PERBANDINGAN KEEFEKTIFAN METODE REGRESI ROBUST ESTIMASI-M DAN ESTIMASI- MM KARENA PENGARUH OUTLIER DALAM ANALISIS REGRESI LINEAR

Transkripsi

1 PERBANDINGAN KEEFEKTIFAN METODE REGRESI ROBUST ESTIMASI-M DAN ESTIMASI- MM KARENA PENGARUH OUTLIER DALAM ANALISIS REGRESI LINEAR (CONTOH KASUS DATA PRODUKSI PADI DI JAWA TENGAH TAHUN 007) skrps dsajka sebaga salah sat syarat tk memperoleh gelar Sarjaa Sas Program Std Matematka oleh Haa Ardyat JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 0

2 PERNYATAAN Dega saya meyataka bahwa s skrps tdak terdapat karya yag perah dajka tk memperoleh gelar kesarjaaa d sat Pergra Tgg, da sepajag pegetaha saya tdak terdapat karya yag dterbtka oleh orag la, kecal yag secara tertls drjk dalam skrps da dsebtka dalam daftar pstaka. Semarag, 3 Agsts 0 Haa Ardyat NIM

3 PENGESAHAN Skrps yag berjdl Perbadga Keefektfa Metode Regres Robst Estmas-M da Estmas-MM karea Pegarh Otler dalam Aalss Regres Lear (Cotoh Kass Data Prodks Pad d Jawa Tegah tah 007) dss oleh Nama : Haa Ardyat NIM : telah dpertahaka dhadapa sdag Pata Uja Skrps FMIPA UNNES pada taggal 3 Agsts 0. Pata: Keta Sekertars Dr. Kasmad Imam S., M.S. NIP Keta Pegj Drs. Edy Soedjoko, M.Pd NIP Aggota Pegj/ Pembmbg Pedampg Iqbal Kharsd, S.Pd, M.Sc NIP Aggota Pegj/ Pembmbg Utama Prof. Dr. YL. Skestyaro, M.S. NIP Dra. Sarm, M.S NIP

4 MOTO DAN PERSEMBAHAN Moto: Allah aka meggka orag-orag yag berma d atara kam da orag-orag yag dber lm pegetaha beberapa derajat? (Sa At-Trmdz) TIdak ada yag mamp meolak takdr kecal do a. (Sa At-Trmdz) Hargalah wakt dega sebak-bakya, karea ketka sema telah berlal haya ada peyesala yag terjad. Termalah segala resko perjalaa hdp dega setls hat, dega kelapaga hat, da dega rasa sykr yag besar karea sema aka dah pada waktya. Persembaha: Skrps kpersembahka kepada:. Ayah da Ib tercta, atas sema doa, kash sayag da motvas sepajag perjalaa hdpk.. Adk-adkk (Ita da Va) yag selal ksayag. 3. Hoy, yag selal kkage, yag jah dsaa tetap selal megrg lagkahk. 4. Tema-tema Kost member dkga da motvas. 5. Tema-tema MatPar 06 yag tak haya memberk kebahagaa da keyamaa ketka ak belajar, tetap jga membka matak betapa dahya kebersamaa. v

5 KATA PENGANTAR Segala pj da sykr pels pajatka kehadrat Tha Yag Maha Kasa yag telah melmpahka kara-nya, sehgga pels mash dber kekata tk meyelesaka skrps dega jdl Perbadga Keefektfa Metode Regres Robst Estmas-M da Estmas-MM karea Pegarh Otler dalam Aalss Regres Lear. Peysa skrps sebaga syarat akhr tk memperoleh gelar Sarjaa Sas. Peyelesaa skrps tdak terlepas dar bata da dkga berbaga phak yag sagat berga bag pels. Oleh karea t, perkeakalah pels megcapka terma kash kepada:. Prof. Dr. H. Sdjoo Sastroadjmojo, M. S, Rektor Uverstas Neger Semarag.. Dr. Kasmad Imam S.,M.S, Deka Fakltas Matematka da Ilm Pegetaha Alam Uverstas Neger Semarag. 3. Drs. Edy Soedjoko, M.Pd, Keta Jrsa matematka yag telah memberka z dalam peysa skrps. 4. Dra. Sarm, M.S, Pembmbg tama yag telah memberka bmbga da pegaraha dalam peysa skrps. 5. Prof. Drs. YL. Skestyaro, M.S.,Ph.D, Pembmbg pedampg yag telah memberka bmbga da pegaraha dalam peysa skrps. 6. Bapak da Ib dose yag telah memberka bekal lm yag tak terla hargaya selama belajar d Fakltas Matematka da Ilm pegetaha Alam Uverstas Neger Semarag. 7. Kelargak tersayag yag seatasa medkg lagkahk dega rga doa da bela kash sayg. 8. Seseorag yag secara tdak lagsg telah memberka perhata, kash sayag da doaya. 9. Tema-tema Matematka agkata 006 atas doa, bata, da dkga yag telah dberka. v

6 Pels meyadar bahwa mash bayak kekraga dalam pelsa skrps. Oleh karea t, krtk da sara sagat dharapka ga sempraya skrps. Akhrya, semoga skrps dapat bermafaat bag para pembaca. Semarag, 3 Agsts 0 Pels v

7 ABSTRAK Ardyat, Haa. 0. Perbadga Keefektfa Metode Regres Robst Estmas-M da Estmas-MM karea Pegarh Otler dalam Aalss Regres Lear. Skrps, Jrsa Matematka Fakltas Matematka da Ilm Pegetaha Alam Uverstas Neger Semarag. Pembmbg Utama: Dra. Sarm, M.S. da Pembmbg Pedampg: Prof. Drs. YL. Skestyaro, M.S.,Ph.D. Kata kc: Otler, OLS, Estmas-M, Estmas-MM. Aalss regres ler adalah aalss terhadap hbga sat varabel tak bebas (Y) dega sat ata lebh varabel bebas (X). Estmas parameter basaya dselesaka dega metode kadrat terkecl. Aka tetap, apabla terdapat otler, maka estmas koefse gars regres dega metode kadrat terkecl mejad tdak tepat. Hal medorog peelta ke dalam pedekata yag lebh robst. Estmas-M da Estmas-MM adalah metode-metode dalam regres robst. Permasalaha yag dkaj dalam peelta adalah metode maakah yag lebh efektf dalam megatas permasalaha otler pada metode kadrat terkecl. Tja dar peelta adalah tk megetah metode maakah yag lebh efektf, atara metode Estmas-M da metode Estmas-MM. Dalam peelta megambl smlas pada sat kass dega megggaka data dar BPS (Bada Psat Statstk) Provs Jawa Tegah yat data tetag prodks pad tap kabpate ata kota d Provs Jawa Tegah tah 007, dmaa varabel varabel tersebt melpt jmlah prodks pad, las pae, da jmlah peddk. Proses aalss dmla dega meggaka metode kdrat terkecl, detfkas otler, da aalss dega da metode robst. Dalam mela hasl keda metode dega membadgka stadar error keda metode dega OLS yag terdapat otler. Apabla stadar error yag dhaslka metode regres robst lebh kecl dar OLS, maka regres robst dapat megaalss data tapa membag otler da meghaslka estmas yag resste terhadap otler. Sehgga dapat dkataka regres robst dapat megatas kelemaha OLS terhadap pegarh otler. Berdasarka hasl peelta da pembahasa dapat dsmplka bahwa bak Estmas-M map Estmas-MM mempya keefektfa yag sama dalam megatas otler pada OLS, karea kedaya dapat megeclka stadar error yag dhaslka OLS. Dlhat dar efek breakdow pot, Estmas-M krag efektf darpada Estmas-MM dalam megatas pegarh otler pada varabel predktor. Berdasarka hasl peelta dsaraka bag peelt yag mejmpa otler dalam data observas, tdak perl membag otler tersebt, karea regres robst dapat meghaslka model regres yag resste terhadap otler. v

8 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN PENGESAHAN... PERNYATAAN... MOTTO DAN PERSEMBAHAN... v KATA PENGANTAR... v ABSTRAK... v DAFTAR ISI... v DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... v BAB PENDAHULUAN..... Latar Belakag Masalah..... Permasalaha Pembatasa Masalah Tja Peelta Mafaat Peelta Sstematka Pelsa... 7 BAB LANDASAN TEORI Skala Data Skala No-metrk Skala Metrk Matrks Perkala Matrks dega Skalar..... Perkala Da Matrks Traspose Matrks Determa Matrks Matrks Idettas Matrks Adjot... 4 v

9 ..7 Ivers Matrks Regres Lear Model Regres Lear Sederhaa Model Regres Lear Bergada Asms Model Regres Lear Metode Kadrat Terkecl Pecla (Otler) Idetfkas Otler Metode Boplot Metode Leverage Vale Metode Cook s Dstace Stadardzed Resdal Breakdow Pot Regres Robst Estmas-M Least Meda Sqares Least Trmmed Sqares Estmas-S Estmas-MM Fgs-fgs Ukra Robst Fgs Pembobot Hber Fgs Pembobot Tkey Bsqre Keragka Berfkr Hpotess BAB 3 METODE PENELITIAN Peeta Masalah Permsa Masalah Std Pstaka Aalss da Pemecaha Masalah Pearka Smpla... 49

10 BAB 4 HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Regres Robst Estmas-M da Estmas-MM tk Permasalaha Otler pada OLS Cotoh Kass Metode Kadrat Terkecl Pedeteksa Otler Metode Boplot Metode Leverage Vale Metode Cook s Dstace Stadardzed Resdal Regres Robst Estmas-M Regres Robst Estmas-MM Pembahasa BAB 5 PENUTUP Smpla Sara DAFTAR PUSTAKA TABEL LAMPIRAN... 87

11 DAFTAR TABEL Tabel. Perbadga Beberapa Estmas Regres Robst Perbadga Fgs Hber da Fgs Tkey Bsqare Keragka Berfkr Hasl Otpt Aalss Regres Metode Kadrat Terkecl Hasl Perhtga Metode Boplot Hasl Nla Metode Leverage Hasl Nla Cook s dstace Hasl Nla Stadardzed Resdal Hasl Otpt Aalss Regres Metode Kadrat Terkecl Tapa Otler Hasl Otpt Aalss Regres Robst Metode Estmas-M Hasl Dagosa Otler da Leverage Pots Metode Estmas-M Hasl Otpt Aalss Regres Robst Metode Estmas-MM Hasl Dagosa Otler da Leverage Pots Metode Estmas-MM Perbadga Hasl Estmas OLS tapa otler, M da MM Perbadga Stadar Error dar Keempat Metode... 87

12 DAFTAR GAMBAR Gambar. Skema Idetfkas Otler Meggaka Boplot Boplot tk Ketga Varabel Hasl Plot Nla Cook s Dstace... 63

13 DAFTAR LAMPIRAN Lampra. Data Jmlah Prodks Pad, Las Pae da Jmlah Peddk drc mert Kabpate/Kota d Provs Jawa Tegah pada Tah

14 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Regres merpaka salah sat tekk aalss statstka yag palg bayak dgaka. Bayak sekal tekk aalss statstka yag dtrka ata ddasarka pada prsp-prsp regres. Adaya aalss regres sagat megtgka bag bayak phak, bak bdag sas, sosal, dstr map bss. Istlah regres pertama kal dperkealka pada tah 886 oleh Sr Fracs Galto dalam peelta bogeetsya. Galto meemka adaya tedes bahwa orag ta yag memlk tbh tgg memlk aak-aak yag tgg da orag ta yag memlk tbh pedek memlk aak-aak yag pedek pla. Meskp demka, Galto megamat bahwa ada kecederga tgg aak cederg bergerak mej ratarata tgg poplas secara keselrha. Dega kata la, ketgga aak yag amat tgg ata orag ta yag amat pedek cederg bergerak kearah rata-rata tgg poplas (Sprato, 005:35). Iterprestas moder megea regres agak berlaa dega regres vers Galto. Secara mm aalss regres pada dasarya adalah std megea

15 ketergatga sat varabel depede (terkat) dega sat ata lebh varabel depede (bebas) dega tja tk megestmas ata memperkraka ratarata poplas ata la rata-rata varabel depede berdasarka la varabel depede yag dketah (Gjarat, 995:6 ). Hasl dar aalss regres berpa koefse regres tk masg-masg varabel depede. Koefse dperoleh dega cara mempredks la varabel depede dega sat persamaa. koefse regres dhtg dega da tja sekalgs. Pertama, memmmka peympaga atara la aktal da la estmas varabel depede. Keda, megoptmalka korelas atara la aktal da la estmas varabel depede berdasarka data yag ada. Aalss regres merpaka sat aalss statstka yag megkr kekata hbga da mejka arah hbga atara sekelompok varabel. Dalam aalss regres dbedaka da jes varabel yat varabel bebas (depede) da varabel terkat (varabel depede). Hbga atara varabel varabel tersebt dapat dyataka dalam model matematka. Betk mm model regres lear Y β + β X + β X + K + β X 0 k k + ε. Keteraga : β 0 β, K, β k koefse regres, X, X, K, X k varabel bebas Y varabel terkat error Salah sat tja dalam aalss regres adalah megestmas koefse regres dalam model. Pada mmya dgaka metode estmas kadrat terkecl

16 3 ata Ordary Least Sqare (OLS) Method tk megestmas koefse regres dalam model regres. Metode kadrat terkecl adalah sat metode yag dgaka tk megestmas koefse gars regres dega cara memmmka jmlah kadrat resdal. Peggaa metode kadrat terkecl memerlka beberapa asms klask yag hars dpeh. Beberapa asms t atara la: () ε merpaka varabel radom da megkt dstrbs ormal; () varas dar ε adalah kosta da homokedaststas; (3) tdak ada atokorelas; da (4) tdak ada mltkoleartas d atara varabel depede. Jka asms-asms klask dalam metode kadrat terkecl terpeh maka pedga parameter yag dperoleh bersfat Best Lear Ubased Estmas (BLUE). Pada keyataaya, asms tdak selal dpeh sehgga peggaa metode kadrat terkecl perl dhdar. Salah sat peyebab tdak terpehya asms klask (asms ormaltas) adalah adaya otler. Otler adalah sat ata beberapa data yag terlhat jah dar pola kmpla data keselrha. Adaya otler dalam Metode Kadrat Terkecl megakbatka estmas koefse gars regres yag dperoleh tdak tepat. Hal berart la estmas parameter-parameter dalam model regres lear dapat dpegarh oleh sat ttk data ekstrm yag merpaka otler. Pedeteksa otler merpaka tahapa dagoss yag perl dlakka tertama jka estmas modelya dega metode kadrat terkecl, yag dkeal ckp peka terhadap otler. Metode pedeteksa

17 4 pecla dlakka dega beberapa metode, atara la metode boplot, Leverage vale, Cook s Dstace, da Stadardzed resdal. Terdapatya otler dalam data aka megakbatka betk sebara data tdak lag smetrk tetap cederg mejlr ke arah otler sehgga melaggar asms ormaltas. Terkadag tk megatas hal, seorag peelt melakka trasformas pada data dega maksd agar asms terpeh. Nam, sergkal trasformas yag dlakka terhadap data tdak dapat memperkecl la leverage otler yag akhrya membaska pedgaa. Dalam kass sepert, aalss regres robst merpaka metode yag palg layak dgaka. Regres robst dperkealka oleh Adrews (97). Regres robst merpaka metode regres yag dgaka ketka dstrbs dar error tdak ormal da ata adaya beberapa otler yag berpegarh pada model (Olve, 005:3). Metode merpaka alat petg tk megaalss data yag dpegarh otler sehgga dhaslka model yag robst ata resste terhadap otler. Sat estmas yag resste adalah estmas yag relatf tdak terpegarh oleh perbaha besar pada baga kecl data ata perbaha kecl pada baga besar data. Prosedr robst dtjka tk megakomodas adaya keaeha data, sekalgs megdetfkas adaya data otler. Dalam regres robst terdapat beberapa metode estmas, atara la adalah Estmas-M, Least Meda of Sqares (LMS), Least Trmmed Sqares (LTS), Estmas-S, da Estmas-MM. Kelma metode regres robst tersebt mempya kelemaha da kelebha masg-masg. Estmas-M mempya efses yag tgg, tetap la breakdow pot 0. LMS, LTS, da Estmas-S mempya

