BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Topik "Hubungan Modul Dedekind Dengan Modul π Melalui Modul Invertibel dan Modul Padat" merupakan kajian atas 2(dua) jenis submodul yang muncul dari ide yang berbeda, yakni dari submodul invertibel yang merupakan perluasan dari ideal invertibel dan submodul padat. Dua submodul yang telah dijelaskan diatas merupakan submodul yang memiliki sifat berbeda dan modul yang memuat submodul-submodul tersebut juga didefinisikan berbeda. Modul yang setiap submodulnya merupakan modul invertibel disebut modul Dedekind dan modul yang setiap submodulnya merupakan modul padat disebut modul π. Sebelumnya diberikan terlebih dahulu sebarang ideal I di R, R adalah ring komutatif dengan elemen satuan. Dibentuk ring hasil bagi R S = { r s r R, s S} untuk S subset multiplikatif dari R yang tidak memuat pembagi nol dan didefinisikan I 1 = {x R S x.i R}. Himpunan I 1 dikatakan invers dari ideal I jika berlaku I 1 I = R, jadi I invertibel di R jika dan hanya jika I 1 I = R. Dari ideal invertibel diatas, dikembangkan konsep modul invertibel. Sebelumnya diberikan terlebih dahulu M sebarang modul atas ring komutatif dengan elemen satuan R. Didefinisikan himpunan T dengan T = {s S sm = 0 untuk suatu m M berakibat s = 0}. Nantinya ring hasil bagi yang digunakan adalah R T = { r t r R, t T }. Diberikan sebarang N submodul di M. Didefinisikan N = {x R T xn M}. Himpunan N dikatakan invers dari submodul N di M jika berlaku N N = 1
2 M. Jadi N invertibel di M jika dan hanya jika N N = M. Selanjutnya diberikan M sebarang modul atas ring komutatif R dengan elemen satuan. M disebut modul multiplikatif jika untuk sebarang N submodul di M, terdapat I ideal di R sedemikian sehingga IN = M. Diberikan himpunan Hom(N, M) yaitu himpunan semua homomorfisma dari N ke M, jika untuk setiap m di M terdapat sejumlah berhingga Φ i Hom(N, M) dan sejumlah hingga x i N dengan i = 1, 2,...n sedemikian sehingga m = n Φ i (x i ) i=1 maka submodul N disebut submodul padat di M. Dari definisi diatas didapat sifat bahwa untuk sebarang R-modul M dan N submodul di R-modul M, berlaku N padat di M jika dan hanya jika ann(n) = ann(m). Sifat tersebut mempermudah pembuktian modul padat nantinya. Dilihat dari himpunan bilangan bulat Z, modul Z atas dirinya sendiri adalah modul Dedekind, karena untuk setiap submodul di Z, yaitu nz dengan n Z mempunyai invers di M, yaitu N = { r r Z}. Submodul nz juga padat di Z n karena ann(nz) = 0 = ann(z), yang berarti Z adalah modul π. Dari pembahasan diatas didapat bahwa himpunan bilangan bulat Z merupakan modul Dedekind sekaligus modul π. Dari kenyataan tersebut timbul pertanyaan, dengan memandang dari sisi modul secara umum, bagaimanakah hubungan antara modul Dedekind dengan modul π tersebut.
3 1.2. Perumusan Masalah Dari uraian latar belakang masalah diatas, setidaknya ada 3 (tiga) permasalahan yang dipandang perlu untuk dibahas: 1. Sejauh mana proses perluasan pengertian ideal invertibel ke submodul invertibel. 2. Sejauh mana proses pengkontruksian submodul padat kaitannya dengan beragam jenis submodul yang sudah ada. 3. Bagaimana keterkaitan antara keinvertibelan dan kepadatan submodul. 1.3. Maksud dan Tujuan Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk memenuhi salah satu syarat guna mendapatkan gelar sarjana S-1 program studi matematika Universitas Gadjah Mada. Selain itu, tujuan penulisan skripsi ini adalah 1. Menyelidiki keterkaitan antara keinvertibelan dan kepadatan submodul. 2. Menyelidiki hubungan antara modul Dedekind dengan modul padat dilihat dari modul secara umum. 3. Menyelidiki keterkaitan antara sifat faithful suatu modul dengan keinvertibelan dan kepadatan submodulnya.
