TE 9467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
O U T L I N E OBJEKTIF TEORI CONTOH 4 SIMPULAN 5 LATIHAN
OBJEKTIF Teori Contoh Simpulan Latihan Tujuan Pembelajaran Mahasiswa mampu:. Mendekomposisi matriks menggunakan metode singular value decomposition (SVD). Menghitung invers menggunakan SVD
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan Pendahuluan Dekomposisi matriks singular dapat dilakukan dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD).
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan Singular Value Decomposition (SVD) Dekomposisi matriks A R m n dua matriks ortonormal U dan V matriks quasidiagonal S A USV T dengan U R m m V R n n S diag(σ,, σ ρ )
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan Bentuk matriks S S adalah elemen diagonal berupa nilai singular A tidak negatif dengan urutan menurun σ σ σ ρ dengan ρ min(m, n) Matriks S memiliki bentuk m < n [ ] diag,, ) ( σ σ ρ m ( nm) m n m > n [ diag( σ,, σ ρ )] diag σ σ (,, ρ ( mn) n )
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan Prosedur dekomposisi () Diberikan matriks A (m n) Langkah. Definisikan matriks B Jika m n B AA T Jika m > n B A T A B adalah matriks bujursangkar dimensi m atau n (ukuran yang lebih kecil antara baris dan kolom) Langkah. Dapatkan eigenvalue B melalui pers. karakteristik I - B
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan Prosedur dekomposisi () Langkah. Dapatkan nilai singular A (akar kuadrat positif eigenvalue matriks B) σ i i Langkah 4. Bentuk matriks S dengan cara Jika m < n S σ σ σ m
Prosedur dekomposisi () Objektif TEORI m S σ σ σ Jika m n Langkah 4. (lanjutan) Jika m > n n S σ σ σ Contoh Simpulan Latihan
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan Prosedur dekomposisi (4) Langkah 5. Dapatkan matriks U dan V Kolom matriks U dibentuk dari eigenvektor normalisasi dari C C AA T Kolom matriks V dibentuk dari eigenvektor normalisasi dari matriks D D A T A
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan Invers matriks melalui SVD Review: sifat matriks ortonormal U dan V U - U T dan V - V T Invers matriks A (m n) A - (V T ) - S - U - V (diag(/σ,, /σ ρ )) U T
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan Contoh () Matriks A dan inversnya menggunakan SVD A 4 4 Dapatkan: a) SVD dari matriks A b) Invers matriks A menggunakan SVD
Contoh () Langkah. Karena ukuran matriks A adalah (mn), maka 8 4 4 4 4 T AA B Langkah. Eigenvalue B 8) )( ( 8 det B I dan 8 Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan Contoh () Langkah. Nilai singular A: σ dan σ 8 Langkah 4. Bentuk matriks S: S 8 Langkah 5. Matriks U dan V Matriks U: dibentuk dari eigenvektor normalisasi matriks CB
Contoh (4) Langkah 5. Sistem homogen: 4 u 4 u U 8 ) ( B I Eigenvektor normalisasi untuk matriks U 8 Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh (5) Matriks V: dibentuk dari eigenvektor normalisasi matriks D 5 7 7 5 4 4 4 4 A A D T 8) )( ( 5 7 7 5 det D I Persamaan karakteristik matriks D dan 8 Eigenvalue matriks D Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh (6) 7 7 7 7 7 7 7 7 V v v Matriks V: Eigenvektor normalisasi untuk matriks V 8 Sistem homogen: 5 7 7 5 ) ( B I Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh (7) SVD dari matriks A: T A USV T 8 4 4 Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh (8) Invers matriks A T U diag V A )),/, (/ ( σ ρ σ 8 6 8 6 8 Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan Contoh () Dapatkan SVD untuk matriks berikut: A dapatkan juga invers matriks A melalui SVD
Contoh () Langkah. Eigenvalue matriks B Langkah. Matriks B AA T ukuran matriks A adalah m < n T AA B ) )( ( det B I Nilai eigen: dan Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Langkah. Nilai singular A: σ dan σ S ) ( B I T ] u [ T ] [ u U Langkah 4. Matriks S: Langkah 5. Matriks U dan V dibentuk dari eigenvektor normalisasi matriks C (karena m<n, maka CB) dan D Contoh () Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh (4) Pers. karakteristik matriks D Matriks D A T A Eigenvalue matriks D:,, A A D T ) )( ( det D I Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh (5) Sistem homogen: ) ( D I v Hitung eigenvektor normalisasi untuk matriks V: Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh (6) Matriks V: v v V Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh (7) SVD dari matriks A: T A USV Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh (8) Invers matriks A: T U diag V A )),, ( ( σ ρ σ / / Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Objektif Teori Contoh SIMPULAN Latihan Singular Value Decomposition ) SVD mendekomposisi matriks ke dalam perkalian dua matriks ortonormal dan satu matriks quasidiagonal ) Bentuk matriks quasidiagonal bergantung pada ukuran baris dan kolom dari matriks yang akan didekomposisi ) Invers matriks dapat dihitung menggunakan metode SVD
Objektif Teori Contoh Simpulan LATIHAN Soal Latihan Dapatkan invers matriks A A
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan