Skema Numerik ersamaan Leslie Gower dengan emanenan SKEMA NUMERIK ERSAMAAN LESLIE GOWER DENGAN EMANENAN Trija Fayeldi Jurusan endidikan Matematika Universitas Kanjuruhan Malang Email: trija_fayeldi@yahoocom ABSTRAK Model predator-prey merupakan salah satu model yang sangat banyak diteliti dan dimodifikasi ada penelitian ini, akan dibangun suatu skema numerik untuk menyelesaikan suatu model predatorprey Model yang dipilih pada penelitian ini adalah model kontinu Leslie-Gower yang telah dimodifikasi pada pemanenan Model kontinu tersebut akan didiskritisasi dengan menggunakan metode Euler Selanjutnya, akan diamati perilaku model hasil diskritisasi tersebut dan pada akhirnya akan diamati apakah perubahan parameter dapat mempengaruhi kestabilan model dengan menggunakan perangkat lunak Matlab Hasil penelitian menujukkan bahwa perilaku model hasil diskritisasi konsisten dengan model kontinunya ada simulasi numerik dengan Matlab, ditunjukkan bahwa perubahan parameter akan mempengaruhi kestabilan model Kata kunci: predator-prey, Leslie-Gower, stabil, saddle, source, pemanenan ENDAHULUAN Leslie-Gower memperkenalkan model dengan populasi predator tumbuh mengikuti model logistik [1] ada model ini, diasumsikan bahwa bahwa carrying capacity (kapasitas pendukung) predator sebanding dengan banyaknya populasi prey Model ini kemudian diteliti dan dikembangkan oleh beberapa peneliti Aguirre mengembangkan penelitian model predator-prey Leslie-Gower dengan penambahan efek [] Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa model Leslie-Gower dengan penambahan efek Allee dapat memiliki dua limit cycle Aziz mengkaji model Leslie-Gower dengan mengasumsikan fungsi respon yang menyatakan besarnya pemangsaan predator terhadap prey mengikuti fungsi respon Holling tipe II [3] Mereka meneliti kestabilan global dan keterbatasan sistem tersebut Model yang dikembangakan oleh Aziz, dkk kemudian dimodifikasi dengan penambahan waktu tunda [4] Dari hasil penelitian, diperoleh bahwa waktu tunda mempengaruhi perilaku dinamik model tersebut enelitian ini dikembangkan dengan mengamati bifurkasi dari [5] Chen memperkenalkan perlindungan terhadap prey dan menunjukkan bahwa perlindungan tidak mempengaruhi perilaku model secara signifikan [6] Selain itu, pengaruh efek impulsif pada model diteliti oleh Song [7] Zhu melakukan penelitian model Leslie-Gower dengan fungsi respon Holling tipe II tanpa adanya kontrol impulsif [8] dan mengkaji eksistensi dan kestabilan global solusi periodik positif model dengan mengkonstruksi suatu fungsi Lyapunov TINJAUAN USTAKA 1 Sistem Dinamik Diskrit Bentuk umum dari suatu sistem dinamik diskrit dapat dilihat pada Definisi berikut Definisi 1 Misalkanx (n) = [x1(n), x(n),, xk(n)] T dan G = [g1, g,, gk] T Bentuk umum dari suatu sistem dinamik diskrit adalah x (n + 1) =G (x (n)) (1) Bentuk (1) disebut sebagai sistem dinamik diskrit nonlinear jika gi memuat perkalian antarvariabel tak bebas, i = 1,,, k Definisi Misalkan g adalah fungsi dari R ke R Titik p* dikatakan sebagai titik kesetimbangan dari g jika memenuhi g(p*) = p* Sistem Dinamik Diskrit Linear Bentuk umum persamaan beda orde satu dengan variabel bebas adalah x (n + 1) = Ax (n) () Dengan A = (aij), i = 1,,, k adalah matriks yang bernilai real, dan x (n) = [x1(n), x(n),, xk(n)] T, T menyatakan transpose dari vektor A Jika diberikan nilai awal x (n) =x 0 maka persamaan () memiliki solusi umum x (n) = A n x (0) (3) Jika matriks A dapat didiagonalkan maka solusi umum persamaan () adalah x (n) = c1λ 1 n v 1 + + c3λ k n v k (4) CAUCHY ISSN: 086-038 1
