PENGGUNAAN METODE BAYESIAN SUBYEKTIF DALAM PENGKONSTRUKSIAN GRAFIK PENGENDALI-p Sekar Sukma Asmara 1, Adi Setiawa 2, Tudjug Mahatma 3 1 Mahasiswa Program Studi Matematika Fakultas Sais da Matematika Uiversitas Kriste Satya Wacaa 2,3 Dose Program Studi Matematika Fakultas Sais da Matematika Uiversitas Kriste Satya Wacaa 1 qkhasweetie@yahoo.com, 2 adi_setia_03@yahoo.com, 3 t.mahatma@gmail.com T-12 Abstrak Pegedalia kualitas mempuyai suatu pera petig dalam produksi barag, da dapat dilakuka dega megguaka metode statistik. Salah satuya adalah grafik pegedali-p. Peelitia ii megguaka data proses produksi pegolaha ayam selama Jui-September 2012 pada PT. X. Pada grafik pegedali-p klasik diperoleh ceterlie (CL)=0,306, lower cotrol limit (LCL)=0,1678, da upper cotrol limit (UCL)=0,4443. Dalam makalah ii dijelaska bagaimaa pegguaa metode Bayesia subyektif utuk melakuka estimasi titik dega distribusi sampel Biomial. Dega megguaka prior berdistribusi seragam pada (0,1) atau Beta(1,1) da tigkat sigifikasi α =0,0027, diperoleh CL=0,3098, LCL=0,1827, da UCL=0,4518. Dega megguaka prior berdistribusi Beta(30,2981;68,7019) da tigkat sigifikasi yag sama, diperoleh CL=0,306, LCL=0,2129, da UCL=0,4068. Haya pada grafik pegedali-p dimaa priorya berdistribusi Beta(30,2981;68,7019) terdapat 1 sampel yag out of cotrol yaitu sampel ke 71 sehigga dapat disimpulka bahwa proses tersebut tidak terkedali da oleh karea itu perlu diperiksa peyebabya serta diambil tidaka perbaika. Kata kuci : grafik pegedali-p, Bayesia subyektif, Biomial, prior, Beta. PENDAHULUAN Produk yag berkualitas mempuyai daya tarik yag lebih tiggi bagi kosume. Meurut Prawirosetoo (2007), kosume yag membeli produk berorietasi pada kualitas, pada umumya mempuyai loyalitas produk yag besar dibadigka dega kosume yag membeli produk berdasarka orietasi harga, sehigga mereka aka selalu membeli produk tersebut (repurchase). Dari segi produse, cara (methods) produksi meghasilka produk yag berkualitas berbadig lurus dega peigkata produktivitas, atara lai meguragi pegguaa barag da meguragi biaya. Dalam mejual barag yag berkualitas redah, ada kemugkia produse aka bayak meerima keluha da pegembalia barag dari kosume, atau biaya memperbaiki (after sales service) mejadi sagat besar, selai itu dapat mempegaruhi reputasi perusahaa bahka tututa gati rugi kecelakaa akibat pemakaia produk tersebut. Proses produksi merupaka kombiasi mesi-mesi, orag-orag, da baha baku, sehigga memugkika terjadiya kekelirua sehigga produk yag dihasilka megalami variasi. Meurut Motogmery (1990), peraa statistik adalah utuk mecegah da meguragi terjadiya variasi tersebut. Salah satu alat kedali mutu statistik adalah grafik pegedali. Metode Bayesia subyektif dapat diguaka utuk Makalah dipresetasika dalam Semiar Nasioal Matematika da Pedidika Matematika dega tema Kotribusi Pedidika Matematika da Matematika dalam Membagu Karakter Guru da Siswa" pada taggal 10 November 2012 di Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY
melakuka estimasi titik. Dalam makalah ii aka dijelaska bagaimaa proses pegguaa metode Bayesia subyektif dalam pegkostruksia grafik pegedali-p oleh karea itu dega mudah dapat diidetifikasi sampel-sampel yag out of cotrol da apakah proses tersebut terkedali atau tidak. DASAR TEORI Pegedalia kualitas merupaka upaya utuk mecapai da mempertahaka stadar yag direcaaka. Salah satu tekik da alat pegedalia kualitas adalah grafik pegedali (cotrol chart) yag dikemukaka oleh Dr. Shewhart utuk megetahui apakah sampel hasil observasi termasuk daerah yag diterima (accepted area) atau daerah ditolak (rejected area) seperti pada Gambar 1. Dalam statistik, utuk memperoleh tigkat kepercayaa sebesar 99,73%, diguaka batas tolerasi sebesar 3 kali deviasi stadar (stadart deviatio). Keteraga SD = deviasi stadar = 0, 1, 2, atau 3 Gambar 1. Diagram Shewhart Grafik Pegedali-p Klasik Dalam makalah ii aka diguaka grafik pegedali utuk bagia tidak sesuai (ocoformace quality) atau yag serig disebut grafik pegedali-p (p-chart). Asas-asas statistik yag meladasi grafik pegedali utuk bagia tak sesuai didasarka atas distribusi Biomial dega parameter da p (Motgomery, 1990). Rumusa utuk membuat grafik pegedali bagia tidak sesuai yag masih merujuk pada diagram Shewhart dijelaska oleh Dr. Kaoru Ishikawa sebagai berikut Dega p : proporsi kerusaka, D : jumlah produk yag tidak sesuai, : jumlah sampel. Disampig itu, dihitug p = p i = D i, i = 1, 2,, m m i=1 D i m i=1 m = p i m, Semiar Nasioal Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT -116
σ = p 1 p, Semiar Nasioal Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT -117
dega p : rata-rata proporsi kerusaka, σ : deviasi stadar proporsi kerusaka, sehigga dapat diperoleh Ceterlie CL = p, Lower Cotrol Limit LCL = p 3 p 1 p, p 1 p Upper Cotrol Limit UCL = p + 3, yag kemudia aka diguaka utuk batas pegedali dalam melukiska grafik pegedali-p (Prawirosetoo, 2007). Grafik Pegedali-p dega Metode Bayesia Subyektif Selajutya dihitug estimasi titik dalam hal ii upper cotrol limit, ceterlie, da lower cotrol limit dega megguaka metode Bayesia subyektif. Misalka Y = y 1, y 2,, y m adalah bayakya kejadia dalam m percobaa, sampel, da θ adalah probabilitas kejadia. Variabel bayakya barag yag defect setiap megambil sampel ukura yaitu X i dapat dipadag berdistribusi X i ~Biomial 1, θ atau X i ~Berouli p dega θεω = 0,1, sehigga fugsi probabilitasya f x i ; θ = θ x i 1 θ 1 x i, 1 da fugsi likelihood adalah L θ x 1, x 2,, x = f x i ; θ i=0 = θ x i 1 θ 1 x i = θ i=1 x i 1 θ i=1 x i L θ x 1, x 2,, x = θ r 1 θ r 2 dega i=1 x i = r. Distribusi Beta merupaka keluarga kojugat distribusi Biomial, sehigga fugsi kepadata probabilitas priorya berdistribusi Beta α, β dega fugsi desitas π θ; α, β = Γ α + β Γ α Γ β θα 1 1 θ β 1 3 utuk 0 < θ < 1, (Carli da Thomas, 1996). Distribusi Beta α, β memiliki beberapa betuk berdasarka parameter α da β yag dipilih, sehigga parameter prior yag dipilih seharusya mempresetasika peilaia subjektif peeliti. Salah satu metodeya adalah