BAB III ISI 4. Keadata Normal Multvarat da Sfat-sfatya Keadata ormal multvarat meruaka geeralsas dar keadata ormal uvarat utuk dmes. f ( x) [( x )/ ] / = e x π x = ( x )( ) ( x ). < < (-) (-) Betuk (-) d atas ada fugs keadata ormal uvarat meujuka besara jarak yag dkuadratka dar x ke ada satua stadar devas. Betuk daat dgeeralsas utuk vektor x ( ) dar suatu observas ada beberaa varabel sebaga ( x )' ( x ) (-) Vektor dega meujukka la haraa (eksektas) dar vektor acak, da matrk dega meruaka vara-covara matrk. Ds dasumska terbatas ostf, sehgga (-) meruaka geeralsas jarak yag dkuadratka dar x ke. Keadata ormal multvarat ddaat dega meggat jarak ada uvarat (-) jarak multvarat hasl geeralsas (-) ada fugs keadata / (-). Saat ergata terjad, kostata ormal uvarat ( ) ( ) / π juga harus dgat dega kostata umum yag membuat suatu volume dbawah ermukaa fugs keadata multvarat utuk seta. Hal derluka karea ada multvarat, robabltas dgambarka oleh volume dbawah ermukaa ada daerah yag ddefska oleh terval dar la x. Kostata yag meggatkaya adalah ( ) / / π vektor acak = [,,..., ]' memlk betuk, keadata ormal ada dmes utuk
dmaa x f ( ) ( π ) ( x ) ( x ) ' / x = e (-4) / / < <, betuk aka dotaska dega N (, ). Pada ersamaa (-4) jelaslah bahwa alur atau gars edar dar la x yag meruaka kostata ketgga utuk keadata adalah sebuah elsod. Sehgga keadata ormal multfarat adalah sebuah kostata dmaa: c } Peta keadata kemugka kosta = {all x ( x )' ( x ) = = ermukaa dar elsoda dega ttk usat. Ttk-ttk ada elsod dar suatu keadata ormal adalah suatu vektor ege berarah dar dar c. da ajagya adalah akar la ege dar dkal dega akar Akbat. Jka terbatas ostf sehgga terdaat, e = λe meyebabka e = e λ jad( λ,e) adalah asaga la da vektor ege dar yag berhubuga dega asaga ( / λ,e) utuk. Dmaa juga terbatas ostf. Proof. Utuk terbatas ostf da e 0 adalah vektor ege, kta uya 0 < e' e = e'( e ) = e'( λe ) = λe ' e = λ. Sela tu e = e = λe = λ e da jka dbag dega λ > 0 memberka utuk e = (/ λ) e. Sekarag λ ( ) x ' x = x ' ' e e x = λ = ( x' e ) 0 = λ x' e 0 sehgga x ' e = 0 utuk seta jka da haya jka x = 0. Jad x 0, meyebabka ( / λ )( ' ) x e > 0 da = terbatas ostf.
