BAB MATRIK. Operasi Penjumlahan Pada Matriks Dan Sifat-Sifatnya Masalah. Dua orang bersaudara laki-laki dan perempuan membuka dua cabang toko kue di Padang dan di Medan. Toko kue itu menyediakan jenis kue, yaitu; bronis dan bika ambon. Biaya untuk bahan ditangani oleh saudara perempuan dan biaya untuk chef ditangani oleh saudara laki-laki. Biaya untuk tiap-tiap kue seperti pada tabel berikut: Tabel Biaya Toko di Padang Tabel Biaya Toko di Medan Bronis Bika Ambon Bronis Bika Ambon Bahan Kue.000.000.00.000 Bahan Kue.00.000.700.000 Chef.000.000.000.000 Chef.000.000.00.000 Berapa total biaya yang diperlukan oleh kedua toko kue? Alternatif Penyelesaian Jika kita misalkan matriks biaya di Padang, sebagai matriks A dan matriks biaya di Medan sebagai matriks B, maka matriks biaya kedua toko disajikan sebagai berikut. Total biaya yang dikeluarkan kedua toko kue tersebut dapat diperoleh, sbb : Total biaya bahan untuk bronis =.000.000 +.00.000 =.00.000 Total biaya bahan untuk bika ambon =.00.000 +.700.000 =.900.000 Total biaya chef untuk bronis =.000.000 +.000.000 =.000.000 Total biaya chef untuk bika ambon =.000.000 +.00.000 = 6.00.000 Keempat total biaya tersebut dinyatakan dalam matriks berikut: Tabel Biaya Pembuatan Kue Bronis Bika Ambon Bahan Kue.00.000.900.000 Chef.000.000 6.00.000 Total biaya pada tabel di atas dapat ditentukan dengan menjumlahkan matriks A & B. Penjumlahan kedua matriks biaya di atas dapat dioperasikan karena kedua matriks biaya memiliki ordo yang sama, Seandainya ordo kedua matriks biaya berbeda, kita tidak dapat melakukan penjumlahan dua matriks Definisi. (Perkalian Matrik dengan Matrik) Misalkan A dan B adalah matriks berordo m n dengan elemen-elemen a ij dan b ij. Matriks C adalah jumlah matriks A dan matriks B, ditulis C A B, dengan elemen-elemen ditentukan oleh c ij a ij b ij (untuk semua i danj).
Catatan: Dua matriks dapat dijumlahkan hanya jika memiliki ordo yang sama. Ordo matriks hasil penjumlahan dua matriks sama dengan ordo matriks yang dijumlahkan. Masalah. merupakan salah satu contoh penerapan penjumlahan matrik dengan matrik. Jika biaya pembuatan Kue di medan naik dua kali lipat maka matrik biaya bisa dituliskan sebagai matrik. ( ) Definisi. Misalkan B sebuah matriks dengan ordo n m n N. Hasilnya penjumlahan matriks B sebanyak k dengan k N adalah kb, ditulis B B B B kb k dan matriks kb berordo n n Contoh. Jika matrik Tentukan nilai dan! Penyelesaian Berdasarkan kesamaan dua matriks, diperoleh atau atau atau Jadi diperoleh nilai Masalah. dan Perhatikan masalah di bawah ini! Di suatu pasar terdapat dua orang pedagang mangga, jenis buah yang dijual antara lain mangga dengan kualitas tinggi dan mangga dengan kualitas sedang. Pedagang satu memiliki kg mangga kualitas tinggi dan 6 kg mangga kualitas sedang. Pedagang kedua memiliki kg mangga dengan kualitas tinggi dan 8 kg mangga kualitas sedang. Keesokan harinya kedua pedagang tersebut berbelanja untuk menambah persediaan mangganya. Pedagang satu menambah 0 kg mangga berkualitas tinggi dan mangga kualitas sedang, sedangkan pedagang kedua menambah 0 kg mangga kualitas tinggi dan 0 kg mangga kualitas sedang. Berapakah persediaan mangga setiap pedagang sekarang?
