 3. Spektrum Laplace graf komplemen dari graf konjugasi pada D n untuk n ganjil adalah spec L G(D n = n n n n n n 4. Spektrum Laplace graf komplemen dari graf konjugasi pada D n untuk n genap adalah spec L G(D n = 3n n n n n n + 4 Kata kunci: Spektrum adjacency, spektrum Laplace, graf konjugasi, grup dihedral ii

6 DAFTAR ISI Halaman Sampul Halaman Pengesahan Kata Pengantar... Abstrak... Daftar Isi... Daftar Tabel... Daftar Gambar... i ii iii iv v BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang... B. Rumusan Masalah... 3 C. Tujuan Penelitian... 3 D. Manfaat Penelitian... 4 BAB II STUDI PUSTAKA A. Graf... 5 B. Derajat Titik... 5 C. Graf Terhubung... 8 D. Graf dan Matriks... E. Spektrum Graf... 3 F. Grup Dehidral... 6 G. Graf Konjugasi... 8 BAB III METODE PENELITIAN A. Jenis Penelitian... 9 B. Tahap Penelitian... 9 BAB IV PEMBAHASAN A. Spektrum Adjacency Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D n )... B. Spektrum Laplace Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D n ) C. Spektrum Laplace Graf Komplemen Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D n ) BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN-LAMPIRAN iii

7 DAFTAR TABEL Tabel 4. Tabel Cayley Grup Dihedral-6 (D 6 )... Tabel 4. Polinomial Karakteristik Matriks Adjacency dari Beberapa Graf Konjugasi dari Grup Dehidral (D n ) Tabel 4.3 Spektrum Adjacency dari Graf Konjugasi dari Grup Dehidral (D n ) Tabel 4.4 Tabel Cayley Grup Dihedral-6 (D 6 ) Tabel 4.5 Polinomial Karakteristik Matriks Laplace dari Beberapa Graf Konjugasi dari Grup Dehidral (D n ) Tabel 4.6 Spektrum Laplace dari Graf Konjugasi dari Grup Dehidral (D n )... 5 iv

8 DAFTAR GAMBAR Gambar. Graf Konjugasi dari D Gambar 4. Graf Konjugasi D Gambar 4. Graf Konjugasi D... 7 Gambar 4.3 Graf Konjugasi D Gambar 4.4 Graf Konjugasi D Gambar 4.5 Graf Konjugasi D Gambar 4.6 Graf Konjugasi D Gambar 4.7 Graf Konjugasi D 6 dan Komplemennya Gambar 4.8 Graf Konjugasi D dan Komplemennya Gambar 4.9 Graf Konjugasi D 4 dan Komplemennya Gambar 4. Graf Konjugasi D dan Komplemennya... 6 v

9 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Graf G adalah pasangan (V(G), E(G)) dengan V(G) adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, dan E(G) adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan takberurutan dari titik-titik berbeda di V(G) yang disebut sisi. Banyaknya unsur di V(G) disebut order dari G dan dilambangkan dengan p(g), dan banyaknya unsur di E(G) disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan q(g). Jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan ukuran dari G masing-masing cukup ditulis p dan q. Graf dengan order p dan ukuran q dapat disebut graf-(p, q). Sisi e = (u, v) dikatakan menghubungkan titik u dan v. Jika e = (u, v) adalah sisi di graf G, maka u dan v disebut terhubung langsung (adjacent), v dan e serta u dan e disebut terkait langsung (incident), dan titik u dan v disebut ujung dari e. Untuk selanjutnya, sisi e = (u, v) akan ditulis e = uv. Derajat dari titik v di graf G, ditulis deg G (v), adalah banyaknya sisi di G yang terkait langsung dengan v. Dalam konteks pembicaraan hanya terdapat satu graf G, maka tulisan deg G (v) disingkat menjadi deg(v). Misalkan G graf dengan order p (p ) dan ukuran q serta himpunan titik V(G) = {v, v,, v p }. Matriks keterhubungan titik (atau matriks Adjacency) dari graf G, dinotasikan dengan A(G), adalah matriks (p p) dengan unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j bernilai jika titik v i terhubung langsung dengan titik v j serta bernilai jika titik v i tidak terhubung langsung dengan titik v j. Dengan kata lain, matriks adjacency dapat ditulis A(G) = [a ij ], i, j p, dengan a ij, jika, jika v v E( G) i v v E( G) i j j Matriks adjacency suatu graf G adalah matriks simetri dengan unsur dan dan memuat nilai pada diagonal utamanya. Matriks derajat dari matriks G, dinotasikan dengan D(G), adalah matriks diagonal yang elemen baris ke-i dan kolom ke-i adalah derajat dari v i, i =,, 3,

10 , p. Jadi, matriks derajat dari graf G dapat ditulis D(G) = [d ij ], i, j p, dengan d ij deg( vi ), i j, i j Matriks L(G) = D(G) A(G) disebut matriks Laplace dan matriks L + (G) = D(G) + A(G) disebut matriks Signless Laplace dari graf G. Pada graf G, lintasan-v v n adalah barisan titik-titik berbeda v, v,, v n sedemikian hingga titik yang berurutan terhubung langsung. Suatu graf kemudian disebut terhubung jika terdapat suatu lintasan antara sebarang dua titik di G. Misalkankan G adalah graf terhubung dengan order p. Matriks Detour dari G adalah matriks DD(G) sedemikian hingga elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j adalah bilangan yang menyatakan lintasan terpanjang dari v i ke v j di G. Pembahasan matriks Adjacency A(G), matriks Laplace L(G), matriks Signless Laplace L + (G), dan matriks Detour DD(G) dari graf G dapat dikaitkan dengan konsep nilai eigen dan vektor eigen pada topik aljabar linier yang menghasilkan konsep spectrum. Misalkan,,, n dengan > > > n adalah nilai eigen berbeda dari matriks suatu graf, dan misalkan m( ), m( ),, m( n ) adalah banyaknya basis untuk ruang vektor eigen masing-masing i. Matriks berordo ( n) yang memuat,,, n pada baris pertama dan m( ), m( ),, m( n ) pada baris kedua disebut spectrum graf G, dan dinotasikan dengan Spec(G). Jadi, spectrum graf G dapat ditulis dengan Spec(G) = m ) ( m( ) n m( ). Spektrum yang diperoleh dari matriks A(G) disebut spektrum Adjacency, dari matriks L(G) disebut spektrum Laplace, dari matriks L + (G) disebut spekturm Signed-Laplace, dan dari matriks DD(G) disebut spektrum Detour. Beberapa penelitian mengenai spektrum suatu graf sudah pernah dilakukan. Shuhua Yin (6) meneliti spektrum Adjacency dan spektrum Laplace pada graf G l yang diperoleh dari graf komplit K l dengan menambahkan pohon isomorfik berakar untuk masing-masing titik di K l. Abdussakir, dkk (9) meneliti spektrum adjacency pada graf komplit (K n ), graf star (S n ), graf bipartisi komplit (K m,n ), dan graf lintasan (P n ). Ayyaswamy & Balachandran () n

