Jurnal Gradien Vol. No. Juli 0 : -70 Kajian Solui Numerik Metode Runge-Kutta Nytrom Empat Dalam Menyeleaikan Peramaan Diferenial Linier Homogen Dua Zulfia Memi Mayaari, Yulian Fauzi, Cici Ratna Putri Jelita Juruan Matematika, Fakulta Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Univerita Bengkulu, Indoneia Diterima 7 April 0; Dietujui 3 Juni 0 Abtrak - Dalam matematika eringkali ditemui permaalahan yang tidak dapat dieleaikan ecara analitik, ehingga dibutuhkan penyeleaian ecara numerik. Salah atu permaalahan yang eringkali membutuhkan penyeleaian ecara numerik adalah permaalahan yang terdapat dalam peramaan diferenial biaa dengan metode Runge-Kutta ehingga metode ini teru dikembangkan. Beberapa pengembangan dari metode ini adalah metode Improved Runge-Kutta Nytrom (IRKN) dan Accelerated Runge-Kutta Nytrom (ARKN). Dalam tulian ini dibaha penyeleaian peramaan diferenial linier homogen orde dua dengan metode Improved Runge-Kutta Nytrom (IRKN) dan Accelerated Runge-Kutta Nytrom (ARKN) orde empat. Hail penelitian menunjukkan bahwa olui dari peramaan diferenial linier homogen orde dua dengan metode IRKN orde empat lebih akurat dibandingkan metode ARKN orde empat. Kata Kunci: Peramaan diferenial linier homogen, Improved Runge-Kutta Nytrom (IRKN), Accelerated Runge-Kutta Nytrom (ARKN). Pendahuluan Suatu peramaan diferenial linier orde dua mempunyai bentuk umum: y + p(x)y + q(x)y = r(x) Peramaan diferenial ini dikatakan linier karena berbentuk linier dalam fungi y yang tidak diketahui dan turunan-turunannya, ementara p, q, dan r adalah fungifungi dari x yang diketahui. Jika r(x) = 0 (yaitu r(x) = 0 untuk emua x dalam domainnya), maka bentuk peramaan di ata menjadi y + p(x)y + q(x)y = 0, dan diebut peramaan diferenial linier homogen orde dua. Jika r(x) 0 maka diebut peramaan diferenial linier tak homogen orde dua. Peramaan diferenial linier kerap kali tidak dapat dieleaikan ecara analitik ehingga dibutuhkan metode numerik menyeleaikan permaalahan terebut. Hail dari olui numerik yang didapat merupakan nilai-nilai pendekatan dari olui analitiknya endiri. Penyeleaian peramaan diferenial biaa ecara numerik berarti menghitung nilai fungi di x r+ = x r + h, dengan h adalah ukuran langkah (tep) etiap lelaran. Terdapat beberapa metode numerik yang ering digunakan untuk menghitung olui peramaan diferenial biaa, yaitu metode Euler, metode Heun, metode deret Taylor, dan termauk metode Runge-Kutta []. Dari beberapa metode numerik yang ering digunakan dalam menghitung olui peramaan diferenial biaa, Metode Runge-Kutta merupakan metode yang mempunyai hail yang lebih akurat dengan nilai galat yang lebih kecil []. Beberapa pengembangan metode Runge-Kutta yang diajikan untuk menentukan perkiraan olui dan turunannya dari orde ke dua peramaan diferenial adalah metode Improved Runge-Kutta Nytrom (IRKN) dan metode Accelerated Runge-Kutta Nytrom (ARKN). Metode IRKN dan ARKN digunakan untuk memecahkan otonom orde kedua peramaan y " = f(y) Metode IRKN danarkn dengan -tahap dapat dituli dalam bentuk berikut : y n+ = y n + 3h y n h y n + h b i(k i k i ) Dalam [] telah dibaha metode Improved Runge-Kutta Nytrom (IRKN) dan Accelerated Runge-Kutta Nytrom (ARKN) untuk memecahkan otonom orde kedua peramaan diferenial biaa y" = f(y) dan membandingkan dengan metode RKNV, RKND dan
