Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri Lestari Edisi 1 (2017) Laboratorium Komputasi Dasar Jurusan Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung
1 Pertemuan 1: Pendahuluan Matriks dan Jenis-jenis Matriks Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang Matriks dan Jenis-jenis Matriks Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui matriks dan apa saja jenis-jenis matriks tersebut Penjelasan Singkat Matriks adalah susunan segi empat siku siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks tersusun atas m baris dan n kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berordo ) m x n. Jenis-jenis Matriks 1. Matriks Bujur Sangkar Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya. Karena sifatnya yang demikian ini, dalam matriks bujur sangkar dikenal istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk matriks bujur sangkar yang berukuran nxn, yaitu : a11, a22,, ann. 2. Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol. Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol. Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 1
2 3. Matriks Nol Mariks Nol merupakan matriks yang semua elemennya bernilai nol. 4. Matriks Segitiga Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen elemen dibawah atau diatas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen elemen dibawah elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas, sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus bernilai tak nol. 5. Matriks Identitas Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1 Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 2
3 Pertemuan 2: Sifat-sifat Operasi Matriks Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang Sifat-sifat Operasi Matriks Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui sifat-sifat operasi Matriks Penjelasan Singkat 1. Penjumlahan matriks Operasi penjumlahan dapat dilakukan pada dua buah matriks yang memiliki ukuran yang sama. Aturan penjumlahan Dengan menjumlahkan elemen elemen yang bersesuaian pada kedua matriks. 2. Perkalian matriks dengan matriks Operasi Perkalian matriks dapat dilakukan pada dua buah matriks ( A dan B) jika jumlah kolom matriks A = jumlah baris matriks B. Aturan perkalian Misalkan Amn dan Bnk maka Amn Bnk = Cmk dimana elemen elemen dari C( cij) merupakan penjumlahan dari perkalian elemen elemen A baris i dengan elemen elemen B kolom j. 3. Perkalian matriks dengan skalar Suatu matriks dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap tiap elemen pada A dikalikan dengan k. Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 3
4 4. Transpose matriks Transpose matriks A ( dinotasikan At ) didefinisikan sebagai matriks yang baris barisnya merupakan kolom dari A. Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 4
5 Pertemuan 3: Latihan Mengoperasikan Matriks Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang mengoperasikan matriks menggunakan sifat-sifat matriks Mahasiswa diharapkan dapat mengoperasikan matriks dengan baik Penjelasan Singkat Diberikan beberapa soal latihan untuk mengavaluasi kemampuan peserta didik, sejauh mana mereka dapat mengoperasikan matriks dengan menggunakan sifatsifat matriks yang telah dipelajari Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 5
6 Pertemuan 4: Matriks Invers Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang Matriks Invers Mahasiswa diharapkan dapat mengenal dan mengoperasikan matriks invers Penjelasan Singkat Jika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I, maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B=A -1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A=B - 1. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C. Matriks A = dapat di-invers apabila ad - bc 0, maka invers dari matriks A (ditulis ) adalah sebagai berikut: Jika maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular. Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers: Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 6
7 Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 7
8 Pertemuan 5: Kuis 1 Tujuan Instruksional : Mengevaluasi kemampuan peserta didik selama praktikum yang telah berlangsung Dengan diadakannya kuis ini, diharapkan pengajar dapat mengetahui sejauh mana peserta didik memahami bahan perkuliahan yang telah diajarkan Petunjuk Pengerjaan : Contoh NPM David = 1417051032 Z=1, X=0, C=3, V=2 Ichwan= 1417051066 Z=1, X=0, C=6, V=6 Soal No 1. Apa yang kalian ketahui tentang Determinan dan Invers pada Matriks? (10 Point) No 2. 1. A = Z-2 X+2 C+3 V-1 2. B = C-V X*2 Z/2 V+3 Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 8
9 3. D = Z*X Z/3 C+3 V*3-2 Tentukan Matriks Invers Matriks A B dan D (60 Point) No 3. 4. F = C-2 Z+X V+2 X/2 3+C X*3 V+1 C/2 Z+3 Tentukan Matriks Invers Matriks F (30 Point) Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 9
10 Pertemuan 6: Sistem Persamaan Linier Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang Sistem Persamaan Linier Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui cara kerja Sistem Persamaan Linier (SPL) Penjelasan Singkat Suatu persamaan linear yang mengandung n peubah x1, x 2,,xn dinyatakan dalam bentuk a1x1 + a2x2 + + anxn = b dengan a1, a2,, an, b adalah konstanta riil. Dalam hal ini, peubah yang dimaksud bukan merupakan fungsi trigonometri, fungsi logaritma ataupun fungsi exponensial. Contoh 2.1.1 : a. x + y = 4 Æ persamaan linear dengan 2 peubah b. 2x 3y = 2z +1 Æ persamaan linear dengan 3 peubah c. 2 log x + log y = 2 Æ bukan persamaan linear d. 2ex = 2x + 3 Æ bukan persamaan linear Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 10
