Bab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor

Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi operasi + (penjumlahan vektor) dan (perkalian skalar) memenuhi aksiomaaksioma di bawah ini. "(u, v, w) Î V, "(h, k) Î F, RV Tertutup dibawah penjumlahan vektor: u + v Î V, (.) RV Komutatif: u + v v + u, (.) RV Asosiatif: u + (v + w) (u + v) + w, (.) RV Adanya suatu identitas penjumlahan: $ V Î V: V + u u + V u, (.) RV Adanya invers penjumlahan: " u Î V, $ u Î V: u + ( u) ( u) + u V, (.) RV6 Tertutup dibawah perkalian skalar: hu Î V, (.6) RV7 Hukum distributif: h(u + v) hu + hv, (.7) RV8 Hukum distributif: (h + k)u hu + ku, (.8) RV9 h(ku) (hk)u, (.9) RV F.u u. (.) CONTOH.. Himpunan V R n {(,,, n ): i Î R, n Î N} dengan operasi yang didefinisikan berikut ini: (,,, n ) + (y, y,, y n ) ( + y, + y,, n + y n ), k(,,, n ) (k, k,, k n ) untuk setiap (,,, n ), (y, y,, y n ) Î R n dan k Î R, merupakan suatu ruang vektor atas R. 9 Didit B. Nugroho

9 Bab Ruang Vektor Bahasan. Diambil sebarang vektor (,,, n ), y (y, y,, y n ), z (z, z,, z n ) Î R n dan h, k Î R. RV + y ( + y, + y,, n + y n ) Î R n karena setiap ( i + y i ) Î R. RV + y ( + y, + y,, n + y n ) (y +, y +,, y n + n ) y +. RV ( + y) + z ( + y, + y,, n + y n ) + (z, z,, z n ) ( + y + z, + y + z,, n + y n + z n ) (,,, n ) + (y + z, y + z,, y n + z n ) + (y + z). RV $ V (,,, ) Î R n : V + + V. RV " Î V, $ (,,, n ) Î R n : + ( ) ( ) + V. RV6 k() (k, k,, k n ) Î R n karena setiap k i Î R. RV7 k( + y) k( + y, + y,, n + y n ) (k( + y ), k( + y ),, k( n + y n )) (k + ky, k + ky,, k n + ky n ) (k, k,, k n ) + (ky, ky,, ky n ) k(,,, n ) + k(y, y,, y n ) k + ky. RV8 (h + k) (h + k)(,,, n ) ((h + k), (h + k),, (h + k) n ) (h + k, h + k,, h n + k n ) (h, h,, h n ) + (k, k,, k n ) h + k RV9 h(k) h(k, k,, k n ) (hk, hk,, hk n ) hk(,,, n ) (hk). RV R..(,,, n ) (.,.,,. n ) (,,, n ). Perlu dicatat bahwa himpunan V {(,,, ): Î R } dengan operasi yang didefinisikan sama seperti Contoh.. juga merupakan ruang vektor atas R. CONTOH.. (M n n (F), +, ) adalah suatu ruang vektor dibawah operasi penjumlahan matriks dan perkalian skalar matriks. CONTOH.. Jika P n [](R) {a + a + a + + a k k : a i Î R, k, n Î N, k n} menyatakan himpunan semua polinomial berderajat lebih kecil atau sama dengan n dengan koefisiennya adalah bilangan real, maka P n [](R) adalah suatu ruang vektor dibawah penjumlahan polinomial dan perkalian skalar polinomial. CONTOH.. Himpunan V {f : [,] Ì R R : f kontinu} adalah suatu ruang vektor atas R dibawah operasi penjumlahan fungsi dan perkalian fungsi dengan skalar. CONTOH.. Himpunan V {(a,b) ½ a ³, b ³ } bukanlah ruang vektor atas R sebab tidak memenuhi aksioma kelima dari definisi ruang vektor yaitu untuk setiap (a,b) Î V tidak ada (a,b) ( a, b) Î V sehingga (a,b) + ( (a,b) ) (,). TEOREMA.. Pada sembarang ruang vektor V(F), berlaku " k Î F, k V V. Bukti. Dipunyai k V k( V + V ) k V + k V. Oleh karena itu k V k V k V, atau V k V. n Didit B. Nugroho

Bab Ruang Vektor 9 TEOREMA.. Pada sembarang ruang vektor V(F), berlaku " u Î V, F.u V. Bukti. Dipunyai F.u ( F + F )u F.u + F.u. Oleh karena itu F.u F.u F.u, atau V F.u. n TEOREMA.. Pada sembarang ruang vektor V(F), k Î F, u Î V, berlaku ku V Þ k F atau u V. Bukti. Diandaikan bahwa k ¹, maka k mempunyai suatu invers perkalian, k, sehingga k k F. Jadi ku V Þ k ku k V. Berdasarkan Teorema.., k V V, dan karena aksioma RV, k ku.u u, maka disimpulkan u V. n TEOREMA.. Pada sembarang ruang vektor V(F), berlaku " k Î F, " u Î V, ( k)u k( u) (ku). Bukti. Dipunyai F.u (k + ( k))u ku + ( k)u. Karena itu (ku) + F.u ( k)u, yang berarti (ku) ( k)u. Sejalan dengan itu, V k(u u) ku + k( u). Karena itu (ku) + V k( u), yang berarti (ku) k( u). n. Ruang Bagian Vektor DEFINISI.. Diberikan ruang vektor V(F) dan U Í V dengan U Æ. Himpunan U disebut ruang bagian vektor (vector subspace) dari V jika U terhadap operasi yang sama dengan V juga merupakan ruang vektor. CONTOH... Jika V adalah ruang vektor atas R, maka { V } dan V adalah ruang bagian dari V dan disebut ruang bagian tak sejati.. Jika V R yaitu ruang vektor berdimensi tiga atas R, maka semua garis dan bidang datar yang melalui titik pangkal koordinat merupakan himpunan vektorvektor sebagai ruang bagian dari V R. Di bawah ini disajikan suatu kriteria yang lebih mudah untuk ruang bagian. TEOREMA.. Diberikan ruang vektor V(F). Selanjutnya U Í V, U Æ, adalah suatu ruang bagian dari V jika hanya jika " k Î F dan (u, v) Î U berlaku u + kv Î U. Didit B. Nugroho

96 Bab Ruang Vektor Bukti. Jelas bahwa jika U merupakan ruang bagian dari V maka U merupakan ruang vektor dengan operasi yang didefinisikan untuk V yang diantaranya memenuhi aksioma u + v Î U dan kv Î U, atau dengan kata lain u + kv Î U untuk setiap u, v Î U dan k Î F. Akan dibuktikan sebaliknya. Berdasarkan yang diketahui, U tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Akibatnya diperoleh ( )v v Î U dan v + ( v) Î U untuk setiap v Î U. Penjumlahan vektor di U adalah sama seperti di V, sehingga dipenuhi sifat asosiatif dan komutatif. Sedangkan sifatsifat yang lain juga dipenuhi oleh U karena sifatsifat tersebut diambil dari V. n CONTOH.. Tunjukkan bahwa X {A Î M n (F): tr(a) F } adalah suatu ruang bagian dari M n (F) (himpunan semua matriks persegi dengan unsurunsurnya adalah anggota F). Penyelesaian. Diambil A, B Î X, k Î F, maka tr(a + kb) tr(a) + k.tr(b) F + k F F. Karena itu A + kb Î X, yang berarti X adalah ruang bagian dari M n (F). CONTOH.. Diberikan sembarang U Î M n (F). Tunjukkan bahwa C U {A Î M n (F): AU UA} adalah suatu ruang bagian dari M n (F). Penyelesaian. Diambil A, B Î C U dan k Î F, maka AU UA dan BU UB. Dipunyai (A + kb)u AU + kbu UA + kub U(A + kb), yang berarti bahwa A + kb Î X. Karena itu C U adalah suatu ruang bagian dari M n (F) dan C U dinamakan komutator dari U. CONTOH.. Jika A suatu vektor di R maka W {B Ì R : B A } merupakan suatu ruang bagian dari R. Bahasan. Diambil sembarang B, B Î W dan k Î R, yang berarti B A dan B A. Karena itu (B + kb ) A B A + kb A yang berarti (B + B ) Î W, dan karena itu W adalah suatu ruang bagian dari R. TEOREMA.. Jika U, W adalah ruang bagian dari ruang vektor V(F), maka U Ç W juga merupakan ruang bagian dari V. Bukti. Diambil sebarang X, X Î U Ç W dan k Î F. Jelas bahwa X, X Î U dan X, X Î W. Karena U adalah ruang bagian maka X + kx Î U, dan karena W adalah ruang bagian maka X + kx Î W. Jadi X + kx Î U Ç W, dan karena itu U Ç W juga merupakan ruang bagian untuk V. n. Kombinasi Linear DEFINISI.. Diberikan (k, k,, k n ) Î F n. Jumlahan vektorial n å i k i v i k.v + k.v + + k n.v n dinamakan kombinasi linear (linear combination) dari vektorvektor v i Î V, i n. Didit B. Nugroho

Bab Ruang Vektor 97 DEFINISI.. Diberikan vektorvektor v i Î V(F), i n. Jika setiap vektor di V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari setiap v i, maka suatu keluarga {v, v,, v n } Ì V dikatakan merentang (span) atau membangun (generate) V. Dengan kata lain untuk setiap v Î V terdapat (k, k,, k n ) Î F n sehingga k v + k v + + k n v n v. CONTOH.. Karena a b a c d + b + c + d, maka matriksmatriks,,, merentang M (R). CONTOH.. Sembarang polinomial berderajat paling besar dua, katakan a + b + c Î P [](R), dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari,, dan + : a + b + c (a c) + (b + c)( ) + c( + ). CONTOH.. Apakah v (,, ), v (,, ), v (,, ) merentang R? Penyelesaian. Diambil sebarang vektor v (a, a, a ) Î R dan dibentuk kombinasi linear k v + k v + k v v dengan (k, k, k ) Î R. Persamaan tersebut dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks seperti berikut: k a k a. k a Selanjutnya dengan menggunakan uji peringkat akan diselidiki apakah sistem tersebut konsisten atau tidak untuk semua nilai a, a, a. Dimisalkan matriks koefisien sistem adalah A, dan diamati bahwa det(a) yang berarti bahwa rk(a) <. Diambil matriks bagian persegi dari matriks [A v] yaitu B, diperoleh det(b) ¹ yang berarti rank(a v). Karena rank(a) < rank(a v) berarti sistem tersebut tidak konsisten, akibatnya tidak ada skalarskalar k, k, k Î R sehingga k v + k v + k v v untuk v (,, ). Jadi v, v, v tidak merentang R. Berikut ini disajikan pengertian yang berurutan dari suatu ruang vektor V(F) yang direntang oleh vektorvektor v, v,, v n, w Î F m, dan diambil A sebagai matriks m n dengan kolomkolomnya adalah v, v,, v n : A [v v v n ]. V adalah ruang vektor yang direntang oleh v, v,, v n. artinya Setiap w Î V adalah kombinasi linear dari v, v,, v n. artinya Terdapat,,, n Î F sehingga w v + v + + n v n. artinya Sistem linear AX w adalah konsisten. Didit B. Nugroho

98 Bab Ruang Vektor TEOREMA.. Jika {v, v,, v n } Í V merentang V, maka {u, v, v,, v n } Í V juga merentang V. Bukti. Berdasarkan n å i a iv i F.u + åa iv i.n DEFINISI.. Rentangan dari suatu keluarga vektorvektor {v, v,, v n } adalah himpunan semua kombinasi linear berhingga dari v i, dan dinotasikan áv, v,, v n ñ. TEOREMA.. Diberikan suatu ruang vektor V(F). Selanjutnya áv, v,, v n ñ Í V merupakan suatu ruang bagian dari V. Bukti. Diambil k Î F dan u n å i n i a i v i, v åb i v i n i di áv, v,, v n ñ (beberapa koefisien mungkin ), maka n å u + kv ( a + kb ) i i i v i Î áv, v,, v n ñ. n AKIBAT.. áv, v,, v n ñ Í V adalah ruang bagian terkecil dari V yang memuat v, v,, v n. Bukti. Diambil U áv, v,, v n ñ. Dicatat bahwa U memuat v i untuk setiap i karena v i v + + v i +.v i + v i + + + v n, suatu kombinasi linear dari v, v,, v n. Sekarang diambil sebarang X sebagai ruang bagian dari V yang memuat elemenelemen v, v,, v n. Diambil a, a,, a n sebagai skalarskalar. Dipunyai a v, a v,, a n v n Î X berdasarkan sifat suatu ruang bagian, dan lebih dari itu dipunyai a v + a v Î X, (a v + a v ) + a v Î X, dan seterusnya sehingga pada akhirnya diperoleh a v + a v + + a n v n Î X. Jadi telah ditunjukkan bahwa sebarang ruang bagian yang memuat v, v,, v n memuat semua kombinasi linear dari v, v,, v n, karena itu himpunan semua kombinasi linear U adalah ruang bagian terkecil dari V yang memuat v, v,, v n.n TEOREMA.. Diberikan ruang vektor V(F) dan (u, v) Î V, k Î F { F }, maka áu, vñ áu, kvñ. Bukti. Berdasarkan kesamaan au + bv au + (bk )kv. n TEOREMA.. Diberikan ruang vektor V(F) dan (u, v) Î V, k Î F, maka áu, vñ áv, u + kvñ. Bukti. Berdasarkan kesamaan au + bv a(u + kv) + (b ak)v. n Didit B. Nugroho