Skema Numerik ersamaan Leslie Gower dengan emanenan Dengan ci adalah sembarang konstanta dan v i adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λi Teorem Misalkan F(λ) = λ pλ + q maka kondisi-kondisi berikut: 1 F(1) = 1 p + q > 0 F( 1) = 1 + p + q > 0 3 F(0) = q < 1 merupakan syarat perlu dan cukup agar persamaan tersebut memiliki akar-akar karakteristik λi, i =1, Lemm Jika F(λ) = λ pλ + q dengan λ 1 dan λ adalah dua akar dari F(λ) = 0 maka 1 λ1 < 1 dan λ < 1 jika dan hanya jika F(1) > 0, F( 1) > 0, dan F(0) < 1 λ1 < 1 dan λ > 1 atau λ1 > 1 dan λ < 1 jika dan hanya jika F(1) > 0, F( 1) < 0 3 λ1 > 1 dan λ > 1 jika dan hanya jika F(1) > 0, F( 1) > 0, dan F(0) > 1 4 λ1 dan λ adalah kompleks dan λ1 = λ = 1 jika dan hanya jika F(1) > 0, F(1) > 0, F(0) = 1, dan p 4q < 0 Akibat 1 1 Titik kesetimbangan bersifat stabil asimtotik (sink) F(1) > 0, F( 1) > 0, dan F(0) < 1, Titik kesetimbangan bersifat tak stabil pelana (saddle) jika F(1) > 0, F( 1) < 0, 3 Titik kesetimbangan bersifat tak stabil (source) jika F(1) > 0, F( 1) > 0, dan F(0) > 1, 4 Titik kesetimbangan merupakan titik kesetimbangan non-hyperbolic jika F(1) > 0, p 4q < 0, dan q = 1 3 Model redatorrey Leslie-Gower ada tahun 1948, Leslie dan Gower memperkenalkan model dengan populasi prey tumbuh mengikuti model logistik sehingga pertumbuhan predator juga terbatas disebabkan oleh predator memangsa prey Selain itu, carrying capacity predator sebanding dengan banyaknya populasi prey, sehingga model Leslie-Gower dinyatakan sebagai sistem persamaan diferensial nonlinear berikut dx =(r1 a1y b1x) x dt (5a) dy = (r y dt a x )y (5b) dengan semua parameter bernilai positif Kedua parameter, yaitu r1 dan r berturut-turut menunjukkan pertumbuhan intrinsik prey dan predator arameter a1 merupakan parameter interaksi pemangsaan predator terhadap prey arameter b1 adalah parameter antraksi antar prey, sedangkan b adalah parameter interaksi antar predator [9] Model predator prey yang digunakan pada penelitian ini adalah sebagai berikut dh = (r1 a1 b1h) H c1h dt (6a) d dt =(r a H ) c (6b) Dengan H dan berturut-turut adalah kepadatan spesies prey dan predator pada waktu t ada model ini, diasumsikan 0 < ci < ri, i = 1, untuk mengontrol kepadatan prey dan predator Model ini mempunyai dua titik kesetimbangan, yaitu E1 dan E berturut turut E1 =( r 1 c 1, 0)dan titik kesetimbangan E = (H, ) dengan H (r = 1 c 1 )a dan = (r 1 c 1 )(r c ) Menurut (r a )+a (r a )+a Zhu [8], titik kesetimbangan (H*, *) bersifat stabil global METODOLOGI ENELITIAN Metodologi penelitian yang dilakukan pada penelitian ini adalah studi literatur ada penelitian ini, persamaan model Leslie-Gower kontinu (6a) dan (6b) didiskritisasi dengan menggunakan metode Euler Kemudian, dilakukan pencarian titik kesetimbangan dan analisis kestabilan pada titik kesetimbangan tersebut secara lokal Akhirnya, dilakukan simulasi numerik untuk beberapa kasus parameter model HASIL DAN EMBAHASAN 1 Diskritisasi Model andang kembali (6a) dan (6b) Dengan menggunakan beda maju, persamaan (6a) dan (6b) dapat didiskritisasi menjadi seperti berikut Hn+1 = Hn + (k1 a1n b1hn) Hn (7a) n+1 = n +(k a n )n H n Dengan k1 = (r1 c1) dan k = (r c) Titik Kesetimbangan Model (7b) Misalkan titik kesetimbangan dari (7a) dan (7b) adalah (H*, *) maka haruslah berlaku H* = H* + (k1 a1 * b1 H*) H* (8a) * = * +(k a H ) * (8b) CAUCHY ISSN: 086-038 35
Trija Fayeldi Berdasarkan (8a) dan (8b), diperoleh H* = 0 atau k1 a1 * b1 H* = 0 (9a) dan * = 0 atau (k a H )= 0 (9b) Berdasarkan (8b), jelas H* 0 Substitusikan * = 0 ke (9a) k1 a1 (0) b1 H* = 0 k1 b1 H* = 0 k1 = b1h* H* = r 1 c 1 (10) Sehingga diperoleh E1 =( r 1 c 1, 0) Untuk k1 a1 * b1 H* = 0 diperoleh * = k 1 H (11) Substitusikan (11) ke (9b), diperoleh (k a H )= 0 (k a (k 1 H ) )= 0 H k H a (k 1 H ) = 0 H a1kh* a k 1 + a H* = 0 H* ( k + a ) = a k 1 a H* = k 1 (1) k +a Substitusikan (1) ke (11), diperoleh * = k 1 H * = k 1 ( ak1 a1k+ab1 ) * = k 1( k +a ) a k 1 ( k +a ) * = k 1( k +a a ) ( k +a ) k 1 k * = ( k +a ) * = k 1k k +a Sehingga diperleh E =( a k 1, k +a 3 Analisis Kestabilan Model k 1k k +a ) Analisis kestabilan model dilakukan dengan mengamati perilaku model secara lokal di sekitar titik kesetimbangannya Misalkan, F(H, ) = H + (k1 a1 b1h) H (13a) G(H, ) = +(k a ) (13b) H Matriks Jacobi dari sistem (13a) dan (13b) adalah 1 + (k 1 H) =( a H Untuk E1 diperoleh: 1 + (k a H ))(14) JE1 =( 1 k 1 k 1 ) 0 1 + k Nilai-nilai eigen dari JE1 adalah λ1 = 1 k1 dan λ = 1 + k Jelas λ = 1 + k = 1 + k > 1 Lemma Jika 0 < k1 < maka λ1 < 1 0 < k1 < < k1 < 0 + 1 < k1 + 1 < 0 + 1 1 < 1 k1 < 1 1 k1 < 1 (terbukti) Berdasarkan lemma tersebut, dapat dituliskan teorema berikut Teorema Jika k1, k > 0 maka 1 E1 saddle jika k1 < E1 source jika k1 > 3 E1 nonhiperbolik jika k1 = Adapun matriks Jacobi untuk E adalah 1 H H JE =( k ) 1 k Misalkan, p dan q berturut-turut adalah trace dan determinan JE maka dapat ditulis p = (b1h* + k) q = 1 (b1h* + k) + k1k Lemma Jika k1, k > 0 mak p + q > 0 Misalkan k1, k > 0 1 p + q = 1 [ (b1h* + k)] + 1 (k + b1h*) + k1k = b1h* + k + (b1h* + k) + k1k = k1k > 0 (terbukti) J =( F H G H F G ) Lemma 3 Jika H* > k (k1 1) maka q < 1 Misalkan, H* > k (k1 1) Maka 36 Volume 3 No 4 Mei 015
Skema Numerik ersamaan Leslie Gower dengan emanenan b1h* > k(k1 1) b1h* > k1k k b1h* + k > k1k b1h* + k k1k > 0 ( b1h* + k) + k1k < 0 1 ( b1h* + k) + k1k < 1 q < 1 (terbukti) Lemma 4 Jika H* < 1 [4 + k (k1 )] mak + p + q >0 Misalkan H* < 1 [4 + k (k1 )] H* < 1 [ + k (k1 )] b1h* + k < + k 1k + k 1k > b1h* + k 4 + k1k > (k + b1h*) 4 + k1k (b1h* + k) > 0 1 + [ (b1h* + k)] + [1 (b1h* + k) + k1k] > 0 1 + p + q > 0 (terbukti) Berdasarkan Lemma, Lemma 3, dan Lemma 4 dapat dibuat Teorema berikut Teorema 3 Jika k (k1 1) < H* < 1 [4 + k(k1 )] maka titik kesetimbangan E akan stabil Gambar 1 lot