Eigenvector dan eigenvalues
|
|
- Yuliani Sumadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Eigenvector dan eigenvalues Pengertian Sebuah matriks bujur sangkar dengan orde n n misalkan A, dan sebuah vektor n kolom X. Vektor X adalah vektor dalam ruang Euklidian R yang dihubungkan dengan sebuah persamaan: AX X (7.) Dimana adalah suatu skalar dan X adalah vektor yang tidak nol Skalar dinamakan nilai Eigen dari matriks A. Nilai eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks bujur sangkar. Vektor X dalam persamaan (7.) adalah suatu vektor yang tidak nol yang memenuhi persamaan (7.) untuk nilai eigen yang sesuai dan disebut dengan vektor eigen. Jadi vektor X mempunyai nilai tertentu untuk nilai eigen tertentu. Perhitungan eigenvalues Kita tinjau perkalian matriks A dan X dalam persamaan (7.) apabila kedua sisi dalam persamaan tersebut dikalikan dengan matriks identitas didapatkan: IAX I X AX IX [ I A] X (7.) Persamaan (7.) terpenuhi jika dan hanya jika: det [ I A] (7.3) Dengan menyelesaikan persamaan (7.3) dapat ditentukan nilai eigen ( ) dari sebuah matriks bujur sangkar A tersebut. Perhitungan eigenvector Kita tinjau kembali persamaan AX X dimana A adalah matriks bujur sangkar dan X adalah vektor bukan nol yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam subbab 7. telah dibahas tentang perhitungan nilai eigen dari matriks A( ), pada
2 subbab ini kita bahas vektor yang memenuhi persamaan tersebut yang disebut vektor eigen(vektor karakteristik) yang sesuai untuk nilai eigennya. Kita tinjau sebuah matriks bujur sangkar orde berikut: A a a a a Persamaan AX X dapat dituliskan: a a a a (7.) Persamaan (7.) dikalikan dengan identitas didapatkan: a a a a a a a a a a a a (7.5) Persamaan (7.5) dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan: ( a a ) + ( a + a ) (7.6) Persamaan (7.6) adalah sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang R n yang tidak nol didapatkan jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi non trivial untuk nilai eigen yang sesuai.
3 Contoh soal:. Misalkan Sebuah vektor X dan sebuah matriks bujur sangkar orde A, Apabila matriks A dikalikan dengan X maka: AX Dimana: 8 X Dengan konstanta dan Memenuhi persamaan (7.). Konstanta dikatakan nilai eigen dari matriks bujur sangkar A. Dapatkan nilai eigen dari matriks A 3 Jawab: Dari persamaan (7.3) maka: det 3 3 ) )( ( 3 + +
4 Dengan menggunakan rumus abc didapatkan:, ± ( ).. ± 6 ± ± 3 ± 3 Maka penyelesaian adalah: 3 dan 3. + Nilai eigen matriks A 3 adalah: 3 dan Dapatkan nilai eigen dari matriks A 5 Jawab: Nilai eigen ditentukan dengan persamaan: det maka: 5 ( )( 5)
5 Dengan rumus abc didapatkan:, 9 ± ( 9)..9, 9 ± 8 76, 9 ± 5 Didapatkan,5 + 5 dan,5 5, jadi nilai eigen matriks A 5 adalah,5 ± 5. Tentukan vector eigen dari matriks berikut: A 3 Jawab: Nilai eigen dari matriks A adalah A Maka polynomial karakteristik A adalah : Det (I A) {( -3). } (-.) - 3 +
6 ( ) ( ) dan (nilai eigen valuenya) Sekarang tentukan nilai vektornya yaitu : sebuah vector tak yang memenuhi persamaan A. - Untuk nilai eigen A Maka di dapat persamaan : Dan jika diselesaikan maka : + artinya - - artinya - Jika k (merupakan konstanta sembarang) Maka di dapat X k k - Untuk nilai eigen A 3 3.
7 Maka di dapat persamaan : Dan jika diselesaikan maka : + artinya - - artinya - Jika k (merupakan konstanta sembarang) Maka di dapat X k k
8 Linear Algebra Generalized Inverses Misalkan matriks A (aij) Cnm. Sebuah matriks X (ij) Cnm dikatakan sebagai generalized atau pseudo invers dari matriks A jika X memenuhi satu atau lebih dari sifat-sifat berikut: (i) AXA A (ii) XAX X (iii) (AX)H AX (6.) (iv) (XA)H XA Disini AH (A)T! conjugate transpose dari matriks A. Jika elemen-elemen dari matriks A maka AH AT (AH dibaca A- Hermitian) Jika X memenuhi persamaan (6.) maka X disebut sebagai satu-invers (one invers ) yang secara umum tidak tunggal. Jika X adalah satu-invers, maka seluruh satu-invers yang lain dari matriks A adalah : Satu-invers X adalah tunggal jika dan hanya jika matriks A adalah matriks bujur sangkar nonsingular. Matriks X dikatakan sebagi Moore-Penrose Generalized Invers dari matriks A jika dan hanya jika matriks X memenuhi keempat sifat yang diberikan pada persamaan (6.) dan dinotasikan dengan A+ Contoh matriks A* (A H ) If
9 then Teorema pada generalized inverse pada matriks mempunyai persamaan:. BAB B. ABA A 3. (BA) H BA. (AB) H AB Matriks B disebut pseudo-invers atau invers matriks tergeneralisasi dari A. Contoh: Teorema Diberikan A sembarang matriks berukuran mn, maka terdapat invers matriks tunggal tergeneralisasi dari A berukuran nm. Bukti: Jika X,Y adalah invers matrik tergenerasliasi dari A, maka X, Y memenuhi keempat sifat pada teorema. Sehingga berlaku: AY (AXA)Y (AX)(AY)
10 Karena AX dan AY matriks Hermitian dengan sifar nomer, di peroleh: AY ((AX(AY)) H (AY) H (AX) H (AY)(AX) (AYA)X AX Dengan cara yang sama didapatkan YA XA. Berikutnya AY AX dikalikan dengan Y dari kiri, didapatkan Y YAY YAX Selanjutnya YA XA dikalikan matriks X dari kanan, didapatkan : YAX XAX X Jadi Y YAX X Terbukti vahwa X Y, artinya invers A tunggal.
