Review Teori Probabilitas

Rekayasa Trafik 1 Review Teori Probabilitas Rekayasa Trafik

Outline Arti Probabilitas Counting Method Random Variable Discrete RV Continuous RV Multiple RVs Rekayasa Trafik 2

Arti Probabilitas Rekayasa Trafik 3

Apakah Probabilitas Arti probabilitas Situasi tdk dp secara eksak direplikasi Tetapi tdk chaotic (memp suatu pola) Rekayasa Trafik 4

Probabilitas Definisi Logika probabilitas Aksioma Fakta tanpa bukti/proof Teorema Diturunkan dari Definisi, Aksioma, atau Teorema lainnya Rekayasa Trafik 5

Matematik Probabilitas Teori set Operasi set Set properties Rekayasa Trafik 6

Set Properties Penting Rekayasa Trafik 7

Eksperimen Apakah suatu eksperimen? Metoda utk mencari sejumlah fakta/konklusi Berikan suatu contoh? Utk film Matrix Reloaded, apakah fun? Berdiri di depan bioskop Tanya audiences, fun atau tdk? Komposisi dari suatu eksperimen Prosedure Observasi Mengapa eksperimen diperlukan? Ketidakpastian Rekayasa Trafik 8

Eksperimen Concern mengenai film Matrix Reloaded Apakah sebaiknya saya tanya laki-laki dewasa, perempuan dewasa atau remaja? Pengalaman dari audiences Pengetahuan dari audiences Complicated experiment perlu Model Eksperiment nyata: terlalu rumit Tangkap hanya bagian penting Contoh Model: Perlakukan semua audiences sama Jawaban hanya akan suka/tdk suka Rekayasa Trafik 9

Eksperimen Contoh: Lempar suatu coin 3 kali, observasi deretan heads/tails Lempar suatu coin 3 kali, observasi jumlah heads Rekayasa Trafik 10

Definisi dalam Probabilitas Outcome Sembarang observasi yg mungkin Sample Space Finest-grain: masing-masing outcome berbeda Mutually exclusive: jika satu outcome muncul, lainnya tdk akan Collectively exhaustive: tiap outcome harus dlm sample space Event Set dari outcomes (harus tahu semua outcomes) Event Sample Space Rekayasa Trafik 11

Contoh-Contoh Event Outcomes: bilangan = 1,2,3,4,5,6 Sample space: S = {1,2,3,,6} Event examples: E1 = {bilangan < 3} = {1,2} E2 = {bilangan ganjil} = {1,3,5} Rekayasa Trafik 12

Set vs Probabilitas Rekayasa Trafik 13

Probabilitas dari Event P[ ] Dari eksperimen: Lempar dadu Outcomes: bilangan = 1,2,3,4,5,6 Sample space: S = {1,2,3,,6} Event examples: E1 = {bilangan < 3} = {1,2} E2 = {bilangan ganjil} = {1,3,5} Rekayasa Trafik 14

Aksioma-Aksioma Probabilitas Aksioma 1: Utk sembarang event A, P[A] 0 Aksioma 2: P[S] = 1 Aksioma 3: Utk events A 1, A 2,, A n yg mutual exclusive events Rekayasa Trafik 15

Contoh Teorema-Teorema Teorema: Jika A dan B disjoint maka Teorema: Jika B = B 1 B 2 B 3 B n dan B i B j = maka Rekayasa Trafik 16

Equally Likely Teorema: Utk suatu eksperimen dg sample space S={s 1,, s n } Jika tiap outcome adalah equally likely, Rekayasa Trafik 17

Konsekuensi Dari Aksioma-Aksioma Teorema: P[ ] = 0 P[A c ] = 1 - P[A] Utk sembarang A dan B (tdk harus disjoint) P[A B] = P[A] + P[B] P[A B] Jika A B, maka P[A] P[B] Rekayasa Trafik 18

Suatu Teorema yg Berguna Mis B 1, B 2,,B n event- Event yg mutual exclusive Dimana gabungannya (union) Sama dg sample space S partisi dari S Utk sembarang event A Teorema Rekayasa Trafik 19

Conditional Probability Dlm praktek, mungkin tdk mungkin utk menemukan outcome yg persis dari suatu eksperimen Namun, jika kita tahu bhw Event B telah terjadi (outcome dari Event A adalah dlm set B) Probabilitas dari A jika B muncul dp dinyatakan Masih belum tahu P[A] Rekayasa Trafik 20

