ekan #1 Kinematika Mekanika membahas gerakan benda-benda fisis. Kita akan memulai pembahasan kinematika benda titik. Kinematika aitu topik ang membahas deskripsi gerak benda-benda tanpa memperhatikan penebab gerak. Sedangkan benda titik adalah benda-benda ang ukuran, bentuk, dan struktur internalna diabaikan. 1 Kinematika benda titik: posisi, kecepatan, percepatan Kita mulai meninjau gerak benda titik dalam satu dimensi. Andaikan posisi benda titik untuk tiap waktu diketahui dan dinatakan variabel sebagai fungsi waktu = t), 1) maka kecepatan benda tersebut diperoleh mengukur perubahan posisi benda tiap satuan waktu, atau secara infinitesimal v = d. 2) erubahan kecepatan benda tiap satuan waktu kita sebut sebagai percepatan, 2 Kinematika dalam bidang a = dv. 3) Untuk mendeskripsikan gerak benda dalam bidang, kita dapat menggunakan sistem koordinat Kartesis atau polar tentu saja kita bisa menggunakan sistem koordinat lain juga). Terlebih dahulu kita bahas hubungan antara kedua sistem koordinat tersebut. Tinjau suatu benda ang berada di titik. osisi benda tersebut dalam koordinat Kartesis adalah p, p ) dan dalam koordinat polar ρ, ). Vektor basis koordinat Kartesis kita tuliskan sebagai {ˆ, ŷ} dan vektor basis polar kita tuliskan sebagai {ˆρ, ˆ}. ^ ^ ^ ^ O p p ^ ^ Gambar 1: Kiri: besaran-besaran dalam koordinat polar. Kanan: uraian vektor-vektor basis koordinat polar ke komponen-komponenna warna hijau). update: 28 Agustus 2017 halaman 1
Vektor posisi titik dalam koordinat Kartesis adalah sedangkan dalam koordinat polar kita tuliskan Berdasarkan Gambar 1, dapat kita tuliskan p = p ˆ + p ŷ, 4) p = ρ cos, p = ρ sin, ρ = p = ρˆρ. 5) 2 p + 2 p. 6) Vektor-vektor basis dari koordinat polar berubah sesuai arah perubahan nilai r dan. Vektor basis koordinat polar {ˆρ, ˆ} dapat diuraikan ke arah {ˆ, ŷ} sebagai berikut, ˆρ = cos ˆ + sin ŷ, 7) ˆ = sin ˆ + cos ŷ. 8) Terlihat bahwa besar komponen masing-masing vektor basis koordinat polar pada sumbu Kartesis {ˆ, ŷ} bergantung pada nilai. erubahan vektor basis {ˆρ, ˆ} terhadap adalah dˆρ = sin ˆ + cos ŷ = ˆ, 9) d ˆ = cos ˆ sin ŷ = ˆρ. 10) Sekarang, kita telah siap mendeskripsikan gerak benda pada bidang menggunakan koordinat Kartesis dan polar. Dalam koordinat Kartesis, posisi suatu benda dinatakan sebagai t) = ˆ + ŷ. 11) Kecepetan benda diperoleh menurunkan posisi terhadap waktu, = v ˆ + v ŷ, 12) v = d, v = d. 13) Dan percepatan diperoleh menurunkan kecepatan terhadap waktu, a = dv = d2 2, Dalam koordinat polar, posisi benda adalah Kecepatan benda adalah = d2 2 = a ˆ + a ŷ, 14) = dρ a = dv = d2 2. 15) = ρˆρ. 16) dˆρ ˆρ + ρ = ρˆρ + ρ ˆ. 17) Kita telah menggunakan aturan rantai, d ˆ = dˆρ, menerapkan persamaan 9), serta menggunakan notasi titik di atas over dot) ang menatakan turunan terhadap waktu. Kita memperoleh komponen kecepatan benda pada arah ˆρ dan ˆ, masing-masing v r = ρ, v = ρ. 18) update: 28 Agustus 2017 halaman 2