Dbawah meruaka rgkasa kose datas Kotur dar keadata kosta utuk dstrbus ormal ada dmes adalah sebuah elsod dega x varabelya sehgga ( x )' ( x ) c (-5) = Ellsod berusat ada da memlk ttk kooardat ± c λ e dmaa e = λe, =,,...,. Cotoh soal saat Kta harus medaatka ttk koordat dar cotour robabltas desty = dar (-5) ttk yag kta car dberka oleh la ege da vektor ege. Ds λi = 0 mejad λ 0 = = ( ) λ λ ( λ )( λ ) = + Kosekuesya, la egeya λ = + da λ =. Vektor egeya ddaat dar e e ( ) e = + e atau ( ) e + e = + e ( ) e + e = + e Persamaa megakbatka e = e da setelah ormalsas asaga la ege da vektor ege adalah λ = +, e =
Dega cara yag sama λ = meghaslka e', =. Saat kovara (korelas ρ ) berla ostf, λ = + adalah la ege tebesar da dhubugaka dega e', = terletak bersama dalam 45 0 melewat ttk ' = [, ] dar kovara.. Hal aka bear utuk seta la ostf c + c x Gambar. Kotur utuk dstrbus ormal bvarat dega = da > 0 Utuk meragkumya, ttk ada els dar suatu keadata kosta utuk dstrbus ormal bvarat dega = daat dtetuka oleh ± c + da ± c Akbat. Jka berdstrbus N (, ), maka seta kombas ler dar varabel a = a + a +... + a aka berdstrbus
N ( a ', a' a ). Demka juga jka a berdstrbus N ( aa ', ' ) seta a, maka berdstrbus N (, ). Proof. Ds haya aka dbuktka utuk E ( a ) ( ) ( ) E a = ae = a. Cotoh [ ] a ' =,0,...,0 a ' = [,0,...,0] = M a ' = [,0,...,0] = M ( a' ) = ( + +... + ) E E a a a = E( a ) + E( a ) = a E( ) + a E( ) = a + a = [ a, a,..., a ] = a ' L 0 ' [,0,...,0] L a Σ a = = M M O M M L 0 Melalu akbat kta daatka bahwa derumum jka utuk M = a' berdstrbus N (, ) maka dstrbusya aka (, ) Akbat. Jka berdstrbus N (, ) N. a utuk. Hal daat, q kombas ler dar
a +... + a a +... + a A = M aq +... + aq q aka berdstrbus N (, ') A A A. Begtu juga utuk + d, dmaa d adalah ( ) ( ) vektor kostata, aka berdstrbus N ( +, ) d. Cotoh: Dberka berdstrbus N ( ) 0 0, = = A, car dstrbus utuk Dar akbat, dstrbus dar A adalah ormal multvarat dega rata-rata A 0 = 0 = da kovaraya 0 0 A A' = 0 0 + + = + + Alteratf laya kta daat mecar vektor rata-rata da covara kta daat megubah terlebh dahulu dalam betuk Y = da Y =. Akbat 4., rata-rata da covaraya aka berbetuk Semua subset dar berdstrbus ormal. Jka kts arts
maka ( q ) ( q ) ( q q) ( q ( q)) = = = (( q) ) (( q) ) (( q) q) (( q) ( q)) ( ) ( ) berdstrbus (, ) N. Dar akbat d atas kta uya bahwa semua subset dar vektor acak yag berdstrbus ormal adalah berdstrbus ormal ula. Cotoh Jka berdstrbus N ( ) 5,, car dstrbus dar. Kta hmu 4 sebelumya =, = 4, da 4 = 4 4 44 dar N ( ) 5, kta uya,, da yag kemuda aka kta susu kembal da kta arts mejad 4 =, 5 4 = 5 4 5 4 44 4 4 45 = 4 5 4 5 5 45 5 5 55 atau ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) dega megguaka akbat 4 utuk =, 4 kta aka memlk dstrbus dega betuk N ( ). 4, = N, 4 4 44
