MODEL TRANSMISI PENYAKIT DENGAN KETERGANTUNGAN DEMOGRAFI TESIS Oleh ARIE CANDRA PANJAITAN 127021020/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
MODEL TRANSMISI PENYAKIT DENGAN KETERGANTUNGAN DEMOGRAFI T E S I S Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Oleh ARIE CANDRA PANJAITAN 127021020/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Judul Tesis : MODEL TRANSMISI PENYAKIT DENGAN KETERGANTUNGAN DEMOGRAFI Nama Mahasiswa : Arie Candra Panjaitan Nomor Pokok : 127021020 Program Studi : Magister Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Prof. Dr. Tulus, M.Si ) (Dr. Marwan Ramli, M.Si ) Ketua Anggota Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus: 05 Juni 2014
Telah diuji pada Tanggal : 05 Juni 2014 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si 2. Dr. Sutarman, M.Sc 3. Dr. Mardiningsih, M.Si
PERNYATAAN MODEL TRANSMISI PENYAKIT DENGAN KETERGANTUNGAN DEMOGRAFI T E S I S Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya. Medan, 05 Juni 2014 Penulis, Arie Candra Panjaitan i
ABSTRAK Model yang dipertimbangkan untuk penyebaran penyakit menular pada populasi adalah SIR atau SIRS dengan ekspresi kejadian standar. Diberbagai ukuran populasi digambarkan dengan modifikasi persamaan diferensial yang mencakup istilah untuk kematian terkait penyakit. Model yang memiliki density-dependent pertumbuhan terbatas dikarena tingkat kelahiran yang menurun dan meningkatnya tingkat kematian sebagai ukuran populasi terhadap daya dukungnya. Ambang batas, kesetimbangan dan stabilitas ditentukan pada sistem persamaan diferensial untuk setiap model. Bertahannya penyakit menular dan kematian yang terkait penyakit menular dapat menyebabkan kesetimbangan ukuran populasi baru terhadap daya dukung dan bahkan dapat menyebabkan populasi punah. Kata kunci: Model epidemiologis, Density dependent, Ambang batas. ii
ABSTRACT The model considered for the spread of infectious diseases in populations is the expression of SIR or SIRS standard events. Modifications described in various population size differential equations that include terms to related death. The model has a finite density-dependent growth dikarena declining birth rates and rising death rates as a measure of the population carrying capacity. Threshold, determined on the equilibrium and stability of the system of differential equations for each model. The persistence of infectious diseases and infectious disease-related mortality may lead to a new equilibrium population size of the carrying capacity and can even lead to population extinction. Keyword: Epidemiological model, Density-dependent, Thresholds. iii
KATA PENGANTAR Puji dan Syukur penulis ucapkan ke Hadirat Allah SWT Tuhan Yang Maha Kuasa yang telah memberikan petunjuk yang sangat berharga sehingga tesis ini dapat diselesaikan sesuai dengan waktunya. Tesis ini berjudul Model Transmisi Penyakit Dengan Ketergantungan Demografi sebuah kajian yang meneliti tentang sejauh mana penyebaran penyakit menular yang terjadi dalam suatu demograrafi sebagai salah satu syarat atau tugas akhir yang harus diselesaikan dalam program studi magister matematika pada Fakultas MIPA. Penulis menyadari bahwa dari awal hingga selesainya penulisan tesis ini, penulis banyak mendapat dukungan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu DTM&H, M.Sc (CTM), SpA(K), selaku Rektor. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam dan selaku Pembanding yang telah banyak memberikan masukan dan saran untuk kesempurnaan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, dan Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku Ketua Pembimbing 1 dan Pembimbing 2 yang banyak memberi bimbingan dan petunjuk agar tesis ini dapat selesai dan sesuai dengan yang diharapkan. Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku pembanding yang telah banyak memberikan masukan dan saran untuk kesempurnaan tesis ini. Seluruh Staf Pengajar Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. iv
Kakanda Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2012 genap (Sulaiman, Ismail, Welington, Soesanto, Liza, Rini, Wilma, Tiur, Fitra, Juli, Hana, Dila, Romi, Isna, Hari, Suvriadi, Ryandi, Ugi, Sari, dan Weny) yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada Ayahanda tercinta Zainal Amri Panjaitan (Alm) dan ibunda Faridah Hanum Sihombing yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih untuk kekasih hatiku Dhia Octariani, S.Pd., M.Si, perempuan dengan segala kerendahan hatinya untuk terus menemani penulis hingga penulisan tesis ini selesai. Tak lupa pula kepada adik-adikku Afriandi Panjaitan dan Guntur Ramadhan Panjaitan yang telah memberikan semangat selama penulisan tesis ini. Terima kasih kepada sahabat-sahabatku serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang telah diberikan kepada penulis. Penulis menyadari sebagai manusia biasa mempunyai banyak kekurangan khususnya dalam penulisan tesis ini. Untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terima kasih. Medan, 05 Juni 2014 Penulis, Arie Candra Panjaitan v
RIWAYAT HIDUP Arie Candra Panjaitan dilahirkan di Tanjungbalai pada tanggal 29 September 1987 yang merupakan anak pertama dari 3 besaudara dari pasangan Bapak Zainal Amri Panjaitan (Alm) & Ibu Farida Hanum Sihombing. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 134413 Tanjungbalai pada tahun 1999, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 1 Tanjungbalai pada tahun 2002, Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) di SMK Negeri 5 Medan pada tahun 2005. Pada tahun 2005 penulis melanjutkan ke Perguruan Tinggi di Universitas Negeri Medan (UNIMED) Jurusan Pendidikan Matematika pada Strata Satu (S-I) dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada tahun 2010. Tahun 2010 penulis menjadi guru di perguran nasional Brigjend Katamso Medan sampai dengan sekarang dan tahun 2012, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika di. vi
DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR i ii iii iv vi vii ix x BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 3 1.3 Tujuan Penelitian 3 1.4 Manfaat Penelitian 3 1.5 Metodologi Penelitian 4 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB 3 MASALAH EPIDEMI DALAM DEMOGRAFI DAN MODEL TRANS- MISI PENYAKIT 8 3.1 Pengertian Demografi 8 3.2 Epidemiologi 11 3.2.1 Pengertian epidemiologi 11 3.2.2 Model epidemiologi 12 3.3 Model Transmisi Penyakit 13 3.4 Model SIR (Susceptible - Infected - Recovered) 14 vii
3.5 Model SIRS 17 3.6 Model SIRS dengan Ketergantungan Demografi 18 BAB 4 MODEL TRANSMISI PENYAKIT DENGAN KETERGANTU- NGAN DEMOGRAFI 22 4.1 Nilai Ambang Batas dan Empat Kesetimbangan 24 4.2 Perilaku yang Mendekati Model SIRS 25 4.3 Modifikasi Model SIRS Penularan Secara Vertikal 26 BAB 5 KESIMPULAN 28 DAFTAR PUSTAKA 29 viii
DAFTAR TABEL Nomor Judul Halaman 4.1 Hasil stabilitas di IRN untuk model (3.2) dengan r > 0 25 ix
DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 3.1 Model SIR 16 3.2 Model SIRS pada populasi tertutup 17 3.3 Model SIRS pada populasi terbuka 18 3.4 Diagram untuk nilai X, Y, dan Z 19 4.1 Diagram model SIRS 22 4.2 Modifikasi model transmisi 26 x