18 5 breakdow pot yag tgg (BDP 0,5), aka tetap efsesya sagat redah. Estmas-MM mempya efses tgg da breakdow pot yag tgg pla. Pada peelta, pels haya meggaka metode regres robst dega estmas-m da estmas-mm. Pemlha keda metode tersebt karea estmas-m da estmas-mm merpaka sat tekk robst yag poplar da palg mm serta mdah dalam pegaplkasaya darpada metode regres robst yag la. Sela t terdapat perbedaa la breakdow pot dar keda metode tersebt sehgga medorog pels tk medalam keda metode tersebt. Berdasarka raa d atas, maka pels mecoba megambl jdl Perbadga Keefektfa Metode Regres Robst Estmas-M da Estmas-MM karea Pegarh Otler dalam Aalss Regres Lear.. Permasalaha Berdasarka latar belakag yag telah draka d atas, maka permasalaha yag tmbl adalah sebaga berkt. () Bagamaa krtera metode-metode yag dapat dpergaka dalam medeteks keberadaa otler? () Bagamaa hasl model regres robst dega metode estmas-m? (3) Bagamaa hasl model regres robst dega metode estmas-mm? (4) Metode maakah yag lebh efektf atara estmas-m da estmas-mm jka dtja dar efek breakdow pot da stadar eror?

19 6.3 Pembatasa Masalah Dalam skrps, pels memberka batasa masalah sebaga berkt. () Data yag dgaka adalah data yag memat otler. () Model regres yag dpaka adalah model regres lear. (3) Metode yag dgaka adalah regres robst dega estmas-m da estmas-mm..4 Tja Peelta Berdasarka latar belakag d atas, maka tja dar peelta adalah agar pembaca dapat: () megetah krtera metode-metode yag dapat dpergaka dalam megdetfkas keberadaa otler; () megetah peggaa regres robst dega estmas-m da estmas-mm dalam megatas permasalaha otler pada OLS; (3) membadgka hasl model metode regres robst estmas-m da estmas-mm; da (4) megetah metode yag lebh efektf dalam dalam regres robst jka dtja dar efek breakdow pot da stadar eror..5 Mafaat Peelta Mafaat dar peelta d ataraya adalah sebaga berkt. () Meambah pegetaha Matematka bdag Statstka khssya tetag data otler.

20 7 () Meambah perbedaharaa hasl peelta mr, khssya dapat dgaka sebaga alteratf pemlha sols persoala statstka. (3) Dapat memberka pegetaha tk megdetfkas serta meagglag pegarh otler dalam data yag aka daalss. (4) Dapat memberka pegetaha tetag perbadga estmas-m da estmas-mm..6 Sstematka Pelsa Secara gars besar skrps dbag mejad tga baga yat baga awal skrps, baga s skrps da baga akhr skrps. Berkt djelaska masg-masg baga skrps. () Baga awal skrps Baga awal skrps melpt halama jdl, abstrak, halama pegesaha, halama motto da persembaha, kata pegatar, daftar s, daftar gambar, daftar tabel, daftar lampra da abstrak. () Baga s skrps Baga s terdr dar lma bab. Adap lma bab tersebt adalah sebaga berkt. Bab Pedahla Pada bab Pedahla dkemkaka tetag alasa pemlha jdl, permasalaha, batasa masalah, tja peelta, mafaat peelta, da sstematka pelsa skrps. Bab Ladasa Teor

21 8 Dalam bab dkemkaka kosep-kosep yag djadka ladasa teor sepert skala data, regres lear, metode kadrat terkecl (OLS), pecla, detfkas otler, regres robst, fgs-fgs kra robst, keragka berpkr, da hpotess. Teor-teor tersebt medasar pemecaha masalah yag dajka Bab 3 Metode Peelta Pada bab bers peeta masalah, permsa masalah, std pstaka, aalss da pemecaha masalah, serta pearka smpla. Bab 4 Pembahasa Bab bers tetag hasl peelta da pembahasa, sebaga jawaba dar permasalaha. Bab 5 Petp Dalam bab dkemkaka smpla dar pembahasa da sara yag berkata dega smpla. (3) Baga akhr skrps Baga akhr skrps melpt daftar pstaka da lampra-lampra yag medkg.

22 BAB II LANDASAN TEORI. Skala Data Data peelta dapat dskala ata dkategorka ke dalam da tpe, yat:.. Skala No-metrk Skala data o-metrk dgaka tk peelta kaltatf. Mert Skestyaro (008: 3-4), tpe data yag termask dalam jes adalah : () Data Nomal Data berbetk blaga dskrt da merpaka hasl kovers data kaltatf. Tap blaga dar jes data tdak mempya art mert besarya atap possya, melaka haya sebaga smbolsas data saja. Dataya dapat secara bebas dss tapa memperhatka rta, da dapat dpertkarka sesa kesepakata. Cotoh: - Data dar varabel jes agama: Islam, Krste, Katolk3, Hd4, Bdha5. - Data dar varabel stats dr : Sgle, Kaw, Cera3. - Data dar varabel jes kelam: Pra, Wata0. () Data Ordal 9

23 0 Sepert data omal, data jga merpaka hasl kovers dar data kaltatf. Nam blaga dar jes data mejkka rta yag berbeda mert kaltas atrbtya. Cotoh: - Data dar varabel kerja mahasswa: sagat jelek, jelek, 3ckp, 4bags, 5sagat bags. Ds, rta data sampa dega 5 meymbolka kaltas. Blaga peggat kaltas tersebt mempya sat tgkata atrbt... Skala Metrk Skala data metrk dgaka tk peelta kattatf. Mert Skestyaro (008: 4), tpe data yag termask dalam jes adalah : () Kardal Data berbetk dskrt da berasal dar hasl memblag ata meghtg dar sat varabel. Data berpa blaga merk yag blat. Cotoh: Jmlah bk yag dmlk mahasswa, jmlah barag dagaga tap koperas, jmlah tedaga pema sepak bola. () Iterval Data merpaka hasl dar pegkra sat varabel. Data terval dasmska berbetk blaga kot yag mempya rta. Pada data jes tdak

24 mempya ol mtlak. Artya, jka respode mempya varabel berla ol (0) bka berart tdak memlk sbstas sama sekal. Msalka pada varabel sh/temperatr sat raga. Terdapat raga yag mempya sh 0 0 C, ds la ol bka berart raga tersebt tdak mempya sh sama sekal tetap sh 0 0 C mash bermaka mempya sbtas sh, terdapat jga sh egatf. (3) Raso Sama dega jes data terval, data jga merpaka hasl dar pegkra sat varabel da merpaka data berbetk kot. Perbedaa jes data raso dega jes data terval adalah jes data mempya ol mtlak, artya jka sat respode mempya varabel berla ol (0) berart tdak memlk sbstas sama sekal. Msalya, varabel massa beda, jka sat beda massa 0 kg berart tdak ada sbstas yag dkr massaya.. Matrks Mert Hadley (99: 5), Matrks ddefska sebaga ssa perseg pajag dar blaga-blaga yag datr dalam bars da kolom. Matrks dapat dtls sebaga berkt:

25 a a A M a m a a M a m L L L a a M a m Ssa d atas dsebt matrks m kal (dtls m), karea memlk m bars da kolom. Eleme-eleme matrks berpa blaga real map fgs blaga real... Perkala Matrks dega Skalar Mert Hadley (99: 53), Jka dberka sebah matrks A da sebah skalar λ, maka hasl perkala λ da A dtls λa ddefska sebaga λa λa λa M λa m λa λa M λa m L L L λa λa M λa m.. Perkala Da Matrks Jka dberka matrks A m da matrks B m maka hasl kal AB ddefska sebaga dar A, B. Dapat dtls sebaga berkt: C mm yag eleme-elemeya dhtg dar eleme-eleme C j k a k b kj,, K, m; j, K, r (Hadley, 99: 57) Perkala matrks A da matrks B terdefs jka da haya jka jmlah kolom matrks A sama dega jmlah bars matrks B.