Zulfia Memi Mayaari, Yulian Fauzi, Cici Ratna Putri Jelita/ Jurnal Gradien Vol. No. Juli 0 : -70 RKNC. [] telah membaha metode Accelerated Runge- Kutta Nytrom (ARKN) orde tiga dan empat dalam menyeleaikan peramaan diferenial linier homogen orde atu. Dalam tulian ini dibaha penyeleaian peramaan diferenial linier homogen orde dua dengan metode Accelerated Runge-Kutta Nytrom (ARKN) orde empat. + h a i k (i ) ),,3 (.7) Untuk mengetahui koefiien dari metode ARKN4 pada peramaan (.), kondii orde empat untuk y n dan y n pada Tabel haru dipenuhi. Oleh karena itu perlu dipenuhi peramaan berikut : b b = b + b + b 3 = Peramaan Diferenial b a + b 3 a = Suatu peramaan diferenial orde dua dapat dinyatakan dalam bentuk : b d a + b 3 a = y 3 dx = f (x, y) (.) dengan yarat awal: b + b 3 = (.) y(x 0 ) = k 0 dan y(x ) = k (.) b a + b 3a =, lihat [] Bentuk baku PD orde dua dengan nilai awal pada peramaan (.) dapat dituli ebagai: y" = f(x, y, y) (.3) Peramaan diferenial linier homogen orde dua dengan koefiien kontanta ecara umum dapat dituli ebagai berikut: y + p(x)y + q(x)y = r(x) (.4) Peramaan (.4) dikatakan linier karena berbentuk linier dalam fungi y yang tidakdiketahui dan turunanturunannya, ementara p, q, dan r adalah fungi-fungi dari x yang diketahui. Penyeleaian umum dari peramaan (.4) adalah : y = c e k x + c e k x (.) Peramaan diferenial linier homogen orde dapat dieleaikan ecara analitik ataupun numerik. Penyeleaian ecara numerik antara dengan metode Euler, metode Heun, metode deret Taylor dan termauk metoderunge-kutta. Metode Accelerated Runge-Kutta Nytrom 4 (ARKN4) Pengembangan dari Metode Runge-Kutta Nytrom yang digunakan untuk memecahkan otonom orde kedua peramaan y " = f(y) adalah Metode Accelerated Runge- Kutta Nytrom (ARKN). Metode ARKN4 dengan tiga tahap (=3) dapat dituli ebagai berikut : y n+ = y n + 3h y n h y n + h (b (k k ) + b 3 (k 3 k 3 )) y n+ = y n + h b k b k + b (k k ) + b 3 (k 3 k 3 ) (.) dengan : k = f(y n ) k i = f(y n + ha i y n + h a i k i ),,3 k = f(y n ) k i = f(y n + ha i y n + ha i y n Mialkan a = dan a = dengan a merupakan parameter beba, maka nilai dari parameter yang teria adalah : b = 3, b = 3, b =, b 3 = 0, b = 7 4, b 3 = 8 Tabel. Kondii Metode ARKN dengan -Tahapan Kondii untuk y n Kondii untuk y n b b = b + b i = 3 b i a i = 4 b i a i = 3 Sumber : [] (.3 i = ia i = Metode Improved Runge-Kutta Nytrom 4 (IRKN4) Pengembangan dari Metode Runge-Kutta Nytrom yang digunakan untuk memecahkan otonom orde kedua peramaan y " = f(x, y) adalah Metode IRKN4. Metode IRKN4 dengan tiga tahap (=3) dapat dituli ebagai berikut : y n+ = y n + 3h y n h y n + h (b (k k ) + b 3 (k 3 k 3 )) (.8) y n+ = y n + h b k b k + (k k ) + b 3 (k 3 k 3 ) (.9) dengan : k = f(x n, y n ), k = f(x n + c h, y n + hc y n + h a k ) k 3 = f(x n + c 3 h, y n + hc 3 y n + h a 3 k )