Alternatif penyelesaian Pedagang satu dan pedagang dua memiliki mangga kualitas tinggi dan sedang dan pada hari berikutnya kedua pedagang menambah persediaan mangga seperti tabel di bawah ini: Persediaan mangga sebelum penambahan Tambahan persediaan mangga Kualitas tinggi Kualitas sedang Kualitas tinggi Kualitas sedang Pedagang I 6 Pedagang I 0 Pedagang II 8 Pedagang II 0 0 Jika kita misalkan matriks persediaan buah mangga sebelum penambahan sebagai matriks dan sesudah penambahan sebagai matriks. Matriks dan disajikan sebagai berikut. Maka jumlah keseluruhan persediaan mangga dapat diperoleh sebagai berikut Berdasarkan hasil operasi di atas dapat disimpulkan bahwa hasil penjumlahan matriks Sifat. (Sifat Komutatif Penjumlahan Matrik) Misalkan matriks A dan B berordo n k. Penjumlahan matriks A dan B memenuhi sifat komutatif jika dan hanya jika A B B A Contoh. Diberikan matriks dengan hasil penjumlahan matriks. Tentukan matriks dan! Alternatif penyelesaian Berdasarkan Sifat-. di atas,, sehingga diperoleh Berdasarkan sifat kesamaan dua matriks, maka diperoleh ; ;, dan. Dari keempat persamaan ini diperoleh nilai, dan. diperoleh. maka
Dengan demikian matriks ( ) ( ) Sifat. (Sifat Assositif Penjumlahan Matrik) Misalkan matriks A, B dan C berordo n k. Penjumlahan matriks A, B dan C memenuhi sifat asosiatif jika dan hanya jika A (B C) (A B) C Contoh. Misalkan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa hasil penjumlahan matrik
. Pengurangan Dua Matriks Masalah. Sebuah pabrik tekstil hendak menyusun tabel aktiva mesin dan penyusutan mesin selama tahun yang dinilai sama dengan 0 % dari harga perolehan sebagai berikut: Lengkapilah tabel tersebut dengan menggunakan matriks! Jenis Aktiva Harga Perolehan (Rp) Penyusutan Tahun I (Rp) Harga Baku (Rp) Mesin A.000.000.00.000 Mesin B 6.000.000 6.00.000 Mesin C 8.000.000.800.000 Alternatif penyelesaian Misalkan: Harga perolehan merupakan matriks dan Penyusutan tahun I merupakan matriks Untuk mencari harga baku pada tabel tersebut adalah Rumusan penjumlahan dua matriks di atas dapat kita diterapkan untuk memahami konsep pengurangan matriks dengan matriks. Misalkan dan adalah matriks-matriks berordo. Pengurangan matriks dengan matriks didefinisikan sebagai jumlah matriks dan lawan matriks, ditulis:. Matriks merupakan matriks yang setiap unsurnya berlawanan tanda dengan setiap unsur yang bersesuaian dengan matriks.. Perkalian Suatu Bilangan Real dengan Matriks Dalam aljabar matriks, bilangan real sering disebut sebagai skalar. Oleh karena itu perkalian real terhadap matriks juga disebut sebagai perkalian skalar dengan matriks. Pada kajian pengurangan dua matriks,, ( ) dalam hal ini sebenarnya hasil kali bilangan dengan semua elemen matriks. Artinya, matriks ( ) dapat kita tulis sebagai :, dengan. Secara umum, perkalian skalar dengan matriks dirumuskan sebagai berikut. Misalkan suatu matriks berordo dengan elemen-elemen dan adalah suatu bilangan real. Matriks adalah hasil perkalian bilangan real kdengan matriks, dinotasikan, bila matriks berordo dengan elemen-elemennya ditentukan oleh : (untuk semua idan j ).
. Operasi Perkalian Dua Matriks dan Sifat-sifatnya Masalah. P.T Melodi adalah sebuah perusahaan multinasional yang bergerak di bidang penjualan alat-alat musik. Perusahaan tersebut memiliki beberapa toko penjulan di beberapa kota besar di Indonesia. Persediaan alat-alat olah raga di setiap toko disajikan pada tabel berikut. Tabel Alokasi setiap sumber yang tersedia Tabel harga satuan alat musik Sumber Jenis Alat Musik Piano Gitar Terompet Jenis Alat Musik Harga (Rp) Medan 9 68 8 Piano.000.000, Surabaya 70 7 0 Gitar.00.000, Yogya 90 87 Terompet.000.000, Setiap toko di masing-masing kota telah berhasil menjual berbagai jenis alat musik yang disajikan pada tabel berikut. Tabel Alokasi setiap sumber yang tersedia Kota/ Terjual Jenis Alat Musik Piano Gitar Terompet Medan 8 6 8 Surabaya 8 Yogya 60 67 Amatilah data di atas dan tentukan nilai dari a. Nilai persediaan alat musik seluruhnya! b. Penghasilan kotor perusahaan P.T Melodi Alternatif Penyelesaian Misalkan P adalah matriks yang menyatakan persediaan alat musik di setiap kota dan matriks H adalah matriks yang menyatakan harga untuk setiap jenis alat musik serta T adalah matriks yang menyatakan banyaknya barang yang telah berhasil dijual di setiap kota. Matriks P, H, dan T dapat ditulis sebagai berikut. Nilai Barang Keseluruhan ( )
Definisi. Misalkan A a ij adalah matriks yang berordo m p dan B b ij adalah matriks yang berordo q n. Hasil kali matriks A dan B adalah suatu matriks C berordo m n dinotasikan A B C C ij berordo m n dengan elemen baris ke-i dan kolom ke-j adalah: C ij a i b j a i b j a ip b pj, dengan i=,,,, m; dan j=,,,,n. Catatan: Matriks A dan B dapat dikalikan apabila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Contoh. Mari kita tentukan hasil perkalian matriks dengan menggunakan konsep perkalian dua matriks di atas, diperoleh: Contoh. Misalkan Matriks ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dari hasil perhitungan di atas dapat disimpulkan ( ) ( ). Sifat. (Sifat Assositif Perkalian Matrik) Misalkan matriks A berordo m n, B berordo n p dan C berordo p q dengan m, n, p, q N. Perkalian matriks memenuhi sifat asosiatif jika dan hanya jika A (B C) (A B) C
Misalkan Matriks ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dari perhitungan di atas, disimpulkan bahwa ( ) ( ) Sifat. (Sifat Distributif Perkalian Matrik) Misalkan matriks A berordo m n, B berordo n p dan C berordo p q dengan m, n, p, q N. Perkalian matriks memenuhi sifat Distributif jika dan hanya jika A (B C) (A B) (A C) Definisi. Misalkan matriks A berordo p q dan n N. A n A A A A sebanyak n faktor Uji Kompetensi.. Hasil penjumlahan matriks Tentukan nilai p dan q!. Misalkan matriks, Bila A = B, Tentukan nilai p dan q!. Diberikankan matriks, Tunjukkan bahwa A+ B= B + C.!. Tentukanlah hasil perkalian matriks-matriks berikut! a. c. b. d.