11 3 meneliti spektrum Detour pada beberapa graf yang meliputi graf K(n, n), graf Korona G dan K, graf perkalian Kartesius G dengan K, graf perkalian leksikografik G dengan K, dan perluasan dobel kover dari graf beraturan. Abdussakir, dkk () meneliti spektrum Adjacency, Laplace, Singless Laplace, dan Detour graf multipartisi komplit K(α, α, α 3,, α n ). Abdussakir, dkk (3) meneliti spektrum spektrum Adjacency, Laplace, Singless Laplace, dan Detour graf commuting dari grup dehidral. Rivatul Ridho Elvierayani (4) meneliti spektrum Adjacency, Laplace, Singless Laplace graf non commuting dari grup dehidral, sedangkan Nafisah (4) meneliti spektrum Detour graf non commuting dari grup dehidral. Teori graf juga membahas graf yang dibangun dari grup yang anggotanya memenuhi sifat saling konjugasi. Misalkan G grup non komutatif. Unsur g dan h di G dikatakan saling konjugasi jika ada x di G sehingga g = xhx -. Misalkan semua kelas konjugasi di G adalah [e], [g ], [g ],, [g n ]. Pada graf konjugasi dari grup G, unsur h akan terhubung langsung ke g i, jika h anggota [g i ]. Penelitian mengenai graf konjugasi telah dilakukan oleh beberapa peneliti. Hartanto () sudah meneliti sifat-sifat graf konjugasi dari grup dehidral terkait bentuk grafnya. Wahyu H. Irawan (5) meneliti pola umum graf konjugasi dari grup dehidral dan grup simetri. Sampai saat ini belum ada yang mengkaji spektrum pada graf konjugasi dari grup dehidral. Pada penelitian ini, akan dikaji spektrum dari graf konjugasi dan graf komplemen graf konjugasi dari grup dehidral (D n ). B. Rumusan Masalah Masalah dalam penelitian ini dirumuskan sebagai berikut, yaitu bagaimana pola umum spektrum (Adjacency, Laplace, Signless Laplace, atau Detour) graf konjugasi dan graf komplemen graf konjugasi dari grup dehidral (D n ). C. Tujuan Penelitian Sesuai rumusan masalah, maka tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan pola umum spektrum (Adjacency, Laplace, Signless Laplace, atau Detour) graf konjugasi dan graf komplemen graf konjugasi dari grup dehidral (D n ).

12 4 D. Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut.. Memberikan informasi mengenai spektrum suatu graf yang diperolah dari suatu grup.. Memberikan informasi saling keterkaitan antara beberapa topic dalam matematika, khususnya teori graf, aljabar linier, dan aljabar abstrak.

13 BAB II STUDI PUSTAKA A. Graf Graf G adalah pasangan (V(G), E(G)) dengan V(G) adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, dan E(G) adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan takberurutan dari titik-titik berbeda di V(G) yang disebut sisi. Banyaknya unsur di V(G) disebut order dari G dan dilambangkan dengan p(g), dan banyaknya unsur di E(G) disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan q(g). Jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan ukuran dari G masing-masing cukup ditulis p dan q. Graf dengan order p dan ukuran q dapat disebut graf-(p, q). Sisi e = (u, v) dikatakan menghubungkan titik u dan v. Jika e = (u, v) adalah sisi di graf G, maka u dan v disebut terhubung langsung (adjacent), v dan e serta u dan e disebut terkait langsung (incident), dan titik u dan v disebut ujung dari e. Dua sisi berbeda e dan e disebut terhubung langsung (adjacent), jika terkait langsung pada satu titik yang sama. Untuk selanjutnya, sisi e = (u, v) akan ditulis e = uv. B. Derajat Titik Jika v adalah titik pada graf G, maka himpunan semua titik di G yang terhubung langsung dengan v disebut lingkungan dari v dan ditulis N G (v). Derajat dari titik v di graf G, ditulis deg G (v), adalah banyaknya sisi di G yang terkait langsung dengan v. Dalam konteks pembicaraan hanya terdapat satu graf G, maka tulisan deg G (v) disingkat menjadi deg(v) dan N G (v) disingkat menjadi N(v). Jika dikaitkan dengan konsep lingkungan, derajat titik v di graf G adalah banyaknya anggota dalam N(v). Jadi, deg( v) N( v) Titik yang berderajat disebut titik terasing atau titik terisolasi. Titik yang berderajat disebut titik ujung atau titik akhir. Titik yang berderajat genap disebut titik genap dan titik yang berderajat ganjil disebut titik ganjil. Derajat 5

14 6 maksimum titik di G dilambangkan dengan (G) dan derajat minimum titik di G dilambangkan dengan (G). Hubungan antara jumlah derajat semua titik dalam suatu graf G dengan banyak sisi, yaitu q, adalah deg( v) q vg disebut sebagai Teorema Pertama dalam Teori Graf yang dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema Misalkan G graf dengan order p dan ukuran q, dengan V(G) = { v, v, v 3,, v p }. Maka Bukti p i deg( v ) i Setiap menghitung derajat suatu titik di G, maka suatu sisi dihitung kali. Karena setiap sisi menghubungkan dua titik berbeda maka ketika menghitung derajat semua titik, sisi akan terhitung dua kali. Dengan demikian diperoleh bahwa jumlah semua derajat titik di G sama dengan kali jumlah sisi di G. Terbukti bahwa q p i deg( v ) i q. Berdasarkan hubungan tersebut, maka banyak titik ganjil dalam suatu graf selalu genap. Hal ini dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema Bukti Banyaknya titik ganjil dalam suatu graf selalu genap. Misalkan G graf. Misalkan X adalah himpunan titik genap di G dan Y adalah himpunan titik ganjil di G. Maka vg deg( v) = deg( v ) deg( v) = q. vx vy Karena X adalah himpunan titik genap maka vx deg( v) adalah genap.

15 Karena q adalah bilangan genap dan vx vy deg( v) haruslah bilangan genap. Karena Y himpunan titik ganjil dan vy deg( v) juga genap maka deg( v) adalah bilangan genap, maka banyak titik di Y haruslah genap, sebab jika banyak titik di Y ganjil maka vy deg( v) adalah ganjil. Terbukti bahwa banyaknya titik ganjil di G adalah genap. Graf G dikatakan beraturan-r atau beraturan dengan derajat r jika masing-masing titik v di G, maka deg(v) = r, untuk bilangan bulat taknegatif r. Suatu graf disebut beraturan jika graf tersebut beraturan-r untuk suatu bilangan bulat taknegatif r. Graf beraturan-3 biasa juga disebut dengan graf kubik. Graf G dikatakan komplit jika setiap dua titik yang berbeda saling terhubung langsung (adjacent). Graf komplit dengan order n dinyatakan dengan K n. Dengan demikian, maka graf K n merupakan graf beraturan-(n ) dengan order p = n dan ukuran n( n ) n q. Graf G dikatakan bipartisi jika himpunan titik pada G dapat dipartisi menjadi dua himpunan tak kosong V dan V sehingga masing-masing sisi pada graf G tersebut menghubungkan satu titik di V dengan satu titik di V. Jika G adalah graf bipartisi beraturan-r, dengan r, maka V V 7. Graf G dikatakan partisi-n jika himpunan titiknya dapat dipartisi menjadi sebanyak n himpunan tak kosong V, V,, V n, sehingga masing-masing sisi pada graf G menghubungkan titik pada V i dengan titik pada V j, untuk i j. Jika n = 3, graf partisi-n disebut graf tripartisi. Suatu graf G disebut bipartisi komplit jika G adalah graf bipartisi dan masing-masing titik pada suatu partisi terhubung langsung dengan semua titik pada partisi yang lain. Graf bipartisi komplit dengan m titik pada salah satu partisi dan n titik pada partisi yang lain ditulis K m,n. Graf bipartisi komplit K,n disebut graf bintang (star) dan dinotasikan dengan S n. Jadi, S n mempunyai order (n ) dan ukuran n.