11 TEORI SUBSPACE Di dalam matematika, sebuah subspace merupakan vector space yang berada di dalam vector space lain. Jadi, setiap subspace adalah vector space yang berada dalam subspace itu sendiri atau bisa juga merupakan vector space yang ada di dalam vector space lain (yang lebih besar). Dimisalkan ada dua buah vector space, yaitu V dan W yang keduanya memiliki bagian vector dan bagian skalar. Dimisalkan bahwa W merupakan subspace dari V, dengan W V. Apabila V adalah vector space yang didefinisikan C, melalui sebuah matriks berbentuk, maka sudah jelas bahwa W V apabila objek dari W adalah vektor kolom yang berjumlah. INVARIANT SUBSPACE Invariant subspace merupakan suatu istilah yang ditujukan pada sebuah subspace, yang apabila ada transformasi linier T : V V Kemudian W V, adalah eigenvalue dari sebuah transformasi T, v adalah eigenvector yang koresponden / sesuai dengan tsb, kemudian Tvv, sehingga T(w) terletak di dalam subspace W. Atau dengan kata lain, W merupakan sebuah subspace yang memiliki sifat invariant terhadap transformasi T. Atau bisa disebut juga bahwa W adalah T-invariant subspace. Perhatian : T : transformasi linier, contoh T()A. V : vektor space yang mengalami transformasi T, bisa berbentuk himpunan ataupun matriks W X : subspace dari V, bisa berbentuk himpunan atau matriks : eigenvector dari sebuah matriks persegi, biasanya berbentuk matriks
12 : eigenvalue dari sebuah matriks persegi, biasanya berbentuk konstanta Contoh soal:. Transformasi linear dari T: C > C didefinisikan sebagai T()A. Dimana A Dan w dan w: Dan himpunan W{w,w}. Kita akan periksa apakah W merupakan invariant subspace dari C dengan T. Dari definisi W, setiap vector yang dipilih dari W dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari w dan w. Anggap w ε W, berikut penjelasan untuk pemeriksaannya. T(w) T(a*w+a*w) a* T(w)+ a*t(w)
13 a* + a* * a*w+a*((-)w++w) (-a)*w+(a+a)*w ε W Oleh karena itu berdasarkan definisi dari invariant subspace maka W merupakan invariant subspace dari C dengan T.. Dan dan : Dan himpunan X{,}. Kita akan periksa apakah X merupakan invariant subspace dari C dengan T. Dari definisi X, setiap vector yang dipilih dari X dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari dan. Berikut penjelasan untuk pemeriksaan apakah X merupakan invariant subspace dari C atau tidak. T(w) T(b*+b*) b* T()+ b*t() b* + b* a*(-,7*+8,*)+a*(-8,57*+,98*) -(,7*a+8,57*a)*+(8,*a+,98*a)* ε X
14 Oleh karena itu berdasarkan definisi dari invariant subspace maka X merupakan invariant subspace dari C dengan T.
15 Linear Subspaces (Sub Ruang Linier). Pembuka Dalam tulisan ini sedikit menyinggung tentang beberapa istilah dalam aljabar linier yang perlu dimengerti sebelum belajar kontrol robust. Beberapa istilah lain ada di tulisan lain untuk melengkapi tulisan ini. Selain belajar dari tulisan ini, diharapkan peserta kuliah juga aktif menelusuri lebih dalam tentang aljabar linier di beberapa referensi buku yang disodorkan agar peserta bisa lebih memahami tentang istilah-istilah yang di tulis disini yang nantinya akan mempengaruhi pemahaman kita saat belajar kontrol robust. Dalam tulisan ini akan di jelaskan seperti apa sub ruang vektor (Subspace), kombinasi linier suatu vektor, span, kebebasan linier, basis dan dimensi yang mana seluruhnya saling berhubungan. Selain itu juga akan disinggung mengenai vektor yang ortogonal, ortonormal, kernel, image, dan trace.. Subruang Jika diketahui V adalah ruang vektor dan U adalah sub himpunan V, maka U dikatakan sub ruang dari V jika memenuhi dua syarat: Jika p, q ϵ U maka p + q ϵ U (syarat penjumlahan) Jika p ϵ U maka untuk skalar k berlaku kp ϵ U (syarat perkalian) Untuk lebih memahami pernyataan di atas kita bisa perhatikan contoh di bawah ini:.. jika U adalah sub himpunan R maka tunjukanlah apakah U subruang R? Kita uji U dengan syarat diatas: #Syarat penjumlahan misal p dan q 3 dimana kita tahu bahwa p, q ϵ U maka p + q p + q 5 ϵ U, berapapun nilai pada p, q ϵ U akan tetap mengakibatkan p + q sebagai anggota U (Syarat penjumlahan terpenuhi)
16 #Syarat perkalian misal p, maka kp ϵ U dengan k skalar. Berapapun nilai k dan berapapun nilai yang ada pada p, kp tetap akan berada dalam himpunan U (syarat perkalian terpenuhi) karena dua syarat di atas terpenuhi maka U adalah subruang dari R.. jika U y dan, dan U adalah sub himpunan R maka tunjukanlah apakah U subruang R? Kembali kita uji U dengan syarat diatas: #Syarat penjumlahan misal p dan q 3 dimana kita tahu bahwa p, q ϵ U maka 6 p + q p + q 5 ϵ U, berapapun nilai asalkan dan berapapun nilai y pada p, q ϵ U akan tetap mengakibatkan p + q sebagai anggota U (Syarat penjumlahan terpenuhi) #Syarat perkalian misal p, maka ada nilai k yang tidak dapat memenuhi syarat kp ϵ U yaitu ketika k. misalkan k - maka kp, padahal nilai harus agar tetap berada di dalam anggota U. (syarat perkalian tidak terpenuhi) karena ada syarat yang tidak terpenuhi maka U bukanlah subruang dari R 3. Kombinasi Linier dan Span
17 Jika U {,, n } maka u k. + k k n. n bisa disebut kombinasi linier dari U Jika U {,, n }, maka Span{U} adalah semua kombinasi linier yang mungkin terjadi dari U jika V adalah ruang Vektor dan U adalah Sub himpunan dari V maka Span{U} bisa dikatakan sebagai subruang dari V, atau secara matematis Span{U} Subruang V jika U adalah subruang V berikut ini adalah contoh soal untuk memperjelas pernyataan di atas: 3.. jika U{p, q } { y, y } dan U adalah sub himpunan R bahwa span{u} adalah subruang R? maka tunjukanlah, tunjukanlah misal p q, maka span{p, q } adalah: 3 span{p, q } adalah kombinasi linier yang mungkin terjadi dari {p, q }, maka katakanlah u span{p, q } u k.p + k. q k. + k. 3 k + k k + 3k Untuk mengujinya dengan syarat sub ruang, maka kita definisikan lagi v sebagai kombinasi linier yang lain dari U, maka v span{p, q } v m.p + m. q m. + m. 3 m + m m + 3m Jika kita masukan nilai k, k, m, dan m ke dalam u dan v maka u dan v akan tetap menjadi anggota himpunan U, selanjutnya adalah pengujian terhadap syarat subruang : #syarat penjumlahan u + v k + k k + 3k + m + m m + 3m k + k + m + m k + 3k + m + 3m Berapapun nilai k, k, m, dan m, u + v tetap anggota himpunan U (syarat penjumlahan) #Syarat perkalian u k + k k + 3k, maka cu ϵ U dengan C skalar. Berapapun nilai c serta berapapun nilai k dan k yang ada pada u, cu tetap akan berada dalam himpunan U (syarat perkalian terpenuhi) karena dua syarat di atas terpenuhi maka span{u}span{p, q } adalah subruang dari R
