BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Dalam pengelompokan aljabar ring, lapangan merupakan kejadian sangat khusus dari ring karena tidak hanya memiliki invers penjumlahan tetapi juga invers perkalian untuk setiap elemen tak nol dan juga bersifat komutatif. Kekhususan inilah membuat lapangan sangat mudah dibawa dalam pengembangan teori dalam aljabar maupun aplikasinya, seperti ruang vektor, teori Galois, teori pengkodean, dan sebagainya. Sejatinya, teori ring tidak hanya mempelajari ring komutatif tetapi sesuatu yang lebih umum atau dengan kata lain aksioma komutatif tidak diharuskan. Jika aksioma komutatif pada lapangan dihilangkan, maka struktur ring yang lebih umum ini disebut ring pembagian. Namun, selanjutnya akan timbul pertanyaan apakah ada syarat cukup tambahan agar ring pembagian merupakan lapangan? Sebagai awal dari menjawab pertanyaan tersebut Weddernburn (1905) telah membuktikan teorema bahwa setiap ring pembagian berhingga adalah lapangan. Dari teorema ini selanjutnya berkembang sifat yang lebih umum menegenai kekomutatifan ring pembagian oleh Jacobson, Kaplansky, dan Faith. Pada perkembangannya, Jacobson menyatakan kondisi yang lebih umum untuk sebarang ring, yaitu jika R ring bersifat untuk setiap a R terdapat bilangan bulat n > 1 sedemikian hingga a n = 1, maka R komutatif. Ini berarti Teorema Jacobson menyatakan bahwa jika setiap elemen ring pembagian D memenuhi sifat pada teorema tersebut, maka D lapangan. Selanjutnya, diberikan ring pembagian D dengan himpunan bagian F = {x D xy = yx, untuk semua y D} merupakan pusat D. Karena F subring pembagian komutatif, maka F lapangan. Teorema Jacobson menyatakan bahwa jika untuk setiap a D terdapat n N se- 1
2 hingga a n = 1, maka D lapangan. Namun, jika a n F dengan kata lain D bersifat radikal atas F, maka D lapangan. Pernyataan ini merupakan Teorema Kaplansky. Penelitian ini tidak hanya sampai di sini saja, Tulisan Faith (1960) menggeneralisasikan Teorema Kaplansky, yaitu jika D bersifat radikal atas K subring pembagian sejati D, maka D lapangan. Pada kelanjutannya, penelitian mengenai ring pembagian bukan hanya sekedar mengenai sifat komutatifnya. Sebagaimana diketahui bahwa karena setiap elemen di pusat F komutatif dengan setiap elemen di ring pembagian D, maka F = F \{0} subgrup normal di D = D\{0}. Namun tidaklah istimewa hanya membicarakan F sebagai subgrup normal. Oleh karena itulah, Teorema Cartan- Brauer-Hua menyatakan jika K subring pembagian D dengan K subgrup normal di D, maka K = D atau K F. Kemudian Herstein (1978) membuktikan kondisi yang lebih umum, yakni jika N subgrup subnormal di D dan untuk setiap x N terdapat m N sehingga x m = 1, maka N F. Pada tulisan selanjutnya Herstein (1980) membuktikan lemma, yaitu jika G grup dengan pusat Z dan H subgrup subnormal di G yang bersifat radikal atas Z, maka G memuat subgrup normal M H sedemikian hingga M bersifat radikal atas Z. Pada kenyataannya lemma tersebut pada grup perkalian ring pembagian ekuivalen dengan Teorema Herstein sehingga subgrup subnormal pada Teorema Herstein cukup diganti subgrup normal. Penelitian ini terus berlanjut untuk mencari bentuk yang lebih umum dari Teorema Faith dan Herstein. Gabungan dari Teorema Faith dan Herstein menjadi pokok pembahasan dari Tulisan M. H. Bien dan D. H. Dung seperti pada konjektur berikut. Jika D ring pembagian dengan pusat F dan K subring pembagian sejati D, maka setiap subgrup normal dari D yang radikal atas K termuat di F. Sebagai permulaan pembuktikan konjektur tersebut M. H. Bien dan D. H. Dung mencoba membuktikan atas ring pembagian hingga secara lokal. Ring pembagian D dikatakan berhingga secara lokal jika subring pembagian F (S), yang dibangun oleh himpunan berhingga S D atas F, adalah ruang vektor berdimensi hingga atas F. Oleh definisi ring pembagian berhingga secara lokal, setiap elemen