Conditional Probability Notasi: P[A B] Probabilitas dari A diberikan B Condition probability dari event A diberikan kemunculan dari event B Definisi: Rekayasa Trafik 21

Penjelasan Lanjut Rekayasa Trafik 22

Law of Total Probability Mis B 1, B 2,,B n eventevent mutual exclusive dimana union sama dg sample space S P[B i ] > 0 Rekayasa Trafik 23

Bayes Theorem Rekayasa Trafik 24

2 Independent Events Rekayasa Trafik 25

Independent Interpretation Rekayasa Trafik 26

Independent vs Disjoint Rekayasa Trafik 27

3 Independent Events Rekayasa Trafik 28

Most Common Application Asumsi bhw events dari eksperiments terpisah adalah independent Contoh: Asumsi bhw outcome dari suatu toss coin toss independent dari outcomes dari semua toss coin sebelum dan sesudahnya P[H] = P[T] = ½ P[HTH] = P[H]P[T]P[H] = 1/2*1/2*1/2 = 1/8 Rekayasa Trafik 29

Eksperimen Sekuensial Eksperimen: secara sekuensial subexperiments subexperiments Tiap subexp. bisa tergantung pd yg sebelumya Direpresentasikan dg suatu Tree Diagram Model Conditional Prob. Sequential Experiment Rekayasa Trafik 30

Contoh Sekuensial Koordinasi waktu 2 lampu lalu lintas P[lampuke-2 berwarna sama dg yg pertama] = 0.8 Asumsi lampu ke-1 memp kemungkinan sama utk hijau atau merah Cari P[lampu ke-2 adalah hijau]? Rekayasa Trafik 31

Contoh Sekuensial Rekayasa Trafik 32

Contoh Sekuensial P[lampu ke-2 adalah hijau]? Rekayasa Trafik 33

Counting Method Rekayasa Trafik 34

Prinsip Counting Method Rekayasa Trafik 35

K-permutations Rekayasa Trafik 36

Pilih dengan Replacement Rekayasa Trafik 37

K-combination Rekayasa Trafik 38

Independent Trials Laksanakan pengulangan percobaan (trials) p = probabilitas sukses (1-p) = probabilitas gagal Tiap percobaan adalah independent S k,n = event bahwa k sukses dlm n percobaan Rekayasa Trafik 39

Independent Trial: Contoh 3 percobaan dg 2 sukses 000 001 010 011 100 101 110 111 Berapa banyak cara utk memilih 2 dari 3 Berapa probabilitas sukses utk tiap cara? p 2 * (1-p) Rekayasa Trafik 40

Independent Trial: Contoh Contoh: pd ronde pertama dari makanan, probabilitas suatu piring akan lulus test adalah 0.8 Dari 10 kandidat, berapa probabilitas bhw x kandidat akan lolos? P[x = 8]? Solusi: A = {suatu piring lolos test}, P[A] = 0.8 Testing suatu piring adalah suatu independent trial Rekayasa Trafik 41

Independent Trials: Reliabilitas Mis probabilitas suatu komputer bekerja = p Series: P[A] = P[A1A2] = p 2 Paralel: P[B] =? P[B] = 1 P[B c ] = 1 P[B 1c B 2c ] = 1 (1 p) 2 Rekayasa Trafik 42

Random Variabel Rekayasa Trafik 43

Random Variable Suatu varibel yg menggambarkan outcome dari suatu aktivitas random seperti rolling a die Mendefinisikan sebuah pemetaan dari outcome menjadi suatu nilai (value) Has a range of values over which it can vary and a probability distribution with which it takes on these values Discrete random variable can take on a finite or countable set of values, e.g., number of customers in system Continuous random variable can take on values over a continuous interval, e.g., waiting time Rekayasa Trafik 44

Random Variable Eksperimen (Model Fisik) Komposisi dari prosedur & observasi Dari observasi, kita dapat outcomes Dari semua outcomes, kita mendapatkan model probabilitas (matematis) disebut Sample space Dari model, kita dapat P[A], A S Rekayasa Trafik 45