26 3 Cotoh: Dketah matrks A da B Tetka perkala atara matrks A da matrks B Peyelesaa: AB Traspose Matrks Mert Hadley (99: 5) Traspose dar matrks A adalah matrks yag dbetk dar A dega mempertkarka bars-bars da kolom-kolom sehgga bars dar A mejad kolom dar matrks traspose. Traspose dotaska dega A '. Padag A adalah matrks m, maka A' adalah matrks m. Cotoh: 3 A maka A ' Determa Matrks Determa sat matrks A basaya dlambagka dega det(a) ata A. Padag A matrks perseg berordo

27 4 a a A M a a a M a L L L a a M a Jka eleme pada bars ke- da kolom ke-j dhaps, maka determa matrks perseg ssaya (berordo -) dsebt mor dar a j, da dyataka oleh M. j Mor bertada, j ( ) M j dsebt kofaktor j a da dyataka oleh a j. Nla determa A, dega A matrks berordo adalah jmlah hasl kal yag dperoleh dar perkala tap eleme sat bars (kolom) A dega kofaktorya, yat: A k ( ± ) a a K a j r Sebah sr dber tada (+) jka (, j, k,k,r) adalah permtas geap dar (,, K, ), da tada (-) jka permtas gajl. (Hadley, 99: 7)...5 Matrks Idettas Mert Hadley (99: 6), Matrks dettas ordo, yag dtls dega I ata I adalah matrks bjr sagkar yag mempya agka-agka sat sepajag dagoal tama (dagoal kr atas mej kaa bawah) da ol d maa-maa. Secara mm dapat dtls: 0 I 0 M M L L L L O L M

28 5..6 Matrks Adjot Matrks adjot basaya dlambagka dega adj(a). Padag A matrks perseg berordo a a A M a a a M a L L L a a M a Jka setap eleme matrks A dgat oleh kofaktorya, maka dperoleh matrks kofaktor K sebaga berkt. K k k M k k k M k L L L k k M k dmaa kofaktor. Tada kofaktor ms (-) kala (+j) gajl, da pls (+) kala (+j) geap. Traspose dar matrks kofaktor dsebt adjot. Jad adj(a) (Sprato, 005: 34)..7 Ivers Matrks K '. Dberka matrks bjr sagkar A. Jka terdapat matrks bjr sagkar A yag memeh hbga maka A A AA I A dsebt vers kebalka dar A. Ivers dar matrks A dapat dyataka dega: A AdjA, A A 0

29 6 (Hadley, 99: 89) Cotoh: Dketah matrks A 0 Tetka vers dar matrks A Peyelesaa: A A Adj A () (0) Regres Lear.3. Model Regres Lear Sederhaa Aalss regres adalah sat metode yag berga tk meetka hbga sat varabel yag dsebt varabel depede dega sat ata lebh varabel yag meeragka ata yag serg dsebt varabel depede. Salah sat tja aalss regres adalah meetka model regres yag bak, sehgga model dapat dgaka tk meeragka da mempredks hal-hal yag berhbga dega varabel-varabel yag terlbat d dalam model regres.

30 7 Mert Sembrg (995:3), model regres adalah model yag memberka gambara megea hbga atara varabel bebas dega varabel terkat. Jka aalss dlakka tk sat varabel bebas dega varabel terkat, maka regres damaka regres sederhaa dega model: Keteraga : Y α + βx + ε. (.) α, β koefse gars regres, Y varabel terkat X varabel bebas error / sesata..3. Model Regres Lear Bergada Sat masalah mgk melbatka beberapa varabel X X,, X, K k da sat varabel terkat Y yag ddga laya tergatg pada la-la X,, X, K X k. Regres lear gada mejelaska hbga fgsoal lear atara kelompok varabel bebas [ X, X,, ] K X k da varabel terkat Y. Secara mm, model regres lear gada melbatka sat varabel terkat Y da varabel bebas X,, X, K X k dyataka sebaga berkt Y k β 0 + βx + K+ β k X + ε (.) Keteraga : X,, X, K X k varabel bebas j koefse regres Y varabel terkat error

31 8.3.3 Asms Model Regres Lear Asms-asms yag hars dpeh agar OLS dapat meghaslka estmas yag bak pada model regres yat sebaga berkt. () Nla rata-rata dar kasalaha peggagg sama dega ol E 0 tk,,k,. () Tdak ada atokorelas atara kasalaha peggagg yag sat dega yag laya kov 0 tk j. (3) Sema kesalaha peggag mempya vara sama ata dsebt dega homoskedaststas var σ tk,,k,. (4) Varabel bebas X adalah sat hmpa blaga yag tetap da bebas terhadap kesalaha peggagg ε. (5) Tdak terdapat hbga atara varabel bebas X ata tdak terdapat mltkoleartas atara varabel bebas X. (6) Gagga berdstrbs ormal dega rata-rata ol da varas. σ.4 Metode Kadrat Terkecl (Ordary Least Sqare Method) Metode kadrat terkecl pertama kal dkemkaka oleh Carl Fredrch Gass, seorag ahl matematka Jerma. Metode kadrat terkecl merpaka metode yag lebh bayak dgaka dalam pembetka model regres ata megestmas parameter-parameter regres dbadgka metode-metode la.

32 9 Metode kadrat terkecl adalah metode yag dgaka tk megestmas la dega cara memmmka jmlah kadrat dar resd. Mert Sembrg (995:40), estmas koefse gars regres da pada data pegamata dega metode kadrat terkecl dperoleh dega memmmka fgs: J ( y α β ). ε (.3) Pada persamaa (.3), da y blaga yag berasal dar pegamata, sedagka da berbah bla gars regresya berbah. Jka J dtrka terhadap da, kemda meyamakaya dega ol, maka dperoleh J α ata, y ( α β ) 0 y α β 0 (.4) da J β ata, ( y α β ) 0 y α β 0 (.5) Jka la da pada persamaa (.4) da (.5) dgat dega a da b, maka persamaaya mejad sat sstem persamaa lear. Nla a da b merpaka estmas (taksra) dar da

33 0 + y b a (.6) + y b a Dar persamaa (.6) yag pertama dperoleh :, b y b y a dega da y y. Persamaa (.6) yag keda mejad b b y y 0 b y y 0. Jad, y y b

34 Estmas persamaa regres ŷ adalah b a y + ˆ da la ssaa y y e ˆ. Jad taksra persamaa regres dapat dtls sebaga b a y + ˆ b b y + ). ( b y + Mert Sembrg (995:93), estmas parameter dega metode kadrat terkecl tk regres bergada sebaga berkt. Dar persamaa regres sederhaa dapat dtls ( ). 0 k k X X y J β β β ε K (.7) Utk memmmka (.7), dcar tra J secara parsal terhadap j β, j 0,,,K,k da dsamaka dega ol sehgga dperoleh 0 ) ( 0 0 k k X X y J β β β β K 0 ) ( 0 k k X X y J β β β β K, 0 ). ( 0 k k X X y J β β β β K, 0 ) ( 0 k k k k X X y J β β β β K. (.8) Persamaa (.8) meghaslka p persama ormal berkt

35 k k y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ β β β β K k k y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ β β β β K k k y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ β β β β K k k k k k k y 0. ˆ ˆ ˆ ˆ β β β β K (.9) Jka dss dalam betk matrk maka persamaa (.9) mejad X Y X X βˆ (.0) dega y y y Y M, k k k X L M O M M L K, β k β β β β ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 M k k k k k X X ' L M O M M L L