Zulfia Memi Mayaari, Yulian Fauzi, Cici Ratna Putri Jelita/ Jurnal Gradien Vol. No. Juli 0 : -70 k = f(x n, y n ) k = f(x n + c h, y n + hc y n + h a k ) k 3 = f(x n + c 3 h, y n + hc 3 y n + h a 3 k ) Untuk mengetahui kondii orde empat dari metode IRKN4 untuk y n dan y n dapat dilihat padatabel. Oleh karena itu perlu dipenuhi peramaan berikut : b b = b + b + b 3 = b c + b 3 c 3 = b c + b 3 c 3 = 3 b + b 3 = b c + b 3c 3 =, lihat [] Mialkan c = dan c 4 3 = 7 dengan a merupakan 4 parameter beba, maka nilai dari parameter yang teria adalah : a = 3, a 3 = 0, a 3 = 9 3 b =, b = 4, b = 7 0, b 3 = 0, b = 7 4, b 3 = 8 Tabel : Kondii Metode IRKN untuky n dan y n Kondii Kondii untuk y n untuk y n b atu b = dua tiga empat Sumber : [] b + b i = b i c = b i c i = 3 i = ic =. Metode Penelitian Proedur kerja dalam penelitian ini dapat ditulikan ebagai berikut:. Menentukan peramaan diferenial biaa khuunya peramaan diferenial linier homogen orde dua y + p(x)y + q(x)y = 0. Menentukan yarat awal : (x 0 ) = k 0 dan y(x ) = k 3. Membentuk peramaan diferenial linier homogen orde dua menjadi y = p(x)y q(x)y atau y 4. Mengaumikan nilai h. Menurunkan peramaan terebut menggunakan Metode IRKN orde empat dan metode ARKN orde empat a. Metode IRKN orde 4 y n+ = y n + 3h y n h + h (b (k k ) + b 3 (k 3 k 3 )) y n+ = y n + h b k b k + b (k k ) + b 3 (k 3 k 3 ) b. Metode ARKN orde 4 y n+ = y n + 3h y n h y n + h i(k i k i ) y n+ = y n + h(b k b k + b i (k i k i )). Menerapkan hail pada 3 teladan berdaarkan tingkat keulitan yang berbeda, yaitu mudah, edang dan ulit. 7. Analii hail 8. Menarik keimpulan. 3. Hail dan Pembahaan Pada bagian ini diturunkan formula yang kedua metode IRKN dan ARKN, kemudian membandingkan hail metode terebut dengan olui analitik. Tujuan dilakukannya perbandingan metode terebut adalah untuk melihat keakuratan dari kedua metode yang digunakan. Diini akan dibandingkan orde empat pada ARKN dan IRKN. Metode Accelerated Runge-Kutta Nytrom 4 (ARKN 4) Bentuk umum Metode Accelerated Runge-Kutta orde empat dengan 3 tahapan (=3) ebagai berikut : y n+ = y n + h(b k b k + b (k k )) (3.) k = f(y n ), k = f(y n ), k = f(y n + ha k ),,,, k = f(y n + ha k ),,,. k 3 = f(y n + ha k ), i=3,,, k 3 = f(y n + ha k ), i=3,, Untuk menentukan koefiien dari metode yang diberikan oleh peramaan (3.), metode ARK diperlua menggunakan ekpani deret Taylor. Dari peramaan : y = f(x, y) = f, y = f x + ff y, y = f xx + f xy + f yy f + f y (f x + ff y (3.) Nilai dari y (x), y (x), diubtituikan dengan x = x n. Menggunakan ekpani deret Taylor y = x n + h diperoleh : 7
Zulfia Memi Mayaari, Yulian Fauzi, Cici Ratna Putri Jelita/ Jurnal Gradien Vol. No. Juli 0 : -70 y n+ = y(x n + h) = y(x n ) + hy (x n ) + h! y (x n ) + 3! y (x n )O(h 4 ) (3.3) Subtituikan peramaan (3.) ke peramaan (3.3) didapat: y n+ = y n + hf + h! f x + ff y + h3 f xx + f xy + f yy f + f y f x + ff y + O(h 4 ) (3.4) Definiikan F = f x + ff y dan G = f xx + f xy + f yy f diperoleh: y = F, y = G + f y F Dari peramaan (3.4) dapat dituli ebagai berikut : y n+ y n = hf + h h3 F + G + f yf + O(h 4 ) (3.) Kemudian ekpani deret Taylor untuk k, k, k, dank dari peramaan (3.) ehingga diperoleh: k = f, k = f hf + h G + f yf + O( ), k = f + ha F + h (a G) + O( ), k = f h( a )F + h ( a ) G + ( a )f y F + O( ) k 3 = f + ha F + h (a G) + O( ), k 3 = f h( a ) + h ( a ) G + ( a )f y F + O( ) Subtituikan ke peramaan (3.) diperoleh : y n+ y n = h(b b )f + h (b b )F + h3 ( b ( a )b ) G + f y F + O(h 4 ) (3.) Dari peramaan (3.) dan (3.) diperoleh : hf = h(b b )f hf = hf((b b ) = b b (3.7) h F = h (b +b )F = (b +b ) (3.8) Dari peramaan (3.7) diperoleh: b b = Mialkan b = 3 b = 3 b = 3 = 3 Sehingga didapat nilai b = 3 Dari peramaan (3.8) diperoleh : b +b = 3 + b = b = + 3 = Sehingga didapat nilai b = Dari peramaan (3.) dan (3.) diperoleh: ( b ( a )b ) G + f y F +O(h 4 ) = h3 G + f yf + O(h 4 ) ( b ( a )b ) = h3 3 + b a = + b a = b a = + 3 = Dari peramaan (3.9) diperoleh: b a = (3.9) a = a = Sehingga didapat nilai a =. Karena a + a =, maka a = Metode Improved Runge-Kutta Nytrom 4 (IRKN 4) Bentuk umum metode Improved Runge-Kutta dengan 3- tahap (IRK4) : y n+ = y n + h(b k b k ) +b (k k )) k = f(x n, y n ) k = f(x n, y n ) k = f(x n + c h, y n + ha k ) k = f(x n + c h, y n + ha k ), 0 c k 3 = f(x n + c 3 h, y n + ha 3 k ) k 3 = f(x n + c 3 h, y n + ha 3 k ), 0 c 3 (3.0) Untuk menentukan koefiien dari metode yang diberikan oleh peramaan (3.0), diperlua menggunakan ekpani deret Taylor. Dari peramaan : y = f(x, y) = f, y = f x + ff y, y = f xx + f xy + f yy f + f y (f x + ff y ) (3.) Nilai dari y (x), y (x), y (x), diubtituikan dengan x = x n. Menggunakan ekpani deret Taylor y = x n + h diperoleh: y n+ = y(x n + h) = y(x n ) + hy (x n ) + h! y (x n ) + 3! y (x n ) + O(h 4 ) (3.) Subtituikan peramaan (3.) ke peramaan (3.) diperoleh : y n+ = y n + hf + h! f x + ff y 8
Zulfia Memi Mayaari, Yulian Fauzi, Cici Ratna Putri Jelita/ Jurnal Gradien Vol. No. Juli 0 : -70 + h3 f xx + f xy + f yy f +f y f x + ff y + O(h 4 ) (3.3) Kemudian definiikan F = f x + ff y dan G = f xx + f xy + f yy f didapat : y = F, y = G + f y F Peramaan (3.3) dapat dituli ebagai berikut : y n+ y n = hf + h h3 F + G + f yf + O(h 4 ) (3.4) Kemudian ekpani deret Taylor untuk k, k, k, dank dari peramaan (3.0) ehingga diperoleh: k = f, k = f hf + h G + f yf + O( ), k = f + hc F + h (c G) + O( ), k = f h( c )F + h ( c ) G + ( c )f y F + O( ) k 3 = f + hc 3 F + h (c 3G) + O( ), k 3 = f h( c 3 )F + h ( c 3) G + ( c 3 )f y F + O( ) Subtituikan ke peramaan (3.4) didapat : y n+ y n = h(b b )f + h (b + b )F + h (b + b )F + + h3 ( b ( c )b ) G + f y F + O(h 4 ) (3.) Dari peramaan (3.) dan (3.4) didapat : hf = h(b b )f hf = hf((b b ) = b b (3.) Selanjutnya dari peramaan (3.) dan (3.) diperoleh: h F = h (b +b )F h F = h (b +b )F h F = h F(b +b ) = (b +b ) (3.7) Dari peramaan (3.) didapat : b b = Mialkan b = 4 b = 4 = 4 + = = Dari peramaan (3.7) diperoleh : b +b = + b = b = 7 0 Selanjutnya dari peramaan (3.) dan (3.4): ( b ( c )b ) G + f y F + O(h 4 ) = h3 G + f yf + O(h 4 ) ( b ( c )b ) = h3 h3 ( b ( c )b ) = h3 ( b ( c )b ) = b c = (3.8) Dari peramaan (3.8) didapat : b c = 7 0 c = c = 4 Sehingga didapat nilai c =.Karena c 4 + c 3 = maka c 3 = 7 4 Berdaarkan penyeleaian peramaan diata diperoleh nilai b, b, b, dan c, c 