. Seorang agen perjalanan menawarkan paket perjalanan ke Danau Toba. Paket I terdiri atas malam menginap, tempat wisata dan kali makan. Paket II dengan malam menginap, tempat wisata dan 8 kali makan. Paket III dengan malam menginap, tempat wisata dan tidak makan. Sewa hotel Rp 0.000,00 per malam, biaya pengangkutan ke tiap tempat wisata Rp.000,00, dan makan di restoran yang ditunjuk Rp 7.000,00. a. Dengan menggunakan perkalian matriks, tentukan matriks biaya untuk tiap paket. b. Paket mana yang menawarkan biaya termurah? 6. Sebuah perusahaan angkutan menawarkan tiket pulang bersama ke Provinsi Jawa Timur. Perusahaan angkutan tersebut mempunyai tiga jenis bus, yaitu Excecutif, Economi, dan AC. Setiap bus dilengkapi dengan kursi penumpang untuk kelas umum, mahasiswa dan pelajar. Jumlah kursi penumpang tiga jenis bus tersebut disajikan pada tabel di bawah ini. Tabel Jumlah kursi Penumpang Tabel jumlah penumpang Jenis Bus Kategori Jumlah Excecutif Economi AC penumpang penumpang Umum 0 Umum Mahasiswa Mahasiswa 09 Pelajar 0 9 8 Pelajar 9 Berapa banyak bus yang harus disediakan untuk perjalaan tersebut?. Determinan Matriks. Masalah. Siti dan teman-temannya makan di sebuah warung. Mereka memesan ayam penyet dan gelas es jeruk di kantin sekolahnya. Tak lama kemudian, Beni datang dan temantemannya memesan porsi ayam penyet dan gelas es jeruk. Siti menantang Amir menentukan harga satu porsi ayam penyet dan harga es jeruk per gelas, jika Siti harus membayar Rp 70.000,00 untuk semua pesanannya dan Beni harus membayar Rp.000,00 untuk semua pesanannya, berapakah harga satu porsi ayam penyet dan es jeruk per gelasnya? Alternatif Penyelesaian Buatlah sistem persamaan linear dari masalah tersebut, lalu selesaikan dengan matriks. Misalkan : = harga satu porsi ayam penyet = harga es jeruk per gelas Sistem persamaan linearnya: { Dalam bentuk matriks adalah: Mengingat kembali bentuk umum persamaan linier dua variabel } ( ) ( ) Dalam konsep matriks, nilai disebut sebagai determinan matriks
Determinan matriks dinotasikan atau det(a), dengan matriks ( ) Nilai x dan y dapat dirumuskan sebagai berikut: Sehingga permasalahan didapat: Jadi, harga satu porsi ayam penyet adalah Rp 0.000,00 dan harga satu gelas Jus adalah Rp.0000,00. Definisi. a b Misalkan matriks A Determinan dari matriks A dapat dinyatakan c d det ( a b A) A ad bc c d Sifat. Misalkan matriks A dan B merupakan matriks persegi berordo m m dengan m N. Jika determinan matriks A dinotasikan A dan determinan matriks B dinotasikan B, maka A B A B Sifat.6 Misalkan matriks A dan B merupakan matrik persegi berordo m m dengan m N. Jika determinan matrik A A dan determinan matrik A t A t, maka A A t Masalah.6 Sebuah perusahaan penerbangan menawarkan perjalanan wisata ke negara A, perusahaan tersebut mempunyai tiga jenis pesawat yaitu Airbus 00, Airbus 00, dan Airbus 00. Setiap pesawat dilengkapi dengan kursi penumpang untuk kelas turis, ekonomi, dan VIP. Jumlah kursi penumpang dari tiga jenis pesawat tersebut disajikan pada tabel berikut. Tabel Jumlah kursi Penumpang Tabel jumlah penumpang Kategori Airbus 00 Airbus 00 Airbus 00 Kategori Jumlah Klas Turis 0 7 0 Klas Turis 0 Klas Ekonomi 0 Klas Ekonomi 8 Kelas VIP 9 0 Kelas VIP 06
Berapa banyak pesawat masing-masing yang harus dipersiapkan untuk perjalanan tersebut? Alternatif Penyelesaian Misalkan, : banyaknya pesawat Airbus 00 : banyaknya pesawat Airbus 00 : banyaknya pesawat Airbus 00 Sistem persamaan yang terbentuk adalah: } Sebelum ditentukan penyelesaian masalah di atas, terlebih dahulu kita periksa apakah matriks A adalah matriks tak singular (determinannya tidak sama dengan 0). Cara untuk menentukan det (A), dengan Metode Sarrus. Yaitu sebagai berikut: Misalnya matriks ( ) Untuk matriks pada Masalah di atas: nilai x, y dan z dapat di peroleh dengan cara sebagai berikut: Oleh karena itu: banyak pesawat Airbus 00 yang disediakan sebanyak unit banyak pesawat Airbus 00 yang disediakan sebanyak unit banyak pesawat Airbus 00 yang disediakan sebanyak unit