Random Variable Dari suatu model probabilitas Mis.: 2 lampu lalu lintas, observasi urutan dari lampu S = {R 1 R 2,R 1 G 2,G 1 R 2,G 1 G 2 } Jika dialokasikan suatu bilangan pd tiap outcome pd S, tiap bilangan yg kita observasi disebut Random Variable Observasi jumlah lampu merah S X = {0,1,2} Rekayasa Trafik 46

Random Variable Rekayasa Trafik 47

2 Tipe Random Variable Discrete Random Variable Contoh: X = # jumlah shuttle-cocks yg digunakan pd suatu pertandingan badminton Continuous Random Variable Contoh: Z = # menit dari lama panggilan Rekayasa Trafik 48

Discrete Random Variabel Rekayasa Trafik 49

Discrete Random Variable Definisi: X adalah suatu discrete random variable jika rentang/range dari X dp dihitung/ countable S x = {x 1,x 2, } X adalah suatu finite random variable jika semua nilai dg probabilitas tdk nol ada dlm set terbatas S x = {x 1,x 2,,x n } Rekayasa Trafik 50

Mengapa Kita Memerlukan suatu RV Utk suatu model probabilitas (eksperimen), outcome pd S dp dlm berbagai bentuk sembarang Jika kita implementasikan suatu Random Variable, kita dp kalkulasi rata-rata! Dlm Probabilitas, rata-rata disebut expected value dari suatu random variable Rekayasa Trafik 51

Probability Mass Function Utk suatu model probabilitas (discrete), P[A] = [0,1] Utk suatu discrete random variable, model probabilitas disebut suatu Probability Mass Function (PMF) Rekayasa Trafik 52

Probability Mass Function Rekayasa Trafik 53

Contoh PMF Contoh: 2 lampu lalu lintas, observasi urutan lampu S = { R 1 R 2, R 1 G 2, G 1 R 2, G 1 G 2 } Cari PMF dari T, jumlah dari lampu merah Rekayasa Trafik 54

Contoh PMF T adalah suatu random variable dari # lampu merah Cari P T (t) P T (t) = P[T = t] Pertama-tama, cari probabilitas utk tiap t Tiap outcome adalah equally likely 1/4 P[T=0] = P[{G 1 G 2 }] = 1/4 P[T=1] = P[{R 1 G 2, G 1 R 2 }] = 2/4 = 1/2 P[T=2] = P[{R 1 R 2 }] = 1/4 Rekayasa Trafik 55

Contoh PMF Rekayasa Trafik 56

Teorema PMF Rekayasa Trafik 57

Discrete RV Yg Berguna Discrete Uniform Random Variable Bernoulli Random Variable Geometric Random Variable Binomial Random Variable Pascal Random Variable Poisson Random Variable Rekayasa Trafik 58

Discrete RV Yg Berguna Rekayasa Trafik 59

Discrete RV Yg Berguna Rekayasa Trafik 60

Cumulative Distribution Function (CDF) Memuat informasi lengkap mengenai model probabilitas dari random variable Rekayasa Trafik 61

Teorema CDF Rekayasa Trafik 62

Contoh CDF Utk suatu binomial RV, # durian jatuh dlm 5 test dg p = 0.2 Rekayasa Trafik 63

Contoh CDF Rekayasa Trafik 64

Rata-Rata Study RV rata-rata Berapakah rata-rata dari suatu RV? Satu bilangan tunggal yg dp menggambarkan RV Suatu contoh dari statistik Apakah Statistik? Bilangan yg mengumpulkan semua informasi yg dibawah perhatian kita Rata-rata: mean, mode, dan median Rekayasa Trafik 65

Rata-Rata Mean: Sum / #terms Mode: Nilai yg paling sering P X (x mod ) P X (x) x Median: Pertengahan dari set data P[X < x med ] = P[X > x med ] Rekayasa Trafik 66

Mean Expected Value Menambahkan semua pengukuran/ #terms Contoh: E[T] =? = 0(1/4) + 2(3/4) = 3/2 Rekayasa Trafik 67

Expected Value Rekayasa Trafik 68

Discrete RV yg Berguna Rekayasa Trafik 69

Discrete RV yg Berguna Rekayasa Trafik 70

Variance & Standard Deviation Kita tahu rata-rata, E[X], kenapa kita perlu Variance & Standard Deviation? Seberapa jauh dari rata-rata? T = X µ x E[T] = E[X µ x ] = 0 Rekayasa Trafik 71