3. Nilai-nilai terebut merupakan nilai parameter untuk orde 4 pada metode ini. Teladan Penerapan Berikut diberikan beberapa teladan yang terdiri dari tiga katagori yaitu mudah, edang dan uah untuk penyeleaian peramaan diferenial linier homogen orde kedua yang dieleaikan dengan menggunakan metode ARKN dan metode IRKN. ) Seleaikan peramaan diferenial linier homogen orde dua. y + xy + y = 0 Dengan yarat awal: y n =, x n = 0, dan y n = [7]. ) Seleaikan peramaan diferenial linier homogen orde dua berikut. y + 4ty + (4t + )y = 0 Mialkan : t = x, dengan yarat awal: y n = 0, x n = 0, dan y n = [3]. 3) Seleaikan peramaan diferenial linier homogen orde dua ( x )y xy + y = 0 Dengan yarat awal: y n = 0, x n = 0, dan y n = [4]. Penyeleaian peramaan diferenial ini dieleaikan dengan metode eperti yang dijelakan pada Bagian III. Hail yang didapat diajikan dalam Tabel 3., Tabel 3., dan Tabel 3.3. b = + 9
Zulfia Memi Mayaari, Yulian Fauzi, Cici Ratna Putri Jelita/ Jurnal Gradien Vol. No. Juli 0 : -70 Tabel 3..Hail Teladan Metode 4 dan Galat Metode IRKN y n+ =.00778 y n+ =.8848989 Galat = 0.387048 Metode ARKN y n+ =.044980 y n+ =.894937 Galat = 0.340774 Solui Ekak =,00 Tabel 3..Hail Teladan Metode 4 dan Galat Metode IRKN y n+ = 0.040 y n+ = 0.99983 Galat = 0.89408479 Metode ARKN y n+ = 0.047098 y n+ =.0087 Galat = 0.89907 Solui Ekak =0,0000 Tabel 3.3.Hail Teladan 3 Metode 4 dan Galat Metode IRKN y n+ = 0.490437 y n+ = 4.88988983 Galat = 0.898448773 Metode ARKN y n+ = 0.49497 y n+ = 4.87704 Galat = 0.8983799 Solui Ekak = 0. Daftar Putaka [] Munir, R. 00. Metode Numerik Edii Revii. Bandung : Informatika [] Rabiei.F., Imail.F., Norazak.S., Abai.N. 0. Contruction of Improved Runge-Kutta Nytrom Method for Solving Second-r Ordinary Differential Equation. World Applied Science Journal 0 (): 8-9 ISSN 88-49 [3] Sanchez, D.A, Allen, R.C, Kyner, W.T. 983. Differential Equation. AddionWeley. Publihing Company inc [4] Silaban,P.998. Teori dan Soal-oal Analii. Jakarta: Erlangga [] Wahyudin. 987. Metode Analii Numerik. Bandung: Tarito [] Wulandari, E. 04.Kajian Metode Accelerated Runge-Kutta Nytrom Tiga dan Empat dalam Penyeleaian Peramaan Diferenial Homogen Satu. Skripi S ( FMIPA).UNIB. Bengkulu : Univerita Bengkulu [7] Zill, D.G. 979. A Firt Coure in Differential Equation with Application. Prindle, Weber and Schmidt 4. Keimpulan Berdaarkan hail penelitian dan pembahaan di ata dapat diimpulkan :. Proe perhitungan menggunakan metode Accelerated Runge-Kutta Nytrom (ARKN) dan metode Improved Runge-Kutta Nytrom (IRKN) menggunakan nilai awal x n, y n dan untuk mencari nilai x n, y n dipengaruhi oleh nilai.. Berdaarkan hail yang diperoleh dari teladan menunjukkan bahwa metode Improved Runge Kutta Nytrom (IRKN) cenderung lebih akurat dibandingkan metode Accelerated Runge-Kutta Nytrom (ARKN) karena hail yang didapat dari metode IRKN lebih mendekati hail yang didapat ecara analitik terlihat dari galat yang paling kecil dan karena metode IRKN mempunyai dua variabel(x, y) dimana variabel x terebut bergerak dan memiliki pengaruh pada proe perhitungan ehingga nilainya lebih akurat. 70