Lebih lanjut, kita dapatkan percepatan benda = d ρ = dˆρ ˆρ + ρ ρ ρ 2) ˆρ + + dρ ˆ + ρ d ˆ ˆ + ρ ρ ) + 2 ρ ˆ. 19) Kita dapat mengidentifikasi perepatan benda arah radial searah ˆρ) dan tangensial arah ˆ), a ρ = ρ ρ 2, a = ρ + 2 ρ. 20) Suku ρ 2 = v 2 /ρ disebut sebagai percepatan sentripetal. ada kondisi ρ = ρ = 0 maka ρ konstan ang berarti benda bergerak dalam lintasan lingkaran. Suku 2 ρ sering disebut sebagai percepatan koriolis. 3 Kinematika dalam ruang tiga dimensi Kita akan membahas kinematika dalam ruang tiga dimensi ini menggunakan koordinat Kartesis, silinder, dan bola. Dalam koordinat Kartesis, posisi benda tiap waktu kita tuliskan sebagai t) = ˆ + ŷ + ẑ, 21),, dan adalah fungsi waktu. Kecepatan benda adalah Serta percepatan benda = v ˆ + v ŷ + v ẑ, 22) v = d, v = d, v = d. 23) = a ˆ + a ŷ + a ẑ, 24) a = d2 2, a = d2 2, a = d2 2. 25) Koordinat silinder tidak lain merupakan koordinat polar ρ, ) ang ditambah sumbu vertikal. Hubungan antara vektor-vektor basis pada koordinat silinder koordinat Kartesis adalah ˆρ = cos ˆ + sin ŷ, 26) ˆ = sin ˆ + cos ŷ, 27) ẑ = ẑ. 28) Seperti pada koordinat polar, pada koordinat silinder juga berlaku dρ = ˆ, d ˆ = ˆρ. 29) osisi suatu benda dalam koordinat silinder dapat dituliskan dalam bentuk = ρˆρ + ẑ. 30) erhatikan bahwa posisi dalam koordinat silinder sama posisi pada bidang dalam koordinat silinder ditambah posisi arah sumbu-. Sehingga, kecepatan dan percepatan update: 28 Agustus 2017 halaman 3
^ ^ϕ ^ ^ ^ ϕ Gambar 2: Koordinat silinder. benda masing-masing akan sama kecepatan benda pada bidang polar ditambah kecepatan arah sumbu-, = d ρˆρ) + d ẑ = ρˆρ + ρ ˆ + żẑ, 31) a = v ρ = ρ 2) ˆρ + ρ ) + 2 ρ ˆ + ẑ. 32) Koordinat bola pada dasarna sama koordinat silinder, namun mengambil parameter θ ang merupakan sudut ang dibentuk oleh vektor posisi sumbu-. osisi suatu titik dalam ruang kemudian dinatakan dalam koordinat r, θ, ). Nilai dari komponen ρ dan pada koordinat polar selanjutna dinatakan dalam r dan θ, ρ = r sin θ, = r cos θ. 33) Sedangkan nilai,, ) koordinat Kartesis terhubung r, θ, ) melalui = r sin θ cos, = r sin θ sin, = r cos θ. 34) { } Arah vektor-vektor basis ˆr, ˆθ, ˆ adalah searah arah perubahan positif dari masingmasing { } r, θ, dan. Vektor-vektor basis ˆr, ˆθ, ˆ dapat diuraikan dalam arah vektor-vektor basis koordinat silinder sebagai berikut, ˆr = cos θẑ + sin θˆρ, 35) ˆθ = sin θ + cos θˆρ, 36) ˆ = ˆ. 37) Selanjutna, memanfaatkan persamaan 7) dan 8), diperoleh uraian vektor-vektor basis koordinat bola dalam arah vektor-vektor basis koordinat Kartesis sebagai berikut, ˆr = sin θ cos ˆ + sin θ sin ŷ + cos θẑ, 38) ˆθ = cos θ cos ˆ + cos θ sin ŷ + sin θẑ, 39) ˆ = sin ˆ + cos ˆ. 40) update: 28 Agustus 2017 halaman 4
^r ^ϕ ^θ ^ θ ^ ^ ϕ Gambar 3: Koordinat bola. Tugas #1. Buktikan hubungan-hubungan berikut: dθ = ˆθ, dˆθ dθ = ˆr, d ˆ dθ = 0, = sin θ ˆ, dˆθ = cos θ ˆ, 41) d ˆ = sin θ ˆr + cos θ ˆθ ). Kita sudah siap untuk menuliskan posisi, kecepatan, dan percepatan benda dalam koordinat bola. osisi: = rˆr. 42) Kecepatan, = dr ˆr + r = ṙˆr + r dθ dθ + ) = ṙˆr + r θ ˆθ + r sin θ ˆ. 43) ada baris kedua dari persamaan di atas, aturan rantai diterapkan melibatkan variabel θ dan karena vektor basis ˆr adalah fungsi dari kedua variabel tersebut. Selanjutna, menurunkan kecepatan terhadap waktu, akan diperoleh percepatan a = a rˆr + a θ ˆθ + a ˆ, 44) a r = r r θ 2 r 2 sin 2 θ, 45) a θ = r θ + 2ṙ θ r 2 sin θ cos θ, 46) a = r sin θ + 2ṙ sin θ + 2r θ cos θ. 47) Tugas #2. Dapatkan persamaan 44) hingga 47) menurunkan persamaan 43) terhadap waktu. update: 28 Agustus 2017 halaman 5