16 Graf G dikatakan partisi-n komplit jika G adalah graf partisi-n dengan himpunan partisi V, V,, V n, sehingga jika u V i dan v V j, i j, maka uv 8 E(G). Jika V i p i, maka graf ini dinotasikan dengan K...,, p, p n. Urutan p, p, p, p n tidak begitu diperhatikan. Graf partisi-n komplit merupakan graf komplit K n jika dan hanya jika p i = untuk semua i. Jika p i = t untuk semua i, t, maka graf partisi-n komplit ini merupakan graf beraturan dan dinotasikan dengan K n(t). Jadi, K n() tidak lain adalah K n. Berikut ini adalah contoh graf tripartisi komplit K, 3, 5. Perhatikan bahwa titik dalam satu partisi tidak boleh terhubung langsung. K, 3, 5 : C. Graf Terhubung Misalkan G graf. Misalkan u dan v adalah titik di G (yang tidak harus berbeda). Jalan u-v pada graf G adalah barisan berhingga yang berselang-seling W: u=v o, e, v, e, v,, e n, v n =v antara titik dan sisi, yang dimulai dari titik dan diakhiri dengan titik, dengan e i = v i- v i i =,, 3,, n adalah sisi di G. v disebut titik awal, v n disebut titik akhir, titik v, v,, v n- disebut titik internal, dan n menyatakan panjang dari W. Jika v v n, maka W disebut jalan terbuka. Jika v = v n, maka W disebut jalan tertutup. Jalan yang tidak mempunyai sisi disebut jalan trivial. Karena dalam graf dua titik hanya akan dihubungkan oleh tepat satu sisi, maka jalan u-v W: u=v o, e, v, e, v,, e n, v n =v

17 9 dapat ditulis menjadi W: u=v o, v, v,, v n -, v n =v. Jalan W yang semua sisinya berbeda disebut trail. Jalan terbuka yang semua titiknya berbeda disebut lintasan. Dengan demikian setiap lintasan pasti merupakan trail, tetapi tidak semua trail merupakan lintasan. Teorema 3 Setiap jalan u-v pada suatu graf selalu memuat lintasan u-v. Bukti Misalkan W adalah jalan u-v di graf G. Jika W tertutup, maka jelas W memuat lintasan trivial di G. Misalkan W: u=v o, v, v,, v n -, v n =v adalah jalan u-v terbuka. Jika tidak ada titik yang berulang di W, maka W adalah lintasan u-v. Jika ada titik yang berulang di W, misakan i dan j adalah bilangan bulat positif berbeda dengan i < j sehingga v i = v j. Maka, suku v i, v i+,, v j dihapus dari W. Hasilnya sebut W, yakni jalan u-v baru yang panjangnya kurang dari panjang W. Jika pada W tidak ada titik yang berulang, maka W adalah lintasan u-v. Jika pada W ada titik yang berulang, maka lakukan proses penghapusan seperti sebelumnya, sampai akhirnya diperoleh jalan u-v yang merupakan lintasan u-v. Graf berbentuk lintasan dengan titik sebanyak n dinamakan graf lintasan order n dan ditulis P n. Jalan tertutup W tak trivial yang semua sisinya berbeda disebut sirkuit. Dengan kata lain, sirkuit adalah trail tertutup tak trivial. Jalan tertutup tak trivial yang semua titiknya berbeda disebut sikel. Dengan demikian setiap sikel pasti merupakan sirkuit, tetapi tidak semua sirkuit merupakan sikel. Jika dicarikan hubungan antara sirkuit dan sikel diperoleh bahwa: trail tertutup dan taktrivial pada graf G disebut sirkuit di G. Sirkuit v, v, v 3,, v n, v (n 3) dengan dengan v i, i =,, 3,, n berbeda disebut sikel. Sikel dengan panjang k disebut sikel-k. Sikel-k disebut genap atau ganjil bergantung pada k genap atau ganjil.

18 Graf berbentuk sikel dengan titik sebanyak n, n 3, disebut graf sikel dan ditulis C n. Graf sikel sering juga disebut sebagai graf lingkaran karena gambarnya dapat dibentuk menjadi lingkaran. Perlu dicatat bahwa tidak selamanya graf sikel digambar dalam bentuk suatu lingkaran. Graf sikel dapat juga digambar dalam bentuk poligon. C 3 dapat disebut segitiga, C 4 segiempat, dan secara umum C n dapat disebut segi-n. Sikel yang banyak titiknya ganjil disebut sikel ganjil dan sikel yang banyak titiknya genap disebut sikel genap. Misalkan u dan v titik berbeda pada graf G. Titik u dan v dikatakan terhubung (connected), jika terdapat lintasan u-v di G. Suatu graf G dikatakan terhubung (connected), jika untuk setiap titik u dan v yang berbeda di G terhubung. Dengan kata lain, suatu graf G dikatakan terhubung (connected), jika untuk setiap titik u dan v di G terdapat lintasan u-v di G. Sebaliknya, jika ada dua titik u dan v di G, tetapi tidak ada lintasan u-v di G, maka G dikatakan tak terhubung (disconnected). Untuk suatu graf terhubung G, maka jarak d u, v antara dua titik u dan v di G adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan u dan v di G. Jika tidak ada lintasan dari titik u ke v, maka didefinisikan jarak d(u,v) =. Eksentrisitas e(v) dari suatu titik v pada graf terhubung G adalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari titik v ke setiap titik di G dapat dituliskan e(v) = max{ d u, v : u V G }. Titik v dikatakan titik eksentrik dari u jika jarak dari u ke v sama dengan eksentrisitas dari u atau d(u,v)=e(u). Radius dari G adalah eksentrisitas minimum pada setiap titik di G, dapat dituliskan rad G = min{e(v),v V}. Sedangkan diameter dari G, dinotasikan diam G adalah eksentrisitas maksimum pada setiap titik di G, dapat dituliskan diam G= max{e(v), vv} (Chartrand dan Lesniak, 986:9). Graf komplemen G dari graf G adalah graf dengan himpunan titik V(G ) = V(G) dan dua titik akan terhubung langsung di G jika dan hanya jika dua titik tersebut tidak terhubung langsung di G. Artinya jika xy E(G) maka xy E(G ) dan sebaliknya. Dengan demikian maka gabungan antara G dan G akan

19 menghasilkan graf komplit, atau q + q = berikut. n. Sebagai contoh perhatikan graf v v v v G : v 4 v 3 G v 4 v 3 D. Graf dan Matriks Misalkan G graf dengan order p (p ) dan ukuran q serta himpunan titik V(G) = {v, v,, v p }. Matriks keterhubungan titik (atau matriks keterhubungan) dari graf G, dinotasikan dengan A(G), adalah matriks (p p) dengan unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j bernilai jika titik v i terhubung langsung dengan titik v j serta bernilai jika titik v i tidak terhubung langsung dengan titik v j. Dengan kata lain, matriks keterhubungan dapat ditulis A(G) = [a ij ], i, j p, dengan a ij, jika, jika v v E( G) i v v E( G) i j j Matriks keterhubungan suatu graf G adalah matriks simetri dengan unsur dan dan memuat nilai pada diagonal utamanya. Hal ini karena graf tidak memuat lup dan tidak memuat sisi paralel. Perhatikan contoh berikut. Misalkan graf G dengan himpunan titik V(G) = {v, v, v 3, v 4 } dan himpunan sisi E(G) = {v v, v v 4, v v 3, v v 4, v 3 v 4 }. Maka, diagram dan matriks keterhubungan graf G sebagai berikut. v v G : A(G) : v v v 3 v 4 v v v 3 v 4 v 4 v 3

20 Misalkan G graf dengan order p (p ) dan ukuran q serta himpunan sisi E(G) = {e, e,, e q }. Matriks keterhubungan sisi dari graf G, dinotasikan dengan B(G) adalah matriks (q q) yang unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j bernilai jika sisi e i terhubung langsung dengan sisi e j, dan untuk lainnya. Dengan kata lain, matriks keterhubungan sisi dapat ditulis B(G) = [a ij ], i, j q, dengan b ij, jika, jika e dan e i e dan e i j j terhubung langsung tidak terhubung langsung Matriks keterhubungan sisi suatu graf G juga merupakan matriks simetri dengan unsur dan dan memuat nilai pada diagonal utamanya. Perhatikan contoh berikut. Misalkan graf G dengan himpunan titik V(G) = {v, v, v 3, v 4 } dan himpunan sisi E(G) = {v v, v v 4, v v 3, v v 4, v 3 v 4 }. Maka, diagram dan matriks keterhubungan graf G sebagai berikut. G : v v e e e 3 e 4 e 5 v 4 v 3 B(G) : e e e 3 e 4 e 5 e e e 3 e 4 e 5 Misalkan G graf dengan order p (p ) dan ukuran q serta himpunan titik V(G) = {v, v,, v p } dan himpunan sisi E(G) = {e, e,, e q }. Matriks keterkaitan dari graf G, dinotasikan dengan I(G) adalah matriks (p q) yang unsur pada baris i dan kolom j adalah bilangan yang menyatakan berapa kali titik v i terkait langsung dengan sisi e j. Dengan kata lain, matriks keterkaitan dapat ditulis I(G) = [c ij ], i p, j q dengan c ij, jika, jika v i v i terkait langsung dengan e tidak terkait langsung dengan e j j Matriks keterkaitan suatu graf G adalah matriks dengan unsur dan.

