Pertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN 10 Metode CRAMER Aljabar Linier Hastha 2016
10. PERSAMAAN LINIER NONHOMOGEN 10.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x 1 +a 2 x 2 +b=0 x 1 Persamaan diatas disebut persamaan linier karena pangkat-pangkat dari x1 dan x2 paling besar adalah 1, sedangkan persamaan x 1 2 +x 2-3=0 bukan persamaan linier. Dalam ruang dimensi 3, persamaan linier dalam x1, x2, dan x3 berbentuk a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 +b=0. Oleh karena itu persamaan linier dalam ruang dimensi n dapat dinyatakan dalam bentuk a 1 x 1 + a 2 x 2.+a n x n +b=b n. Pandang contoh sederhana : 1. Persamaan x1+x2=1 x 2 (0,1) x 1+x 2=1 (1,0) x 2 Titik x 1 =1 dan x 2 =0 adalah penyelesaian persamaan garis di atas karena nilai x 1 dan x 2 jika kita subtitusikan ke dalam persamaan x 1 +x 2 =1 akan diperoleh 1+0=1. Demikian juga jika nilai x 1 dan x 2 kita ubah menjadi x 1 =0 dan x 2 =1 juga merupakan penyelesaian dari persamaan diatas. 2. Diketahui garis -x 1+x 2=1 (0,1) x 1+x 2=1 (-1,0) (1,0) Maka penyelesaian persamaan dari persamaan garis diatas menjadi x 1 +x 2 =1 Subtitusi x 2 =1 ke salah satu persamaan, misal x 1 +x 2 =1 -x 1 +x 2 =1 + Menjadi x 1 +1=1, maka x 1 =0 0+2x 2 =2 x 2 =1 Perhatikan bahwa x 1 =0 dan x 2 =1 adalah satu-satunya penyelesaian.
3. Misalnya diketahui persamaan 2x+3y+z=5 maka solusi persamaannya bisa x=0, y=1, dan z=2 karena nilai-nilai tersebut jika disubtitusikan ke persamaan 2x+3y+z=5 menjadi 2.0+3.1+2=5. Tetapi nilai-nilai tersebut bukan satu-satunya solusi. Misalnya saja kita ambil x=0, y=0, dan z=5 sehingga 2.0+3.0+5=5 juga merupakan solusi dari persamaan 2x+3y+z=5 dan masih ada solusi yang lain. Ini berarti sistem persamaan tersebut mempunyai tidak terhingga banyak penyelesaian. 4. Jika terdapat 2 persamaan yaitu x 1 +x 2 =1 dan x 1 +x 2 =2, maka untuk mencari nilai x 1 dan x 2 x 1 +x 2 =1 x 1 +x 2 =2 0+0 = -1 tidak mungkin berarti tidak ada x 1 dan x 2 yang memenuhi penyelesaian sistem persamaan linier tersebut. Dari contoh-contoh diatas dapat kita lihat bahwa sistem persamaan linier dalam dimensi 2 mempunyai beberapa alternatif penyelesaian, yaitu: 1. Mempunyai penyelesaian tunggal. 2. Mempunyai banyak penyelesaian. 3. Tidak mempunyai penyelesaian. 10.2 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER Bentuk umum persamaan linier a 11 x 1 + a 12 x 2.+a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2.+a 2n x n =b 2 a 21 x 1 + a 32 x 2.+a 3n x n =b 3 a m1 x 1 + a m2 x 2.+a mn x n =b m a ij dan b i masing-masing merupakan koefisien-koefisien dan konstanta persamaan linier tersebut. Persamaan-persamaan linier di atas dapat diungkapkan dalam bentuk matriks AUGMENTED yaitu matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien x. a 11 a 12.a 1n x 1 b 1 a 21 a 22.a 2n.. x 2 b 2 = a m1 a m2...a mn x n b m [A] [x] [b] [A] adalah matriks berorde (m,n), [x] adalah matriks berorde (n,1), dan [b] adalah matriks berorde (m,1). Bentuk matriks lengkapnya : a 11 a 12.a 1n b 1 a 21 a 22.a 2n b 2.... a m1 a m2...a mn b m
Ada 2 yang dapat dijumpai pada persamaan di atas 1. m n (banyaknya variabel dan banyaknya persamaan tidak sama). 2. m=n (banyaknya variabel dan banyaknya persamaan sama). Pada pembahasan kali ini akan dibicarakan hal yang kedua saja yaitu jika m=n yaitu persamaan yang berbentuk matriks bujursangkar. Penyelesaian persamaan linier tidak lain adalah mencari harga variabelvariabelnya. Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL antara lain : 1. Aturan Cramer 2. Metode Invers Matriks 3. Eliminasi Gauss 4. Metode Eliminasi Gauss Jordan 5. Metode Faktorisasi LU 10.2.1 ATURAN CRAMER Apabila [A][X]=[B] maka nilai x dapat dicari dengan x k = A k Dimana A k adalah harga determinan unsur-unsur matriks bujursangkar [A] dengan kolom ke k diganti unsur-unsurnya oleh unsur-unsur [B]. adalah harga determinan matriks-matriks bujursangkar [A]. Misal diketahui persamaan a 11 x 1 + a 12 x 2 +a 13 x 3 =b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +a 23 x 3 =b 2 a 21 x 1 + a 32 x 2 +a 33 x 3 =b 3 Untuk mencari nilai x1, x2, x3 maka terlebih dahulu dicari dan A k. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 21 a 22 = = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 -a 13 a 22 a 31 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 -a 11 a 23 a 32 -a 12 a 21 a 33 A k yaitu mencari determinan kolom ke k=(1,2,3) b 1 a 12 a 13 a 11 b 1 a 13 a 11 a 12 b 1 b 2 a 22 a 23 a 21 b 2 a 23 a 21 a 22 b 2 A1 = A 2 = A 3 = b 3 a 32 a 33 a 31 b 3 a 33 a 31 a 32 b 3 Sehingga A 1 x 1 = x 2 = A 2 x 3 = A 3 Contoh : 1. Diketahui persamaan 3x+2y=5 dan x+y=2. Carilah nilai x dan y.
Penyelesaian Persamaan diatas jika diubah dalam bentuk matriks menjadi 3 2 x 5 = 1 1 y 2 Mencari determinan matriks A 3 2 = = 3.1-2.1=1 1 1 Mencari determinan matriks A k 5 2 A 1 = 2 1 = 5.1-2.2=1 A 2 = 3 5 = 3.2-5.1=1 1 2 Mencari nilai x dan y A 1 1 x 1 = = = 1 1 A 2 1 x 2 = = = 1 1 2. Tentukan nilai x, y, dan z jika diketahui persamaan sebagai berikut. 2x+y+z=4 x-2y-z=-4 x+y+2z=4