6. Invers Matriks Invers matrik ordo x Pada teori dasar matriks, bahwa tidak ada operasi pembagian pada matriks, tetapi yang ada adalah invers matriks atau kebalikan matriks. Misalkan A matriks persegi, berordo. Jika maka invers matriks A, dinotasikan : disebut adjoint matriks A, dinotasikan adj(a) Salah satu sifat invers matriks adalah Misalkan A, B dan X adalah matriks yang memenuhi persamaan, maka Definisi.6 Misalkan A sebuah matriks persegi dengan ordo n n, n N. Matriks A disebut matriks tidak singular, apabila det(a) 0. Matriks A disebut matriks singular, apabila det(a)=0. A disebut invers matriks A jika dan hanya jika A A A A I, dengan I adalah matriks identitas perkalian matriks. Invers matrik ordo x Untuk mencari invers matrik ordo x, kita bisa menggunakan metode kofaktor. Terlebih dahulu kamu memahami tentang minor suatu matriks. Minor suatu matriks A dilambangkan dengan adalah determinan matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j. Jika Aadalah sebuah matriks bujur sangkar berordo n n, maka minor elemen yang dinotasikan dengan, didefinisikan sebagai determinan dari sub matriks A berordo setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya matriks ( ) Minor elemen adalah ( ) sehingga ( ),, dan merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke dari matriks A. Matriks kofaktor matriks A di lambangkan: Sehingga diperoleh matriks kofaktor A, Matriks adjoin dari matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan dan diperoleh inver matriks A.
Dengan Rumus : Contoh. Tentukan invers matrik dari matriks Alternatif penyelesaian langkah, menentukan determinan Matrik A Dengan menggunakan metode sarrus diperoleh Langkah, menentukan minor tiap elemen, dan seterusnya. Langkah, menentukan kofaktor ( ) dan seterusnya sehingga diperoleh semua nilai dari Kofaktor matrik A, yaitu:,,, dan atau dengan menentukan matriks kofaktor A, dengan menggunakan rumus: ( ) Langkah, Menentukan Adjoin(transpose dari Matrik Kofaktor) dari matrik A ( Langkah, menentukan invers Matriks A ) ( )
Sifat.7 Misalkan matriks A berordo n n dengan n N. Jika det(a) 0, maka A det A Adj(A) dan A A A A I, I adalah matriks identitas perkalian matriks Sifat.8 Misalkan matriks A dan B berordo m m dengan m N. Jika det(a) dan det(a ) A maka A A. A Sifat.9 Misalkan matriks A dan B berordo m m dengan m N. Jika det(a) A adalah invers matriks A, maka (A ) A. dan Sifat.0 Misalkan matriks A dan B berordo n n dgn n N, det(a) & det(b) jika A dan B adalah invers matrik A dan B, maka (A B) B A. Uji kompetensi.. Winarno bermaksud mengikuti ujian saringan masuk perwira. Setelah berkonsultasi dengan seorang perwira dan memperoleh saran mengenai pola makan yang hendak dikonsumsi lebih baik dimasak sendiri. Pengalaman perwira tersebut menyarankan untuk mencampurkan dua sumber zat gizi dalam jumlah yang berbeda untuk menghasilkan tiga jenis biskuit. Jumlah (dalam satuan gram) kalsium, protein, dan karbohidrat dalam setiap sumber gizi ditunjukkan oleh matriks G, dan jumlah (dalam satuan gram) setiap sumber zat gizi yang dikonsumsi dalam setiap biskuit ditunjukkan oleh matriks J. Tabel Kandungan zat gizi (matrik G) Tabel Jumlah zat gizi (matrik J) Sumber Sumber Biskuit Biskuit Biskuit Kalsium 6 jenis A jenis B jenis C Protein Sumber 8 Karbohidrat 0 8 Sumber 6 a. Tentukanlah jumlah kalsium dalam biskuit B! b. Hitunglah G.J dan jelaskan arti setiap elemen matriks tersebut!. Agen perjalanan menawarkan paket perjalanan ke Bali. Paket I terdiri malam menginap, tempat wisata dan kali makan. Paket II dengan malam menginap, tempat wisata dan 7 kali makan. Paket III dengan malam menginap, tempat wisata dan tidak ada makan. Sewa hotel Rp00.000,00 per malam, tranprotasi ke tiap tempat wisata Rp80.000,00, dan makan di restoran yang ditunjuk Rp 90.000,00. a. Nyatakan matriks harga sewa hotel, tranportasi dan makan. b. Nyatakan matriks paket yang ditawarkan.