Variance Ukuran yg berguna adalah E[ T ] E[T 2 ] = E[(X µ x ) 2 ] Variance Rekayasa Trafik 72

Standard Deviation σ X andingkan dg µ x E x. σ X = 15, Score +6 dari mean OK. Pertengahan kelas E x. σ X = 3,Score +6 dari mean Sangat baik dlm grup Top class Rekayasa Trafik 73

Derived Random Variable Rekayasa Trafik 74

Mengapa Kita Perlu Derived Random Variable Dari harga sampel dari random variable, harga-harga ini utk menghitung quantities lain Contoh: cari bentuk harga suatu decibel dari signal-to-noise ratio Y = g(x) Rekayasa Trafik 75

Contoh-1 Random Variable X = # hal dlm satu fax PX(x) = jumlah hal dlm tiap fax Charging plan Hal ke-1 = 100 Rupiah Hal ke-2 = 90 Rupiah Hal ke-5 = 60 Rupiah Hal 6 10 = 500 Rupiah Cari charge dlm Rupiah utk mengirim satu fax Rekayasa Trafik 76

Contoh-1 Random Variable Y = charge dlm Rupiah utk mengirim satu fax Rekayasa Trafik 77

PMF dari Y P[Y=y] = Σ dari semua outcomes X = x dimana Y = y Rekayasa Trafik 78

Conditional PMF Rekayasa Trafik 79

Continuous Random Variabel Rekayasa Trafik 80

Random Variable Rekayasa Trafik 81

Continuous Sample Space Utk Discrete: Set bilangan countable S X = {-1,0,1,3,4} S X = {-1,0,9,0,0,5,1,1,8,2.25,2.9,3} Utk continuous: Set bilangan uncountable S X = Interval antara 2 limit S X = (x1,x2) = (-1,3) Rekayasa Trafik 82

Probabilitas dari Suatu Continuous RV Mengukur T, waktu download S T = {t 0 < t < 12} Tebak waktu download adalah (0, 10] menit Tebak waktu download adalah [5, 8] menit Tebak waktu download adalah [5, 5.5] menit Kemungkinan tebakan kita benar makin kecil Tebak waktu download adalah tepat 5.25 menit Probabilitas utk tiap outcome individual adalah nol. Probabilitas yg jadi perhatian adalah suatu interval Rekayasa Trafik 83

CDF Utk Discrete: Probability Mass Function PMF, P X (X) Utk Continuous: Tdk mungkin utk mendefinisikan PMF Cumulative Distribution Function (CDF) Rekayasa Trafik 84

Teorema CDF Rekayasa Trafik 85

Probability Density Function Rekayasa Trafik 86

Probability Density Function Slope dari CDF pd suatu region dekat x Probabilitas dari random variable X dekat x Prob. Pd suatu region keci ( ) = slope * Slope dari CDF PDF Rekayasa Trafik 87

Teorema PDF Rekayasa Trafik 88

Expected Values Rekayasa Trafik 89

Expected Value & Varaiance Rekayasa Trafik 90

Beberapa Continuous RV Berguna Uniform Exponential Gaussian Rekayasa Trafik 91

Uniform Continuous RV Rekayasa Trafik 92

Uniform Continuous RV Rekayasa Trafik 93

Exponential Continuous RV Rekayasa Trafik 94

Contoh Exponential Rekayasa Trafik 95

Exponential Continuous RV Rekayasa Trafik 96

Gaussian Random Variables Rekayasa Trafik 97

Gaussian Random Variables Rekayasa Trafik 98

Mixed Random Variable Discrete RV PMF & Summation Continuous RV PDF & Integral Kombinasi dari Discrete dan Continuous RV Unit impulse function Dp menggunakan formulas sama utk menyatakan kedua RVs Rekayasa Trafik 99

PMF PDF Rekayasa Trafik 100

PMF PDF Rekayasa Trafik 101

Contoh Rekayasa Trafik 102

Summary Probability and Random Variable Discrete Random Variable Uniform/Bernoulli/Geometric/ PMF & CDF Expected Value Variance & Standard Deviation Continuous Random Variable PDF Uniform/Exponential/Gaussian Multiple Random Variables Stochastic Process Rekayasa Trafik 103