21 3 Perhatikan contoh berikut. Misalkan graf G dengan himpunan titik V(G) = {v, v, v 3, v 4, v 5 } dan himpunan sisi E(G) = {v v, v v 5, v v 3, v v 4, v v 5, v 4 v 5 }. Maka, diagram dan matriks keterkaitan dari graf G sebagai berikut. G : v e v v 5 e e 3 e 5 e 4 e 6 v 4 v 3 I(G) : v v v 3 v 4 v 5 e e e 3 e 4 e 5 e 6 E. Spektrum Graf Matriks keterhubungan banyak digunakan untuk membahas karakteristik graf karena matriks keterhubungan merupakan matriks persegi. Bekerja dengan matriks persegi memberikan banyak kemudahan dibanding dengan matriks tidak persegi. Berikut ini merupakan suatu perluasan pembahasan matriks keterhubungan suatu graf dikaitkan dengan konsep nilai eigen dan vektor eigen pada topik aljabar linier. Misalkan G graf berorder p dan A adalah matriks keterhubungan dari graf G. Suatu vektor tak nol x disebut vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah suatu kelipatan skalar dari x; yakni, Ax = λx, untuk sebarang scalar λ. Skalar λ disebut nilai eigen (eigen value) dari A, dan x disebut sebagai vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ. Untuk menentukan nilai eigen dari matriks A, persamaan Ax = λx ditulis kembali dalam bentuk A λi x =, dengan I adalah matriks identitas berordo ( p). Persamaan ini akan mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika det A λi =.

22 4 Persamaan det A λi = akan menghasilkan persamaan polinomial dalam variable dan disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Skalar-skalar λ yang memenuhi persamaan karakteristik ini tidak lain adalah nilai nilai eigen dari matriks A. Misalkan,,, n adalah nilai eigen berbeda dari A, dengan > > > n, dan misalkan m( ), m( ),, m( n ) adalah banyaknya basis untuk ruang vektor eigen masing-masing i, maka matriks berordo ( n) yang memuat,,, n pada baris pertama dan m( ), m( ),, m( n ) pada baris kedua disebut spectrum graf G, dan dinotasikan dengan Spec(G). Jadi, spectrum graf G dapat ditulis dengan Spec(G) = ) ( ) ( ) ( n n m m m. Sebagai contoh untuk menentukan spectrum suatu graf, perhatikan graf komplit K 3 beserta matriks keterhubungannya berikut ini. Pertama akan ditentukan nilai eigen dari A menggunakan persamaan det A λi =. Diperoleh det det ) )( ( 3. A : K 3 :

23 5 Jadi, diperoleh nilai eigen = dan = -. Untuk =, maka A λi x = 3 x x x. Melalui operasi baris elementer pada matriks yang diperluas dari persamaan homogen ini, diperoleh matriks eselon tereduksi baris berikut.. Diperoleh x x 3 = x x 3 = Diperoleh vektor eigen x x x x x x x. Dengan demikian, terdapat basis untuk ruang vektor eigen pada =. Untuk = -, maka A λi x = 3 x x x. Akan diperoleh suatu persamaan tunggal, yaitu x + x + x 3 = Diperoleh vektor eigen ) ( x x x x x x x x x. Dengan demikian, terdapat basis untuk ruang vektor eigen pada = -.

24 6 Jadi, diperoleh nilai eigen = dan = - serta m( ) = dan m( ) =. Dengan demikian, maka spectrum graf K 3 adalah Spec( K 3). Spektrum yang dicontohkan di atas disebut spectrum Adjacency karena diperoleh dari matriks adjacency graf. Selain konsep matriks adjacency, masih terdapat konsep matriks lainnya yang dapat diperoleh dari suatu graf. Matriks derajat dari matriks G, dinotasikan dengan D(G), adalah matriks diagonal yang elemen baris ke-i dan kolom ke-i adalah derajat dari v i, i =,, 3,, p. Jadi, matriks derajat dari graf G dapat ditulis D(G) = [d ij ], i, j p, dengan d ij deg( vi ), i j, i j Matriks L(G) = D(G) A(G) disebut matriks Laplace dan matriks L + (G) = D(G) + A(G) disebut matriks Signless Laplacedari graf G. Pada graf G, lintasan-v v n adalah barisan titik-titik berbeda v, v,, v n sedemikian hingga titik yang berurutan terhubung langsung. Suatu graf kemudian disebut terhubung jika terdapat suatu lintasan antara sebarang dua titik di G. Misalkankan G adalah graf terhubung dengan order p. Matriks Detour dari G adalah matriks DD(G) sedemikian hingga elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j adalah bilangan yang menyatakan lintasan terpanjang dari v i ke v j di G. F. Grup Dehidral Grup adalah suatu struktur aljabar yang dinyatakan sebagai ( G, ) dengan G adalah himpunan tak kosong dan adalah operasi biner di G yang memenuhi sifat-sifat berikut:. ( a b) c a ( b c), untuk semua a, b, c G (yaitu assosiatif ).. Ada suatu elemen e di G sehingga a e ea a, untuk semua a G (e disebut identitas di G). 3. Untuk setiap a G ada suatu element ( a di sebut invers dari a) a di G sehingga a a a a e

25 7 Sebagai tambahan, grup ( G, ) disebut abelian (grup komutatif) jika a b ba untuk semua a, b G (Raisinghania dan Aggarwal, 98:3 dan Dummit dan Foote, 99:3-4). Himpunan bilangan bulat Z dengan operasi jumlah memenuhi aksioma grup, yakni (Z, +) adalah grup abelian. Grup dehidral adalah grup dari himpunan simetri-simetri dari segi-n beraturan, dinotasikan D, untuk setiap n bilangan bulat positif dan n 3. n Dalam buku lain ada yang menuliskan grup dehidral dengan Foote, 99:4-5). Misalkan s t D n D n (Dummit dan D n suatu grup yang didefinisikan oleh st untuk, yang diperoleh dari simetri (simetri sebagai fungsi pada segi-n, sehingga st adalah fungsi komposisi).jika st, akibat permutasi titik berturut-turut,, maka st akibat dari. Operasi biner pada D n adalah assosiatif karena fungsi komposisi adalah assosiatif. Identitas dari D n adalah identitas dari simetri (yang meninggalkan semua titik tetap), dinotasikan dengan, dan invers dari s D n adalah kebalikan semua putaran dari simetri s (jadi jika s akibat permutasi pada titik, s akibat dari ) (Dummit dan Foote, 99:4-5). Karena grup dehidral akan digunakan secara ektensif, maka perlu beberapa notasi dan beberapa hitungan yang dapat menyederhanakan perhitungan selanjutnya dan membantu mengamati (), r, () s, r,..., n r D n sebagai grup abstrak, yaitu: (3) (4) i s r untuk semua i. i j sr sr untuk semua i, j n dengan i j. Jadi D n {, r, r,..., r n, s, sr, sr,..., sr n } yaitu setiap elemen dapat dituliskan secara tunggal dalam bentuk untuk k = atau dan i n. (5) sr r s. (6) sr i r i s, untuk semua i n(dummit dan Foote, 99:6). s k r i Sebagai contoh D 6 adalah grup dihendral yang memuat semua simetri (rotasi dan refleksi) pada bangun segitiga sehingga D 6 = {, r, r, s, sr, sr }.