Dar cotoh ds jelas bahwa utuk seta baga (subset) dar dstrbus ormal daat deksreska dega emlha yag teat rata da kovara dar da awal. Akbat 5. (a) Jka da ( q ) (, ) Cov = deede, maka aka selalu bear bahwa ( q ) 0, q q (b) Jka berdstrbus meghaslka matrk ol. deede jka da haya jka = 0. N, maka da q + q, (c) Jka da deede da berdstrbus N (, ) da q Nq (, ), maka meruaka multvarat ormal. 0 N q + q, 0' Cotoh da Dberka ( ) berdstrbus N (, ) deedet? Bagamaa dega (, ) 4 0 dega = 0. Aakah 0 0 da? Karea da memlk =, da tdak deedet. Teta, = 4 0 ( ) ( ) = 0 = 0 0 ( ) ( )
0 Kta lhat bahwa = da memlk matrk kovara = 0. Hal meyebabka (, ) da deedet meurut akbat 5. Hal juga megmlkaska bahwa deedet terhada da. Akbat 6. Msal = = = x, berdstrbus ormal dega berdstrbus N (, ) dega, =, da > 0. Maka dstrbus bersyarat dar, memberka Rata-rata = + ( x ), da Kovaa = Catat bahwa kovara tdak tergatug ada la x dar varabel bersyarat. Proof. Aka dbuktka dega embukta tak lagsug, ambl A ( ) I ( q q) q ( q) = 0 I ( q) ( q) ( q) sehgga ( ) A( ) = A = da I I 0 0 A A ' = = 0 I I 0 Karea ( ) da memlk kovara ol, sehgga keduaya deedet. Lebh lag ( ) N q (, ) 0. Dberka x kostata. Karea ( ) bersyarat dar ( x ) memlk dstrbus =, ( x ) + adalah suatu da deedet, dstrbus adalah sama dega dstrbus tak
bersyarat dar ( ). D awal kta sudah tahu bahwa ( ) berdstrbus N q (, ) acak ( x ) 0, sehgga vektor ada saat memlk la khusus x. Hal equvale juga utuk, sehgga atya dstrbusya aka berbetuk Nq ( ( ) + x, ) Akbat 7. Jka berdstrbus N (, ) berdstrbu χ dmaa (a) ( x )' ( x ) ch-kuadrat dega derajad kebebasa. (b) Dstrbus N (, ) dega > 0. Maka: χ dotaska berdstrbus memberka kemugka α utuk elsod adat x x x χ ( α ), dmaa χ ( ) { : ( ) ' ( ) } ke( 00α ) dar dstrbus χ. α meotaska ersetl Proof. Kta tahu bahwa χ ddefska sebaga dstrbus dar jumlah Z + Z + K + Z, dmaa Z, Z,, Z K deedet N ( 0,) varabel radom. Selajutya, melalu sectral decomosoto [lhat ersamaa (-6) da (-) dega A =, da melhat ke akbat 4.] dmaa = λ e e sehgga e = ( λ ) = ee ', = λ e. Akbatya, ( ) ( )' ( ) = ( λ )( )' e e '( ) = ( λ ) e '( ) = = ( λ ) e ( ) ' Z, utuk sgkatya. = = = =
Z Z Z = A -, dmaa Z =, ( ) Z Sekarag ( ) da berdstrbus N (, ) Z = A ( -) berdstrbus N (, ') ( ) ( ) ( ) A M ( ) e ' λ e ' = λ M e λ 0. Kareaya, dega megguaka akbat, 0 A A, dmaa e ' λ e ' A A ' = λ λee e ' e ' K e ' = λ λ λ M e ' λ λ e ' λ e ' = e ' e ' K e ' M λ λ λ = λ e ' Oleh akbat 5 Z, Z, K, Z varabel deedet ormal stadar da kta smulka bahwa ( )' ( ) etg: memlk dstrbus χ. Sama s kta bsa meymulka dar akbat-akbat d atas hal. Meyagkut dega kemugka s sebuah elsod suatu kostata keadata.. Berkeaa dega betuk la dar kombas ler. '
Dstrbus ch-kuadrat daat meetuka varabltas dar vara samel s = s utuk samel yag berasal dar oulas ormal uvarat. Dasar juga aka memaka hal etg ada dstrbus multvarat. Akbat 8. Dberka,,..., salg bebas dega berdstrbus N ( j, ). (Perhatka bahwa seta j memlk kovara matrk yag sama.) Maka V = c + c +... + c Berdstrbus N c j j, c j. V da V = b + b +... + b juga j= j= meruaka ormal multvarat dega kovara matrk. c j ( b' c) j= ( b ' c) Kosekuesya, V da V deedet jka j= b j b ' c = c b = 0. j= j j