J. Pjar MIPA Vol. V No. September : 8-85 ISSN 97-7 PENDEATAN ESTIMATOR ERNEL UNTU ESTIMASI DENSITAS MULUS Lala Hayat Program Std Peddka Matematka PMIPA FIP Uverstas Mataram Jl. Majapat No. 6 Mataram 835 e-mal: lalaagera@yaoo.com Abstrak : Msalka dberka data pegamata depede X :... dega gs destas. Ada da pedekata dalam megestmas yat dega pedekata parametrk da pedekata oparametk. Pada pedekata oparametrk dlakka jka asms betk tdak dketa. Dalam al dasmska bawa gs termat dalam kelas gs mls. Sala sat tekk tk megestmas gs mls adala tekk pemls kerel. Tgkat kemlsa gs estmas dtetka ole parameter pemls. Semak besar parameter pemlsya semak mls gs estmas da sebalkya. ata-kata c: destas mls estmator kerel parameter pemls ERNEL ESTIMATOR APPROACHES FOR ESTIMATES SMOOTH DENSITY Abstract: Let X :... be depedet observato data rom a dstrbto wt desty cto. Tere are two basc approaces or estmatg te parametrc ad te oparametrc approaces. I oparametrc approaces a kow desty cto. Te cto s assmed to be a smoot cto so te cto cold be estmated by kerel estmator. Te smootg level o kerel estmator depeds to te smootg parameter. Te bg smootg parameter gves te estmato cto wc over smoot ad te cotrary. ey Words: smoot desty kerel estmator smootg parameter I. PENDAHULUAN Dalam aalsa regres tdak sema varabel pejelas dapat ddekat dega pedekata parametrk karea tdak adaya ormas yag jelas bagamaa betk bga varabel pejelas dega varabel respoya segga ars dgaka pedekata oparametrk. Tja aalsa regres adala meetka ampra tk krva regres m. Jka dberka data pegamata depede X :... tk meetka dstrbs dar X ekvale dega meetka gs destasya. Utk megestmas gs destas dapat dlakka dega da pedekata yat pedekata parametrk da oparametrk. Pedekata oparametrk dlakka jka asms betk tdak dketa. Dalam al dasmska bawa gs termat dalam kelas gs mls yat mempya tra kot ata tertegralka secara kadrat. Permasalaa dalam destas oparametrk adala bagamaa megkostrkska estmas dar gs destas tapa membat asms strktral sepert tetag betk gs tetap aya mesyaratka bawa gs destas tersebt sekrag-kragya mempya da tra yag terbatas. Sala sat tekk tk megestmas gs mls adala tekk pemls kerel []. Metode yag palg sederaa adala stogram. Tekk pemls kerel pada estmator destas merpaka pegembaga dar estmator stogram. Dar Hayat [] dega meggaka pedekata regres oparametrk tk meemka estmator tk gs regres m dperole estmator yag kosste (dega meggaka kerel ormal badwdt.;.; da ) yat estmas total poplas semak medekat total poplas dega semak bertambaya jmla sampel (). Semak besar badwdt maka estmas total poplas semak meja total poplas. Dalam tlsa dbaas tetag pecara estmator kerel dar destas mls sat-sat da coto smlasya dega program S-Pls or Wdows. Estmator Hstogram [] Metode estmas destas secara oparametrk yag palg popler adala stogram. Nam sebearya stogram bkala merpaka alat estmas destas yag bak karea betkya yag sagat mda dpegar ole jmla kelas da lokas la tegaya da jga estmas destas yag daslka tdak kot pada batas kelas. Dketa sampel radom X :... dar sat poplas dega gs destas tak dketa. Berdasarka sampel radom aka destmas gs destasya. Msalka daera la x dbag mejad dsjo terval-terval dega pajag. Pelag observas yag mask ke dalam terval X X adala: X PX X X Dperole estmator stogram tk (x) yat: ˆ ( x ) # X X X tk sema X X X. berart bawa observas yag mask ke dalam terval yag tergatg yak X X member sokoga yag sama besar teradap x. pemla lebar kelas kecl stogram memat bayak batag kecl-kecl sedagka tk besar stogram memat sedkt batag besarbesar. X ( x ) dx 8
J. Pjar MIPA Vol. V No. September : 8-85 Estmator erel [] Fgs kerel yag mm dpaka adala gs destas da basaya dlegkap dega asms-asms tertet. Jka X X X... 8 sampel radom dar X sat dstrbs destas da sat gs terbatas da post yag meme sat sebaga berkt: Maka gs yag meme sat d atas dsebt dega erel berorder-r. sat-sat laya adala bawa merpaka gs destas da smetrk sektar ol. I ddasarka atas keyataa bawa: y ( y) dy da y ( y) dy. erel aka dgaka tk megkostrkska estmator destas oparametrk dar x yat: Dega pegals kerel yag aka memegag peraa ˆ x dalam medeska estmator ( ) da meetka varas da basya. Beberapa coto gs erel:. erel Uorm: I. erel Tragle: I 3. erel Epaeckov: I 3. erel Qartc: I 5 6 35 3 3 5. erel Trwegt: I 6. erel Gassa: dmaa I adala gs karakterstk. Coto: ( y) dy ˆ ( x) I exp I jka jka r erel Uorm: I aka dtjkka bawa d jka r tk sat blaga r x X...(*) jka jka x X jka jka d d d d Sat-sat Statstk Destas erel Msalka pegamata varabel radom X N yag berdstrbs depede da detk dega destas. Estmas destas kerel berdasarka da parameter yat: Badwdt Fgs destas kerel Dalam estmator kerel parameter pegals merpaka pegotrol kesembaga atara kesesaa krva teradap data da kemlsa krva maka sagat petg tk meetka segga estmator yag dperole jga mal. Berkt draka sat-sat statstk destas kerel. Teorema. [3] Jka Bkt: x ˆ dberka ole persamaa (*) maka tk x ˆ tak bas secara asmtots. area X berdstrbs depede da detk maka: ˆ E x E x X E x X E x X dega tk E Jad estmasya tak bas secara asmtots. Sat bas dapat jga daalss meggaka ekspas Taylor dar x s dsektar x yag dasmska C (kot deresabel da kal). Teorema. [3] Jka ˆ x dberka ole persamaa (*) maka ˆ Bas x x o dega s s ds. Bkt: Bas ˆ x s ds x s x s ds d ˆ x s x ds x sbstts dperole x s x s ds x s s s x x x o x x s ds x s s ds x s s ds o x! x x o x :!