26 8 G. Graf Konjugasi Misalkan G grup non komutatif. Unsur g dan h di G dikatakan saling konjugasi jika ada x di G sehingga g = xhx -. Karena g = xhx - maka akan diperoleh h = x - g(x - ) -. Misalkan semua kelas konjugasi di G adalah [e], [g ], [g ],, [g n ]. Pada graf konjugasi dari grup G, unsur h akan terhubung langsung ke g i, jika h anggota [g i ]. Sebagai contoh pada grup dehidral order 6 yaitu D 6 = {, r, r, s, sr, sr } terhadap operasi fungsi komposisi. Maka klas konjugasi dari D 6 adalah [], [r] = {r, r }, dan [s] = {s, sr, sr }. Dengan demikian akan diperoleh graf konjugasi dari grup D 6 sebagai berikut. r sr r s sr Gambar. Graf Konjugasi dari D 6

27 BAB IV PEMBAHASAN A. Spektrum Adjacency Graf Konjugasi dari Grup Dihedral. Spektrum Adjacency Graf Konjugasi dari Grup Dihedral D 6 Grup dihedral D 6 = {, r, r, s, sr, sr }. Dengan operasi komposisi diperoleh tabel cayley sebagai berikut: Tabel 4. Tabel Cayley Grup Dihedral-6 D 6 r r s sr sr r r s sr sr r r r sr s sr r r r sr sr s s s sr sr r r sr sr sr s r r sr sr s sr r r Berdasarkan tabel Cayley di atas dapat ditunjukkan kelas-kelas konjugasi (D 6 ). Dikatakan saling konjugasi jika ada x D 6 sehingga g = xhx. Karena g = xhx maka akan diperoleh h = x g(x ).. Akan ditunjukkan bahwa g = dan h = saling konjugasi. Ambil g = dan h = dimana D 6, pilih x = maka diperoleh g = xhx = = = g = dan h = saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi =. Sehingga kelas konjugasi [] adalah {}.. Akan ditunjukkan bahwa r dan r saling konjugasi. Ambil g = r dan h = r dimana r, r D 6, pilih x = s maka diperoleh g = xhx

28 r = sr s r = sr s r = r r dan r saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi r = sr s. Sehingga kelas konjugasi r = {r, r }. 3. Akan ditunjukkan bahwa s, sr, sr saling konjugasi. a) Akan ditunjukkan s, sr saling konjugasi Ambil g = s dan h = sr dimana s, sr D 6, pilih x = r maka diperoleh g = xhx s = r sr(r ) s = sr r s = s s dan sr saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi r = sr s. b) Akan ditunjukkan sr, sr saling konjugasi Ambil g = sr dan h = sr dimana sr, sr D 6, pilih x = r maka diperoleh g = xhx sr = r sr (r ) sr = sr s dan sr saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi sr = r sr (r ). c) Akan ditunjukkan sr, s saling konjugasi Ambil g = sr dan h = s dimana sr, s D 6, pilih x = r maka diperoleh g = xhx sr = r s(r ) sr = sr r sr = sr s dan sr saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi sr = r s(r ). Dari poin a), b), dan c) terbentuklah suatu kelas konjugasi s = { s, sr, sr } dimana s, sr dan sr saling konjugasi. Dari poin,, dan 3 maka terbentuklah kelas-kelas konjugasi dari grup D 6 yaitu: = {}

29 3 r = r, r s = {s, sr, sr } Dengan demikian berdasarkan kelas-kelas tersebut dapat digambarkan dalam suatu graf konjugasi D 6 sebagai berikut: Gambar 4. Graf Konjugasi D 6 grup D 6 : A(D 6 ) = Dari graf tersebut dapat diketahui matriks adjacency dari graf konjugasi r r s sr sr r r s sr sr Setelah mendapatkan matriks Adjacency maka akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks Adjacency tersebut det A D 6 λi = det λ λ λ λ λ λ =

30 det λ λ λ λ λ λ = Matriks tersebut dapat direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gaus yang terdapat pada software Maple 8 sebagai berikut: 4 Karena det A D 6 λi merupakan hasil perkalian diagonal matriks segitiga maka diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut: det A D 6 λi = λ 3 λ λ Karena det A D 6 λi = maka, λ λ λ det A D 6 λi = λ 3 λ λ Sehingga diperoleh nilai eigenya: λ λ λ = λ =, λ =, λ 3 = Kemudian akan dicari basis untuk ruang vektor eigen dari matriks tersebut. Untuk λ = disubstitusikan ke dalam A D 6 λi, sehingga diperoleh: λ λ λ λ λ λ =

31 Selanjutnya hasil matriks tersebut akan direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8, maka diperoleh 5 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak 3. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = disubstitusikan ke dalam A D 6 λi, sehingga diperoleh: λ λ λ λ λ λ = Selanjutnya hasil matriks tersebut akan direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8, maka diperoleh Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = disubstitusikan ke dalam A D 6 λi, sehingga diperoleh:

32 6 λ λ λ λ λ λ = Selanjutnya hasil matriks tersebut akan direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8, maka diperoleh Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = sebanyak. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 4 = disubstitusikan ke dalam A D 6 λi, sehingga diperoleh: λ λ λ λ λ λ = Selanjutnya hasil matriks tersebut akan direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8, maka diperoleh Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 4 = sebanyak.

33 Matriks Adjacency dengan persamaan L D 6 λi dapat diketahui nilai eigen dan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen, dengan demikian terbentuklah spektrum Adjacency dari graf konjugasi dari grup D 6 sebagai berikut: spec A (G(D 6 )) = 3 7. Spektrum Adjacency Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D ) Grup dihedral D = {, r, r, r 3, r 4, s, sr, sr, sr 3, sr 4 }. Dengan operasi komposisi, maka akan diketahui kelas-kelas konjugasi dari grup dihedral D. Untuk memperoleh kelas-kelas konjugasi dari grup D maka dilakukan langkah-langkah seperti pada D 6 sehingga diperoleh kelas-kelas konjugasi sebagai berikut: = {} r = r, r 4 r = r, r 3 s = {s, sr, sr, sr 3, sr 4 } Dengan demikian berdasarkan kelas-kelas konjugasi tersebut dapat digambarkan dalam suatu graf konjugasi dari grup (D ) sebagai berikut: Gambar 4. Graf Konjugasi D Dari graf konjugasi dari grup (D ) yang telah diperoleh dapat ditentukan matriks Adjacency sebagai berikut:

34 8 A D = r r r 3 r 4 s sr sr sr 3 sr 4 r r r 3 r 4 s sr sr sr 3 sr 4 Setelah mendapatkan matriks Adjacency maka akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A D dengan cara: det A D λi = maka diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut: λ 4 λ λ 3 λ λ λ λ λ 3 λ λ 3λ 4 λ 3 Karena det A D λi = maka diperoleh nilai eigennya yaitu: λ =, λ =, λ 3 =, λ 4 = 4. Kemudian akan dicari basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = disubstitusikan ke dalam A D λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8. Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak 6. Untuk λ = disubstitusikan ke dalam A D λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8.

35 9 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak. Untuk λ 3 = disubstitusikan ke dalam A D λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8. Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = sebanyak. Untuk λ 4 = 4 disubstitusikan ke dalam A D λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8.