18 . Kebebasan Linier, Basis, dan Dimensi U {,, n } dikatakan bebas linier (Linearly independent) jika : span{u} k. + k k n. n dan hanya memiliki penyelesaian k k k n, Jika ada penyelesaian lain maka dikatakan bergantung linier (Linearly Dependent) Misalkan V ruang vektor dan U {,, n }. U disebut basis dari V bila U bebas linier Dimensi Ruang Vektor didefinisikan sebagai banyaknya unsur basis ruang vektor, misal dim (R 3 )3 berikut ini adalah contoh soal untuk memperjelas pernyataan di atas:.. misal U{p, q }, dimana p q 3, apakah U basis dari R? Cek kebebasan liniernya, maka Span{U} span{p, q } k.p + k. q Span{U} k. + k. 3 k + k k + 3k Atau bisa kita tulis dalam bentuk 3 k k k k 3 k k karena k k, maka U bebas linier, karena U bebas linier maka U adalah basis dari R. Dapat diliat secara langsung juga bahwa U memiliki vektor dan dim (R ) adalah maka U adalah basis dari R... misal U{p, q, r }, dimana p q 3 r 5, apakah U basis dari R :
19 Cek kebebasan liniernya, maka Span{U} span{p, q, r } k.p + k. q + k 3. r Span{U} k. + k. 3 + k 3. 5 k + k + 5k 3 k + 3k + k k k Invers dari suatu matriks A adalah A - adj A det A Matriks 5 tidak memiliki determinan, maka matriks tersebut tidak bisa di inverskan, oleh 3 karena itu k k karena k k, maka U bergantung linier, karena U bergantung linier maka U bukanlah basis dari R. Dapat diliat secara langsung juga bahwa U memiliki 3 vektor dan dim (R ) adalah maka U bukanlah basis dari R. 5. Kernell atau Null space Didefinisikan dengan Ker A N(A) : { R n A }, Adalah semua nilai vektor ( ) yang memenuhi persamaan, dimana adalah anggota R n dan matriks A jika dikali akan menghasilkan vektor ( ). 5. misal A 3, maka berapakah Null A (N(A))? 3 A 3 N(A) : { R n A } 3 3 Matriks di atas bisa diwaki denagn persamaan linear sebagai berikut X + X + X 3 +X X +X +3X 3 +X X +3X +X 3 +X Persamaan diatas bisa diwakili dengan sebuah matriks buatan yaitu
20 kemudian : 3 3 baris ke diganti dengan : baris ke dikurangi baris ke dan baris ke diganti dengan : baris ke dikurangi baris ke sehingga matriks tersebut menjadi : 3 3 kemudian : baris ke diganti dengan : baris ke dikurangi baris ke dan baris ke diganti dengan : baris ke dikurangi baris ke 3 sehingga matriks tersebut menjadi : 3 Matriks di atas bisa dituliskan menjadi persamaan : X X 3 X maka X X 3 + X X +X 3 +3X maka X X 3 3X Sehingga 3 X 3 + X 3 3 Jadi N(A) Span + Sebagai catatan tambahan jika kolom kolom pada Matriks A merupakan bebas linear(linieary independent) maka yang memungkinkan Dan gambaran atau range dari A adalah
21 ImA R(A) : {y F m : y A, F n }. Biarkan a i, i,,...,n menyatakan colom dari matriks A F m n ; maka Im A span{a,a,...,a n }. Sebuah pesegi matriks U F n n yang kolomnya membentuk basis orthonormal untuk F n disebut kesatuan matriks ( atau matriks orthogonal jika F R), dan itu membuktikan U*U I UU*. 6. Trace Trace dari matriks persegi ordo n n didefinisikan sebagai jumlah elemen pada diagonal utama, yaitu diagonal dari kiri atas ke kanan bawah dinotasikan dengan Tr(A), yaitu a +a +a a nn n i a ii atau bisa juga dituliskan : n Trace(A): a ii i Sebagai contoh : matriks A hitung trace dari A? 3 Dapat dituliskan tr(a) a +a +a Referensi (-) Anton, Howard dan Rorres, Chris. Elementary Linear Algebra-Ninth Edition. John Wiley and Sons, Inc. 5. Sibaroni, Yuliant. Buku Ajar Aljabar Linier. STT Telkom Bandung (channel: khan academy, bagian Lenear Algebra)
22 Definisi inverse JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B B A I, maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan ( B sama dengan invers A). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan. Metode penentuan inverse : Ada beberapa metode untuk menetukan invers dari suatu matriks,antara lain :. subtitusi. matriks adjoint 3. eliminasi guass-jordan. dekomposisi 5. perkalian matriks inverse elementer 6. dan lain lain Pada pembahasan kali ini kami hanya kan membahas metode saja yaitu menggunakan matriks adjoint dan partisi matriks-dekomposisi, karena erat kaitannya dengan mata kuliah yang sedang kami ambil yaitu teknik control robust terutama metode dekomposisi. Penjelasan matriks adjoint Misalkan A suatu matriks kuadrat dengan baris dan kolomnya masing masing sebesar n. Jadi A (ai j) ; i,j,,.n. Dan setiap element dari matriks mempunyai kofaktor, yaitu elemen ai j mempunyai kofaktor k i j.apabila semua kofaktor itu dihitung untuk semua elemen matriks A, kemudian dibentuk suatu matriks K dengan kofaktor dari semua elemen matriks A sebagai elemennya, maka:
23 Yang disebut adjoint matriks A ialah suatu matriks yang elemen elemennya terdiri dari transpose semua kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu apabila: k( k i j ), dimana k i j ialah kofaktor dari elemen ai j, maka adjoint matriks A yaitu : Jadi, jelasnya Adj (A) ialah transpose dari matriks kofaktor K, yaitu: Matriks orde : Invers Matriks A Adj (A) Matriks adjoint dari matriks A Det (A) Determinan matriks A Untuk matriks berordo X dimana matriks A A Untuk nilai invers dari matriks :
24 Matriks orde 3 3 : Contoh soal : Carilah invers matriks dibawah ini : Penyelesaian : Mencari determinan matriks A Untuk matriks berukuran 33, maka determinan matriks dapat dicari dengan aturan Sarrus Det (A) a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a 3 a a 3 a 3 a 3 a a 33 a a Jadi untuk mencari determinan dari soal matriks A adalah, Det (A) 3()() + (-)()() + ()(-) ()() (-)()(3) ()(-) Mencari Adjoint A A
25 Det (A ) ()() (-)() A Det (A ) (-)() (-)() A 3 Det (A 3) (-)() ()() A Det (A ) ()() ()() A
26 Det (A ) (3)() ()() A 3 Det (A ) (3)() ()() - A 3 Det (A 3) ()(-) ()() - - A 3 Det (A 3) (3)(-) ()(-)
27 A 33 Det (A 33) (3)() (-)() A Matriks kofaktor yang terbentuk adalah : Adjoint matriks didapat dari transpose matriks kofaktor, didapat:
28 Penyelesaian inverse dengan metode dekomposisi Dekomposisi adalah menuliskan suatu matriks sebagai jumlah atau perkalian dua matriks, yang masing-masing bentuknya tertentu. Cara menentukan invers dari matriks A berukuran nn dengan metode dekomposisi dimulai dengan teknik partisi. Partisi matriks adalah membagi matriks menjadi submatriks-submatriks. Ada macam teknik partisi, yaitu partisi simetri dan partisi tak simetri. Partisi simetri adalah apabila matriks asal dibagi menjadi empat buah submatriks yang ukurannya sama. Partisi tak simetri adalah apabila matriks asal dibagi menjadi empat buah submatriks yang ukurannya berbeda, dalam hal ini blok diagonal harus merupakan matriks bujur sangkar dan dua blok lainnya adalah matriks garis dan matris kolom. Penggunaan matriks dekomposisi bertujuan untuk menyelesaikan suatu invers dari matriks yang berukuran besar, karena apabila kita menggunakan metode yang biasa digunakan seperti matriks adjoint atau operasi baris elementer (OBE) rentan terjadi kesalahan dalam proses perhitungannya dan relative lebih sulit, namun apabila kita menggunakan metode dekomposisi maka matriks yang besar tersebut kemudian akan dibagi menjadi submatriks submatriks yang berukuran lebih kecil sehingga akan lebih teliti dalam perhitungan menentukan invers dari suatu matriks. Untuk lebih memahami bagaimana penyelesaian inverse dengan metode dekomposisi, kita bisa membuat formula atau rumus umumnya. Dimisalkan matriks Z adalah matriks bujur sangkar hasil partisi dari suatu matriks besar,dimana A dan A adalah juga merupakan sebuah matriks bujur sangkar. Z A A A A Misal A A ; A B ; A C ; A D Maka ; Z A B C D
29 Anggapan A adalah matriks nonsingular (formula ) Kemudian pada matriks Z dilakukan dekompoisi, sehingga didapat : Z A B Im A Im A B C D CA In Iq A Im A B Im A B CA In C D Iq Dengan disebut schur complement dari A; D CA B Kronologi didapatkannya formula umum diatas adalah sebagai berikut : Persamaan : Untuk membuat diagonal blok menjadi, maka C + RA. Sehingga R - CA dan menyebabkan nilai D + RB D CA B. Sehingga persamaan menjadi <> Persamaan : Kemudian untuk membuat diagonal blok menjadi, maka B +AQ, sehingga nilai Q - A B dan menyebabkan nilai D+CQ D CA B. Sehingga persamaan menjadi <> persamaan 3 :
30 Dengan melakukan subtitusi nilai R dan Q dari persamaan dan didapat Tujuan dari penjabaran ketiga persamaan diatas adalah untuk pembuktian penjabaran dari formula umum dekomposisi matriks. Yaitu (dari persmaan 3),kita dapat melakukan dekomposisi dari matriks Z. - Berdasarkan teori,bahwa : Im C - Im Im B - Im -B In -C In dan In In Sehingga untuk persamaan 3 menjadi : Z Kemudian dikembalikan lagi kedalam permisalan: A A ; A B ; A C ; A D, sehingga didapat kembali formula umum dari dekomposisi matriks dengan Anggapan A adalah matriks nonsingular dan A A A A ( adalah schur complement dari A ).
31 Z A A I A I A - A A A AA - I I Anggapan permisalan D A adalah matriks nonsingular (formula ) Z A A A A Misal A A ; A B ; A C ; A D Maka ; Z A B C D Maka berlaku juga pada permisalan A A adalah matriks nonsingular, sehingga didapat Z A B Im BD Im C D In D D C Iq Dengan disebut schur complement dari D; A BD C atau A A A A Kronologi didapatkannya formula umum diatas adalah sebagai berikut : persamaan persamaan
32 dari persamaan dan didapat persamaan 3 dari persamaan 3 didapat bahwa A B Im -BD - Im C D In D -D C Iq - Berdasarkan teori,bahwa : Im C - Im Im B - Im -B In -C In dan In In Sehingga untuk persamaan 3 menjadi A B Im BD Im C D In D D C Iq Selanjutnya perhitungan matriks dari formula dan : Misal A A ; A B ; A C ; A D dan A adalah matriks nonsingular Formula ; Z A B I A I A B C D CA I I Dari Persamaan :
33 y V Dari matriks diatas Dan Y V X - Y - V - X, sehingga : Dari teori Maka dapat dipersamakan dengan persamaan Misal A A ; A B ; A C ; A D dan A adalah matriks nonsingular Formula ; A B Im BD Im C D In D D C Iq
34 Kronologi mendapatkan rumusnya adalah sebagai berikut ; Dengan F adalah (schum complement dari D) Dianalogikan bahwa Lalu didapat persamaan persamaan Dari persamaan didapat lalu Berarti : dan Dari persamaan didapat S D - - D - CQ Dan f sehingga Lalu didapat Dan Jadi sudah didapat semua komponen (P Q R S)
35 Contoh soal penyelesaian matriks dengan metode dekomposisi : Langkah yang pertama mempartisi matriks diatas menjadi sesuai dengan bentuk umum dibawah ini : A A A A A [] Maka kita dapat menggunakan rumus karena A merpakan matriks Non singular sehingga kita menggunakan rumus : A A A - + A - A - A A - - A - A - A A - - A A - - Berdasarkan rumus diatas kita cari nilai nilai dari setiap matriks diatas : A - A A A - A
36 [] * A - + A - A - A A - - A - A A A * Sehingga invers matriks B dengan metode dekomposisi adalah, B - A A A A Mencari invers matriks dengan menggunakan matlab : >> A [ 5; 3] A 5 3 >> inv(a) ans 3-5 -
37 SEMIDEFINIT MATRICES Suatu matriks Hermitian A Mn dikatakan definit positif jika *A >, untuk semua Cn. Jika ketaksamaan di atas diperlemah menjadi * A maka A dikatakan semidefinit positif. Secara implicit, ruas kiri pada ketaksamaan di atas menyatakan suatu bilangan real. Matrik Hessian Beberapa konsep dalam matriks dan aljabar seperti matriks Hessian dapat kita gunakan sebagai salah satu metode untuk menentukan jenis matriks seperti matriks definite positive, semidefinite positif, definite negative atau indefinite dan definit negative. Diberikan f(,,, n ) adalah sebuah fungsi dengan n variable, (,,, n ). Matriks Hessian adalah matriks yang merupakan turunan parsial dari fungsi tersebut dengan susunan seperti berikut : f f f n f (H) f f n... f n f n f nn f f n Contoh : f f ( ) n f n f f nn f n ( n ) Tentukan matriks hessian dari suatu fungsi dengan tiga variabel berikut : f() turunan parsial I : f turunan parsial II : f f f f f 3 f f ( ) f f 3 f -5 3 f f f f ( ) 3 f 6 3 f 3-5 f 3 f 3 6 f 33 f ( 3 ) -6
38 Maka akan diperoleh matriks hessian : 5 (H) Bagian-bagian matriks hessian Jika terdapat suatu matriks berukuran (n n), maka principal minor ke k (k n) adalah suatu sub matriks dengan ukuran (k k) yang diperoleh dengan menghapus (n-k) baris dan kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut. Contoh : 3 (Q) Principal minor ke- adalah elemen-elemen yang diagonal yaitu,5,9. Principal minor ke- adlah matriks-matriks ( ) berikut : Principal minor ke-3 adalah matriks Q itu sendiri. Determinan dari suatu principal minor dinamakan principal determinan. Leading principal minor ke k dari suatu matriks n n diperoleh dengan menghapus (n - k) baris terakhir dan kolom yang bersesuaian. Dengan matriks Q diatas leading minor ke- adalah (hapus dua baris terakhir dan dua kolom terakhir). Leading principal minor ke- adalah : 5 Sementara yang ke-3 adalah matriks Q itu sendiri. Banyaknya leading Principle determinan dari suatu matriks (n n) adalah n. Determinan dari leading principal minor dinamakan leading principal determinan. Menentukan jenis matriks hessian Cara pengujian sederhana untuk menentukan apakah suatu matriks adalah definit positif, semidefinit positif, definit negative, semidefinit negative atau indefinite. Semua pengujian ini berlaku hanya jika matriksnya simetris.