4 1.4. Tinjauan Pustaka Materi submodul invertibel dan modul Dedekind yang ada pada skripsi ini secara umum mengacu pada jurnal yang ditulis oleh A. G. Naoum dan F. H. Al- Alwan (1996) dengan berjudul Dedekind Modules, sedangkan materi submodul padat dan modul π yang tertulis pada ada pada skripsi ini secara umum mengacu pada jurnal yang ditulis oleh A. G. Naoum dan F. H. Al-Alwan (1996) dengan berjudul Dense Submodules of Multiplication Modules. Dasar teori yang berisi definisi, teorema, lemma dan akibat tentang dasar dari submodul invertibel dan submodul padat diambil dari buku Algebra, Graduated Texts in Mathematics karangan Thomas W. Hungerford dan buku Algebra, An Approach via Module Theory karangan William A. Adkins dan Steven H. Wientraub. Konsep modul multiplikatif diambil dari jurnal yang ditulis Z. A. Elbast dan P. F. Smith (1988) dengan judul Multiplications Modules dan dari jurnal yang ditulis oleh P. F. Smith (1988) dengan judul Some Remark on Multiplication Modules. Konsep modul yang dibangun secara berhingga diambil dari jurnal karya K. R. Nekooei (2002) dengan judul On Finitely Generated Multiplication Modules. Pengerjaan skripsi ini juga dibantu oleh beberapa jurnal lain. Materi ideal invertibel dan submodul invertibel diambil juga dari jurnal karya Mehdi Khordamel dan S. D. Pish Hesari (2009) dengan judul Some Notes on Dedekind Modules, sedangkan untuk materi modul multiplikatif dan submodul padat diambil juga dari jurnal karya Majid M. Ali (2009) Invertibelity of Multiplication Modules. 1.5. Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu melakukan studi literatur mengenai ideal invertibel dan submodul invertibel. Setelahnya dibentuk dedekind modul yang setiap submodulnya merupakan submodul invertibel dan merupakan perluasan dari daerah dedekind. Setelahnya juga dilakukan studi literatur mengenai submodul padat beserta sifat-sifatnya yang kemudian dibentuk modul π yang setiap submodulnya merupakan modul padat. Terakhir dilakukan kajian yang mendalam mengenai hubungan antara modul dedekind dan modul π. 1.6. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut.
5 BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metode penulisan serta sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini diberikan definisi, teorema, proposisi dan contoh-contoh dari grup, ring serta modul yang menjadi dasar pembahasan bab selanjutnya. BAB III MODUL INVERTIBEL Pada bab ini diberikan definisi-definisi dan teorema-teorema terkait dengan invertibel modul. Diberikan pula proses pembentukan ring hasil bagi yang selanjutnya digunakan pada konsep ideal invertibel, yang selanjutnya dikembangkan menjadi modul invertibel. BAB IV MODUL PADAT Pada bab ini diberikan definisi-definisi dan teorema-teorema terkait dengan modul padat yang selanjutnya akan dijelaskan kaitannya dengan modul multiplikatif. BAB V HUBUNGAN MODUL DEDEKIND DENGAN MODUL π MELALUI MODUL INVERTIBEL DAN MODUL PADAT Pada bab ini diberikan teorema yang menjadi tujuan utama skripsi ini, yaitu menghubungkan antara modul Dedekind dengan modul π. BAB VI PENUTUP Pada bab ini diberikan kesimpulan yang diperoleh dari materi yang dibahas pada bab-bab sebelumnya serta saran-saran untuk penelitian lebih lanjut nantinya.