Bab Ruang Vektor 99. Bebas Linear DEFINISI... Vektorvektor v i Î V, i n, dikatakan bebas linear (linear independent) jika (k, k,, k n ) Î F n maka n å i k i v i V Þ k k k n F.. Vektorvektor v i Î V, i n, dikatakan tidak bebas linear (linear dependent) jika å $ (k, k,, k n ) Î F n { V } sehingga k i v i V. CONTOH.. Apakah tiga vektor berikut bebas linear di V R? 6 v, v, dan v. 7 Penyelesaian. Jika diperhatikan dengan sungguhsungguh maka terlihat bahwa ketiga vektor tersebut mempunyai hubungan 6 +, 7 atau v + v v yang ekuivalen dengan v + v v V. Hal tersebut berarti bahwa kombinasi linear k v + k v + k v V mempunyai penyelesaian tak trivial yaitu k k dan k. Karena itu ketiga vektor tersebut tidak bebas linear. CONTOH.. Apakah vektorvektor di bawah ini bebas linear di V R? v 6, v 8, dan v. Penyelesaian. Dimisalkan terdapat (k, k, k ) Î R sehingga k v + k v + k v V. Penyelesaian dari sistem tersebut adalah k k k dan tidak ada penyelesaian lain. Oleh karena itu ketiga vektor tersebut adalah bebas linear. CONTOH.. Apakah e, e, e bebas linear di V R? Penyelesaian. Untuk sembarang k, k, k Î R, diambil kombinasi linear k e + k e + k e V. Jelas bahwa sistem tersebut hanya mempunyai penyelesaian trivial k k k. Oleh karena itu e, e, e adalah bebas linear. n i Didit B. Nugroho

Bab Ruang Vektor CONTOH.. Apakah e, e bebas linear di ruang fungsi R R? Penyelesaian. Untuk sembarang (k, k ) Î R diambil kombinasi linear k e + k e. Untuk diperoleh k + k, dan untuk diperoleh k e + k e atau k + k e (karena e ¹ ). Dengan menyelesaikan kedua persamaan tersebut diperoleh k k. Jadi e, e adalah bebas linear. CONTOH.. Diberikan u dan v sebagai vektorvektor yang bebas linear di suatu ruang vektor atas field R. Tunjukkan bahwa vektor u v dan y u + v adalah bebas linear. Penyelesaian. Diasumsikan bahwa a(u v) + b(u + v) dengan a, b Î R, yang dapat dituliskan menjadi (a + b)u + (b a)v. Karena u dan v adalah bebas linear, koefisienkoefisien di atas haruslah nol, ini berarti a + b dan b a, yang memberikan hasil a b. Hal ini membuktikan bahwa u v dan u + v adalah bebas linear. TEOREMA.. Diberikan A Î M m n (F) dan X Î F n. Kolomkolom dari A adalah bebas linear jika hanya jika sistem AX hanya mempunyai penyelesaian trivial. Berikut ini disajikan pengertian yang berurutan dari suatu ruang vektor V(F) yang direntang oleh vektorvektor v, v,, v n Î F m, dan diambil A sebagai matriks m n dengan kolomkolomnya adalah v, v,, v n : A [v v v n ]. Vektorvektor v, v,, v n adalah bebas linear. artinya Jika v + v + + n v n V maka i F, i n. artinya Jika A maka.!!!! n n artinya Sistem homogen AX V hanya mempunyai penyelesaian trivial. TEOREMA.. Suatu keluarga dari m vektor di F n adalah tidak bebas linear jika m > n. Ekuivalen dengan itu, setiap keluarga dari m vektor yang bebas linear di F n harus memenuhi m n. Bukti. Persamaan u + u + + m u m V ekuivalen dengan n persamaan homogen dalam m variabel. Berdasarkan Lemma.., sistem mempunyai penyelesaian tak trivial jika m > n. n Teorema berikutnya adalah suatu generalisasi yang penting dari Teorema... Didit B. Nugroho

Bab Ruang Vektor TEOREMA.. Suatu keluarga dari s vektor di áu, u,, u r ñ adalah tidak bebas linear jika s > r. Ekuivalen dengan itu, suatu keluarga bebas linear dari s vektor di áu, u,, u r ñ harus memenuhi s r. TEOREMA.. Vektorvektor u, u,, u m di V F n adalah bebas linear jika. u ¹ V ; dan. untuk setiap u k, < k m, bukanlah kombinasi linear dari u,, u k. Suatu aplikasi dari kriteria tersebut adalah hasil berikut ini. TEOREMA.. Setiap ruang bagian U dari V F n dapat dinyatakan dalam bentuk U áu, u,, u m ñ dengan m n. Bukti. Jika U { V }, tidak ada sesuatu untuk dibuktikan dalam hal ini diambil u V dan m. Jadi diasumsikan U memuat suatu vektor tak nol u, selanjutnya áu ñ Í U karena U adalah ruang bagian. Jika U áu ñ, maka bukti selesai. Jika tidak, maka U akan memuat suatu vektor u, yang bukan kombinasi linear dari u, selanjutnya áu, u ñ Í U karena U adalah suatu ruang bagian. Jika U áu, u ñ maka bukti selesai. Jika tidak, U akan memuat suatu vektor u yang bukan kombinasi linear dari u dan u. Proses ini pada akhirnya harus berhenti untuk langkah k yang dibangun oleh suatu keluarga dari k vektor bebas linear u, u,, u k, semuanya di V, dan karena itu k n. n DEFINISI.. Maksimum banyaknya vektorvektor yang bebas linear dalam suatu himpunan vektor menyatakan peringkat dari himpunan vektor. [Perlu dicatat bahwa peringkat tersebut tidak pernah lebih besar dari dimensinya.] CONTOH..6 Karena vektorvektor di A {v, v, v } pada Contoh.. adalah bebas linear, maka rk(w). CONTOH..7 Pada Contoh.. sudah diketahui bahwa ketiga vektor di A {v, v, v } adalah tidak bebas linear, yang berarti bahwa rk(a) <. Karena itu perlu ditentukan apakah ada dua vektor yang bebas linear. Di sini bisa ditunjukkan dengan mudah bahwa kombinasi linear k v + k v V hanya mempunyai penyelesaian trivial k k, yang berarti bahwa vektor v dan v adalah bebas linear. Oleh karena itu diperoleh bahwa rk(a).. Basis DEFINISI.. Suatu {v, v,, v n } Ì V adalah basis (bases) untuk V jika: (i) v, v,, v n adalah bebas linear; (ii) v, v,, v n merentang V. CONTOH.. Diberikan vektorvektor v (,, ), v (, 9, ), dan v (,, ) di V R. Apakah {v, v, v } basis untuk V R? Penyelesaian. (i) Akan ditunjukkan apakah v, v, v bebas linear yaitu k v + k v + k v V dengan k, k, k Î R, hanya mempunyai penyelesaian trivial. Didit B. Nugroho