3 ring pembagian berhingga secara lokal bersifat aljabar atas pusatnya. Karenanya, ring pembagian berhingga secara lokal adalah bersifat aljabar atas pusatnya. Dalam tulisan didefinisikan elemen Kurosh dan beberapa sifat yang sangat berguna dalam pembuktian konjektur di atas. 1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan penelitian menggeneralisasi dari hasil yang telah dibuktikankan Faith dan Herstein. Lebih lanjut, menyelidiki sebarang subgrup normal di ring pembagian yang radikal atas subring pembagian sejati. Manfaat tesis ini, yaitu mengetahui sifat-sifat ring pembagian, khususnya sifat subgrup normal grup perkalian yang bersifat radikal atas subring pembagian sejati. 1.3. Tinjauan Pustaka Tulisan ini merupakan studi literatur, dengan konsep-konsep sebagai berikut. Sebagai referensi untuk teori grup dan ring dasar digunakan buku W. A. Adkins dan S. H. Weintraub (1992), dan D. S. Malik (1997). Buku Dummit dan Foote (2004), I. M. Issac (1994), dan Steven Roman (1995) digunakan untuk membahas lapangan perluasan dan aljabar lapangan. Sifat-sifat yang berlaku pada ring pembagian, yaitu Teorema Kecil Wedderburn dan akibatnya, Teorema Jacobson untuk ring pembagian, Teorema Kaplansky, dan Teorema Cartan-Brauer-Hua diacu dari buku T. Y. Lam (2001), dan buku Herstein (1971). Jurnal I. N. Herstein (1956) digunakan untuk membahas sifat elemen dengan konjugatnya berhingga di ring pembagian. Untuk membahas ring pembagian yang radikal atas subring pembagian sejatinya merupakan lapangan digunakan jurnal dari Faith (1960). Untuk mempelajari subgrup subnormal di ring pembagian digunakan buku W.R. Scoot (1987). Untuk membahas subgrup subnormal di grup perkalian ring pembagian bersifat periodik digunakan jurnal I. N. Herstein (1978) dan ekuivalensinya jurnal I. N. Herstein (1980). Untuk definisi elemen Kurosh dan sifatnya, dan menyelidiki generalisasi dari gabungan Teorema Faith dan Herstein diacu dari jurnal M. H. Bien dan D. H. Dung (2012).
4 1.4. Metode Penelitian Di dalam tesis ini dibahas mengenai beberapa sifat ring pembagian yang berkaitan dengan kekomutatifannya. Konsep-konsep yang lebih mendasar yang terlebih dahulu dipelajari adalah konsep dasar grup dan ring, lapangan dan lapangan perluasan, dan ring pembagian secara khusus. Selanjutnya konsep tersebut digunakan dalam mempelajari hubungan sebarang elemen di ring pembagian dengan pusatnya. Metode atau langkah-langkah yang dipelajari dalam penelitian ini sebagai berikut. Pertama-tama mempelajari konsep mengenai ring pembagian, beserta sifatsifat terkait secara khusus Teorema Faith dan Herstein. Selanjutnya konsep tersebut menjadi dasar dalam mempelajari generalisasi sifat-sifat tersebut. Mempelajari pembentukan elemen Kurosh dan sifat-sifatnya. Selanjutnya dipelajari beberapa perumuman sifat ring pembagian, khususnya sifat radikal subgrup normal atas subring pembagian sejati. Gambar 1.1 Diagram Metode Penelitian dan Literaturnya
5 1.5. Sistematika Penulisan Pada penulisan proposal tesis ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Bab ini menjelaskan tentang latar belakang, tujuan dan manfaat penulisan, tinjauan pustaka, metode penelitian, serta sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Bab ini memuat penjelasan mengenai grup, ring, lapangan dan lapangan perluasan, sifat-sifat ring pembagian yang merupakan dasar untuk pembahasan selanjutnya, dan subgrup subnormal dan Teorema Herstein. BAB III TEOREMA HERSTEIN Dalam bab ini dibahas mengenai generalisasi Teorema Cartan-Brauer-Hua, Teorema Herstein, dan ekuivalensi Teorema Herstein. BAB IV SUBGRUP NORMAL YANG RADIKAL ATAS SUBRING PEMBA- GIAN SEJATI Dalam bab ini dibahas mengenai elemen Kurosh dan sifat-sifatnya, generalisasi Teorema Herstein. BAB V KESIMPULAN Dalam bab ini memuat kesimpulan dan saran.