36 3 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 4 = 4 sebanyak. Matriks Adjacency dengan persamaan A D λi yang telah diketahui nilai eigen dan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen, dengan demikian terbentuklah spektrum Adjacency dari graf konjugasi dari grup D sebagai berikut: spec A (G(D )) = Spektrum Adjacency Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D 4 ) Grup dihedral D 4 = {, r, r, r 3, r 4, r 5, r 6, s, sr, sr, sr 3, sr 4, sr 5, sr 6 }. Dengan operasi komposisi, maka akan diketahui kelas-kelas konjugasi dari grup dihedral D 4. Untuk memperoleh kelas-kelas konjugasi dari grup D 4 maka dilakukan langkah-langkah seperti sebelumnya sehingga kelas-kelas konjugasi dari grup D 4 sebagai berikut: = {} r = r, r 6 r = r, r 5 r 3 = r 3, r 4 s = {s, sr, sr, sr 3, sr 4, sr 5, sr 6 } Dengan demikian berdasarkan kelas-kelas konjugasi tersebut dapat digambarkan dalam suatu graf konjugasi dari grup (D 4 ) sebagai berikut:

37 3 Gambar 4.3 Graf Konjugasi D 4 Dari graf konjugasi dari grup (D 4 ) yang telah diperoleh dapat ditentukan matriks Adjacency sebagai berikut: A D 4 = Setelah mendapatkan matriks Adjacency maka akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A D 4 dengan cara det A D 4 λi = Maka diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut: ( λ) 5 λ λ 4 λ λ λ λ λ 3 λ λ 3λ 4 λ 3 λ 4λ 5 λ 4 Karena det L D 4 λi = maka diperoleh nilai eigennya yaitu: λ 5λ 6 λ 5 λ =, λ =, λ 3 =, λ 4 = 6 Kemudian akan dicari basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = disubstitusikan ke dalam A D 4 λi maka diperoleh matriks

38 tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8. 3 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak 9. Untuk λ = disubstitusikan ke dalam A D 4 λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8. Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak. Untuk λ 3 = disubstitusikan ke dalam A D 4 λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8.

39 33 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = sebanyak 3. Untuk λ 4 = 6 disubstitusikan ke dalam A D 4 λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8. Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 4 = 6 sebanyak. Matriks Adjacency dengan persamaan A D 4 λi yang telah diketahui nilai eigen dan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen, dengan demikian

40 terbentuklah spektrum Adjacency dari graf konjugasi dari grup D 4 sebagai berikut: spec A (G(D 4 )) = Pola Spektrum Adjacency Graf Konjugasi pada (D n ) Dari spektrun yang telah ditemukan maka diperoleh bentuk polinomial karakteristik dan spektrum Adjacency dari graf konjugasi dari beberapa grup dihedral di antaranya: Tabel 4. Polinomial Karakteristik Matriks Adjacency dari Beberapa Graf Konjugasi dari No Graf Konjugasi Polinomial Graf Konjugasi Grup Dihedral (D n ). Graf konjugasi D 6 λ 3 λ λ λ λ λ. Graf konjugasi D λ 4 λ λ 3 λ λ λ λ λ 3 λ λ 3λ 4 λ 3 3. Graf konjugasi D 4 λ 5 λ λ 4 λ λ λ λ λ 3 λ λ 3λ 4 λ 3 λ 4λ 5 λ 4 λ 5λ 6 λ 5 Tabel 4.3 Spektrum Adjacency dari Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D n ) No Graf Konjugasi Spektrum Graf Konjugasi. Graf konjugasi D 6 spec A D6 = 3. Graf konjugasi D spec A D = Graf konjugasi D 4 spec A D4 = 6 9 3

41 Teorema Bukti Dari tabel di atas dapat dirumuskan teorem berikut: Polinomial karakteristik matriks adjacency A D n pada graf konjugasi dari grup dihedral D n untuk n ganjil dan n 3 adalah P(λ) = λ λ n λ λ λ λ n n λ n λ + (n n) λ n λ n λ λ Diketahui grup dihedral D n = {, r, r,, r n, s, sr, sr,, sr n }. n + n + Untuk n ganjil diperoleh bahwa D n = {, r },, r jika dioperasikan dengan opersi komposisi ( ) di D n maka akan menghasilkan unsur-unsur yang saling konjugasi. Dengan demikian terbentuklah graf konjugasi D n yang mempunyai himpunan titik {, r, r,, r n, s, sr, sr,, sr n } dengan n Z ganjil dan himpunan titiknya sebanyak n. Karena graf konjugasi maka berlaku g = xhx untuk setiap x D n dan unsur g D n dan h D n adalah unsur yang saling terhubung langsung di graf konjugasi D n. Dengan unsur yang saling terhubung langsung maka diperoleh matrik keterhubungan titik: A D n = r r r n s sr sr sr n 35 Dengan melakukan eliminasi Gaus-Jordan pada A D n λi maka diperoleh polinomial karakteristik P(λ) = λ λ n λ λ λ λ n n λ n λ + (n n) λ n λ n λ λ

42 Teorema Bukti Spektrum adjacency graf konjugasi dari grup dihedral D n untuk n ganjil dan n 3 adalah spec A (G(D n )) = n, 3(n) n Berdasarkan Teorema maka diperoleh nilai eigen matriks adjacency graf konjugasi dari grup dihedral D n untuk n ganjil dan n 3 adalah λ =, λ =, λ 3 =, λ 4 = 6 Akan diperoleh multiplisitas untuk masing-masing nilai eigen tersebut yaitu m(λ ) = 3(n), m(λ ) =, m(λ 3 ) = n, m(λ 4) = Dengan demikian, maka diperoleh spec A (G(D n )) = n 3(n) n 36

43 37 B. Spektrum Laplace Graf Konjugasi dari Grup Dihedral D n. Spektrum Laplace Graf Konjugasi dari Grup Dihedral D 6 Grup dihedral D 6 = {, r, r, s, sr, sr }. Dengan operasi komposisi diperoleh tabel cayley sebagai berikut: Tabel 4.4 Tabel Cayley Grup Dihedral-6 D 6 r r s sr sr r r s sr sr r r r sr s sr r r r sr sr s s s sr sr r r sr sr sr s r r sr sr s sr r r Berdasarkan tabel Cayley di atas dapat ditunjukkan kelas-kelas konjugasi (D 6 ). Dikatakan saling konjugasi jika ada x D 6 sehingga g = xhx. Karena g = xhx maka akan diperoleh h = x g(x ).. Akan ditunjukkan bahwa g = dan h = saling konjugasi. Ambil g = dan h = dimana D 6, pilih x = maka diperoleh g = xhx = = = g = dan h = saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi =. Sehingga kelas konjugasi [] adalah {}.. Akan ditunjukkan bahwa r dan r saling konjugasi. Ambil g = r dan h = r dimana r, r D 6, pilih x = s maka diperoleh g = xhx r = sr s r = sr s r = r

44 38 r dan r saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi r = sr s. Sehingga kelas konjugasi r = {r, r }. 3. Akan ditunjukkan bahwa s, sr, sr saling konjugasi. a) Akan ditunjukkan s, sr saling konjugasi Ambil g = s dan h = sr dimana s, sr D 6, pilih x = r maka diperoleh g = xhx s = r sr(r ) s = sr r s = s s dan sr saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi r = sr s. b) Akan ditunjukkan sr, sr saling konjugasi Ambil g = sr dan h = sr dimana sr, sr D 6, pilih x = r maka diperoleh g = xhx sr = r sr (r ) sr = sr s dan sr saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi sr = r sr (r ). c) Akan ditunjukkan sr, s saling konjugasi Ambil g = sr dan h = s dimana sr, s D 6, pilih x = r maka diperoleh g = xhx sr = r s(r ) sr = sr r sr = sr s dan sr saling konjugasi, karena ada x D 6 yang memenuhi sr = r s(r ). Dari poin a), b), dan c) terbentuklah suatu kelas konjugasi s = { s, sr, sr } dimana s, sr dan sr saling konjugasi. Dari poin,, dan 3 maka terbentuklah kelas-kelas konjugasi dari grup D 6 yaitu: = {} r = r, r s = {s, sr, sr }