sistem (7a) dan (7b) dengan c1 = 0,1; r1 = 03; c= 01; r = 0; a1 = 01; b1 = 01; a = 01 Simulasi numerik berikutnya menggunakan parameter c1 = 1; r1 = 35; c= 01; r = 0; a1 = 03; b1 = 0; dan a = 05 ada simulasi tersebut, diperoleh nilai eigen pada titik kesetimbangan E1 = (15, 0) adalah λ1 = 1,5 dan λ = 1,1 yang berarti titik kesetimbangan E1 source Adapun nilai eigen yang diperoleh pada titik kesetimbangan E = (96, 19) adalah λ1 = 0,89 dan λ = 0,87 yang berarti titik kesetimbangan E stabil 4 Simulasi Numerik Berikut akan disajikan simulasi numerik dari sistem (7a) dan (7b) dengan c1 = 0,1; r1 = 03; c= 01; r = 0; a1 = 01; b1 = 01; a = 01 ada simulasi tersebut, diperoleh nilai eigen pada titik kesetimbangan E1 = (3, 0) adalah λ1 = 0,7 dan λ = 1,1 yang berarti titik kesetimbangan E1 saddle Adapun nilai eigen yang diperoleh pada titik kesetimbangan E = (15, 15) adalah λ1 = 0,883 dan λ = 0,883 yang berarti titik kesetimbangan E stabil Gambar lot sistem (7a) dan (7b) dengan c1 = 1; r1 = 35; c= 01; r = 0; a1 = 03; b1 = 0; dan a = 05 CAUCHY ISSN: 086-038 37
Trija Fayeldi KESIMULAN Berdasarkan uraian pada hasil dan pembahasan, maka dapat diambil kesimpulan bahwa perilaku model hasil diskritisasi konsisten dengan model kontinunya Selain itu, pada simulasi numerik dengan Matlab, ditunjukkan bahwa perubahan parameter akan mempengaruhi kestabilan model Bibliography [1] H Leslie, "Some Furhter Notes on The Use of Matrices in opulation Mathematics," Biometrika, vol 35, pp 13-45, 1948 [] E Aguirre and E Saez, "Two Limits Cycles in a Leslie-Gower redator-rey Model with Additive Allee Effect," Nonlinear Analysis: Real World Applications, vol 10, no 3, pp 1401-1416, 009 [3] M A Aziz-Alaoui and M D Okiye, "Boundedness and Global Stability for a redator-rey Model with Modified Leslie- Gower and Holling-Type II," Applied Math, vol 16, pp 1069-1075, 003 Mutual Interference," Discrete Dynamics in Nature and Society, 009 [7] X Song and Y Li, "Dynamic Behaviors of The eriodic redator-rey Model with Modified Leslie-Gower Holling-type II Schemes and Impulsive Effect," Nonlinear Analysis: Real World Applications, vol 9, no 1, pp 64-79, 008 [8] Y Zhu and K Wang, "Existence and Global Attractivity of ositive eriodic Solutions for a redator-rey Model with Modified Leslie-Gower Holling-type II Schemes," Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol 384, no, pp 400-408, 011 [9] H F Huo, X Wang and C C Chavez, "Dynamics of a Stage-Structured Leslie- Gower redator-rey odel," The Mathematical and Theoretical Biology Institute, 011 [4] A F Nindjin, M Aziz-Alaoui and M Cadivel, "Analysis of a redator-rey Model with Modified Leslie-Gower and Holling-type II Schemes with Time Delay," Nonlinear Analysis: Real World Applications, vol 7, pp 1104-1118, 006 [5] R Yafia and F E Adnani, "Limit Cycle and Numerical Simuations for Small and Large Delays in a redator-rey with Modified Leslie-Gower and Holling-type II Schemes," Nonlinear Analysis: Real World Applications, vol 9, no 5, pp 055-067, 008 [6] L Chen and L Chen, "ermanence of a Discrete eriodic Volterra Model with 38 Volume 3 No 4 Mei 015