Bab Ruang Vektor Diambil sembarang skalarskalar k, k, k dan dibentuk k 9 k. k Dimisalkan matriks koefisien sistem adalah A. Karena det(a) ¹, maka berdasarkan Akibat..(i) diperoleh bahwa sistem hanya mempunyai penyelesaian trivial, yang berarti bahwa v, v, v adalah bebas linier. (ii) Akan ditunjukkan apakah v, v, v merentang R yaitu untuk setiap w Î R terdapat skalarskalar k, k, k sehingga berlaku k v + k v + k v w. Sudah diperoleh bahwa det(a) ¹ yang berarti rk(a) dan dapat diamati juga bahwa rk(a w). Karena rk(a) rk(a w) maka sistem tersebut konsisten atau dengan kata lain v, v, v merentang R. Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa {v, v, v } merupakan basis untuk R. n CONTOH.. Tunjukkan bahwa {,,,..., } vektor P n [](R). Penyelesaian. (i) (ii) adalah basis untuk ruang Dibentuk persamaan k. + k. + k. + + k n. n. Jelas bahwa berdasarkan kesamaan dua polinimial akan diperoleh k k k k n. Jadi,,,, n adalah bebas linear. Diambil sembarang p() a + a. + a. + + a n. n Î P n [](R) dan dibentuk k. + k. + k. + + k n. n a + a. + a. + + a n. n. Jelas bahwa berdasarkan kesamaan dua polinomial dapat diambil k i a i, i,,,, n, yang berarti,,,, n merentang P n [](R). n Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh bahwa {,,,..., } selanjutnya disebut basis baku untuk P n [](R). adalah basis untuk P n [](R) yang CONTOH.. Diberikan vektor satuan e (,,, ), e (,,, ),, e n (,,,, ). Dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa e, e,, e n adalah bebas linear. Selanjutnya karena setiap vektor X (,,, n ) Î R n dapat dituliskan sebagai X e + e + + n e, maka e, e,, e n merentang R n. Oleh karena itu {e, e,, e n }adalah basis untuk R n dan disebut basis baku. DEFINISI.. Jika V direntang oleh himpunan berhingga, maka V dikatakan berdimensi berhingga (finitedimensional). Dimensi dari V, dituliskan dengan dim(v), adalah banyaknya vektor pada suatu basis untuk V. Jika V tidak direntang oleh himpunan berhingga, maka V dikatakan berdimensi tak hingga (infinitedimensional). Sebagai catatan bahwa ruang vektor nol dianggap sebagai ruang vektor berdimensi berhingga meskipun tidak mempunyai himpunan yang bebas linear (basisnya tidak ada), dan dimensi ruang vektor nol didefinisikan sama dengan. Untuk suatu ruang vektor berdimensi berhingga terdapat beberapa basis yang berbeda, semuanya adalah basis dari suatu ruang vektor berdimensi berhingga yang diberikan, tetapi mempunyai elemen yang banyaknya sama. CONTOH.. Berdasarkan Contoh.. dan.., ruang vektor R n dan P n [](R) adalah berdimensi hingga dengan dim(r n ) n dan dim(p n []) n +. Didit B. Nugroho

Bab Ruang Vektor TEOREMA.. (Hasil utama pada ruang vektor) Diberikan V adalah suatu ruang vektor berdimensi berhingga. Jika {u, u,, u m } dan {v, v,, v n } adalah basis untuk V, maka m n. Bukti. Berdasarkan hipotesis {u, u,, u m } merupakan keluarga yang bebas linear di V dan V áv, v,, v n ñ, karena itu m n berdasarkan Teorema... Di sisi lain, {v, v,, v n } adalah keluarga yang bebas linear di V dan juga V áu, u,, u m ñ, karena itu n m. Akibatnya m n. n TEOREMA.. Suatu keluarga yang bebas linear dari n vektor dalam suatu ruang vektor V, dengan dim(v) n, pasti mempunyai basis untuk V. Bukti. Diambil {v, v,, v n } sebagai keluarga bebas linear dari vektorvektor di suatu ruang bagian V, dengan dim(v) n. Harus ditunjukkan bahwa setiap vektor v Î V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v, v,, v n. Diandaikan keluarga dari vektorvektor di V adalah {v, v,, v n, v}. Keluarga ini terdiri dari n + elemen dan akibatnya bebas linear menurut Teorema... Karena itu diperoleh () k v + k v + + k n v n + k n+ v V, dengan tidak semua k, k,, k n, k n+ adalah nol. Jika k n+, diperoleh k v + k v + + k n v n V, dengan tidak semua k, k,, k n adalah nol, yang bertentangan dengan asumsi bahwa v, v,, v n adalah bebas linear. Karena itu k n+ ¹ dan dari persamaan () dapat dinyatakan v sebagai kombinasi linear dari v, v,, v n yaitu k k k n v v + v +... + vn.n k k k n+ n+ TEOREMA.. Setiap keluarga vektorvektor yang bebas linear dalam suatu ruang vektor V dapat diperluas ke suatu basis untuk V. Bukti. Diandaikan V mempunyai basis v, v,, v n dan bahwa u, u,, u m adalah keluarga vektorvektor yang bebas linear di V, maka V áv, v,, v n ñ áu, u,, u m, v, v,, v n ñ, seperti setiap u, u,, u m adalah kombinasi linear dari v, v,, v n. Dari situ akan diperoleh basis untuk V yang termasuk u, u,, u m.n AKIBAT.. Jika U Ì V adalah suatu ruang bagian dari ruang vektor V yang berdimensi berhingga, maka dim(u) dim (V). Bukti. Karena basis dari U dapat diperluas ke suatu basis dari V, maka berdasarkan hal ini bahwa banyaknya elemenelemen dari basis untuk U adalah paling banyak sama besar seperti untuk V. n CONTOH.. Tentukan suatu basis dan dimensi dari ruang yang dibangun oleh himpunan matriksmatriks simetris di M n (R). Penyelesaian. Diambil E ij Î M n (R) sebagai matriks n n dengan elemen keij sama dengan dan yang lainnya sama dengan. Untuk i < j n, diperhatikan ænö n( n ) ç matriks A ij E ij + E ji. Matriks A ij mempunyai masukan pada posisi keij è ø dan keji, dan untuk yang lainnya. Matriks tersebut bersamasama dengan n matriks E ii, i n merupakan basis untuk ruang matriksmatriks simetris. Dimensi dari ruang ini: n( n ) n( + ) + n n. n+ Didit B. Nugroho

