U JIAN TENGAH SEMESTER S TATISTIKA DR. IR. ISTIARTO, M.ENG. JUMAT, 1 NOVEMBER 1 15 MENIT OPEN BOOK TANPA KOMPUTER S OAL A Produksi listrik tahunan PLTMH Terangjaya menunjukkan angka yang sangat bervariasi, walau data beberapa tahun terakhir menunjukkan produksi yang tinggi dengan kemungkinan capaian sampai GWh. Berdasarkan data, tampak bahwa pdf produksi listrik tahunan dapat didekati dengan persamaan ( x) = ax, x GWh, x adalah produksi listrik tahunan. p X 1. Temukanlah nilai konstanta a.. Tuliskanlah cdf produksi listrik tahunan.. Gambarlah pdf dan cdf tersebut. 4. Berapakah probabilitas produksi listrik tahunan melampaui GWh? 5. Hitunglah produksi listrik tahunan yang dapat diharapkan (produksi rata- rata). Penyelesaian Nilai konstanta a lebih mudah dihitung dengan menggambarkan sketsa pdf terlebih dulu. px(x) 9a px(x) = ax X Fungsi distribusi kumulatif, PX(x). [ ] ( x)dx = 1 p X ax dx = 1 a x = 1 a ( ) = 1 a = 1 9 Dengan demikian, pdf produksi listrik adalah: p X x < ( x) = x 9 x x > P X ( x) = p X ( x)dx = 1 9 x dx = 1 7 x +C Syarat batas: di x = PX(x = ) = C =. Dengan demikian, cdf produksi listrik adalah: P X ( x) = x < x 7 x 1 x > Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 1 1
px(x) PX(x) 1 1 px(x) = x /9 PX(x) = x /7 X X Probabilitas produksi listrik tahunan melampaui GWh = prob(x > GWh). prob( X > &GWh) = 1 P X ( ) = 1 7 = 19 7 &GWh Produksi listrik tahunan yang dapat diharapkan, E(x). ( ) = X = x p X x E x ( )dx = 1 9 x dx = 1 6 x 4 1 = 6 4 ( ) = 81 6 = 9 4 =.5,GWh S OAL B Tabel di bawah ini menunjukkan frekuensi tanah longsor pada saat hujan deras atau gempa bumi, yang pernah terjadi di kawasan Giriraya. Hujan [mm/jam] Gempa bumi [Richter] 5-7 7-9 > 9 1-15 - 1 15-1 > 1 1 - Event A adalah tanah longsor yang terjadi pada saat hujan 15 - mm/jam dan Event B adalah tanah longsor yang terjadi pada saat gempa bumi > 7 Richter. Dengan memakai nilai frekuensi relatif sebagai estimasi nilai probabilitas, hitunglah nilai- nilai probabilitas: prob(a), prob(b), prob(a B), prob(a B), prob(b A). Gunakan diagram Venn untuk memudahkan perhitungan probabilitas. Penyelesaian Untuk menghitung probabilitas tanah longsor, tabel frekuensi tanah longsor perlu terlebih dulu dilengkapi dengan menjumlahkan frekuensi kejadian pada setiap klas hujan maupun intensitas gempat bumi. Tabel disajikan pada halaman setelah halaman ini. Pada tabel tersebut, Event A dan Event B ditunjukkan pada baris dan kolom yang sesuai dengan decinisi masing- masing event. Di bawah tabel, disajikan pula diagram Venn yang menunjukkan event A dan event B. Perhatikan bahwa probabilitas seringkali lebih mudah ditemukan dengan cara membuat diagram Venn. Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 1