11 Pertemuan 7: Operasi Baris Elementer Tujuan Instruksional : Mengetahui Operasi Baris Elementer Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui dan dapat menggunakan penyelesaian matriks menggunakan Operasi Baris Elementer Penjelasan Singkat Operasi Baris Elementer (OBE) adalah salah satu alternatif dalam menyelesaikan suatu bentuk matriks seperti menentukan invers matriks dan penerapan matriks pada sistem persamaan linear menggunakan dua cara yaitu "Eliminasi Gauss" dan "Eliminasi Gauss-Jordan". Dalam operasi baris elementer ini ada beberapa operasi yang dapat digunakan, yaitu : a. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol b. Mempertukarkan dua buah baris c. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya. Dengan menggunakan operasi baris elementer, maka matriks eselon baris tereduksi yang didapatkan akan ekuivalen dengan matriks awalnya sehingga penyelesaian untuk matriks eselon baris tereduksi juga merupakan penyelesaian untuk matriks awalnya. Matriks awal yang dimaksud adalah matriks diperbesar. Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 11
12 Pertemuan 8: Determinan Matriks Tujuan Instruksional : Mengetahui Determinan Matriks Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui determinan matriks dan dapat mengaplikasikan cara kerja determinan matriks Penjelasan Singkat Misalkan A matriks bujur sangkar, fungsi determinan A sering dituliskan sebagai determinan ( disingkat det(a) atau A ). Determinan matriks A adalah suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua. Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut. det A = = ad bc Contoh Soal 1 : Tentukan determinan matriks-matriks berikut. Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 12
13 a. A = b. B = Penyelesaian : a. det A = = (5 3) (2 4) = 7 b. det B = = (( 4) 2) (3 ( 1)) = 5 Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 13
14 Pertemuan 9: Ujian Tengah Praktikum (UTP) Tujuan Instruksional : Mengevaluasi kemampuan peserta didik selama setengah semester praktikum berlangsung Dengan diadakannya UTP ini, diharapkan pengajar dapat mengetahui sejauh mana peserta didik memahami bahan perkuliahan yang telah diajarkan hingga tengah semester ini Penjelasan Singkat Soal : 1. Matriks adalah susunan segi empat siku siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom. Perlu kalian ketahui, terdapat berbagai jenis matriks.untuk itu, Tuliskan dan Jelaskan min.5 Jenis Matriks serta berikan contoh (gambarkan) matriks tersebut! 2. Determinan memiliki sifat-sifat yang dapat membantu anda dalam menyelesaikan operasi matriks. Apa saja sifat determinan tersebut? Tuliskan dan Jelaskan serta berikan contoh sifat determinan tersebut(min.5)! Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 14
15 3. Diketahui: a 3b + 4c = 13 a 2b c= 1 5b + 2c =16 Carilah solusi dari SPL dengan menggunakan Eliminasi Gauss Jordan dan buat persamaanya dari bentuk eselon baris yang telah anda buat! 4. Diketahui: x + 2y + c = 5 2x y 4c = 5 x + 3y c =7 Carilah solusi dari SPL dengan menggunakan Metode Crammer dan tentukan nilai untuk x,y, dan z! 5. Matriks P dan Q adalah matriks ordo 2x2 seperti di bawah. Agar determinan matriks P sama dengan dua kali determinan Q, maka nilai x yang memenuhi adalah... P = Q = 6. Matriks A dan B adalah matriks ordo 2x2 seperti di bawah. Agar determinan matriks A sama dengan setengah kali determinan B, maka nilai x yang memenuhi adalah... Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 15
16 A = B = 7. P = -3 7 2 4 Q = 5 6-2 2 4-4 3 2 9 Tentukan Matriks Invers Matriks P dan Q 8. A = -7 3 6-4 B = 5 2-3 -4 6-2 3 4 8 Tentukan Matriks Invers Matriks A dan B 9. A = 2-3 -3 4 D = 4-2 6 3 Tentukan Determinan Matriks F Jika AD =F 10. A = 2 3-2 4 Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 16
17 B = -1 2 3 3 Tentukan Determinan Matriks D Jika AB =D Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 17
18 Pertemuan 10: Perhitungan Determinan (Ekspansi Kofaktor) Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang perhitungan determinan (ekspansi kofaktor) Mahasiswa diharapkan mengetahui cara kerja dan dapat mengaplikasikan perhitungan determinan (ekspansi kofaktor) Penjelasan Singkat Pada metode ini dikenal beberapa istilah, antara lain : Minor elemen aij ( Mij ) yaitu determinan yang didapatkan dengan menghilangkan baris i dan kolom j matriks awalnya. Kofaktor elemen aij ( Cij ) = ( 1 ) i+j Mij Jika A matriks bujur sangkar berukuran nxn, maka dengan menggunakan metode ini perhitungan determinan dapat dilakukan dengan dua cara yang semuanya menghasilkan hasil yang sama yaitu : ekspansi sepanjang baris i det(a) = ai1ci1 + ai2ci2 + + aincin ekspansi sepanjang kolom j det(a) = a1jc1j + a2jc2j + + anjcnj Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 18
19 Pertemuan 11: Metode Crammer Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang definisi dan cara kerja metode crammer Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui metode crammer dan dapat menggunakannya untuk penyelesaian sistem persamaan linier Penjelasan Singkat Metode Crammer didasarkan atas perhitungan determinan matriks. Suatu SPL yang berbentuk Ax = b dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat dikerjakan dengan metode Crammer jika hasil perhitugan menunjukkan bahwa det (A) 0. Penyelesaian yang didapatkan dengan metode ini adalah penyelesaian tunggal. Teorema : Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(a) 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang uniq. Pemecahan ini adalah x1 =, x2 =,, xn = dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks. Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 19
20 B = Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 20
21 Pertemuan 12: Ujian Akhir Praktikum Tujuan Instruksional : Mengevaluasi kemampuan peserta didik dalam membuat program yang berkaitan dengan pembelajaran satu semester ini. Dengan diadakannya Ujian Akhir Praktikum ini, diharapkan mahasiswa dapat membuat sebuah program untuk menghitung perhitungan matriks yang berkaitan dengan Aljabar Linier Penjelasan Singkat Ujian Akhir Praktikum ini merupakan proyek membuat sebuah program mencari invers matriks 4x4 dengan menggunakan Bahasa C/C++. Program ini bertujuan agar Mahasiswa diharapkan dapat membuat sebuah program berdasarkan apa yang telah dia pelajari pada semester ini. Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 21