c. Dengan menggunakan perkalian matriks, tentukan matriks biaya untuk tiap paket. d. Paket mana yang menawarkan biaya termurah. Sebuah toko penjual cat eceran memiliki persedian tiga jenis cat eksterior yaitu regular, deluxe, dan commercial. Cat-cat tersebut tersedia dalam empat pilihan warna yaitu, biru, hitam, kuning, dan coklat. Banyak penjualan cat (dalam gallon) selama satu minggu dicatat dalam matriks R, sedangkan inventaris toko pada awal minggu dalam matriks S berikut ini. a. Tentukan inventaris toko pada akhir minggu b. Jika toko tersebut menerima kiriman stok baru yang dicatat dalam matriks T. Tentukan inventaris toko yang baru.
LATIHAN SOAL. Diketahui A, x y B, dan 7 C. Apabila y B A = C t, dan C t = transpose matriks C, maka nilai x.y = A. 0 D. B. E. 0 C. 0. Diketahui 0 A, x - B, dan 0 C, A t adalah transpose dari A. Jika A t. B y - = C maka nilai x + y =. A. D. B. E. 7 C.. Matriks X berordo ( x ) yang memenuhi A. - 6 B. C. - 6-6 -. Diketahui A. B. C. -8-7 - 8 A, B 8 0 8 8 0 - D. - E. X -0-0 8 adalah., dan P (x). Jika matriks A x P = B, maka P =. D. E. -. Jika a b 6. Maka Nilai a + b + c + d =. c d 9 7 A. 6 D. 9 B. 7 E. 0 C. 8 6. Diketahui - 9 A, p B - p 7 6 8, dan -0 8 C, Jika matriks A B = C, nilai p = - 6 p A. D. B. ½ E. C. ½ 7. Diketahui A 6 -, B dan - 0. Nilai =. A. D. ½ B. E. C. ½
8. Jika A, dan B Maka B.A A.B =. A. B. C. - 6-6 - 6 6 9. Jika a A, a a 8 B, dengan B t adalah transpose dari matrik B, maka b c a a - b konstanta c adalah A. D. B. E. C. 0. - d c, Nilai a dari persamaan di atas adalah. - b - b - c a A. D. ⅔. B. C. ⅔ a 0 b 0 b Nilai a.b dari persamaan di atas adalah. 6-0 6 A. 6 D. B. E. C.. Diberikan - A, B dan, a C jika determinan dari matrik A B + C 6 adalah 0 maka nilai a = A. D. B. E. C. x x. Apabila x dan x akar persamaan x x - = x x, maka jumlah x + x = D. E. E. A. D. B. E. 6 C.. Jika - M A. B. C. - -, dan 6 6 0 K.M maka matrik K = - D. E.
. Hasil kali 7 0-0 6 0 x A, matrik A adalah. A. 7 - D. - 7 B. 7 - E. 7 C. 7 6. Jika - y x 6 - maka x dan y berturut-turut adalah. A. dan D. dan 6 B. dan - E. dan C. dam 7. Jika. y x 6 maka x + y adalah. A. D. ¼ B. ½ E. 6 C. 8. Jika 8 y x maka x + y adalah A. 8 D. B. 7 E. C. 6 9. Nilai t yang memenuhi, jika determinan 0 t t adalah. A. D. B. E. 6 C. 0. Jika - - z 7 x y maka x + y + z = A. D. B. E. C.. Diketahui 7 x - 9 dan B x x A x jika determina A dan B sama maka harga x yang memenuhi adalah A. atau D. atau B. - atau E. atau C. atau. Jika dan B A maka determinan (A.B) - adalah A. D. B. E. C.