45 Dengan demikian berdasarkan kelas-kelas tersebut dapat digambarkan dalam suatu graf konjugasi D 6 sebagai berikut: 39 grup D 6 : A(D 6 ) = Gambar 4.4 Graf Konjugasi D 6 Dari graf tersebut dapat diketahui matriks adjacency dari graf konjugasi r r s sr sr r r s sr sr Kemudian dapat ditentukan matriks derajat dari graf konjugasi grup D 6 : D D 6 = Dengan demikian diperoleh matriks Laplace sebagai berikut: L D 6 = D D 6 A(D 6 )

46 4 = = Setelah mendapatkan matriks Laplace maka akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks Laplace tersebut det L D 6 λi = det det λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ = = Matriks tersebut dapat direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gaus yang terdapat pada software Maple 8 sebagai berikut:

47 4 Karena det L D 6 λi merupakan hasil perkalian diagonal matriks segitiga maka diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut: det L D 6 λi λ + λ = λ( λ) + λ Karena det L D 6 λi = maka, λ λ 4λ λ ( 3 + λ)λ + λ λ +λ det L D 6 λi = λ( λ) +λ Sehingga diperoleh nilai eigenya: λ =, λ =, λ 3 = 3 λ λ 4λ +3 +λ ( 3+λ)λ +λ Kemudian akan dicari basis untuk ruang vektor eigen dari matriks tersebut. Untuk λ = disubstitusikan ke dalam L D 6 λi, sehingga diperoleh: = = Selanjutnya hasil matriks tersebut akan direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8, maka diperoleh Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak 3. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = disubstitusikan ke dalam L D 6 λi, sehingga diperoleh:

48 = Selanjutnya hasil matriks tersebut akan direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8, maka diperoleh 4 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak. Selanjutnya akan ditentukan basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3 disubstitusikan ke dalam L D 6 λi, sehingga diperoleh: = Selanjutnya hasil matriks tersebut akan direduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8, maka diperoleh

49 43 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = 3 sebanyak. Matriks Laplace dengan persamaan L D 6 λi dapat diketahui nilai eigen dan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen, dengan demikian terbentuklah spektrum Laplace dari graf konjugasi dari grup D 6 sebagai berikut: spec L D6 = 3 3. Spektrum Laplace Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D ) Kelas-kelas konjugasi dari grup D sebagai berikut: = {} r = r, r 4 r = r, r 3 s = {s, sr, sr, sr 3, sr 4 } Dengan demikian berdasarkan kelas-kelas konjugasi tersebut dapat digambarkan dalam suatu graf konjugasi dari grup (D ) sebagai berikut: Gambar 4.5 Graf Konjugasi D

50 44 Dari graf konjugasi dari grup (D ) yang telah diperoleh dapat ditentukan matriks Laplace sebagai berikut: L D = D D A(D ) L D = Setelah mendapatkan matriks Laplace maka akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks L D dengan cara: det L D λi = maka diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut: λ λ λ λ +λ 4 λ λ 8λ +5 4+λ λ 7λ+ λ 3 λ 6λ+5 λ Karena det L D λi = maka diperoleh nilai eigennya yaitu: ( 5+λ)λ +λ λ =, λ =, λ 3 = 5. Kemudian akan dicari basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = disubstitusikan ke dalam L D λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8.

51 45 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak 4. Untuk λ = disubstitusikan ke dalam L D λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8. Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak. Untuk λ 3 = 5 disubstitusikan ke dalam L D λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8. Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = 5 sebanyak 4. Matriks Laplace dengan persamaan L D λi yang telah diketahui nilai eigen dan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen, dengan demikian terbentuklah spektrum Laplace dari graf konjugasi dari grup D sebagai berikut: spec L D = 5 4 4

52 46 3. Spektrum Laplace Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D 4 ) Grup dihedral D 4 = {, r, r, r 3, r 4, r 5, r 6, s, sr, sr, sr 3, sr 4, sr 5, sr 6 }. Dengan operasi komposisi, maka akan diketahui kelas-kelas konjugasi dari grup dihedral D 4 sebagai berikut: = {} r = r, r 6 r = r, r 5 r 3 = r 3, r 4 s = {s, sr, sr, sr 3, sr 4, sr 5, sr 6 } Dengan demikian berdasarkan kelas-kelas konjugasi tersebut dapat digambarkan dalam suatu graf konjugasi dari grup (D 4 ) sebagai berikut: Gambar 4.6 Graf Konjugasi D 4 Dari graf konjugasi dari grup (D 4 ) yang telah diperoleh maka dapat ditentukan matriks Laplace sebagai berikut: L D 4 = D D 4 A(D 4 )

53 L D 4 = Setelah mendapatkan matriks Laplace maka akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks L D 4 dengan cara det L D 4 λi = 47 Maka diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut: λ λ 3 λ λ + λ 3 6 λ λ λ λ λ λ + 8 λ 5 λ λ + λ 4 λ 9λ + 4 λ 3 λ 8λ + 7 λ (λ 7)λ + λ Karena det L D 4 λi = maka diperoleh nilai eigennya yaitu: λ =, λ =, λ 3 = 7 Kemudian akan dicari basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = disubstitusikan ke dalam L D 4 λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8.

54 48 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak 5. Untuk λ = disubstitusikan ke dalam L D 4 λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8. Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = sebanyak 3. Untuk λ 3 = 7 disubstitusikan ke dalam L D 4 λi maka diperoleh matriks tereduksi dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 8.

55 49 Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat dikatakan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 3 = 7 sebanyak 6. Matriks Laplace dengan persamaan L D 4 λi yang telah diketahui nilai eigen dan banyaknya basis untuk ruang vektor eigen, dengan demikian terbentuklah spektrum Laplace dari graf konjugasi dari grup D 4 sebagai berikut: spec L D4 = Pola Spektrum Laplace Graf Konjugasi pada (D n ) Dari spektrun yang telah ditemukan maka diperoleh bentuk polinomial karakteristik dan spektrum Laplace dari graf konjugasi dari beberapa grup dihedral di antaranya: Tabel 4.5 Polinomial Karakteristik Matriks Laplace dari Beberapa Graf Konjugasi dari No Graf Konjugasi Polinomial Graf Konjugasi Grup Dihedral (D n ). Graf konjugasi D 6. Graf konjugasi D λ +λ λ( λ) +λ λ λ λ λ +λ λ λ 8λ +5 4+λ λ λ 4λ +3 +λ 4 λ 7λ+ λ 3 ( 3+λ)λ +λ

56 5 λ 6λ +5 λ ( 5+λ)λ +λ 3. Graf konjugasi D 4 λ λ 3 λ λ +λ λ λ λ λ 3 6 λ λ +8 λ 5 λ λ + λ 4 λ 9λ +4 λ 3 λ 8λ +7 λ (λ 7)λ +λ Tabel 4.6 Spektrum Laplace dari Beberapa Graf Konjugasi dari Grup Dihedral (D n ) No Graf Konjugasi Spektrum Graf Konjugasi. Graf konjugasi D 6 spec L D6 = 3 3. Graf konjugasi D spec L D = Graf konjugasi D 4 spec L D4 = Teorema 3 Polinomial karakteristik matriks Laplace L D n pada graf konjugasi dari grup dihedral D n untuk n ganjil dan n 3, adalah λ λ n λ λ λ n n λ λ n λ+(n n ) λ n λ n λ λ Bukti Diketahui grup dihedral D n = {, r, r,, r n, s, sr, sr,, sr n }. n + n + Untuk n ganjil diperoleh bahwa D n = {, r },, r jika dioperasikan dengan opersi komposisi ( ) di D n maka akan menghasilkan unsur-unsur yang saling konjugasi. Dengan demikian terbentuklah graf konjugasi D n yang mempunyai himpunan titik {, r, r,, r n, s, sr, sr,, sr n } dengan n Z ganjil dan himpunan titiknya sebanyak n. Karena graf konjugasi maka berlaku g = xhx untuk setiap x D n dan unsur g D n dan h D n adalah unsur yang