36 3 k k k k k y y y y y y Y X ' M M L M O M M L L Utk meyelesaka persamaa (.0) maka hars dkalka dega vers dar ) ' ( X X. Sehgga estmas kadrat terkecl dar β adalah Y X X X X X X X ' ) ' ( ˆ ' ) ' ( β. ' ) ' ( ˆ Y X X X β Model persamaa regres bergada dapat dtls Peyelesaa estmas parameter dega metode kadrat terkecl tk regres bergada dega meggaka matrks sebaga berkt. Dega meggaka otas matrks, model persamaa regres bergada dapat dtls (.) Prsp dar OLS adalah megestmas la dega cara memmmka jmlah kadrat error. Jmlah kadrat error dalam aljabar matrk dotaska dega. Dar persamaa (.),. Kemda tk memmmka jmlah kadrat error dapat dtjkka sebaga berkt. ε β β β k k X X Y K 0

37 4 (.) Utk memmmka (.), dcar tra terhadap da dsamaka dega ol sehgga dperoleh..5 Pecla (Otler) Otler adalah kass ata data yag memlk karakterstk k yag terlhat sagat berbeda jah dar observas-observas laya da mcl dalam betk la ekstrm, bak tk sebah varabel tggal map varabel kombas (Ghozal, 009: 40). Mert Hampel, Rosseeaw da Stahel, sebagamaa dktp oleh Olve (006:4), medefska otler adalah observas yag meympag dar pola yag terbetk oleh sebaga besar data. Mert Ghozal (009: 40), Terdapat empat peyebab tmblya data otler atara la: Kesalaha dalam memaska data, gagal dalam mespesfkas adaya mssg vale dalam program kompter, otler bka

38 5 merpaka aggota poplas yag d ambl sebaga sampel, da otler berasal dar poplas yag d ambl sebaga sampel, tetap dtrbs dar varabel dalam poplas tersebt memlk la ekstrm serta tdak terdstrbs secara ormal. Pada aalss regres terdapat 3 tpe otler yag berpegarh terhadap estmas OLS. Roessew da Leroy (987) sebagamaa dktp oleh Cro (008:), megealka 3 jes otler tersebt sebaga vertcal otlers, good leverage pots da bad leverage pots. Vertcal otlers adalah sema pegamata yag terpecl pada varabel respo, tetap tdak terpecl dalam varabel predktor. Keberadaa vertcal otlers berpegarh terhadap estmas Least Sqares, khssya pada estmas tersep. Good leverage pots adalah pegamata yag terpecl pada varabel predktor tetap terletak dekat dega gars regres. Hal berart mejah tetap y cocok dega gars lear. Keberadaa good leverage pots tdak berpegarh terhadap estmas Least Sqares, tetap berpegarh terhadap feres statstk karea good leverage pots megkatka estmas stadar error. Bad leverage pots adalah pegamata yag terpecl pada varabel predktor da terletak jah dar gars regres. Keberadaa bad leverage pots berpegarh

39 6 sgfka pada estmas Least Sqares, bak terhadap tersep map slope dar persamaa regres. Mert Soemart (007: 4), kombas resd robst da jarak robst mecrka 4 model ttk, yat: () observas basa yat sat ttk yag memlk resd robst kecl da la jarak robst kecl; () vertcal otler yat sat ttk yag memlk la resd robst besar da la jarak robst kecl; (3) good leverage pots yat sat ttk yag memlk la resd robst kecl da la jarak robst besar; da (4) bad leverage pots yat sat ttk yag memlk la resd robst da la jarak robst besar. Otler berpegarh terhadap proses aalss data, msalya terhadap la mea da stadar devas. Oleh karea t, keberadaa otler dalam sat pola data hars dhdar. Otler dapat meyebabka varas pada data mejad lebh besar, terval da rage mejad lebar, mea tdak dapat mejka la yag sebearya (bas) da pada beberapa aalss feres, otler dapat meyebaka kesalaha dalam pegambla keptsa da kesmpla. Berbaga kadah telah dajka tk meolak otler (dega kata la tk memtska meyshka otler tersebt dar data, kemda megaalss kembal tapa otler tersebt). Peolaka begt saja sat otler bkalah prosedr yag bjaksaa. Adakalaya otler memberka formas yag tdak bsa dberka oleh data laya, msalya karea otler tmbl dar kombas

40 7 keadaa yag tdak basa yag mgk saja sagat petg da perl dseldk lebh jah. Secara flosof otler seharsya tetap dpertahaka jka data otler tersebt memag represetas dar poplas. Sebaga kadah mm otler bar kta tolak jka setelah dtelsr teryata merpaka akbat dar kesalahakesalaha sepert kesalaha mecatat amata bersagkta ata kesalaha ketka meyapka peralata..6 Idetfkas Otler Dalam statstk, tahapa dagoss terhadap data otler perl dlakka karea data otler tersebt berpegarh terhadap koefse regres. Terdapat beberapa metode tk meetka batasa otler dalam sebah aalss, yat sebaga berkt..6. Metode Boplot Boplot merpaka metode grafs yag dkembagka oleh Tkey da serg dgaka tk aalss data da dtepretaska tk memperoleh formas dar sebah sampel. Boplot bsa dbat relatf mdah secara maal ata dega bata program kompter statstka. Metode merpaka yag palg mm yak dega mempergaka la kartl da jagkaa. Kartl,, da 3 aka membag sebah rta data mejad empat baga. Jagkaa (IQR, Iterqartle Rage) ddefska sebaga selsh kartl terhadap kartl 3, ata IQR Q3 Q. Data-data otler dapat dtetka yat la yag krag dar.5*iqr terhadap kartl da la yag lebh dar.5*iqr terhadap kartl atas ( Soemart, 007:9).

41 8 Gambar. Skema Idetfkas Otler meggaka Boplot.6. Metode Leverage Vale Mert Soemart (007: 4) Leverage adalah pegamata dega la ekstrm pada varabel tak bebas ata kra jahya varabel tak bebas meympag dar rata-rataya. Nla leverage merpaka la pegarh yag terpsat. Pada observas varabel depede dapat jga meggaka la leverage ( h ) tk medeteks adaya otler. Nla leverage ( h ) merpaka elemem-eleme dagoal dar matrks H. H dsebt matrks Hat karea metrasformas vektor respo observas y ke dalam vektor respo pecocoka ŷ ŷ X βˆ X (( X ' X ) X ' y) X ( X ' X ) X ' y H y H adalah matrks da H X ( X ' X ) X '.

42 9 Observas yag mempya la leverage ( h ) yag melebh (p-)/, dega p adalah bayakya varabel depede dtambah kosta da jmlah observas maka aka megdkaska terdapat otler ( Soemart, 007: 8)..6.3 Metode Cook s Dstace Metode la tk medeteks otler adalah dega sat kra pegarh yag dperkealka oleh Cook (977) yag damaka Cook s Dstace. Cook s dstace merpaka sat kra tk medeteks besarya pegarh adaya otler terhadap sema estmas koefse regres, yat e h D pmse h ) ( Dega h adalah la leverage tk kass ke- da jmlah data pegamata, sat data dsebt otler apabla la D >4/ (Yaffe, 00:44)..6.4 Stadardzed Resdal Sat metode yag sederhaa da efektf tk medeteks otler adalah dega memerksa resdal. Resdal ke- ddefska sebaga berkt: e y yˆ Sesa dega resdal ke- d atas, dapat ddefska stadardzed resdal ke- sebaga. e s e MSE dega MSE e