39 Ketentuan uji bagi matriks definit positif adlah :. Semua elemen diagonal harus positif. Semua leading principal determinan harus positif ( > ) Ketentuan uji untuk matriks semidefinit positif adalah :. Semua elemen diagonal positif. Semua leading principal determinan non negative ( ) Untuk membuktikan bahwa suatu matriks definit negative (semidefinit negatif), uji negative dari matriks itu untuk definit positif (semidefinit positif). Suatu uji cukup bagi suatu matriks menjadi indefinite adalah bahwa sekurang-kurangnya dua elemen diagonalnya memiliki tanda berlawanan. Sifat-sifat penting berkaitan dengan matriks definit positif Beberapa sifat penting berkaitan dengan matriks definit positif adalah: a. Penjumlahan sebarang dua buah matriks definit positif menghasilkan matriks definit positif juga. Secara umum berlaku sebarang kombinasi linear nonnegative dari matriks-matriks semidefinit positif menghasilkan matriks semidefinit positif Bukti: Misalkan A dan B keduanya semidefinit positif, dan a,b Ο. Perhatikan bahwa (aa + bb) a( A)+ b( B) Ο untuk semua Cn. b. Setiap nilai eigen dari matriks definit positif adalah bilangan real positif Bukti: Misalkan A definit positif dan σ (A), yaitu suatu nilai eigen dari A dan adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan. Perhatikan, A Oleh karena itu kita peroleh ( A) dimana pembilang dan penyebut keduanya positif. c. Sebagai akibat dari bagian (b), trace dan determinan dari matriks definit positif adalah positif Karakterisasi Matriks Definit Positif Pada bagian ini kita akan melihat syarat cukup yang harus dipenuhi oleh matriks definit dan semidefinit positif yang dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema. Suatu matriks Hermitian A Mn adalah semidefinit positif jika dan hanya jika semua nilai eigennya nonnegative.
40 . Suatu matriks Hermitian n A M adalah definit positif jika dan hanya jika semua nilai eigennya positif. Bukti: Jika setiap nilai eigen dari A adalah positif maka untuk sebarang vektor tak nol Cn Berlaku * A * U * n n DU y* Dy i di yi yi > di yi yi > i Dimana D adalah matriks diagonal dengan entri-entri diagonal adalah nilai-nilai eigen dari A, y U dan U uniter. Dengan menggunakan teorema di atas kita dapat memperoleh akibat berikut Akibat 3 Jika n A M suatu matriks semidefinit positif maka demikian juga matriks Ak, k,, Bukti: Jika adalah suatu nilai eigen dari A maka k adalah nilai eigen untuk Ak. Berdasarkan Teorema di atas maka Ak semidefinit positif. Contoh Soal : Contoh : f() maka (H) dengan leading principal determinan H, H 6, H sehingga (H) definit positif. Contoh : f() maka 3 3 (H) 3 3
41 dengan leading principal determinant H -, H -5, H 3 - sehingga (H) definit negatif. Contoh 3 : f() maka (H) 8 dengan leading principal determinan H, H, H 3 sehingga (H) semidefinit positif Ulinnuha L Susdarminasari T Achmad ulul Azmy (LF93) (LF93) (LF99)
42 Singular Value Decomposition A. Pengertian Singular Value Decomposition ( SVD ) adalah suatu cara memfaktorkan matrik A dengan cara menguraikan matrik kedalam dua matrik P dan Q. Jika terdapat matrik berukuran m n dengan rank r >, maka penguraian matrik dapa dinyatakan sebagai A P Δ Q T Rank ( r ) menyatakan banyaknya jumlah baris atau kolom yang saling independent antara baris atau kolom lainnya dalam suatu matrik. Matrik P merupakan matrik orthogonal berukuran m r sedangkan matrik Q merupakan matrik orthogonal berukuran n r. Matrik Δ adalah matrik diagonal berukuran r r yang elemen diagonalnya merupakan akar positif dari eigenvalue matrik A. Terbentuknya matrik Δ tergantung kondisi matrik A, yaitu : a. Δ, bila r m n b. Δ bila r n dan r < m () c. [Δ ()] bila r m dan r < n d. Δ () bila r < m dan r < n () () Matrik P dapat diperoleh melalui perkalian antara A, Q, dan Δ - sehingga dapat dinyatakan P AQΔ - CONTOH Contoh : Menghitung SVD matrik non singular X Hitung SVD dari matrik X 3 Jawab : Pertama mencari nilai eigenvalue dari X X T A X X T XX T I,,
43 ( 5-)(3-) (7)(7) , b ± b ac a (8)± (8) ()(6) () 9 ± 65 eigenvalue yang didapat adalah dan kedua mencari eigenvektor dari masing masing.9377 ( XX T I) ( ) ; Proses normalisai T / ( ) /.73 (.73 ).73 / X + / ( XX T I) ( ) , ; X.63
44 Proses normalisai T / ( ) /.583 X (.583 X ).583 / / ,869,59 Sehingga eigenvektor yang didapat dari dan adalah P,59,869 Ketiga mencari nilai eigenvalue dari X T X B X T X X T X I,, ( 8-)(-) (8)(8) , b ± b ac a (8)± (8) ()(6) () 9 ± 65 eigenvalue yang didapat adalah dan Keempat mencari nilai eigenvektor dari masing masing pada X T X.9377 ( X T X I) ( ) ;
45 Proses normalisai T / ( ) /.38 (.38 ).38 /.38.38,83 + / ( X T X I) ( ) , ; Proses normalisai X 9.63 T / ( ) /.888 X (.888 X ).888 / / ,797,668 Sehingga eigenvektor yang didapat dari dan adalah Q,668,797 Sedangkan matrik Δ adalah Δ diambil dari eigenvalue matrik A atau B, pilih salah satu. Δ,9377,968 7,63,37