Bab Ruang Vektor Diberikan ruang bagian U dan V dari suatu ruang vektor berdimensi berhingga W, apakah hubungan antara dim(u), dim(v), dim(u Ç V), dan dim(u + V)? TEOREMA.. dim(u + V) dim(u) + dim(v) dim(u Ç V). Bukti. Diambil w, w,, w r sebagai suatu basis dari U Ç V. Ini diperluas ke suatu basis w, w,, w r, u, u,, u m untuk U dan diperluas ke suatu basis w, w,, w r, v, v,, v n untuk V. Jadi dim(u Ç V) r, dim(u) r + m, dim(v) r + n. Diklaim bahwa w, w,, w r, u, u,, u m, v,, v n adalah suatu basis untuk U + V. Jika y Î U + V, maka y u + v untuk suatu u Î U dan v Î V. Jadi u a w + + a r w r + b u + + b m u m untuk suatu a i dan b j, serta v c w + + c r w r + d v + + d n v n untuk suatu c i dan d j. Diperoleh y u + v (a + c )w + + (a r + c r )w r + b u + + b m u m + d v + + d n v n yaitu suatu kombinasi linear dari unsurunsur w, w,, w r, u, u,, u m, v,, v n dan karena itu membentuk suatu himpunan rentangan untuk U + V. Sekarang akan ditunjukkan unsurunsur tersebut adalah bebas linear. Diandaikan dipunyai suatu relasi linear () a w + + a r w r + b u + + b m u m + c v + + c n v n, maka () h a w + + a r w r + b u + + b m u m c v c n v n Î U Ç V. Karena w, w,, w r adalah suatu basis untuk U Ç V maka harus dipunyai h d w + + d r w r untuk suatu d i. Dari () diperoleh d w + + d r w r c v c n v n dan karena itu d w + + d r w r + c v + + c n v n. Tetapi karena w, w,, w r, v, v,, v n adalah suatu basis untuk V, secara khusus adalah suatu himpunan bebas linear, maka diperoleh d d r c c n. Karena itu, dari (), dipunyai h. Selanjutnya, dari () akan diperoleh a w + + a r w r + b u + + b m u m. Tetapi karena w, w,, w r, u, u,, u m adalah suatu basis untuk U, secara khusus adalah suatu himpunan bebas linear, maka diperoleh a a r b b m. Jadi telah ditunjukkan bahwa semua koefisien di () adalah dan karena itu unsurunsur w, w,, w r, u, u,, u m, v,, v n adalah bebas linear. Telah ditunjukkan sebelumnya bahwa unsurunsur tersebut membentuk suatu himpunan rentangan dan karena itu menjadi suatu basis untuk U + V. Jadi dimensi dari U + V, yaitu banyaknya elemen dalam suatu basis, adalah r + m + n. Jadi dipunyai dim(u + V) r + m + n (r + m) + (r + n) r dim(u) + dim(v) dim(u Ç V). n CONTOH..6 Diberikan W R, U áu, u ñ dengan u (,,, ) dan u (, 7,, ), dan V {(,,, ): }. Tentukan dim(u), dim(v), dim(u + V), dan dim(u Ç V). U direntang oleh U, U tetapi apakah unsurunsur tersebut bebas linear? Penyelesaian. Jika a u + a u U, maka (a, a,, ) + ( a, 7a, a, a ) (,,, ) dan karena itu a dan a. Jadi unsurunsur u dan u adalah bebas linear dan membentuk suatu basis untuk U. Jadi dim(u). Didit B. Nugroho

Bab Ruang Vektor V mempunyai basis {e, e, e } dengan e (,,, ), e (,,, ) dan e (,,, ) sehingga dim(v). Diperhatikan bahwa e (,,, ) (, 7,, ) + (, 7,, ) u + (, 7,, ) dan (, 7,, ) Î V, sehingga e Î U + V. Jadi e, e, e, e Î U + V dan unsurunsur tersebut merentang R sehingga U + V R. Karena itu dim(u + V). Berdasarkan Teorema.., maka dim(u) + dim(v) dim(u + V) +. TEOREMA.. Diambil {u, u,, u n } adalah himpunan vektorvektor di R n. {u, u,, u n } adalah basis jika hanya jika matriks A [v v v n ] berukuran n n adalah inversibel. Bukti. Karena dipunyai banyak vektor yang tepat, cukup dibuktikan bahwa {u, u,, u n } adalah bebas linear. Dibentuk persamaan AX. Karena A adalah inversibel, maka X A, yang berarti n. Jadi {u, u,, u n } adalah bebas linear. Sebaliknya, diasumsikan bahwa X adalah bebas linear. Karena itu persamaan AX mempunyai suatu penyelesaian tunggal. Diambil r rk(a) dan P, Q Î GL n (R) (dibaca grup linear rank n atas R, himpunan semua matriks inversibel n n) sehingga D, n, r A P n Q, dengan D n, n, r adalah bentuk normal Hermite dari A, Jadi Diambil Q D n, n, r I O r ( nr) r O O r ( nr) ( nr) ( nr). AX Þ P D Q X Þ D r Q X z z X, maka! z n n, n, r n, n,. D, r Q n, X Þ z e + + z r e r, dengan e j adalah vektor kolom berdimensi n dengan masukan pada baris j dan untuk baris lainnya. Jika r < n, maka z r+,, z n dapat diambil sembarang dan penyelesaiannya tidak tunggal (suatu kontradiksi). Karena itu r n dan A adalah inversibel. n n.6 Ruang Nol, Ruang Kolom, dan Ruang Baris DEFINISI.6. Diberikan matriks A m n [a ij ] atas field F.. Ruang nol (null space) dari A adalah himpunan semua vektor kolom X Î F n yang memenuhi AX, dan dinotasikan oleh n NS(A) { X AX, X Î F } :. Dengan kata lain, ruang nol dicari dengan cara menyelesaikan sistem AX, dan karena itu NS(A) sering disebut ruang penyelesaian (solution space) dari AX.. Ruang kolom (column space) dari A adalah ruang bagian yang direntang oleh kolomkolom tak nol A, dan dinotasikan oleh n CS(A) { Y : Y AX, Y Î F }.. Ruang baris (row space) dari A, dinotasikan RS(A), adalah ruang bagian yang direntang oleh barisbaris tak nol A. Didit B. Nugroho

6 Bab Ruang Vektor Tabel.: Sifat NS(A) dan CS(A) Ruang nol dari A m n NS(A) adalah ruang bagian dari F n NS(A) didefinisikan secara implisit, artinya hanya mempunyai kondisi AX Operasi baris pada matriks (A ) diperlukan untuk menemukan vektorvektor di NS(A) Tidak ada hubungan yang jelas antara kolomkolom dari A dan NS(A) Suatu vektor khusus X di NS(A) mempunyai sifat AX Diberikan suatu vektor X, mudah sekali untuk mengetahui jika X di NS(A) yaitu cukup menghitung AX. NS(A) {} jika dan hanya jika AX hanya mempunyai penyelesaian trivial Ruang kolom dari A m n CS(A) adalah ruang bagian dari F m CS(A) didefinisikan secara eksplisit, artinya vektorvektor dibangun oleh perkalian dengan A. Operasi baris pada A dinyatakan sendiri oleh CS(A) Kolomkolom dari A ada di CS(A) Suatu vektor khusus Y di CS(A) dengan sifat AX Y mempunyai penyelesaian Operasi baris pada matriks (A Y) diperlukan untuk menjelaskan bahwa Y ada di CS(A) CS(A) F m jika dan hanya jika AX Y mempunyai penyelesaian untuk setiap Y di F m Berikut ini didefinisikan tiga bilangan bulat terpenting yang berkaitan dengan suatu matriks. DEFINISI.6. Diberikan sebarang matriks A m n.. rank kolom A dim CS(A). rank baris A dim RS(A). nulitas A dim NS(A) Selanjutnya akan dilihat bahwa bentuk eselon baris tereduksi dari suatu matriks A dapat digunakan untuk menunjukkan basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang nol dari A. TEOREMA.6. (a) Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris suatu matriks. (b) Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nol suatu matriks. (c) Vektorvektor baris tak nol pada bentuk eselon baris suatu matriks membentuk suatu basis untuk ruang baris dari matriks. Teorema tersebut menyatakan bahwa suatu matriks dan semua bentuk eselon barisnya mempunyai ruang baris yang sama dan ruang nol yang sama. Sedangkan vektorvektor baris tak nol dari matriks berbentuk eselon baris selalu bebas linear sehingga vektorvektor baris tak nol tersebut membentuk basis untuk ruang baris tersebut. Berdasarkan hal ini, ruang baris dari matriks A dapat dicari dengan cara mereduksi matriks A ke bentuk eselon baris sehingga akan diperoleh vektorvektor baris tak nol yang merupakan basis untuk ruang baris A. Sedangkan untuk ruang kolom dari A bisa dicari sama seperti ruang barisnya dengan cara mencari basis untuk ruang baris A T dan mengubahnya kembali ke vektor kolom. Didit B. Nugroho