43 30 MSE adalah rata-rata resdal kadrat da akar dar MSE dsebt stadar eror. Stadar eror merpaka kra kebaka model regres. Stadar eror megkr besarya varas model regres, semak kecl laya semak bak model regresya. Utk melakka detfkas otler, dperhatka la-la dar stadardzed resdal. Jka la dar stadardzed resdal lebh dar 3,5 ata krag dar -3,5 maka data tersebt dkataka sebaga data otler (Yaffe, 00:35)..7 Breakdow Pot Mert Hber (98: 3), Breakdow pot adalah fraks terkecl ata persetase dar otler yag dapat meyebabka la estmator mejad besar. Breakdow pot tk sebah estmator T d F ddefska sebaga:, dega Breakdow pot dgaka tk mejelaska kra kerobstsa dar tehk robst. Kemgka tertgg breakdow pot tk sebah estmator adalah 0,5. Jka breakdow pot lebh dar 0,5 berart estmas model regres tdak dapat meggambarka formas dar mayortas data..8 Regres Robst Regres robst dperkealka oleh Adrews (97). Regres robst merpaka metode regres yag dgaka ketka dstrbs dar error tdak ormal da ata adaya beberapa otler yag berpegarh pada model (Olve,

44 3 005:3). Regres robst dgaka tk medeteks otler da memberka hasl yag resste terhadap adaya otler (Che, 00:). Efses da breakdow pot dgaka tk mejelaska kra kerobst-a dar tehk robst. Efses mejelaska seberapa bakya sat tehk robst sebadg dega Least Sqare tapa otler. Semak tgg effses da brekdow pot dar sat estmator maka semak robst (resste) terhadap otler. r statstk yag bersfat robst dtjka tk megakomodas keberadaa data ekstrm da sekalgs meadaka pegarhya terhadap hasl aalss tapa terlebh dl megadaka detfkas terhadapya. Beberapa peelt meyaraka peggaa metode regres robst sebaga pegotrol hasl pedgaa meggaka metode kadrat terkecl, bla keda hasl tersebt tdak berbeda jah maka hasl metode kadrat terkecl dapat dgaka dega lebh yak, sedagka kala terdapat perbedaa yag mecolok maka ssaa dar hasl metode regres robst lebh mejelaska dalam meggambarka pegamata maa yag perl medapat perhata lebh lajt tapa memerlka tehk dagostk yag khss. Mert Che (00:), terdapat 3 kelas masalah yag dapat meggaka tekhk regres robst yat: () masalah dega otler yag terdapat pada pebah y (respo); () masalah dega otler yag terdapat pada pebah (leverage pots); da (3) masalah dega otler yag terdapat pada kedaya yat pada pebah y (respo) da pebah (pejelas).

45 3 Bayak metode yag dkembagka dalam regres robst tk megatas masalah otler. Dalam regres robst terdapat beberapa metode estmas yat:.8. Estmas-M Wlco (005: 5) mejelaska estmas-m pertama kal dperkealka oleh Hber pada tah 973 da merpaka peggambara dar sat percobaa yag meggabgka sfat efses OLS da ketahaa dar estmas LAV (LAD). LAV merpaka estmas yag memmmka jmlah la mtlak dar resdal. e m y β. k j 0 j j Metode LAV lebh resste terhadap otler darpada OLS karea pegarh dar otler dbatas. Hal dapat dlhat dar betk fgs flece sebaga berkt. ψ ( ), 0,, 0 0 < 0 dmaa la skala resdal. Peggabga LAV da OLS dalam Estmas-M dapat dlhat dar fgs flece dar Estmas-M sebaga berkt. c, ψ ( ), c, > c c < c Esmas-M mempya sfat sepert OLS pada fgs tegah, tetap pada la ekstrm, Estmas-M sepert LAV. Estmas-M dkembagka tk mrmperbak

46 33 kelemaha yag tdak robst terhadap otler pada varabel predktor map pada varabel predktor. Sehgga Estmas-M resste terhadap otler pada varabel respo sama sepert LAV, da tdak resste terhadap otler pada varabel predktor. Estmas-M merpaka sat metode robst yag las da terkeal serta dapat d aálss dega mdah secara teorts map kompter. Estmas-M mempya breakdow pot sebesar ol (0). Estmas-M merpaka estmas yag memmmka sat fgs resdal ρ. βˆ m ρ( e ) m ρ( y β ) m k j 0 j j Fgs ρ dplh sebaga represetas pembobot dar resdal. Sols d atas bka merpaka skala eqvarat. Oleh karea t tk memperoleh skala resdal hars dstadarka dega sebah skala estmas robst σˆ. Sehgga persamaaya mejad: βˆ m m e y j j ρ m ρ (.3) ˆ σ ˆ σ β dmaa ˆ β, ˆ β, ˆ β,, ˆ β 0 K k merpaka la estmas-m dar β, β, β,, β k 0 K yag memmmka e (.4) ˆ σ ρ( ) ρ( ) Dplh estmas yag poplar tk σˆ adalah

47 34 MAD σˆ 0,6745 { meda e meda( e 0,6745 ) } dmaa MAD adalah Meda Absolte Devata. Pemlha kosta 0,6745 membat σˆ merpaka sat estmas yag medekat tak bas dar σ jka besar da resd berdstrbs ormal (Fo, 00:). Prosedr estmas-m sebaga berkt. () Dhtg peaksr β, dotaska b meggaka metode kadrat terkecl, sehgga ddapatka y ˆ, 0 da ε, 0 y y ˆ, 0, (,,... ) yag dperlakka sebaga la awal. () Meghtg la σˆ (3) Mecar la skala resdal ( ) { ( )} MAD meda e meda e σˆ. 0,6745 0,6745 y yˆ ) e. ˆ σ ˆ σ ( (4) Medefska pembobot berdasarka fgs pembobot w w ), dega kostata tk pembobot Hber sebesar,345 da ( tkey bsqare sebesar 4,685. (5) Memperbak estmas βˆ berdasarka metode Weghted Least Sqares (WLS) dega pembobot w sehgga dperoleh βˆ yag bar pada teras ke-. (6) Selajtya lag lagkah sampa lagkah 5 sehgga la w aka berbah pada tap terasya sehgga dperoleh βˆ yag koverge. Estmas kadrat terkecl dapat dgaka sebaga la permlaa ˆ β 0. m

48 35.8. Least Meda Sqares (LMS) Metode LMS merpaka metode Hgh Breakdow Vale yag dperkealka oleh Rosseew pada tah 984. Wlco (005: 5) mejelaska Metode LMS adalah sat metode estmas parameter regres robst dega memmmka meda dar kadrat resdal. LMS sagat robst terhadap otler pada varable X map Y. Metode LMS meggat jmlah kadrat resdal yag merpaka karakterstk OLS dega meda kadrat resdal. m MED( e ) m MED( y k j 0 β ). j j Ide tk dega meggatka pejmlaha dega meda, meghaslka estmas yag resste terhadap otlers. Wala hasl dcapa (LMS mempya breakdow pot 0.5), aka tetap LMS mempya kelemaha ketka pembatas t dgaka. LMS mempya efses sebesar 37%..8.3 Least Trmmed Sqares (LTS) Sama halya dega metode LMS, metode robst LTS jga merpaka metode Hgh Breakdow Vale yag dperkealka oleh Rosseew pada tah 984. Metode LTS adalah sat metode estmas parameter regres robst dega tk memmmka jmlah kadrat h resdal. m h e( ) dega h [ / ] + [( k + ) / ] Keteraga : e () Kadrat resdal yag drtka dar terkecl ke terbesar.

49 36 e () < e () < e (3) <. < Bayakya pegamata k Parameter regres e () < < e (h) < < e () Jmlah h mejkka sejmlah sbset data dega kadrat fgs objektf terkecl. Nla h pada persamaa aka membag breakdow pot sebesar 0,5. LTS merpaka mempya resste yag palg tgg terhadap otler, aka tetap LTS sagat tdak efse (efses relatf 8%) da dapat megakbatka kesalaha dalam peggambara model data jka dla dar pegelompoka otler, ata jka jmlah data relatf kecl. Meskp demka, LTS mash mempya hbga dalam perhtga dega estmas la. Atara la, GM Estmas Yag dajka oleh Coakley da Hettmasperger (993) mempergaka LTS tk memperoleh taksra la dar resdal. Resdal LTS jga dapat dpergaka secara efektf pada plot dagostk otler. Prosedr estmas LTS dapat draka sebaga berkt. () Meghtg estmas parameter β. () Meetka resdal e k ( y j β j ) yag bersesaa dega βˆ, j 0 + k + kemda meghtg h pegamata dega la e terkecl. (3) Meghtg e. h (4) Melakka estmas parameter β ew dar h pegamata.

