ALGORITMA EKSAK UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN BIN COVERING TESIS Oleh ERI SAPUTRA 097021080/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
ALGORITMA EKSAK UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN BIN COVERING T E S I S Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Oleh ERI SAPUTRA 097021080/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Judul Tesis : ALGORITMA EKSAK UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN BIN COVERING Nama Mahasiswa : Eri Saputra Nomor Pokok : 097021080 Program Studi : Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) Ketua (Prof. Dr. Herman Mawengkang) Anggota Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus : 19 Januari 2012
Telah diuji pada Tanggal 19 Januari 2012 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang 2. Prof. Dr. Tulus, M.Si 3. Drs. Sawaluddin, M.IT
ABSTRAK Tesis ini menjelaskan tentang algoritma eksak untuk menyelesaikan permasalahan bin covering. Penyelesaiannya dengan menggunakan prosedur branch and bound dan teknik generasi kolom. Dalam permasalahan integer programming, generasi kolom digunakan untuk menyelesaikan linear programming relaksasi. Branch and bound dapat digunakan untuk banyak kelas pada masalah skala besar seperti sebuah prosedur yang dapat menjadi penghalang berat dalam hal total waktu komputasi. Setelah diambil pendekatan untuk menguji pengurangan masalah dimana sebagian besar variabel integer tetap konstan dan hanya sebagian kecil diperbolehkan untuk bervariasi dalam langkah-langkah diskrit. Hal ini dapat di implementasikan dalam struktur dari sebuah program dengan memperhatikan semua variabel integer pada batas solusi yang selanjutnya sebagai non basic dan penyelesaian masalah berkurang dengan mempertahankan non basic. Kata kunci : Generasi kolom, Branch and bound, Program linear relaksasi, Integer programming, Bin covering i
ABSTRACT This tesis present an exact algorithm for solving the problems of bin covering. Using the branch and bound procedures and the technique of column generation. In the problem of integer programming, column generation is used to solve the relaxation of linear programming. While a straightforward branch and bound approach could be adopted, for many classes of large scale problems such a procedure would be prohibitively expensive in terms of total computing time. After have adopted the approach of examining a reduced problem in which most of the integer variables are held constant and only a small subset allowed to vary in discrete steps. This may be implemented within the structure of a program by examining all integer variables at their bounds at the continuous solution as nonbasic and solving the reduced problem with these maintained nonbasic Keyword : Column generation, Branch and bound, Linear programming relaxation, Integer programming, Bin covering ii
KATA PENGANTAR Syukur Alhamdulillah kehadirat ALLAH SWT, penulis panjatkan atas limpahan Rahmat dan KaruniaNya yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul : Algoritma Eksak Untuk Menyelesaikan Permasalahan Bin Covering. Selawat dan salam kepada junjungan Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan sahabat sekalian. Tesis ini merupakan salah satu persyaratan penyelesaian studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada: Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di FMIPA Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA dan juga sebagai pembimbing pada penulisan tesis ini yang berkat dorongan dan bantuan beliau sehingga penulisan tesis ini dapat diselesaikan. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc juga sebagai pembimbing dalam penulisan tesis ini atas saran dan bantuan sehingga penulisan ini dapat diselesaikan. Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku pembanding atas saran dan bantuannya untuk kesempurnaan penulisan tesis ini serta bimbingan selama perkuliahan berlangsung. Drs. Sawaluddin, M.IT selaku pembanding atas saran dan bantuannya untuk kesempurnaan penulisan tesis ini. iii
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Seluruh sahabat serta rekan - rekan seperjuangan mahasiswa angkatan 2009 genap atas kebersamaan dan bantuan dalam mengatasi masalah selama perkuliahan berlangsung. Ucapan terima kasih yang tak terhingga dan penghargaan setinggi tingginya penulis ucapkan kepada ayahanda H. Abubakar Yunus, SP dan Ibunda Hj. Nurmiati, S.Pd yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis. Terima kasih juga kepada adik - adik penulis (Emira Laura Putri, Evira Agustina Putri, Esar Alkautsar) dan buat seluruh keluarga yang telah membantu, memberikan semangat dan dorongan kepada penulis hingga penulisan tesis ini selesai. Terima kasih juga kepada sahabat dan rekan - rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu persatu, yang telah membantu dan memberikan semangat untuk penulis hingga tesis ini selesai. Akhir kata penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak pihak lainnya yang memerlukannya. Medan, Januari 2012 Penulis, iv Eri Saputra
RIWAYAT HIDUP Penulis di lahirkan di Simpang Mulieng Kabupaten Aceh Utara pada tanggal 08 Oktober 1986 dan merupakan anak pertama dari empat bersaudara. Dari ayah H.Abubakar Yunus dan ibu Hj. Nurmiati. Penulis menamatkan Sekolah Dasar (SD), SD Negeri Simpang Mulieng, Lulus tahun 1999. Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP), SLTP Negeri 1 Syamtalira Aron, Lulus tahun 2002. Sekolah Menengah Atas (SMA), SMA Negeri 1 Syamtalira Aron, Lulus tahun 2005. Pada tahun 2005 penulis melanjutkan pendidikan sarjana di Universitas Islam Sumatera Utara Pada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Jurusan Pendidikan Matematika dan Lulus pada tahun 2009. Tahun 2009, penulis berkesempatan untuk melanjutkan Program Master pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara Medan. v
DAFTAR ISI Halaman ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI i ii iii v vi BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 3 1.3 Tujuan Penelitian 3 1.4 Manfaat Penelitian 3 1.5 Metode Penelitian 3 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB 3 LANDASAN TEORI 10 3.1 Program Linear Integer 10 3.2 Algoritma Eksak 11 3.3 Pemodelan Matematika 11 BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 16 4.1 Algoritma Branch and Bound 16 4.2 Generasi Kolom 19 4.3 Algoritma Bin Covering Flow Exact 23 vi
4.4 Heuristik Pencarian Sekitar Layak 24 BAB 5 KESIMPULAN 27 DAFTAR PUSTAKA 28 vii