Pedekata Estmator erel Utk Estmas Destas Mls. (Lala Hayat) dmaa o Jad estmas destas kerel: Terlat bawa bas merpaka gs kadrat dalam. Ole karea t dbtka yag kecl tk merka basya. Teorema.3 [3] Jka ˆ dberka ole persamaa (*) maka var x ˆ x x o dega s ds. Bkt: area X berdstrbs depede da detk maka: Var ˆ x Var x X var x X dmaa 3 s 3! tk dega x x s ˆ x x o Bas E o o s! tk x X x E Terlat bawa varas proporsoal dega. Ole karea t dbtka yag besar tk merka varasya. Hal bertetaga dega basya segga dperatka MSE yag memberka kotrol atara bas kadrat da varas. d x X s x s ds s x s x s x s ds x o x o x o x o d ds tk dega x x s o x o II. PEMBAHASAN Tela dketa secara mm bawa permasalaa tama pada pemls kerel tdak erletak pada pemla kerel tetap pada pemla badwdt. Pemla badwdt mm leb dtekaka pada peyembaga atara bas da varas. Sat permsa masala yag dapat memperlatka bga atara bas da varas adala MSE karea t dega memmmka MSE maka masala atara bas da varas dapat dmmmka jga. Teorema. [3] Jka x MSE x x x o o Bkt: Dar persamaa (.3) maka MSE ˆ x Var ˆ x + Bas ˆ x. D e g a meggaka teorema.6 da.7 maka dperole: MSE ˆ x x x Teorema. [3] o Jka o maka x kosste tk (x). Bkt: Dar teorema 3. terlat bawa jka maka ˆ x ˆ p x. x ˆ adala estmator MSE Dega kata la p mal yag dperole dar arg m MSE mˆ segga dperole teorema berkt: Teorema.3 [3] Jka maka: 5 (). o / / 5 (). MSEmˆ o. Selajtya ddeska badwdt Bkt: (). Dar teorema [3] dkataka bawa x Jka maka Pedekata MSE tk m x ˆ adala x m MSE( mˆ x)= x x m x x x o o 83
J. Pjar MIPA Vol. V No. September : 8-85 dperole: MSE( ) = ˆ m x A B dega A Apabla dambl o /5 x x B m x x MSE mˆ x x x m MSE mˆ 3 A B x A B / 5 m (). Apabla la dperole: MSE mˆ x A m x x x x dperole: / 5 dsbstts ke MSE ˆ o / 5 m B x /5 / 5 5 x m A / 5 / 5 B x x x / 5 m / 5 Coto smlas estmas destas erel Bagamaa pegar gs erel (Tragle Parze Gassa) da badwdt (=.;.5;.;.5). Msalka: Y st t sort( ()) ~ N Estmas destas oparametrk dega meggaka kerel d atas dtjkka pada gambar berkt : 8
Dar tampla gambar da 3 dapat dbat kesmpla yat:. Dega badwdt yag tetap tdak ada perbedaa sgka secara vsal (grak) dega berbaya gs kerel.. Dega gs kerel yag tetap terdapat perbedaa yag sgka secara vsal (grak) dega berbaya badwdt. Dmaa semak besar badwdt maka gars grak yag daslka semak mls. III. ESIMPULAN DAN SARAN Dar raa d atas dapat dsmplka bawa tk megestmas gs destas jka ormas model dstrbs X tak dketa maka dapat destmas dega meggaka pedekata oparametrk. Sala sat pedekata oparametrk dega meggaka tekk pemls kerel. Tgkat kemlsa gs estmas dtetka ole parameter pemls. Semak besar parameter pemlsya semak mls gs estmasya da sebalkya. Adap sara yag dapat dkemkaka adala: perl dlajtka pembaasa pada masala gs kerel yag laya sela erel Tragle erel Parze da erel Gassa dega badwdt yag bervaras da perl dkaj jga tekk tk megestmas gs mls yag laya. Pedekata Estmator erel Utk Estmas Destas Mls. (Lala Hayat) DAFTAR PUSTAA [] Hardle W. 99. Appled Noparametrc Regresso Aalyss. Cambrdge Uversty Press Cambrdge. [] Hardle W. 99. Smootg T ecqes W Implemetato S. Sprger Verlag New York [3] Hardle W. 99. Samplg Tecqe. Sprger Verlag Lodo. [] Hayat L.. Regres Noparametrk Utk Megestmas Total Poplas Bergga. Jral Peelta Uverstas Mataram. (5): -8. 85