Bab Ruang Vektor Didit B. Nugroho 7 TEOREMA.6. Jika A dan B adalah matriksmatriks dengan banyaknya kolom sama, maka pernyataan berikut adalah ekuivalen: (a) A dan B mempunyai ruang baris yang sama. (b) A dan B mempunyai ruang nol yang sama. (c) Vektorvektor baris dari A adalah kombinasi linear vektorvektor baris dari B, dan juga sebaliknya. CONTOH.6. Tentukan NS(A), RS(A), CS(A) beserta basis dan dimensinya, untuk A. Penyelesaian. (a) Untuk menentukan ruang nol, dibentuk sistem linear, dan diselesaikan menggunakan metode yang sudah dipelajari sebelumnya sehingga diperoleh bentuk eselon baris tereduksi dari matriks yang diperbesar:. Sistem persamaan yang berkorespondensi yaitu + + + atau ekuivalen dengan Jika dimisalkan a, b, c, maka b c dan c. Jadi penyelesaian sistem linear di atas dapat dituliskan seperti berikut: + + c b a c c b c b a. (i) Basis untuk NS(A) yaitu þ ý ü î í ì,,.

Bab Ruang Vektor Didit B. Nugroho 8 (ii) Ruang nol dari matriks A adalah þ ý ü î í ì Î R c b a c c b c b a A,, : ) ( NS. (iii) dim NS(A). (b) Untuk menentukan ruang baris, diperhatikan bentuk eselon baris dari matriks A pada bagian (a). Diperoleh vektor baris tak nol yaitu baris pertama dan kedua. (i) Basis untuk RS(A) yaitu {(,,,, ), (,,,,)}. (ii) Kombinasi linear dari kedua vektor baris tak nol yaitu k (,,,, ) + k (,,,, ) (, k, k, k, k + k ) Oleh karena itu ruang baris A dinyatakan oleh RS(A) á(,,,, ), (,,,, )ñ {(, k, k, k, k + k ): k, k Î R} (iii) dim RS(A). (c) Untuk menentukan ruang kolom dari A, dilakukan reduksi baris pada A T ke bentuk eselon baris, diperoleh: reduksi. Diperoleh vektor baris tak nol yaitu (,, ) dan (,, ). (i) Basis untuk CS(A) yaitu þ ý ü î í ì,. (ii) Kombinasi linear dari kedua vektor di basis adalah k + k + + k k k k k, dan karena itu ruang kolom dari A dinyatakan oleh CS(A), þ ý ü î í ì Î + + R, k k k k k k k (iii) dim CS(A). LEMMA.6. Diberikan matriks A berukuran m n, matriks inversibel P berukuran m m, dan matriks inversibel Q berukuran n n. (i) rank baris A sama dengan rank baris PA dan juga sama dengan rank baris AQ. (ii) rank kolom A sama dengan rank kolom PA dan juga sama dengan rank kolom AQ.

Bab Ruang Vektor 9 Bukti. (i) Untuk i m, diambil u i (a i, a i,, a in ) sebagai baris kei dari A [a ij ]. Jadi rank baris A adalah dim(u) dengan U áu, u,, u n ñ. Diambil P [p ij ], PA B [b ij ], dan v i (b i, b i,, b in ), i m, sebagai baris kei dari B. Jadi rank baris dari PA adalah dim(v) dengan V áv, v,, v n ñ. Jadi b ij m å k v i p ik m a å k kj p ik sehingga m m m, å pik ak, å pik akn å pik ( ak ak,..., akn ) ak..., k k k m, å p ik u k. Jadi setiap v i adalah suatu kombinasi linear dari vektorvektor u, u,, u m sehingga V U, yaitu RS(PA) Í RS(A). Ini berlaku untuk sebarang matriks A dan matriks inversibel P, sehingga dipunyai yang berarti bahwa RS ( P PA) Í RS( PA) Í RS( A) ( A) RS( PA) Í RS( A) RS Í. Karena itu RS(A) RS(PA) dan akibatnya dim RS(A) dim RS(PA), yaitu rank baris dari A sama dengan rank baris dari PA. Barisbaris AQ adalah u Q, u Q,, u m Q. Jadi RS(AQ) áu Q, u Q,, u m Qñ. Diambil z,, z r sebagai basis untuk RS(A). Ini mudah untuk diperiksa bahwa z Q, z Q,, z r Q adalah suatu basis untuk RS(AQ). Karena iru r dim RS(A) dim RS(AQ) dan juga rank baris dari A sama dengan rank baris dari AQ. (ii) Sejalan. (Atau diamati bahwa rank kolom dari A adalah rank kolom dari A T dan digunakan bagian (i).) n Selanjutnya, suatu pengujian dari banyaknya elemen di setiap basis akan menghasilkan teorema berikut. TEOREMA.6. Untuk sebarang matriks A m n atas field F berlaku : (i) dim CS(A) dim RS(A); (ii) dim CS(A) + dim NS(A) n. Bukti. (i) Menggunakan operasi baris dan kolom, direduksi A ke bentuk X. k Didit B. Nugroho

Bab Ruang Vektor Ini berarti bahwa X diperoleh dari A dengan mengalikannya dari depan dengan P, suatu hasil kali matriksmatriks elementer, dan mengalikan dari belakang dengan Q, suatu hasil kali matriksmatriks elementer. Jadi X PAQ. Sekarang untuk matriks dengan bentuk X, rank barisnya adalah banyaknya baris tak nol dan rank kolomnya adalah banyaknya kolomkolom tak nol. Jadi dipunyai bahwa rank baris dari X sama dengan rank kolom dari X. Dari Lemma.6. dipunyai rank baris X rank baris A dan rank kolom X rank kolom A. Telah dicatat sebelumnya bahwa rank baris X sama dengan rank kolom, karena itu dipunyai dim RS(A) rank baris A rank kolom A dim CS(A). (ii) Jika n adalah banyaknya kolom dari matriks A (dan bentuk eselon baris tereduksi dari A), maka rank(a) banyaknya kolom poros pada bentuk eselon baris tereduksi dari A (berdasarkan (i)) n dikurangi banyaknya kolom bukan poros pada bentuk eselon baris tereduksi dari A n dikurangi nulitas dari A. n DEFINISI.6. dari matriks A. Rank baris dan rank kolom secara singkat dinamakan peringkat CONTOH.6. Diberikan matriks A yang mempunyai bentuk eselon baris tereduksi B. ìü {(, )} adalah basis untuk RS(A), sedangkan í ý adalah basis untuk CS(A). îþ NS(A) diberikan oleh persamaan, dengan adalah sebarang, maka ì ü dan karena itu í ý adalah basis untuk NS(A). î þ Dalam hal ini, rk(a) dan nul(a). CONTOH.6. Diberikan A yang mempunyai bentuk eselon baris ì ü tereduksi B. {(, ), (, )} adalah basis untuk RS(A), sedangkan í ý, î þ adalah basis untuk CS(A). Ruang nol dari A yaitu NS(A) {}, dan karena itu NS(A) tidak mempunyai basis. CONTOH.6. Tentukan rk(a) untuk A 6 7 8. 9 9 9 9 Didit B. Nugroho

Bab Ruang Vektor Didit B. Nugroho Penyelesaian. Catat bahwa barisbaris dari A adalah v (,,, ), v (, 6, 7, 8), dan v (9, 9, 9, 9). Catat bahwa v v (,,, ) (,,, ), sehingga 9(v v ) v dan karena itu v Î áv, v ñ. Jadi RS(A) áv, v ñ dan v, v membentuk suatu basis. Karena itu rank(a). CONTOH.6. Diberikan bahwa bentuk eselon baris tereduksi dari 6 A yaitu B. Tentukan basis untuk RS(A), CS(A), dan NS(A). Penyelesaian. Basis untuk RS(A) yaitu {(,,,, ), (,,,, ), (,,,, )}. Basis untuk CS(A) yaitu þ ý ü î í ì,,. NS(A) diberikan oleh + + v + v, dengan, adalah sebarang. Karena itu {v, v } adalah basis untuk NS(A). Dalam hal ini, rk(a) dan nul(a).

Bab Ruang Vektor SOALSOAL UNTUK BAB. Apakah R dengan jumlahan vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan oleh y + y λ +, λ y + y adalah suatu ruang vektor?. Buktikan bahwa X {(a, b, c, d) Î R : a b d } adalah suatu ruang bagian dari R.. Diberikan himpunan bilangan kompleks C dan himpunan bilangan real R. Apakah C adalah suatu ruang vektor atas R terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa? Apakah R adalah suatu ruang vektor atas C?. Buktikan bahwa himpunan V {a + b + c : (a, b, c) Î Q } dengan operasi penjumlahan yang didefinisikan oleh (a + b + c ) + (a + b + c ) (a + a ) + (b + b ) + (c + c ), dan perkalian skalar yang didefinisikan oleh k(a + b + c ) ka + kb + kc merupakan suatu ruang vektor atas Q.. Tunjukkan bahwa X {(a, a b, b, a + b, a) Î R : a, b Î R} adalah suatu ruang bagian dari R. 6. Diberikan A adalah suatu vektor di R n. Tunjukkan bahwa X {B Ì R n : A B }, dengan adalah hasil kali titik, merupakan suatu ruang bagian dari R n. 7. Buktikan bahwa himpunan matriksmatriks segitiga atas X Î M n (R) adalah suatu ruang bagian dari M n (R). 8. Buktikan bahwa himpunan matriksmatriks simetris X Î M n (R) adalah suatu ruang bagian dari M n (R). 9. Buktikan bahwa himpunan matriksmatriks simetris miring X Î M n (R) adalah suatu ruang bagian dari M n (R).. Diberikan V R {(, y, z) :, y, z Î R} dan U {(, y, z) : + y + z }. Tunjukkan bahwa U adalah ruang bagian dari V dibawah operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar.. Tunjukkan bahwa U {(, y, z) : + y z } bukan suatu ruang bagian dari R.. Diberikan V R, T {(, y, z) Î R : y} dan U {(, y, z) Î R : y z}. Tunjukkan bahwa T dan U adalah ruang bagian dari V. Didit B. Nugroho

Bab Ruang Vektor. Diberikan V R, T {(, y) : y } dan U {(, y) : }. Tunjukkan T È U bukan suatu ruang bagian dari V.. Tunjukkan bahwa U {(, y) : y } bukan suatu ruang bagian dari V R.. Diberikan T dan U adalah ruang bagian dari ruang vektor V dan didefinisikan T + U {t + u : t Î T, u Î U}. Buktikan bahwa T + U adalah ruang bagian dari V. 6. Buktikan bahwa himpunan bagian di bawah ini bukan ruang bagian dari ruang vektor yang diberikan. (a) {(a, b, ) Î R : a + b } Ì R (b) {(a, b, ): a, b Î R, ab } Ì R ìa b ü (c) í : ( a, b) Î R, a + b ý Ì M (R). î þ 7. Tentukan yang manakah dari setiap himpunan bagian dari R berikut ini yang merupakan ruang bagian dari R. (a) {(, y, z) Î R : } (b) {(, y, z) Î R : + y } (c) {(, y, z) Î R : z } (d) {(, y, z) Î R : y ³ } (e) {(, y, z) Î R : y z} 8. Tunjukkan apakah himpunan vektorvektor berikut ini merentang R. (a) {(,, ), (,, ), (,, )} (b) {(,, ), (,, ), (, 7, )} (c) {(,, ), (,, ), (,, )} 9. Diberikan vektorvektor di R : v (,,, ), v (,,, ), v (,,, ), v (,,, ), v (,,, ), v 6 (,,, ). (a) Apakah {v, v, v } bebas linear? (b) Apakah {v, v, v, v } bebas linear? (c) Apakah {v, v, v, v 6 } bebas linear?. Untuk setiap koleksi vektor berikut ini, tentukan yang manakah vektorvektor yang bebas linear: (a) (,, ), (,, ), (,, ) Î R (b) (, ), (, ), (, ) Î R (c) (,,, 6), (,,, ), (,, 9, 6) Î R (d) +, +, + Î P [](R). Tentukanlah bilangan real l agar vektorvektor berikut bebas linear di R. u (l,, ), u (, l, ), dan u (,, l).. Buktikan bahwa himpunan {(,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, )} adalah himpunan vektorvektor bebas linear di R dan tunjukkan bahwa vektor (,,, ) dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari vektorvektor tersebut.. Diberikan (u, v) Î (R ) dan diasumsikan bahwa u v dengan u dan v adalah bebas linear. Buktikan bahwa u, v, u v adalah bebas linear. Didit B. Nugroho