prob A prob B ( ) = 6 11 ( ) = ( 4 +) 11= 7 11 ( ) = 11 prob A B ( ) = ( 1+) ( 4 +) = 7 ( ) = ( 1+) 6 = 6= 1 prob A B prob B A Gempa bumi [Richter] Hujan [mm/jam] 5-7 7-9 > 9 Jumlah 1-15 - 1 15-1 6 > 1 1 - Jumlah 4 4 11 S A 4 1 S OAL C Tabel di bawah ini menyajikan frekuensi data hujan maksimum (annual series) di stasiun Tampa, R [mm]. B Curah hujan [mm] 1-14 14-18 18 - - 6 6 - Frekuensi 9 11 7 1. Gambarlah histogram frekuensi relatif data tersebut dan pdf distribusi normal teoretis.. Perkirakanlah prob(15 < R [mm] < 1).. Perkirakanlah rentang keyakinan nilai rata- rata hujan maksimum, (1 ) = 95%. 4. Perkirakanlah tingkat keyakinan nilai rata- rata hujan maksimum antara 19 s.d. 1 mm. 5. Perkirakanlah rentang keyakinan nilai variansi atau simpangan baku hujan maksimum. Penyelesaian Langkah pertama dalam mengerjakan soal di atas adalah menghitung nilai rerata dan simpangan baku hujan maksimum. Hitungan mudah dikerjakan dengan cara membuat tabel frekuensi. Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 1
Curah hujan, R [mm] Frekuensi, f Frek relatif f R f R 1-14 1.65 4 88 14-18 16 9.815 144 4 18-11.475 44-6 4 7.1875 168 4 6-8.975 84 5 64 176 Curah hujan rerata serta varian dan simpangan baku curah hujan. R = = = f R f = 64 = &mm f R f R f 1 = 176 1 f R f R = 1858.645 = 4.1*mm f 1 Distribusi frekuensi relatif menurut distribusi normal teoretis dihitung dengan bantuan tabel distribusi normal standar. Langkah hitungan adalah sebagai berikut: nilai curah hujan dinormalkan, R Z, Z = R R temukan nilai ordinat pdf distribusi normal standar dengan bantuan tabel distribusi normal standar, p R (r), hitungan frekuensi relatif, f R (r) f R ( ) ( ) ( r) = Δr p r R = 4 p z Z 4.1 = 1858.645+mm Curah hujan, R [mm] Z p Z (z) f R (r) 1-14 1-1.8561.71.661 14-18 16 -.981.59.47 18 -..989.7-6 4.981.59.47 6-8 1.8561.71.661.989 Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 1 4
.4. Frekuensi rela,f..1 1-14 14-18 18- - 6 6- prob(15 mm < R < 1 mm). Curah hujan [mm] Z 15 = 15 = 1.161 prob( Z < 1.161) =.1 4.1 ( ) =.5917 Z 1 = 1 =. prob Z <. 4.1 ( ) = prob( 1.161< Z <.) =.5917.1=.4687 prob 15< R mm < 1 Rentang keyakinan curah hujan rata- rata dengan tingkat keyakinan (1 ) = 95%. s prob R t R 1 α,n 1 n < µ < R +t R 1 α,n 1 n = 1 α 1 α = 95% 1 α =.975 t 1 α,n 1 = t.975,1 =.95 R t 1 α,n 1 n =.954.1 = 184+mm R +t 1 α,n 1 n = +.954.1 = 16+mm prob( 184(mm < µ R < 16(mm) = 95% Tingkat keyakinan terhadap rentang curah hujan rata- rata 19 mm s.d. 1 mm. ( ) = ( 1 α) prob 19(mm < µ R < 1(mm. Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 1 5
19= R t αa,n 1 1= R +t 1 αb,n 1 4.1 19= t αa,1 n n 1= +t 4.1 1 αb,1 1 α = 1 ( α a + α b ) = 1.995=.81 8% Rentang keyakinan variansi dan simpangan baku. ( prob n 1 ) < σ χ R < n 1 ( )s R 1 α,n 1 χ α,n 1 = 1 α t αa,1 = 1.15 α a =.995 t 1 α b,1 = 1.15 α b =.995 Dengan mengambil tingkat keyakinan (1 ) = 9%, maka 1 / = 95% dan / = 5%. χ 1 α,n 1 = χ.95,1 = 44.985 dan χ α,n 1 = χ.5,1 = 19.86 prob 1 1858.645 44.985 < σ R < 1 1858.645 19.86 prob( 18)mm < σ R < 987)mm ) = 9% prob( 6'mm < σ R <55'mm) = 9% = 9% - oo- Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 1 6