46 Matrik SVD adalah bila P Δ Q X,869,59,668 P Δ Q,968,797,59,869,37,668,797,8376,733,668,797,86 3,577,668,797 3 Terbukti bahwa P Δ Q X 3 Contoh : Menghitung SVD matrik simetri non singular, bedanya ini langsung mencari eigenvalue tanpa harus mengalikannya dengan transposenya.. Diketahui A 5. Mencari nilai eigenvalue matrik A A I,, 5 5 ( 5-)(-) eigenvalue yang didapat adalah dan 6 3. Mencari eigenvektor matrik A ( A I) ( 5-5 ) + - -,5
47 Proses normalisasi T / ( ) /,5 (,5 ),5 /,5,5,5 + /.7, ( A I) ( ) X - + Proses normalisai T / ( ) / X ( X ) / + / ,7,89 Sehingga eigenvektor yang didapat dari dan adalah X,89,7. Menentukan Δ Δ 6 5. Mencari SVD dengan rumus A X Δ X T,7,89,89 A,7,89,7 6,89,7,7 5,366,89,7,89,683,89,7 5 maka terbukti nilai X Δ XT A 5
48 Contoh 3: Menghitung SVD matriks A( mn) A (3) A Jawab: A T A T A Eigenvalue A T A (- ) ( -3)( -) 3
49 Eigenvektor A T A Untuk ) ( I A + - Proses Normalisasi ( ) ( ) * [ ] +
50 Untuk 3 ) ( I A Proses Normalisasi ( ) ( ) * [ ] + Sehingga eigenvektor A T A X AA T
51 Eigenvalue AA T ( )( ) ( ) ++-( ) -( ) ( - +)(- )-(- ) ( -3) ; ; 3 Eigenvektor AA T Untuk ) ( I A ; + ; ; 3 -
52 Proses Normalisasi 3 [ 3] 3 [ ] (3 ) Untuk ; ; 3 -
53 Proses Normalisasi 3 [ 3] [ 3 3 ] ( 3 ) Untuk ; ; 3 ; 3
54 Proses Normalisasi 3 3 [ 3] 3 3 3,865,8,7,8 Mencari Nilai P: P AQ - 3 3
55 A P Q
56 Contoh Menghitung SVD matriks A (mn) A (3) Dapatkan Singular Value Decomposition (SVD) dari matrik yang berukuran mn berikut ini : B ( 3) Jawab:. Menghitung Matrik B T B dan BB T B T B C BB T D. Mencari Eigenvalue () dari Matrik B T B dan BB T Eigenvalue Matrik B T B: C-I
57 [()(8)() + ()6 + 6()()] [6(8)6 + () () + ()] [ ] [56(8) + 6() + 6 ()] ( ) ( ) ( ) (688 88) ( 8 3) ( )( 36),, dan 3 36 Jika dinyatakan dalam bentuk matrik diagonal 36 Eigenvalue Matrik BB T : D-I [()() ] ( ) ( ) ( 36) dan 36
58 Jika dinyatakan dalam bentuk matrik diagonal 36 Pada proses mencari eigenvalue matrik B T B (matrik C) didapatkan, mengacu pada prosedur penyelesaian SVD matrik m n terdapat catatan bahwa: jika dalam perhitungan eigenvalue didapatkan maka untuk prosedur perhitungan eigenvalue diabaikan yang berakibat eigenvektor untuk kolom pada prosedur selanjutnya akan dihilangkan dari matrik eigenvektornya.. Sehingga, matrik diagonal Mencari Eigenvektor Matrik B T B dan BB T Untuk Eigenvektor Matrik B T B: Untuk (C
59 Pers. Pers. Pers.3 Eliminasi Pers. dan Pers.3: Pers. Subsitusikan Pers. ke Pers. ( 3 ) Pers.5
60 Proses normalisasi untuk : * ( ) / T / ) ( / ) ( / 3 / 3 / ) (3 ) ( / / ,577,577,577 Untuk (C Ι)
61 Pers. Pers. Pers.3 Eliminasi Pers. dan Pers.3: Pers. Subsitusikan Pers. ke Pers. ( 3 ) Pers.5 Proses normalisasi untuk : * T ( ) / 3 / ( 3 ) 3 3 / ( ) 3 3
62 + + 6 / 6 / 6 / ) (6 ) ( / / ,8.865,8 Untuk 3 36 (C 3 Ι) Pers. Pers.3 Pers.
63 Eliminasi Pers. dan Pers.: Pers. Subsitusikan Pers. ke Pers () Pers.5 Proses normalisasi untuk 3 : 3 T ( ) / / ( ) / ( ) ( ) 33 / ( / ) / /,77,77
64 Sehingga, eigenvektor yang didapatkan adalah:,577,8,77 X,577,865,577,8,77 Akan tetapi, untuk prosedur selanjutnya eigenvektor yang digunakan adalah eigenvektor dari kolom yang nilai eigenvalue () lebih dari nol (positif). Q,8,865,8,77,77 Eigenvektor Matrik BB T : Untuk (D I) Pers. Pers. + + Pers.3
65 Proses normalisasi untuk : * T ( ) / / ( ) / ( ) ( + ) / / ( ) / /,77,77 Untuk 36 (D I) Pers. Pers. + + Pers.3
66 Proses normalisasi untuk : * T ( ) / / ( ) / ( ) ( + ) / ( ) / / /,77,77 Sehingga, eigenvektor yang didapatkan adalah: Y,77,77,77,77. Dekompisisi Nilai Singular (SVD) Matrik B Diketahui: 36 3, Didapatkan: - /,887 /,667 P B Q - P P P,8,865,8,77,887,77,9,6,887,9,6, 667,77,77,77, 77,667
67 Dekomposisi matrik B P Q T B,77,77 3,6,8,865,8,77,77 6,77, 77 B,9,6,8,865,8,9,6,77, 77 B, 3,9999,, 3,9999, B
68 Vector Norms and Matri Norms VECTOR NORM Norm merupakan konsep yang dimaksudkan untuk memperluas pengertian magnitude atau besar sebuah besaran scalar dan vector atau bisa juga norm mendefinisikan panjang suatu vector di ruang Euclidean (system koordinat yang lazim digunakan. Untuk lebih mudahnya, pada konsep panjang kita dapat membandingkan mana yang lebih besar antara dua buah vector yaitu dengan membandingkan panjang keduanya. Norm didefinisikan dengan symbol Besaran vektor ( i ) R n dinyatakan "panjang" atau "besar"-nya dengan norm dari, dilambangkan oleh. Dalam literature dikenal ada 3 buah definisi tentang : n i i. norm- : ; n i i. norm- : ( T ) / ; 3. norm- : ma( i ; i,,..,n ). Ketiga definisi ini masing-masing memenuhi 3 sifat-dasar, yaitu definit positif, homogeny dan memiliki sifat ketidaksamaan segitiga. Antara lain : (i) Positif Pembuktian : Vector 3i + j. Maka Vector -3i -j. Maka ( 3) + ( ) 5 5 Jadi norm dari suatu vector akan selalu bernilai positif untuk semua nilai vector (baik itu positif maupun negative) (ii) Definit positif jika dan hanya jika (iii) Homogen α α.,dimana α merupakan nilai skalar Pembuktian : Misalkan α 5 dan 3i+j. Maka α α.