memilih Beta 1,1 atau priorya berdistribusi seragam pada 0,1. Di sampig itu, dapat pula dipilihbeta α, β yag cocok dega keyakia prior berdasarka mea da deviasi stadarya, diguaka r 1 r 1 α = da β = sebagai parameter Beta tersebut (Sisca, 2011). Oleh karea itu diperoleh estimator Bayes utuk θ yag sama dega rata-rata proporsi kerusaka pada grafik pegedali-p klasik. Distribusi posterior dihitug dega megalika distribusi prior dega fugsi likelihood i=0 Semiar Nasioal Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT -118
estimator Bayes utuk θ jika diyataka sebagai (Carli da Thomas, 1996). π θ x = π θ L θ x 1, x 2,, x, θ α 1 1 θ β 1 θ r 1 θ r, θ r+α 1 1 θ rβ 1, π θ x = Beta r + α, r + β, 4 θ = r + α α + β +, Berdasarka estimator Bayes dapat diguaka sebagai CL sehigga CL = r + α α + β +. 5 Batas LCL da UCL dihitug sehigga UCL LCL Γ α + β Γ α Γ β θr+α 1 1 θ r+β 1 dθ = 1 δ, 6 da dipilih jarak miimum atara LCL da UCL dega tigkat sigifikasi δ. METODE PENELITIAN Data yag diguaka dalam peelitia ii adalah data sekuder proses produksi pegolaha ayam selama bula Jui-September 2012 yag diambil dari PT. X. Proses produksi pegolaha ayam tersebut dilakuka setiap hari. Dalam hal ii diperoleh ukura sampelya = 100. Kebijaksaaa pegedalia kualitas yag dilakuka pada pabrik ayam potog dapat digologka dalam dua kategori, yaitu rusak (defect) da baik. Ayam yag digologka defect adalah Sayap merah-kebirua, Peyakit kulit (bisul da jamur), Orga dalam tak ormal, Peyakit arthitis, Dada memar, Luka parut, Sayap patah, Kulit merah tua Kulit sobek, Kaki patah, keriput, Over scalder, Kaki memar. Pertumbuha tak Terpotog, ormal, Empedu pecah. Ayam yag tidak megalami hal-hal tersebut digologka dalam kategori baik. Hal yag pertama dilakuka dalam peelitia ii adalah melukiska grafik pegedali-p klasik. Kemudia dilukiska pula grafik pegedali-p dega megguaka metode Bayesia subyektif dega priorya Beta 1,1 berdistribusi seragam pada 0,1 da dega priorya Beta α, β berdasarka mea da deviasi stadarya. Dega demikia dapat diidetifikasi sampel-sampel maa yag yag out of cotrol da apakah proses tersebut terkedali atau tidak. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Dilakuka pegambila sampel sebayak m = 96 dega ukura = 100, diperoleh data seperti pada Tabel 1. Semiar Nasioal Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT -119
Tabel 1. Tabel bayakya ayam defect dalam sampel ukura = 100 No. Sampel Bayakya Proporsi Bayakya No. Sampel ayam defect sampel ayam defect 1 34 0,34 2 32 0,32 3 33 0,33 4 33 0,33 5 39 0,39 6 25 0,25 7 34 0,34 8 25 0,25 9 32 0,32 10 32 0,32 11 33 0,33 12 30 0,30 13 30 0,30 14 30 0,30 15 35 0,35 16 32 0,32 17 32 0,32 18 32 0,32 19 33 0,33 20 31 0,31 21 33 0,33 22 29 0,29 23 29 0,29 24 28 0,28 25 29 0,29 26 31 0,31 27 31 0,31 28 29 0,29 29 34 0,34 30 32 0,32 31 31 0,31 32 29 0,29 33 28 0,28 34 29 0,29 35 30 0,30 36 29 0,29 37 30 0,30 38 30 0,30 39 31 0,31 40 31 0,31 41 29 0,29 42 29 0,29 43 32 0,32 44 30 0,30 45 29 0,29 46 28 0,28 47 28 0,28 48 31 0,31 