Bab Ruang Vektor. Diberikan {v, v, v, v } sebagai keluarga vektorvektor yang bebas linear. Buktikan bahwa keluarga berikut ini adalah tidak bebas linear. {v + v, v + v, v + v, v + v }. Diberikan {v, v, v } adalah keluarga vektorvektor yang bebas linear di R. Apakah vektorvektor u v + v + v u v + v + v u 9v + v + v u v + v + v bebas linear? 6. Apakah keluarga {, } bebas linear atas Q? 7. Apakah keluarga {, } bebas linear atas R? 8. Diberikan ruang vektor V {a + b + c : (a, b, c) Î Q }. (i) Tunjukkan bahwa {,, } adalah bebas linear atas Q. (ii) Nyatakan + sebagai kombinasi linear dari {,, }. 9. Diberikan f, g, h Î C (R R ) (ruang fungsi bernilai real, terdiferensial dan kontinu tak hingga yang terdefinisi pada garis real) yang didefinisikan oleh f() e, g() e, h() e. Tunjukkan bahwa f, g, h bebas linear atas R.. Diberikan f, g, h Î C (R R ) yang didefinisikan oleh f() cos, g() sin, h() cos. Tunjukkan bahwa f, g, h tidak bebas linear atas R.. Diberikan P [](R) yang menotasikan himpunan polinomialpolinomial berderajat paling tinggi dengan koefisienkoefisiennya adalah real. Buktikan bahwa himpunan {, +, ( + ), ( + ) } merentang P [](R).. Tunjukkan bahwa (,, ) Ï á(,, ), (,, )ñ.. Apakah,,?. Buktikan bahwa,,, M (R). Didit B. Nugroho

Bab Ruang Vektor. Untuk vektorvektor di R, u (,, ), v (,, ), w (,, ), (, 8, ), buktikan bahwa áu, vñ áw, ñ. 6. Tentukan suatu basis untuk ruang bagian pada soal no. 7. Diberikan V R, v (, ), dan v (, ). Apakah {v, v } adalah basis untuk R? 8. Diberikan {v, v, v, v, v } sebagai basis untuk suatu ruang vektor V atas field F. Buktikan bahwa {v + v, v + v, v + v, v + v, v + v } juga merupakan suatu basis untuk V. 9. Tentukan suatu basis untuk ruang penyelesaian dari sistem n + persamaan linear dari n variabel: + + + n + + + n+ n+ + n+ + + n.. Buktikan bahwa himpunan X {(a, b, c, d): b + c } Ì R adalah suatu ruang bagian dari R. Tentukan dimensinya dan suatu basis untuk X.. Buktikan bahwa dimensi dari ruang vektor bagian matriks segitiga bawah n n n( n +) adalah dan tentukan suatu basis untuk ruang bagian tersebut.. Tentukan suatu basis dan dimensi dari (a) X á(,,, ), (,,, ), (,,, )ñ di R (b) X á(,,, ), (,,, ), (,,, )ñ di R (c) X,,, di M (R). Diberikan vektorvektor di R, v (,, a), v (, a, ), v (a,, ). Tentukan nilai parameter a sehingga {v, v, v } adalah suatu basis untuk R.. (a) Tentukan semua nilai a agar (,, ) direntang oleh {v, v, v } dengan v (,, ), v (,, ), dan v (a,, ). (b) Tentukan semua nilai a agar {v, v, v } bebas linear.. (a) Tentukan semua nilai a agar (,, ) direntang oleh {v, v, v } dengan v (, a, a), v (a,, a), dan v (a, a, ). (b) Tentukan semua nilai a untuk {v, v, v } adalah bebas linear. Didit B. Nugroho

Bab Ruang Vektor Didit B. Nugroho 6 6. Tentukanlah basis dan dimensi untuk NS, CS, dan RS dari matriksmatriks berikut. A, 6 9 B, C, D 6 E, 7 F, G, H, 9 K, 9 8 L. 7. Untuk matriksmatriks di bawah ini: A, B, C, 6 D (a) Tentukan reduksi baris dari setiap matriks dan selanjutnya tentukan ranknya. (b) Tentukan matriks yang mana, jika ada, setiap kolomnya saling bebas linear. (c) Tentukan matriks yang mana, jika ada, setiap barisnya saling bebas linear. (d) Tentukan matriks yang mana, jika ada, kolomkolomnya merentang R. (e) Tentukan matriks yang mana, jika ada, barisbarisnya merentang R. Untuk soal no 8, jawablah pertanyaan (a) sampai (e) dari soal 7. 8. Diberikan matriks: A, B, C, D 9. Diberikan matriks: A, B, C, D

Bab Ruang Vektor 7. Diberikan matriks: 7 A, B, C 9, 6 D. Diberikan v (,, 9), v (,, ), dan v (,, ). Tentukan nilainilai k, k, k sehingga vektor w (,, ) dapat ditulis menjadi w k v + k v + k v. Apakah {v, v, v } adalah basis untuk R?. Diberikan v (,, ), v (,, ), dan v (,, ). Tentukan nilainilai k, k, k sehingga vektor w (,, ) dapat ditulis menjadi w k v + k v + k v. Apakah {v, v, v } adalah basis untuk R?. Diberikan v (,, ), v (,, ). Diberikan vektor w v + yv sehingga w v dan w v. Tentukan dan y.. Diberikan v (,,, ), v (,,, ), dan v (,,, ). Diberikan vektor w dengan bentuk w av + bv + cv sehingga w v, w v, dan w v. Tentukan a, b dan c.. Diberikan v (,,, ), v (,,, ), dan v (,, 9, 9). Diberikan vektor w dengan bentuk w av + bv + cv sehingga w v, w v 6, dan w v. Tentukan a, b dan c. 6. Diberikan vektorvektor v (,,, ), v (,,, ), v (,,, ) dan sebarang vektor w dengan hasil kali titik (dot product) w v 7, w v, dan w v 7. (a) Tentukanlah vektor w. (b) Jika w mempunyai bentuk w av + bv + cv, tentukanlah nilai a, b dan c. 7. Jika u, u,, u m adalah basis untuk ruang bagian S, buktikan bahwa u, u + u, u + u + u,, u + u + + u m adalah basis untuk S. a b c 8. Diberikan A. Tentukanlah syarat untuk a, b, c sehingga (a) rk(a) ; (b) rk(a). 9. Diberikan S adalah ruang bagian dari R n dengan dim(s) m. Jika u, u,, u m adalah vektorvektor di S dengan sifat bahwa S áu, u,, u m ñ, buktikan bahwa u, u,, u m adalah basis untuk S. 6. Diberikan vektorvektor u, u,, u m di R n. Jika u i u j, dengan i < j, buktikan bahwa u, u,, u m adalah tidak bebas linear. Didit B. Nugroho

INDEKS B basis,, baku, bebas linear, 99 D dimensi, K kombinasi linear, 96 komutator, 96 M merentang, 97 N normal Hermite, nulitas, 6 P peringkat,, R rank baris, 6 kolom, 6 rentangan, 98 ruang bagian, 9 bagian tak sejati, 9 baris, kolom, nol, vektor, 9