69 5(3i+j) 5. 3i+j 5i + j (Terbukti) (iv) Sifat segitiga +y + y Pembuktian : Misalkan 3i+j, y i+3j Maka +y + y (3i+i) + (j+3j) 3i+j + i+3j 5i + 7j 5 + 3, ,65 8,6 8,65 (Terbukti)
70 MATRIX NORM Norm juga digunakan pada matriks. Ruang matriks M n adalah suatu ruang vector berdimensi n. Dengan demikian sifat-sifat norm vektor di ruang berdimensihingga tetap berlaku di sana. Perbedaannya, untuk sembarang A dan B di M n kita dapat mengalikan keduanya yang menghasilkan matriks baru AB di Mn juga. Sangatlah wajar jika kita menginginkan suatu ukuran matriks yang memberikan hubungan antara ukuran ketiganya Suatu fungsi. : M n R disebut norm matriks jika untuk sembarang A, B Mn berlaku lima sifat berikut: (). A untuk norm matri akan selalu bernilai positif (a). A jika dan hanya jika A (). ca c. A untuk semua scalar kompleks c. (3). A + B A + B (). AB A. B (sub-multiplikatif) Pada definisi di atas keempat sifat pertama tidak lain merupakan sifat-sifat norm vektor. Adapun sifat terakhir ditambahkan untuk menghubungkan ukuran matriks matriks A, B dan hasil perkalian keduanya yaitu matriks AB. Inilah yang membedakan Norm matriks dengan norm vektor. Dengan melihat keterkaitan antara ruang Mn dan Cn maka kita dapat mendefinisikan suatu norm di Mn dengan melibatkan norm di Cn seperti pada definisi berikut. Norm matriks yang dibangunoleh norm vector. (Induced Norm) Misalkan. adalah norm vector di C n (n merupakan kolom matriks) dan C m (m merupakan baris matriks),yaitu. :C m n R, didefinisikan matri p-norm : A p ma{ A p : C n dengan ma { A p Untuk p,, dan : C n dengan }
71 Untuk p m A ma j n i aij,nilai maksimum dari masing-masing penjumlahan kolom matriks. Contoh : A 6 8 A ma (3++, 5+6+, 7++8) ma (5,3,9) 9 Jadi A 9 Untuk p A ma i m penjumlahan baris matriks. n j aij,nilai maksimum dari masing-masing Contoh : A 6 8 A ma (3+5+7, +6+, ++8) ma (5,,) 5 Jadi A 5 Untuk p atau sering disebut dengan Euclidian norm / spectral norm. A A ma(a A) (akar dari nilai eigen maksimal dari (A transpose A) Contoh : A 3
72 A* 3 A*A 3 3 ma(a A) SI (A*A) S - S S S (S-)(S-) - 96 S - 3S S -3S + S, b ± b ac a S 3 ± (3) () 3 ± 96 5 ±,86 5 +,86 9,86 (nilai eigen maksimal) S 5,86, Jadi A A 9,86 5,6
73 FROBENIOUS NORM Matriks norm yang lain yang sering digunakan adalah frobenius form. Frobenius form dituliskan: n j A f : trace(a A) i aij i i m Lebih mudahnya, perhitungan frobenius form adalah akar dari jumlah kuadrat nilai eigen dari (A transpose A). Contoh: A 3 A* 3 A*A 3 3 ma(a A) SI (A*A) S - S S S (S-)(S-) - 96 S - 3S S -3S + S, b ± b ac a 3 ± (3) () 3 ± 96 5 ±,86 S 5 +,86 9,86 S 5,86, Maka A f S + S 9,86 +, 9.86
BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciMODUL V EIGENVALUE DAN EIGENVEKTOR
MODUL V EIGENVALUE DAN EIGENVEKTOR 5.. Pendahuluan Biasanya jika suatu matriks A berukuran mm dan suatu vektor pada R m, tidak ada hubungan antara vektor dan vektor A. Tetapi seringkali kita menemukan
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperinciPerluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2.
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : 3 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas Referens i 1
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dipaparkan mengenai konsep dasar tentang matriks meliputi definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks, determinan, kofaktor, invers suatu matriks, serta
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciMATRIKS Nuryanto, ST., MT.
MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT / 2 SKS
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT0143231 / 2 SKS Deskripsi: - Mata kuliah ini mempelajari konsep aljabar linear sebagai dasar untuk membuat algoritma dalam permasalahan
Lebih terperinciPertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Lebih terperinciTUGAS MANDIRI MATRIKS. Mata Kuliah : Matematika ekonomi
TUGAS MANDIRI MATRIKS Mata Kuliah : Matematika ekonomi NamaMahasiswa : Suriani NIM : 140610098 Kode Kelas Dosen : 141-MA112-M6 : NeniMarlinaPurbaS.Pd UNIVERSITAS PUTERA BATAM 2014 KATA PENGANTAR Puji syukur
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Matriks Dra. Sri Haryatmi Kartiko, M.Sc. I PENDAHULUAN lmu pengetahuan dewasa ini menjadi semakin kuantitatif. Data numerik dengan skala besar, hasil pengukuran berupa angka sering dijumpai oleh
Lebih terperinciMATRIK dan RUANG VEKTOR
MATRIK dan RUANG VEKTOR A. Matrik. Pendahuluan Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut: a a
Lebih terperinci1.1. Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 1.2. Susunan Koordinat Ruang R n 1.3. Vektor di dalam R n 1.4. Persamaan garis lurus dan bidang rata
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH : MATEMATIKA INFORMATIKA 2 JURUSAN : S1-TEKNIK INFORMATIKA KODE MATA KULIAH : IT-045214 Referensi : [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S., Matematika untuk
Lebih terperinciDIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks
DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI
Lebih terperinciMATRIKS. kolom, sehingga dapat dikatakan matriks berordo 3 1 Penamaan suatu matriks biasa menggunakan huruf kapital
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Ordo Suatu Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang. Ukuran panjang dan lebar matriks ditentukan
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
Lebih terperinciLampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu
Lebih terperinciMatriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
Lebih terperinciMATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciInvers Tergeneralisasi Matriks atas Z p
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 Invers Tergeneralisasi Matriks atas Z p Evi Yuliza 1 1 Fakultas MIPA Universitas Sriwijaya evibc3@yahoocom PM A-1 - Abstrak Sebuah matriks
Lebih terperinciMETODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n
METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV Norma Puspita, ST MT Matriks Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang Matriks dinotasikan
Lebih terperinciKonsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Konsep Dasar M PENDAHULUAN Drs. Suryo Guritno, M.Stats., Ph.D. ateri yang akan dibahas dalam modul ini adalah konsep-konsep dasar aljabar matriks yang meliputi pengertian matriks, vektor dan skalar;
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Lebih terperinciBanyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut, disebut ordo matriks
MATRIKS DEFINISI Matriks adalah susunan bilangan real atau bilangan kompleks (atau elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan kolom sehinggga membentuk jajaran persegi panjang. Matriks memiliki m baris
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciPertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b
Lebih terperinciMatriks Jawab:
Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan
Lebih terperinciSOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 91 98. SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Febrianti,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
Lebih terperinciOperasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
Lebih terperinciVektor. Vektor. 1. Pengertian Vektor
Universitas Muhammadiyah Sukabumi Artikel Aljabar Vektor dan Matriks Oleh : Zie_Zie Vektor Vektor 1. Pengertian Vektor a. Definisi Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Contohnya
Lebih terperinciMatematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Lebih terperinciRuang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)
Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom,
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
17 Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
Lebih terperinciInstitut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Keterkendalian (Controlability)
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Keterkendalian (Controlability) Contoh Soal Ringkasan Latihan Contoh Soal Ringkasan Latihan Vektor Bebas Linear Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut:
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibicarakan mengenai matriks yang berbentuk bujur sangkar dengan beberapa definisi, teorema, sifat-sifat dan contoh sesuai dengan matriks tertentu yang dibicarakan yang
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
Lebih terperinciDIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd
DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN MARET MUQADIMAH Alhamdulillah penyusun ucapkan
Lebih terperinciALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam Shalawat serta salam
Lebih terperinciTrihastuti Agustinah
TE 9467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF TEORI CONTOH 4 SIMPULAN
Lebih terperinciKumpulan Soal,,,,,!!!
Kumpulan Soal,,,,,!!! Materi: Matriks & Ruang Vektor 1. BEBAS LINEAR S 3. BASIS DAN DIMENSI O A L 2. KOMBINASI LINEAR NeXt FITRIYANTI NAKUL Page 1 1. BEBAS LINEAR Cakupan materi ini mengkaji tentang himpunan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Statistika Multivariat Analisis statistika multivariat adalah teknik-teknik analisis statistik yang memperlakukan sekelompok variabel terikat yang saling berkorelasi sebagai
Lebih terperinciKata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
Lebih terperinciRUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)
1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Untuk DIPERHATIKAN! a A c Untuk mencari Matriks INVERS ordo 2, rumus: 1 1 d b A a d b c c a b
Lebih terperinciContoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan
C. Determinan dan Invers Matriks C.. Determinan Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi dinotasikan dengan. Untuk matriks
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinci02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Lebih terperinciAljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. . Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi Persamaan dalam variabel dan y dapat ditulis dalam
Lebih terperinciMENENTUKAN NILPOTENT ORDE 4 PADA MATRIKS SINGULAR MENGGUNAKAN TEOREMA CAYLEY HAMILTON TUGAS AKHIR
MENENTUKAN NILPOTENT ORDE 4 PADA MATRIKS SINGULAR MENGGUNAKAN TEOREMA CAYLEY HAMILTON TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh: IRMA
Lebih terperinciAljabar Matriks. Aljabar Matriks
Aljabar Matriks No No Unit Unit Kompetensi 1 Menerapkan keamanan web dinamis 2 Membuat halaman web dinamis dasar 3 Membuat halaman web dinamis lanjut 4 Menerapkan web hosting 5 Menerapkan konten web memenuhi
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Bilangan Kompleks Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinciMATRIKS. Slide : Tri Harsono PENS - ITS. 1 Politeknik Elektronika Negeri Surabaya (PENS) - ITS
MATRIKS Slide : Tri Harsono PENS - ITS 1 Sifat Matriks Perkalian dua matriks tidak komutatif Perkalian dua matriks bersifat assosiatif dan distributif tidak komutatif AB BA (AB)C = A(BC) A(B+C) = AB +
Lebih terperinci1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom.
Bab MATRIKS DAN OPERASINYA Memahami matriks dan operasinya merupakan langkah awal dalam memahami buku ini. Beberapa masalah real dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Masalah tersebut antara lain
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa definisi dan teorema dengan atau tanpa bukti yang akan digunakan untuk menentukan regularisasi sistem singular linier. Untuk itu akan diberikan terlebih
Lebih terperinciMAKALAH ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR ATAU PEMETAAN LINEAR
MAKALAH ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR ATAU PEMETAAN LINEAR Disusun oleh : 1. Supriyani (0903040095) 2. Sri Hartati (0903040113) 3. Anisatul M. (0903040065) TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciPertemuan 2 & 3 DEKOMPOSISI SPEKTRAL DAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Pertemuan 2 & 3 DEKOMPOSISI SPEKTRAL DAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Ingat : Vektor dan Matriks Ortogonal vektor dan a dan b saling ortogonal jika a dan b saling ortonormal jika a dan b di normalisasi (normalized)
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinci7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal
7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada
Lebih terperinciMATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika
MATRIKS FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar Invers suatu matriks bujursangkar Penyelesaian set persamaan linier Nilai-eigen dan
Lebih terperinciMatriks. Baris ke 2 Baris ke 3
Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung
Lebih terperinciCHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam
CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal
Lebih terperinci(MS.3) SUBRUANG CONINVARIAN DARI MATRIKS KUADRAT KOMPLEKS
Seminar Nasional Statistika 2 November 20 Vol 2, November 20 (MS.3) SUBRUANG CONINVARIAN DARI MATRIKS KUADRAT KOMPLEKS Euis Hartini Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciAljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank
Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar
Lebih terperinciSebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini.
. INVERS MTRIKS Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. a. RNK MTRIKS Matriks tak nol dikatakan mempunyai rank r jika paling
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 5 Ruang Vektor Ruang Vektor Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol
Lebih terperinciMATRIKS. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom)
MTRIKS DEFINISI Bentuk umum =(aij),i=,,...m J=,,...m a a a n baris a a..a n baris MTRIKS Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris
Lebih terperinciALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks. Tatap Muka 2
Aljabar Linier & Matriks Tatap Muka 2 Matriks Matriks adalah susunan segi empat siku siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung siku. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks
Lebih terperinciBAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x
Lebih terperinciMATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.
Lebih terperinci