Proporsi sampel 49 31 0,31 50 32 0,32 51 31 0,31 52 31 0,31 53 30 0,30 54 30 0,30 55 32 0,32 56 27 0,27 57 28 0,28 58 28 0,28 59 27 0,27 60 27 0,27 61 29 0,29 62 30 0,30 63 32 0,32 64 38 0,38 65 35 0,35 66 36 0,36 67 27 0,27 68 30 0,30 69 26 0,26 70 37 0,37 71 20 0,20 72 40 0,40 73 31 0,31 74 35 0,35 75 29 0,29 76 33 0,33 77 33 0,33 78 28 0,28 79 28 0,28 80 32 0,32 81 31 0,31 82 30 0,30 83 30 0,30 84 27 0,27 85 32 0,32 86 29 0,29 87 33 0,33 88 29 0,29 89 30 0,30 90 28 0,28 91 34 0,34 92 31 0,31 93 27 0,27 94 33 0,33 95 26 0,26 96 29 0,29 Semiar Nasioal Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT -120
Proporsi sampel 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7 Grafik Pegedali-p Klasik Berdasarka data pada Tabel 1, dapat diperoleh Ceterlie CL = p = 0,3060, Lower Cotrol Limit LCL = p 3 p 1 p = 0,1678, p 1 p Upper Cotrol Limit UCL = p + 3 = 0,4443. Dega demikia diperoleh grafik pegedali-p klasik pada Gambar 2. p-chart klasik 0 20 40 60 80 Sampel ke-i,i=1,...,m Gambar 2. Grafik pegedali-p klasik Dalam hal ii LCL yag diperoleh tidak egatif, sehigga terbetuk batas-batas grafik pegedali-p yag simetris. Namu apabila LCL yag diperoleh egatif, maka diberlakuka LCL = 0 sehigga batas-batas grafik pegedali-p mejadi tidak simetris. Dalam Gambar 2, dapat dilihat bahwa semua sampel berada dalam daerah peerimaa (accepted area), ii disebut perilaku ormal. Grafik Pegedali-p dega Metode Bayesia Subyektif Dari data pada Tabel 1, diketahui Y = y 1, y 2,, y m adalah bayakya ayam yag defect dalam m percobaa, ukura sampel, da θ adalah probabilitas bayakya ayam yag defect. Variabel bayakya ayam defect setiap megambil sampel ukura yaitu X = x 1, x 2,, x dega X i ~Biomial 1, θ dega θ ε Ω = 0,1 maka fugsi probabilitasya seperti persamaa 1 da fugsi likelihood seperti persamaa 2. Dari data pada Tabel 1, diperoleh r = = x i i=1 m i=1 y i m Semiar Nasioal Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT -121
Proporsi sampel 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7 = 30,6042. Fugsi kepadata probabilitas prior dari θ berdistribusi Beta α, β dega fugsi desitas seperti persamaa 3. Secara subyektif dipilih α = 1 da β = 1, dari persamaa 4 diperoleh distribusi posterior π θ x = Beta r + α, r + β = Beta 30,6042 + 1; 100 30,6042 + 1 = Beta 31,6042; 70,3958. Dega megguaka persamaa 6 dihitug Estimator Bayes utuk θ yaitu r + α CL = α + β + 30,6042 + 1 = 1 + 1 + 100 = 0,3098. Dega δ = 0,0027, LCL da UCL ditetuka sehigga UCL LCL Beta 31,6042; 70,3958 dθ = 99,73%, da dipilih jarak miimum atara LCL da UCL dega tigkat sigifikasi δ. Dega megguaka program R diperoleh LCL = 0,1827 da UCL = 0,4518. Selajutya dilukiska grafik pegedali-p berdasarka batas tersebut seperti pada Gambar 3. p-chart Bayesia subyektif 0 20 40 60 80 Sampel ke-i,i=1,...,m Gambar 3. Grafik pegedali-p dega prior Beta 1,1 Berdasarka persamaa mea da deviasi stadarya diguaka r 1 α = 30,6042 100 1 = 100 = 30,2981, da Semiar Nasioal Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT -122