50 37 (5) meetka kadrat resdal yag bar yag bersesaa dega βˆ ew kemda meghtg sejmlah h ew pegamata dega la e terkecl. h ew e (6) Meghtg fgs obyektf yag kecl da koverge..8.4 Estmas-S da meglag lagkah 4 sampa 6 tk medapatka Metode robst S merpaka metode Hgh Breakdow Vale yag dperkealka pertama kal oleh Rosseew da Yoha pada tah 984. Mert Wlco (005: 55), Estmas-S merpaka sols dega kemgka terkecl dar peyebara resdal. m ˆ( σ e ( ˆ), β K, e ( ˆ)) β Sela memmmka varas dar resdal, Estmas-S jga memmmka skala resdal dar estmas-m. Estmas-S mempya breakdow pot sebesar 0,5. Breakdow pot sebesar 0,5 dperoleh dega meggaka fgs Tkey Bsqare da tg costa sebesar,547. Meskp Estmas-S mempya breakdow pot yag tgg 0,5, Estmas-S tdak meark tk dgaka karea mempya efses yag sagat redah (krag lebh sektar 30% relatf terhadap OLS ketka dstrbs error ormal). Prosedr estmas-s dapat draka sebaga berkt: () Dhtg peaksr β, meggaka metode kadrat terkecl, sehgga ddapatka y ˆ, 0 da ε, 0 y y ˆ, 0, (,,... ) yag dperlakka sebaga la awal.

51 38 () Meghtg la σˆ MAD σˆ 0,6745 e 0,6745. (3) Mecar la skala resdal ( ) y yˆ ) e. ˆ σ ˆ σ ( (4) Medefska pembobot berdasarka fgs pembobot w w ), dega meggaka fgs bobot bsqare c,547 tk ( medapatka la breakdow sebesar 0,5. (5) Memperbak estmas βˆ berdasarka metode Weghted Least Sqares (WLS) dega pembobot w sehgga dperoleh βˆ yag bar pada teras ke-. (6) Selajtya lag lagkah sampa lagkah 5 sehgga la w aka berbah pada tap terasya sehgga dperoleh βˆ yag koverge. m.8.5 Estmas-MM Wlco (005: 56) mejelaska metode estmas-mm dkealka oleh Yoha (987) yag meggabgka sat hgh breakdow pot (50%) dega efses tgg (mecapa 95%). Estmas MM dmla dega mecar estmas S yag sagat robst da resste yag memmmka sat skala resdal. Selajtya skala resdal tetap kosta da d akhr dega meetapka parameter-parameter regres meggaka estmas-m. Estmas-MM mempya breakdow pot yag sama dega Estmas-S yat sebesar Estmas-MM mempya breakdow pot sebesar 0,5 mejelaska bahwa bayakya otler hgga separh data pegamata tdak berpegarh terhadap estmas-mm.

52 39 Estmas-MM ddefska sebaga berkt. y j β j e βˆ mm m m ρ ρ. ˆ σ ˆ σ Estmas-S sebaga permlaa dega la breakdow yag tgg da d akhr dega estmas-m yag membat estmator mempya efses yag tgg. Pada mmya dgaka fgs Tkey Bsqare bak pada estmas-s map estmas-m. Sebagamaa dalam kass estmas-m, estmas MM meggaka Iteratvely Reweghted Least Sqare (IRLS) tk mecar estmas parameter regres. Prosedr estmas-mm dapat draka sebaga berkt. () Megestmas koefse ˆ () β j, sehgga dperoleh resdal dar regres robst dega hgh breakdow pot. () e yag dambl () Resdal () e pada lagkah pertama dgaka tk meghtg skala resdal Estmas-M, σˆ da dhtg pla bobot awal (3) Resdal ( ) w. () e da skala resdal σˆ dar lagkah () dgaka dalam teras awal dega metode WLS tk meghtg koefse regres. w () () e ˆ σ 0 dmaa w meggaka pembobot Hber ata Tkey bsqare.

53 40 (4) Meghtg bobot bar (lagkah 3). ( ) w meggaka resdal dar teras awal WLS (5) Lagkah, 3, 4 dlag (reteras dega skala resdal tetap kosta) sampa m e koverge, yat selsh m+ β j dega m j β krag dar 0 4, dega m adalah bayakya teras. Dar kelma metode d atas, peelt memlh da metode robst, yat metode robst estmas-m da metode robst estmas-mm karea keda metode d atas yag poplar dgaka, da peelt g membadgka keda estmas robst tersebt. Perbadga dar kelma metode tersebt dapat dlhat pada tabel. (Wlco, 005: 58). Tabel. Perbadga Beberapa Estmas Regres Robst Estmas Breakdow Pot Efses M (Hber,bweght) 0 95% LMS 0,5 37% LTS 0,5 8% S 0,5 33% MM 0,5 95%

54 4.9 Fgs-fgs Ukra Robst Fgs pembobot yag dgaka estmas-m atara la:.9. Fgs Pembobot Hber Mert Cramer (005: ) Fgs Hber dkembagka oleh Hber pada tah 964, fgs objektf Hber adalah gabga dar OLS da Least Absolte Vale (LAV). Fgs objektf memmmka gabga dar jmlah kadrat resdal da jmlah mtlak resdal. Fgs hber lebh resste terhadap otler darpada OLS. Fgs pembobot yag dsaraka oleh Hber memaka fgs obyektf > c c c c,, ) ( ρ dega < > c c c c c,,, )) ( ( ) '( ) ( ρ ρ ψ da fgs pembobot > c c c w w,, ) ( ) ( ψ.9. Fgs Pembobot Tkey Bsqare Mert Cramer (005: ) Fgs tkey memlk perbedaa darpada fgs Hber. Khssya pada tgkat resdal yag besar. Fgs pembobot yag dsaraka oleh Tkey memaka fgs obyektf

55 4 > c c c c c, 6, 6 ) ( 3 ρ Sehgga tk la mtlak skala resdal yag lebh besar darpada c, tdak megkat. Hal berart pegarh dar resdal dbatas. > c c c 0,, )) ( ( ) '( ) ( ρ ρ ψ da fgs pembobot > c c c w w 0,, ) ( ) ( ψ Secara rgkas, fgs obyektf ρ da fgs pembobot dar estmas Hber, da Tkey bsqares dapat dlhat pada Tabel. (Fo, 00: 3). Fgs Hber memberka pembobot sebesar tk c da megecl pada c >.Pada fgs Tkey bsqares, dber pembobot ol ketka c > pembobotya megecl dega segera setelah berajak dar ol. Tabel. Perbadga Fgs Hber da Fgs Tkey bsqare Metode Hber Tkey Bsqare Iterval

56 43 Fgs objektf ) ( c c ρ 6 6 ) ( 3 c c c ρ c c > Fgs Pembobot c w ) ( 0 ) ( c w c c > Nla c tk estmator Hber da Tkey Bsqare dsebt tg costa. Semak kecl la c meghaslka lebh resste terhadap otler. Estmas-M mempya effses sektar 95% ketka resdal berdstrbs ormal. Utk bobot hber la c,345 da tk bobot bsqare la c 4,685 (Fo, 00)..0 Keragka Berpkr Tja dalam aalss regres lear adalah megestmas koefse regres dalam model. Pada mmya dgaka metode estmas kadrat terkecl ata Ordary Least Sqare (OLS) Method tk megestmas koefse regres dalam model regres. Nam metode sagat sestf terhadap kehadra otler. Hasl estmas koefse gars regres dega estmas OLS mejad tdak tepat jka terdapat dalam data ata observas terdapat otler. Pedeteksa otler merpaka tahapa dagoss yag perl dlakka tertama jka estmas modelya dega metode kadrat terkecl, yag dkeal ckp peka terhadap otler. Metode pedeteksa otler dlakka dega

