RELASI DAN FUNGSI A. Pengertian Relasi dan Fungsi Banyak enomena atau kejadian alam yang dapat dihubungkan dengan suatu relasi Sebagai contoh, misalkan diberikan dua himpunan : A = {sepeda, sepeda motor, sedan, angkot, bus} B = {roda dua, roda tiga, roda empat, roda enam} Bagaimanakah hubungan antara himpunan A (jenis kendaraan) dan himpunan B (banyaknya roda kendaraan)? Untuk menggambarkannya, dapat dilihat pada diagram berikut ini : Sepeda Sepeda motor Sepeda Sedan Bus A Roda Roda 3 Roda 4 Roda 6 B Aturan yang menghubungakan himpunan A dan himpunan B yakni banyaknya roda untuk setiap kendaraan yang diberikan, merupakan suatu relasi. Jadi relasi dideinisikan sebagai berikut : Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang menghubungkan elemen-elemen pada himpunan A ke elemen-elemen pada himpunan B. Dalam hal ini A dinamakan himpunan daerah asal (domein) dan B dinamakan himpunan daerah Kawan (kodomain). Terdapat empat cara menyatakan relasi, yakni : (1) Dengan diagram panah. () Dengan himpunan pasangan terurut. (3) Dengan graik (4) Dengan Persamaan (Ekspresi Simbolik) Berikut ini akan diuraikan keempat cara menyatakan relasi, dalam bentuk contoh soal 01. Misalkan A = { 3,, 1, 0, 1,, 3} dan B = {1, 4, 6, 9} Jika x adalah elemen A dan y adalah elemen B, dan berlaku hubungan y = x. Maka gambarlah relasi dari A ke B dalam bentuk diagram panah Relasi dan Fungsi 1
3 1 0 1 3 A 1 4 6 9 B 0. Misalkan A = {, 3, 4, 5} dan B = {3, 4, 5} Jika x adalah elemen A dan y adalah elemen B, serta berlaku hubungan x kurang dari y, maka nyatakanlah relasi dari A ke B dalam bentuk pasangan berurutan {(,3), (,4), (,5), (3,4), (3,5), (4,5)} 03. Diketahui A adalah himpunan bilangan real dan B juga himpunan bilangan real. Jika x adalah elemen A dan y elemen B, serta berlaku hubungan y = x 4, maka nyatakanlah relasi dari A ke B dalam bentuk graik y y x 4 Sumbu-X sebagai daerah asal Dan sumbu-y sebagai daerah kawan O x 4 04. Diketahui A adalah himpunan bilangan real dan B juga himpunan bilangan real. Jika x adalah elemen A dan y elemen B, serta berlaku hubungan Nilai y lebih 4 dari kebalikannya x, maka nyatakanlah relasi dari A ke B dalam bentuk persamaan y = x 1 + 4 Relasi dan Fungsi
Dalam kehidupan ini, terdapat banyak sekali relasi yang menghubungkan suatu kelompok (himpunan) ke kelompok lain. Sebagai contoh antara himpunan orang tua dan himpunan anak-anak, kelompok hewan predator dan kelompok hewan mangsanya, dan lain-lain. Namun secara garis besar, relasi-relasi tersebut dapat dibagi menjadi dua macam, yakni ungsi dan bukan ungsi. Jika A dan B adalah himpunan yang terdeinisi, maka ungsi dari A ke B ialah suatu relasi khusus yang memetakan setiap x anggota A ke tepat satu y anggota B Himpunan A dinamakan daerah asal (Domain), dilambangkan dengan D Himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain), dilambangkan dengan K Himpunan C dinamakan daerah hasi (Range) dilambangkan dengan R yaitu himpunan unsur-unsur pada B yang mempunyai pasangan dari A Untuk lebih jelasnya membedakan ungsi dan bukan ungsi, ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Manakah diantara relasi yang digambarkan dalam bentuk diagram panah berikut ini yang merupakan ungsi a b c A B (a) Bukan ungsi karena ada cabang (unsur c) di daerah asal (b) Bukan ungsi karena ada sisa (unsur c) pada daerah asal (c) Fungsi 0. Manakah diantara relasi yang digambarkan dalam bentuk graik berikut ini yang merupakan ungsi (a) y (x) (b) y (x) 0 x 0 x Relasi dan Fungsi 3
(a) ungsi (b) Bukan ungsi karena ada sisa dan cabang pada daerah asal 03. Diketahui himpunan A = {1,, 3, 4} dan B = {1,, 3}. Manakah diantara relasi yang digambarkan dalam bentuk pasangan berurutan berikut ini merupakan ungsi (a) :A B = {(, 1), (4, 3), (3, 1), (1, 3), (4, )} (b) :A B = {(1, 3), (4, 1), (3, )} (c) :B A = {(, 4), (3, 1), (1, )} (d) :B A = {(1, 3), (, 3), (3, 3)} (e) :A A = {(1, 4), (3, 1), (, ), (4, 3)} (a) Bukan ungsi karena ada cabang (unsur 4) di daerah asal A (b) Bukan ungsi karena ada sisa (unsur ) pada daerah asal A (c) Fungsi (d) Fungsi 04. Tentukan daerah asal alamiah dari setiap ungsi berikut ini : 4x 5 (a) (x) = (b) (x) = 4x 8 3x 9 (c) (x) = x 7x 10 (d) (x) = 4x 1 (a) (x) = 4x 5 3x 9 Syarat : 3x 9 0 3x 9 x 3 Daerah asal : D = {x x ϵ Real, x 3 } (b) (x) = 4x 8 Syarat : 4x 8 0 4x 8 x Daerah asal : D = {x x ϵ Real, x } (c) (x) = x 7x 10 Syarat : x 7x + 10 0 (x 5)(x ) 0 x 1 = 1 dan x = sehingga : x atau x 5 Daerah asal : D = {x x ϵ Real, x atau x 5 } Relasi dan Fungsi 4
(d) (x) = 4x 1 Fungsi linier terdeinisi untuk semua bilangan real Daerah asal : D = {x x ϵ Real} 05. Tentukanlah daerah hasil dari setiap ungsi berikut ini : (a) (x) = x + 5 untuk D = {x x R, 3 x 3} (b) (x) = x x 8 untuk D = {x x R, 3 x 3} (c) (x) = x 8x + 15 untuk D = {x x R, 3 x 3} (a) (x) = x + 5 untuk D = {x x R, 3 x 3} diperoleh : x = 3 maka ( 3) = ( 3) + 5 = 1 x = 3 maka (3) = (3) + 5 = 11 Jadi R = {y y R, 1 y 11} (b) (x) = x x 8 untuk D = {x x R, 3 x 3} diperoleh : x = 3 maka ( 3) = ( 3) ( 3) 8 = 9 + 6 8 = 7 x = 3 maka (3) = (3) (3) 8 = 9 6 8 = 5 b ( ) x min = = = 1 maka (1) = (1) (1) 8 = 1 8 = 9 a (1) Jadi R = {y y R, 9 y 7} (c) (x) = x 8x + 15 untuk D = {x x R, 3 x 3} diperoleh : x = 3 maka ( 3) = ( 3) 8( 3) + 15 = 9 + 4 + 15 = 48 x = 3 maka (3) = (3) 8(3) + 15 = 9 4 + 15 = 0 b ( 8) x min = = = 4 maka (4) = (4) 8(4) + 15 = 16 3 + 15 = 1 a (1) Jadi R = {y y R, 1 y 48} 06. Tentukanlah daerah hasil dari setiap ungsi berikut ini : (a) (x) = x + 4x 1 untuk D = {x x R} (b) (x) = x 3 x 5 untuk (a) (x) = x + 4x 1 untuk D = {x x R, x 5} D = {x x R} diperoleh x min = b = a maka ( ) = ( ) + 4( ) 1 = 4 8 1 = 16 Jadi R = {y y R, y 16} 4 = (1) Relasi dan Fungsi 5
x 3 (b) (x) = x 5 untuk D = {x x R, x 5} diperoleh x 3 y = x 5 y(x + 5) = x 3 xy + 5y = x 3 xy x = 5y 3 (y )x = 5y 3 5y 3 x = y Jadi R = {y y R, y } Relasi dan Fungsi 6