57 saling terhubung langsung di graf konjugasi D n. Dengan unsur yang saling terhubung langsung maka diperoleh matrik keterhubungan titik: A D n = r r r n s sr sr sr n 5 Dan matriks derajat: D D n = r r r n s sr sr sr n n n n n Maka matriks Laplace graf konjugasi dari grup dihedral (D n ) adalah: L D n = r r n r s sr sr sr n n n n n Setelah mendapatkan matriks Laplace akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut dengan cara det L D n λi = sehingga diperoleh matriks dari L D n λi sebagai berikut:

58 5 (L D n λi) = r r r n s sr sr sr n λ λ n n λ λ λ n λ λ λ n λ λ n λ+(n n) λ n λ n λ n λ n λ λ Teorema 4 Bukti Polinomial karakteristik dari L D n λi adalah det(l D n λi) merupakan hasil perkalian semua unsur diagonal utama matriks segitiga atas, sehingga diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut: p λ = λ λ n λ λ λ n n λ λ n λ + (n n) λ n λ n λ λ Spektrum Laplace graf konjugasi dari grup dihedral D n untuk n ganjil dan n 3 adalah spec L (G(D n )) = n n +3 n n Berdasarkan Teorema maka diperoleh nilai eigen matriks adjacency graf konjugasi dari grup dihedral D n untuk n ganjil dan n 3 adalah λ =, λ =, λ 3 = n Akan diperoleh multiplisitas sikel untuk masing-masing nilai eigen tersebut yaitu m(λ ) = n +3, m(λ ) = n, m(λ 3) = n Dengan demikian, maka diperoleh spec L (G(D n )) = n n + 3 n n

59 53 C. Spektrum Laplace Graf Komplemen dari Graf Konjugasi pada (D n ). Spektrum Laplace Graf Komplemen dari Graf Konjugasi pada (D 6 ) Grup dihedral D 6 memiliki anggota yaitu D 6 = {, r, r, s, sr, sr }. Kelaskelas konjugasi dari grup dihedral D 6 adalah =. r = r, r. s = s, sr, sr. Setelah mendapatkan kelas konjugasinnya, maka dapat digambar kedalam bentuk graf, yaitu dengan memisalkan setiap elemen pada D 6 sebagai titik dan kelas konjugasinya sebagai titik-titik yang terhubung. Kemudian dari graf konjugasi tersebut dapat ditentukan graf komplemennya. Dengan menggunakan bantuan aplikasi MAPLE, maka didapatkan (a) Graf konjugasi D 6 (b) Graf komplemen graf konjugasi D 6 Gambar 4.7 Graf Konjugasi D 6 dan Komplemennya Graf komplemen dari graf konjugasi D 6 dapat dibaca menggunakan matriks ketetanggaan (Adjacency Matrix A D 6 ) dan matriks derajat (Degree Matrix D D 6 ). Penjumlahan dari kedua matriks tersebut dapat disebut sebagai matriks Laplace (L D 6 ), sehingga matriks Laplace dari D 6 adalah

60 Dalam menentukan nilai eigen, maka dapat mencari persamaan polinomial dengan variabel λ di mana skalar-skalar yang memenuhi persamaan polinomial tersebut adalah nilai eigennya. Nilai eigen dari matriks D 6 dapat diketahui dengan menggunakan det L D 6 λi = det det λ 4 λ 4 λ 3 λ 3 λ 3 λ λ λ λ λ λ λ = λ 6 λ λ 4 79λ 3 + 6λ 96λ = = Dengan menggunakan persamaan polinomial diatas, maka dapat ditentukan nilai eigen dari D 6 adalah, 3, 4, dan 6. Menentukan basis ruang vektor eigen pada setiap nilai eigen dapat menggunakan L D 6 λi = Untuk nilai eigen, maka basis ruang vektor eigen dari D 6 adalah L D 6 I x =

61 x x x 3 x 4 x 5 x 6 = Sehingga matriks ruang vektor eigen yang memenuhi pada saat λ = adalah Sehingga dari matriks ruang vektor eigen pada saat λ = dapat dicari menggunakan reduksi matriks eselon baris sehingga matriksnya berbentuk Dari matriks tersebut terlihat bahwa pada saat λ = memiliki basis sebanyak. Dengan menggunakan langkah yang sama, dapat ditentukan banyaknya basis pada saat λ bernilai 3, 4, dan 6 secara berurutan adalah,, dan. Sehingga didapatkan Spektrum Laplace pada graf komplemen D 6 adalah specl D 6 = Spektrum Laplace Graf Komplemen dari Graf Konjugasi pada D 8 Dengan langkah yang sama seperti sebelumnya maka kelas konjugasi dari D 8 adalah = r = r, r 3 r = r s = s, sr sr = {sr, sr 3 } Didapatkan graf konjugasi dan komplemennya dari D 8 sebagai berikut

62 56 (b) Graf Komplemen Graf Konjugasi D 8 (a) Graf Konjugasi D 8 Gambar 4.8 Graf Konjugasi D 6 dan Komplemennya Diperoleh matriks Laplace dari D 8 (L D 8 ) adalah L D 8 = D D 8 A D Kemudian dengan menggunakan matriks sebagai berikut L D 8 λi =, maka didapatkan

63 57 7 λ 6 λ 7 λ 6 λ 6 λ 6 λ 6 λ 6 λ sehingga dapat didapatkan persamaan polinomial dari determinan matriks tersebut adalah λ 8 5λ λ 6 63λ λ λ λ λ = Maka didapatkan spektrum Laplace graf komplemen graf konjugasi D 8 sebagai berikut specl D 8 = Spektrum Laplace Graf Komplemen dari Graf Konjugasi pada D Kelas konjugasi dari D adalah = r = r, r 4 r = r, r 3 s = {s, sr, sr, sr 3, sr 4 } Maka didapatkan graf konjugasi dan graf komplemen D sebagai berikut

64 58 (a) Graf konjugasi D (b) Graf komplemen graf konjugasi D Gambar 4.9 Graf Konjugasi D dan Komplemennya Maka dapat ditentukan matriks Laplace dari D L D adalah L D = D D A D Kemudian dengan menggunakan matriks sebagai berikut L D 8 λi =, maka didapatkan

65 59 9 λ 8 λ 8 λ 8 λ 8 λ 5 λ 5 λ 5 λ 5 λ 5 λ sehingga didapatkan persamaan polinomial dari determinan matriks tersebut adalah λ 8 5λ λ 6 63λ λ λ λ λ = Maka didapatkan Spektrum Laplace graf komplemen dari graf konjugasi D sebagai berikut specl D = Spektrum Laplace Graf Komplemen dari Graf Konjugasi pada D Kelas konjugasi dari D adalah = r = r, r 5 r = r, r 4 r 3 = r 3 s = s, sr, sr 4 sr = sr, sr 3, sr 5 Maka didapatkan graf konjugasi dan graf komplemen D sebagai berikut

66 6 (a) Graf konjugasi D (b) Graf komplemen graf konjugasi D Gambar 4. Graf Konjugasi D dan Komplemennya Maka dapat ditentukan matriks Laplace dari D L D adalah L D = D D A D

67 6 Kemudian dengan menggunakan L D λi =, maka didapatkan matriks sebagai berikut λ λ λ λ λ λ 9 λ 9 λ 9 λ 9 λ 9 λ 9 λ sehingga dapat didapatkan persamaan polinomial dari determinan matriks tersebut adalah λ 6λ + 66λ 956λ λ λ λ λ λ λ λ λ = Maka didapatkan Spektrum Laplace graf komplemen graf konjugasi D sebagai berikut specl D = 9 4 Dengan cara yang sama akan diperoleh 5