57 44 beberapa metode, atara la metode boplot, Leverage Vale, Cook s Dstace da Stadardzed Resdal. Jka dalam tahapa pedeteksa otler tdak terdapat otler maka estmas model dega metode kadrat terkecl dterma, tetap apabla terdapat otler maka dperlka sat metode yag bersfat robst terhadap keberadaa otler. Metode regres robst merpaka salah sat cara tk megatas kelemaha OLS terhadap otler pada sekmpla data. Regres robst meghaslka estmas model yag resste terhadap pegarh-pegarh otler dar observas-observas yag memat otler. Dalam regres robst terdapat beberapa metode estmas, atara la adalah estmas-m, Least Meda of Sqares (LMS), Least Trmmed Sqares (LTS), Estmas-S, da Estmas-MM. Kelma metode regres robst tersebt mempya kelemaha da kelebha masg-masg. Ds peelt memlh metode regres robst M da MM da membadgka keda metode tersebt. Estmas-M merpaka sat tekk robst yag las da terkeal darpada metode regres robst yag la. Estmas-M mempya breakdow pot sebesar 0. Karea estmas-m mempya breakdow pot sebesar 0 maka estmas-m tdak bekerja dega bak tk megestmas parameter pada data yag terdapat otler pada varabel predktor. Dsampg mempya breakdow pot sebesar 0, estmas-m jga mempya efses yag tgg sebesar (95%). Berbeda dega estmas-m, metode estmas-mm meggabgka estmas la hgh breakdow (50%) dega efses tgg (mecapa 95%). Jad estmas-mm mempya la breakdow pot yag tgg sebesar 0,5 da efses yag tgg. Nla breakdow pot yag tgg pada estmas-mm meyebabka estmas-mm bekerja

58 45 dega bak tk megestmas parameter pada data yag terdapat otler pada varabel predktor map respo. Dsampg melhat perbedaa pada la efek la breakdowya, perbadga keefektfa keda fgs tersebt pada regres lear dapat dlhat dar stadar error. Apabla stadar error yag dhaslka dega metode robst dapat memperkecl stadar error yag dhaslka dega metode OLS, maka metode regres robst dapat megatas permasalaha otler pada OLS.

59 46 Tabel.3 Keragka Berfkr Data Pedeteksa Otler Tdak ada otler Ada Otler Regres Robst Estmas OLS Estmas-M Estmas-MM Breakdow pot 0 Efses tgg Hgh Breakdow pot (0,5) Efses tgg Estmas Selesa

60 47. Hpotess Dar keragka berpkr d atas dapat dbat hpotess peelta yat regres robst dapat megatas permasalaha OLS terhadap data ata observas yag terdapat otler da regres robst Estmas-MM lebh efektf darpada Estmas-M.

61 BAB III METODE PENELITIAN Pada peelta, metode peelta yag pels gaka adalah metode std pstaka. Lagkah-lagkah yag dlakka adalah sebaga berkt: 3. Peeta Masalah Dalam tahap dlakka pecara smber-smber pstaka yag releva pstaka tk megmplka formas yag dperlka da memlh baga dalam smber tersebt yag dapat djadka sebaga permasalaha. Permasalaha yag mcl d s adalah tetag otler. 3. Permsa Masalah Permsa masalah dmaksdka tk membatas permasalaha sehgga dperoleh baha kaja yag jelas. Da selajtya drmska permasalaha sebaga berkt. (5) Bagamaa krtera metode-metode yag dapat dpergaka dalam medeteks keberadaa otler? (6) Bagamaa hasl model regres robst dega metode estmas-m? (7) Bagamaa hasl model regres robst dega metode estmas-mm? (8) Metode maakah yag lebh bak atara estmas-m da estmas-mm jka dtja dar la efek breakdow pot da stadar error? 48

62 Std Pstaka Dalam tahap dlakka kaja-kaja smber pstaka dega megmplka data ata formas yag berkata dega permasalaha, megmplka kosep pedkg sepert defs da teorema serta membktka teorema-teorema tk meyelesaka permasalaha, sehgga ddapat de megea baha dasar pegembaga paya pemecaha masalah. 3.4 Aalss da Pemecaha Masalah Tahap dmaksdka tk memberka sols-sols dar permasalaha yag telah dtetka sepert yag telah dkemkaka d atas. Aalss da pemecaha masalah dlakka dega lagkah-lagkah sebaga berkt. b. Megdetfkas da megmplka mater-mater prasyarat yag atya dgaka sebaga pedoma dalam megaalss data dega metode robst- M da metode robst-mm. c. Megambl data sekder, tk selajtya dlakka estmas model regres dega metode kadrat terkecl. d. Melakka pedeteksa otler pada data tersebt. e. Megatas permasalaha otler pada OLS dega metode regres robst estmas-m da estmas-mm. f. Membadgka hasl model regres robst yag terbetk dar keda metode robst tersebt.

63 50 g. Membadgka efek la breakdow pot da stadar eror regres robst dar metode estmas-m da metode estmas-mm. 3.5 Pearka Smpla Tahap merpaka tahap akhr dalam peelta. Pearka smpla dar permasalaha yag drmska berdasarka std pstaka da pembahasaya.

64 BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 4. Regres Robst Estmas-M da Estmas-MM tk Permasalaha Otler pada OLS Estmas parameter regres lear bertja tk mejelaska pegarh sat ata lebh varabel terhadap varabel respo y. Metode estmas yag serg dgaka adalah Ordary Least Sqares (OLS). Aka tetap OLS sagat sestf terhadap otler. Terdapatya otler dalam sat data pegamata megakbatka koefse gars regres yag dhaslka dega OLS tdak tepat. Sehgga kta mgk berfkr secara gampag tk membag otler, kemda megaalss kembal tapa otler. Aka tetap, pegktsertaa ata peysha otler bka masalah sederhaa, tetap bth pertmbaga yag sagat hat-hat. Otler dapat dbag apabla setelah dtelsr data otler tersebt bka baga represetatf dar data pegamata (data otler dperoleh dar kesalaha teks peelt dalam mecatat data). Nam secara statstk, membag otler bkalah tdaka yag bjaksaa, karea sat otler dapat memberka formas yag ckp berart. Oleh karea t, dperlka sat alteratf terhadap keberadaa otler, yat dega regres robst. Sebelm dlakka aalss dega regres robst, sebakya dlakka pedeteksa otler tk megdetfkas adaya otler ata tdak. Metode pedeteksa otler dlakka dega beberapa metode, atara la metode 5

65 5 boplot, Leverage vale, Cook s Dstace, da Stadardzed resdal. Jka ddeteks terdapat data otler, maka dapat dgaka regres robst. Regres robst merpaka metode yag dapat megaalss data yag megadg otler da meghaslka estmas model yag resste terhadap otler. Dalam regres robst terdapat beberapa metode estmas, atara la adalah Estmas-M, Least Meda of Sqares (LMS), Least Trmmed Sqares (LTS), Estmas-S, da Estmas-MM. Kelma metode regres robst tersebt mempya kelemaha da kelebha masg-masg. Estmas-M mempya efses yag tgg, tetap la breakdow pot 0. LMS, LTS, da Estmas-S mempya breakdow pot yag tgg (BDP 0,5), aka tetap efsesya sagat redah. Sedagka estmas-mm merpaka gabga efses tgg dar estmas-m dega breakdow pot tgg dar Estmas-S. Efses da breakdow pot dgaka tk mejelaska kra kerobst-a dar tehk robst. Efses mejelaska seberapa bakya sat tehk robst sebadg dega Least Sqare tapa otler. Breakdow pot adalah sat kra kestabla dar estmator ketka data observas megadg otler dalam jmlah besar. Semak tgg effses da brekdow pot dar sat estmator maka semak robst (resste) terhadap otler. Pada peelta, pels haya meggaka metode regres robst dega estmas-m da estmas-mm. Pemlha keda metode tersebt karea estmas-m merpaka sat tekk robst yag las da terkeal. Dalam membadgka keefektfa keda metode regres robst tersebt, pels membadgka keda metode robst tersebt dega OLS. Secara