Proporsi sampel 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7 r 1 β = 100 30,6042 100 1 = 100 = 68,7019, da dega persamaa 4 diperoleh distribusi posterior π θ x = Beta r + α, r + β = Beta 60,9023; 138,0977. Utuk meetuka estimator Bayes diguaka persamaa 5 seperti berikut r + α CL = α + β + = 0,306, dega megguaka δ = 0,0027, LCL da UCL ditetuka sehigga UCL LCL Beta 60,9023; 138,0977 dθ = 99,73% da dipilih jarak miimum atara LCL da UCL dega tigkat sigifikasi δ. Dega megguaka program R diperoleh LCL = 0,2129 da UCL = 0,406. Selajutya dilukiska grafik pegedali-p berdasarka batas tersebut seperti pada Gambar 4. p-chart Bayesia subyektif 0 20 40 60 80 Sampel ke-i,i=1,...,m Gambar 4. Grafik pegedali-p dega prior Beta 30,2981; 68,7019 Berdasarka grafik pegedali-p yag terbetuk terlihat bahwa batas pegedaliya tidak simetris, amu CL, LCL, da UCL aka selalu terletak pada iterval 0,1. Metode Bayes memberika hasil estimasi yag lebih baik karea estimasi parameterya megguaka iformasi data sampel da juga sebara prior utuk medapatka sebara posterior. SIMPULAN DAN SARAN Dalam pembahasa di atas, telah dijelaska pegguaa metode Bayesia subyektif dalam pegkostruksia grafik pegedali-p. Sampel yag diguaka berdistribusi Semiar Nasioal Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT -123
Biomial, sedagka priorya berdistribusi Beta α, β yag merupaka keluarga kojugat distribusi Biomial. Dalam makalah ii dipilih secara subyektif distribusi priorya Beta 1,1 da Beta 30,2981; 68,7019. Distribusi posterior dibetuk dari distribusi sampel da distribusi prior. Grafik pegedali-p klasik ada kemugkia LCL yag diperoleh egatif oleh karea itu perlu dilakuka perbaika LCL = 0 sehigga batas-batasya mejadi tidak simetris. Batas grafik pegedali-p yag dikostruksika pasti terletak atara 0 da 1 sehigga berbeda dega grafik pegedali-p klasik. Dari grafik pegedali-p klasik da grafik pegedali-p dega prior Beta 1,1 tidak ada sampel yag out of cotrol, amu dari grafik pegedali-p dega prior Beta 30,2981; 68,7019 terdapat 1 sampel yag out of cotrol yaitu sampel ke 71. Utuk itu perlu diperiksa peyebabya lalu diambil tidaka perbaika. DAFTAR PUSTAKA Carli, B.P. da Thomas, A.L. 1996. Bayes ad Empirical Bayes Methods for Data Aalysis, 2d Editio,Chapma ad Hall, Lodo. Motgomery, D.C. 1990. Pegatar Pegedalia Kualitas Statistik. Alih bahasa: Zazawi Soejoeti. Yogyakarta: Uiversitas Gadjah Mada. Prawirosetoo, S. 2007. Filosofi Baru Tetag Maajeme Mutu Terpadu Abad 21, Edisi Kedua. Jakarta : Bumi Aksara. Setiawa, A. 2012. Pegguaa Metode Bayesia Obyektif dalam Pembuata Grafik Pegedali p-chart. Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika, da Peerapa MIPA, UNY Yogyakarta Sisca, A. C. 2011. Skripsi. Iferesi Statistik Distribusi Biomial dega Metode Bayes Megguaka Kojugat Prior. Program Studi Statistika Jurusa matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Dipoegoro; Semarag Semiar Nasioal Matematika da Pedidika Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MT -124